Bài giảng Cấu trúc dữ liệu và giải thuật 2 - Chương 1: Cây (Tree) - Ngô Công Thắng

CHƯƠNG 1: CÂY (TREE)
GV. Ngô Công Thắng
Bộ môn Công nghệ phần mềm
Khoa Công nghệ thông tin
Website: dse.hua.edu.vn/ncthang
Email: ncthang@vnua.edu.vn
Ngô Công Thắng Bài giảng Cấu trúc dữ liệu và giải thuật 2 - Chương 01
Chương 1: Cây (Tree)
1. Định nghĩa và khái niệm
2. Cây nhị phân
3. Cây tổng quát
4. Ứng dụng
1.2
Ngô Công Thắng Bài giảng Cấu trúc dữ liệu và giải thuật 2 - Chương 01
1. Định nghĩa và khái niệm
1.1. Định nghĩa cây (tree)
l Cây là một tập hợp hữu hạn các nút, trong 
đó có một nút đặc biệt gọi là gốc (root). 
Giữa các nút có một quan hệ phân cấp gọi 
là quan hệ cha con.
l Một cây không có nút nào gọi là cây rỗng 
(null tree).
l Các ví dụ về cây
1.3
Ngô Công Thắng Bài giảng Cấu trúc dữ liệu và giải thuật 2 - Chương 01
Ví dụ 1: Mục lục của một chương 
được biểu diễn dạng cây
Chương 6
6.1
6.2
6.2.1
6.2.2
6.3
6.3.1
6.3.2
1.4
Ngô Công Thắng Bài giảng Cấu trúc dữ liệu và giải thuật 2 - Chương 01
Ví dụ 2: Biểu thức số học được 
biểu diễn dạng cây
x+y*(z-t)+u/v
1.5
Ngô Công Thắng Bài giảng Cấu trúc dữ liệu và giải thuật 2 - Chương 01
Ví dụ 3: Các tập bao nhau được 
biểu diễn dạng cây
l Có các tập bao nhau 
A, B, C, D, E, F
1.6
Ngô Công Thắng Bài giảng Cấu trúc dữ liệu và giải thuật 2 - Chương 01
1.2. Các khái niệm
l Gốc (Root): Gốc là nút đặc biệt không có 
nút cha.
Ví dụ 3: A là gốc. A là cha của B, E, F.
B, E, F là con của A.
B, E, F cũng là gốc của các cây con của A
l Cấp (Degree): Số con của một nút gọi là 
cấp của nút đó.
Ví dụ 3: A có cấp là 3. E, F có cấp là 0.
B có cấp là 2.
1.7
Ngô Công Thắng Bài giảng Cấu trúc dữ liệu và giải thuật 2 - Chương 01
1.2. Các khái niệm (tiếp)
l Lá (Leaf): Nút có cấp bằng không gọi là lá hay 
nút tận cùng.
Ví dụ 3: C,D,E,F là lá.
l Nút nhánh (Branch Node): Nút không là lá được 
gọi là nút nhánh hay nút trong.
Ví dụ 3: B là nút nhánh.
l Mức (Level): Gốc cây có mức là 1. Nếu nút cha 
có mức là i thì nút con có mức là i+1.
Ví dụ 3: A có mức là 1. B, E, F có mức là 2.
C, D có mức là 3.
1.8
Ngô Công Thắng Bài giảng Cấu trúc dữ liệu và giải thuật 2 - Chương 01
1.2. Các khái niệm (tiếp)
l Chiều cao của cây (Height) hay chiều sâu của 
cây (Depth): Là số mức lớn nhất của nút có trên 
cây.
Ví dụ 1: Cây có chiều cao là 3
Ví dụ 2: Cây có chiều cao là 5
Ví dụ 3: Cây có chiều cao là 3
l Đường đi (Path): Nếu n1, n2, ..., nk là các dãy nút 
mà ni là cha của ni+1 (1£i<k) thì dãy đó gọi là 
đường đi từ n1 đến nk. Độ dài của đường đi 
bằng số nút trừ đi 1. .
Ví dụ 3: Đường đi từ A đến C cố độ dài là 3-1=2.
Đường đi từ A đến E cố độ dài là 2-1=1.
1.9
Ngô Công Thắng Bài giảng Cấu trúc dữ liệu và giải thuật 2 - Chương 01
1.2. Các khái niệm (tiếp)
l Nếu thứ tự các cây con của một nút được coi 
trọng thì cây đang xét là cây có thứ tự, ngược lại 
là cây không có thứ tự.
l Thường thì thứ tự các cây con của một nút 
được đặt từ trái sang phải.
1.10
Ngô Công Thắng Bài giảng Cấu trúc dữ liệu và giải thuật 2 - Chương 01
1.2. Các khái niệm (tiếp)
l Đối với cây, ngoài quan hệ cha con, người 
ta còn mở rộng phỏng theo quan hệ trong 
gia tộc.
l Rừng (Forest): Nếu có một tập hữu hạn 
các cây phân biệt thì ta gọi tập đó là rừng.
l Nếu bỏ nút gốc của một cây thì ta sẽ có 
một rừng. 
1.11
Ngô Công Thắng Bài giảng Cấu trúc dữ liệu và giải thuật 2 - Chương 01
2. Cây nhị phân
2.1. Định nghĩa và tính chất
2.1.1. Định nghĩa cây nhị phân
l Cây nhị phân là dạng đặc biệt của cấu trúc 
cây, mọi nút trên cây chỉ có tối đa là 2 con.
l Đối với cây con của một nút người ta phân 
biệt cây con trái và cây con phải. Như vậy 
cây nhị phân là cây có thứ tự.
1.12
Ngô Công Thắng Bài giảng Cấu trúc dữ liệu và giải thuật 2 - Chương 01
Ví dụ 1: Hai cây sau đây là khác nhau
1.13
Ngô Công Thắng Bài giảng Cấu trúc dữ liệu và giải thuật 2 - Chương 01
Ví dụ 2: Cây nhị phân suy biến có 
dạng một danh sách tuyến tính
Cây lệch trái Cây lệch phải
1.14
Ngô Công Thắng Bài giảng Cấu trúc dữ liệu và giải thuật 2 - Chương 01
Ví dụ 2: Cây nhị phân suy biến có dạng 
một danh sách tuyến tính (tiếp)
Cây zíc zắc
1.15
Ngô Công Thắng Bài giảng Cấu trúc dữ liệu và giải thuật 2 - Chương 01
2.1.1. Định nghĩa cây nhị phân (tiếp)
l Cây nhị phân hoàn chỉnh: Là cây nhị phân mà 
các nút nhánh ở các mức đều có hai nút con.
1.16
Ngô Công Thắng Bài giảng Cấu trúc dữ liệu và giải thuật 2 - Chương 01
2.1.1. Định nghĩa cây nhị phân (tiếp)
l Cây nhị phân đầy đủ: Là cây nhị phân mà các 
nút ở mọi mức của nút nhánh đều có hai con.
Cây nhị phân đầy đủ là trường hợp đặc biệt của 
cây nhị phân hoàn chỉnh.
1.17
Ngô Công Thắng Bài giảng Cấu trúc dữ liệu và giải thuật 2 - Chương 01
2.1.2. Tính chất
l Số lượng tối đa các nút ở mức i trên 1 cây 
nhị phân là 2(i-1) (i³1).
l Số lượng tối đa các nút trên 1 cây nhị 
phân có chiều cao h là 2h – 1.
1.18
Ngô Công Thắng Bài giảng Cấu trúc dữ liệu và giải thuật 2 - Chương 01
2.2. Lưu trữ cây nhị phân
2.2.1. Lưu trữ kế tiếp
l Với cây nhị phân đầy đủ, ta đánh số các 
nút từ 1 trở đi, từ trái qua phải, hết mức 
này đến mức khác.
l Dùng véc tơ V lưu trữ cây nhị phân, nút thứ 
i của cây được lưu trữ ở ô nhớ V[i]. Ví dụ:
1.19
Ngô Công Thắng Bài giảng Cấu trúc dữ liệu và giải thuật 2 - Chương 01
2.2.1. Lưu trữ kế tiếp (tiếp)
l Với cách lưu trữ bằng mảng, khi biết địa
chỉ của nút cha sẽ tính được địa chỉ của
nút con và ngược lại. Nếu nút cha là i thì
con trái là 2i và con phải là 2i+1. Nếu nút
con là i thì nút cha là [i/2].
l Nếu cây không đầy đủ ta phải thêm các
nút trống vào để đươc cây nhị phân đầy
đủ, sau đó lưu trữ cây đầy đủ đã tạo ra.
1.20
Ngô Công Thắng Bài giảng Cấu trúc dữ liệu và giải thuật 2 - Chương 01
Ví dụ
1.21
Ngô Công Thắng Bài giảng Cấu trúc dữ liệu và giải thuật 2 - Chương 01
2.2.2. Lưu trữ phần tán
l Trong cách lưu trữ này, mỗi nút ứng với một 
phần tử nhớ có quy cách dưới đây.
l Để truy nhập vào các nút trong cây nhị phân cần 
có một con trỏ T trỏ vào nút gốc của cây đó.
l Người ta quy ước: Nếu cây rỗng thì T = F
1.22
Ngô Công Thắng Bài giảng Cấu trúc dữ liệu và giải thuật 2 - Chương 01
Ví dụ
1.23
Ngô Công Thắng Bài giảng Cấu trúc dữ liệu và giải thuật 2 - Chương 01
2.3. Các phép toán duyệt cây nhị phân
l Phép xử lý các nút trên cây (gọi chung là 
phép thăm - visit) là cách thăm tất cả các nút 
của cây một cách hệ thống, sao cho mỗi nút 
chỉ được thăm một lần. 
l Một nút có 2 con, ta có 3 cách duyệt, các 
cách duyệt được định nghĩa đệ quy như sau:
l Cách 1: Duyệt theo thứ tự trước (preorder 
traversal)
l Thăm gốc
lDuyệt cây con trái theo thứ tự trước
lDuyệt cây con phải theo thứ tự trước
1.24
Ngô Công Thắng Bài giảng Cấu trúc dữ liệu và giải thuật 2 - Chương 01
2.3. Duyệt cây nhị phân (tiếp)
l Cách 2: Duyệt theo thứ tự giữa (inorder 
traversal)
l Duyệt cây con trái theo thứ tự giữa
l Thăm gốc
l Duyệt cây con phải theo thứ tự giữa
l Cách 3: Duyệt theo thứ tự sau ( postorder 
traversal)
l Duyệt cây con trái theo thứ tự sau
l Duyệt cây con phải theo thứ tự sau
l Thăm gốc
1.25
Ngô Công Thắng Bài giảng Cấu trúc dữ liệu và giải thuật 2 - Chương 01
Ví dụ với cây nhị phân sau:
l Duyệt theo thứ tự trước: A B D E C F G
l Duyệt theo thứ tự giữa: D B E A F C G
l Duyệt theo thứ tự sau: D E B F G C A 
1.26
Ngô Công Thắng Bài giảng Cấu trúc dữ liệu và giải thuật 2 - Chương 01
2.3. Duyệt cây nhị phân (tiếp)
l Các thủ tục duyệt cây nhị phân đều được 
viết ở dạng đệ qui.
l Giả sử cây nhị phân lưu trữ bằng danh 
sách liên kết, T là con trỏ trỏ tới gốc, phép 
thăm là in giá trị trường Infor của nút đó.
1.27
Ngô Công Thắng Bài giảng Cấu trúc dữ liệu và giải thuật 2 - Chương 01
Duyệt cây theo thứ tự trước:
Procedure PreOrder(T)
If T = f then
Return
Else Begin
Write(Infor(T))
Call PreOrder(Lptr(T))
Call PreOrder(Rptr(T))
End;
Return
1.28
Ngô Công Thắng Bài giảng Cấu trúc dữ liệu và giải thuật 2 - Chương 01
Duyệt cây theo thứ tự giữa:
Procedure InOrder(T)
If T = f then Begin
Return
End
Else Begin
Call InOrder(Lptr(T))
Write(Infor(T))
Call InOrder(Rptr(T))
End;
Return
1.29
Ngô Công Thắng Bài giảng Cấu trúc dữ liệu và giải thuật 2 - Chương 01
Duyệt cây theo thứ tự sau:
Procedure PostOrder(T)
If T = f then Begin
Return
End
Else Begin
Call PostOrder(Lptr(T))
Call PostOrder(Rptr(T))
Write(Infor(T))
End;
Return
1.30
Bài tập
l Bài 1:
l Xây dựng cây nhị phân biểu diễn biểu thức: 
(a+b/c)*(d-e*f)
l Vẽ sơ đồ lưu trữ cây nhị phân biểu diễn biểu
thức ở dạng lưu trữ kế tiếp, lưu trữ liên kết.
l Cho biết thứ tự các nút khi duyệt cây nhị phân
đó theo 3 cách.
Ngô Công Thắng Bài giảng Cấu trúc dữ liệu và giải thuật 2 - Chương 01 1.31
Ngô Công Thắng Bài giảng Cấu trúc dữ liệu và giải thuật 2 - Chương 01
Bài tập (tiếp)
Bài 2. Cho cây nhị phân dưới đây. Hãy
l Vẽ sơ đồ lưu trữ cây nhị phân ở dạng lưu trữ kế tiếp và lưu trữ 
liên kết
l Cho biết thứ tự các nút khi duyệt cây nhị phân đó theo 3 cách.
1.32
Ngô Công Thắng Bài giảng Cấu trúc dữ liệu và giải thuật 2 - Chương 01
3. Cây tổng quát
l Cây tổng quát là cây có cấp m nào đó.
l Nếu biểu diễn cây tổng quát bằng danh sách 
liên kết thì một nút có bao nhiêu nhánh sẽ có 
bấy nhiêu trường liên kết, cách biểu diễn này 
phức tạp. Nếu biểu diễn cây bằng mảng thì quá 
trình xử lý cũng rất phức tạp.
l Để đơn giản ta biểu diễn cây tổng quát bằng cây 
nhị phân. Ta nhận thấy với bất kỳ nút nào trên 
cây tổng quát nếu có thì chỉ có:
l Một nút con cực trái (con cả)
l Một nút em kề cận phải
1.33
Ngô Công Thắng Bài giảng Cấu trúc dữ liệu và giải thuật 2 - Chương 01
3. Cây tổng quát
l Khi chuyển sang cây nhị phân tương đương, 
mỗi nút có con trái là con cực trái, con phải là 
em kề cận phải.
l Mỗi nút của cây tổng quát có có qui cách như 
sau:
1.34
Ngô Công Thắng Bài giảng Cấu trúc dữ liệu và giải thuật 2 - Chương 01
Ví dụ:
Cây tổng quát
Cây nhị phân 
tương đương
1.35
Ngô Công Thắng Bài giảng Cấu trúc dữ liệu và giải thuật 2 - Chương 01
3. Cây tổng quát
l Sau khi chuyển thành cây nhị phân tương 
đương ta có thể lưu trữ cây tổng quát 
bằng danh sách liên kết.
l Duyệt cây tổng quát sử dụng các phép 
duyệt cây nhị phân tương đương.
1.36
Ngô Công Thắng Bài giảng Cấu trúc dữ liệu và giải thuật 2 - Chương 01
4. Ứng dụng
4.1. Cây biểu diễn biểu thức
l Biểu thức số học với các phép toán 2 ngôi như 
+ - * / có thể biểu diễn bởi cây nhị phân có các 
nút với quy cách như sau:
1.37
Ngô Công Thắng Bài giảng Cấu trúc dữ liệu và giải thuật 2 - Chương 01
4.1. Cây biểu diễn biểu thức (tiếp)
l Nếu không phải nút lá thì giá trị của TYPE sẽ là 1, 2, 3, 
4, 5 ứng với các phép +, - , *, /, q (đổi dấu).
l Nếu là nút lá thì TYPE có giá trị là 0 để chỉ biến hoặc 
hằng tương ứng với nút đó, còn RPTR trỏ tới địa chỉ 
trong bảng ký hiệu của biến hoặc hằng và LPTL = Null.
l Ta kí hiệu Value(F) là giá trị ô F
l E là con trỏ trỏ tới gốc cây.
l F là con trỏ phụ.
1.38
Ngô Công Thắng Bài giảng Cấu trúc dữ liệu và giải thuật 2 - Chương 01
Ví dụ: Biểu diễn biểu thức a*b+c/2 
bằng cây nhị phân sau:
1.39
Ngô Công Thắng Bài giảng Cấu trúc dữ liệu và giải thuật 2 - Chương 01
4.2. Định giá trị biểu thức
l Thuật giải định giá trị biểu thức biểu diễn bởi cây nhị phân có gốc E. 
Thuật giải này được viết dưới dạng đệ quy:
Function EVAL(E)
Case 
TYPE(E)=0: Begin F:=RPTR(E)
Return(Value(F))
End
TYPE(E)=1: Return ( EVAL(LPTR(E))+EVAL(RPTR(E)))
TYPE(E)=2: Return ( EVAL(LPTR(E))-EVAL(RPTR(E)))
TYPE(E)=3: Return ( EVAL(LPTR(E))*EVAL(RPTR(E)))
TYPE(E)=4: Return ( EVAL(LPTR(E))/EVAL(RPTR(E)))
TYPE(E)=5: Return ( - EVAL(RPTR(E)))
Else Return(00)
End case
Return
1.40
Ngô Công Thắng Bài giảng Cấu trúc dữ liệu và giải thuật 2 - Chương 01
4.3. Xác định 2 biểu thức tương đương
l Cho 2 cây nhị phân biểu diễn biểu thức trỏ 
bởi A, B. Hàm xác định 2 biểu thức tương 
đương Similar cho giá trị True nếu 2 biểu 
thức tương đương, ngược lại cho giá trị 
False.
1.41
Ngô Công Thắng Bài giảng Cấu trúc dữ liệu và giải thuật 2 - Chương 01
Hàm Similar
Function Similar(A,B)
Bước 1 { Kiểm tra loại gốc cây}
If TYPE(A)# TYPE(B) then Return(False)
Bước 2 { Kiểm tra tính tương đương }
Case 
TYPE(A)=0 : If Value(RPTR(A)) # Value(RPTR(B)) then Return(False)
Else Return(True)
TYPE(A)=1 OR TYPE(A)=3 : { Phép + hoặc * }
Begin 
Return (Similar( LPTR(A), LPTR(B)) AND
Similar(RPTR(A), RPTR(B)) OR
Similar( LPTR(A), RPTR(B)) AND
Similar(RPTR(A), LPTR(B)))
TYPE(A)=2 OR TYPE(A)=4 : { Phép - hoặc / }
Begin 
Return (Similar( LPTR(A), LPTR(B)) AND
Similar(RPTR(A), RPTR(B)))
TYPE(A)=5 : { Phép đảo dấu }
Return (Similar(RPTR(A), RPTR(B)))
End Case
Retun
1.42
Ngô Công Thắng Bài giảng Cấu trúc dữ liệu và giải thuật 2 - Chương 01
BTVN
l Xây dựng cây nhị phân biểu diễn biểu 
thức sau: a/b - c*d
l Viết giả mã tính giá trị của biểu thức trên.
1.43