Vận dụng phương pháp mô hình hóa trong giảng dạy học phần Đại số sơ cấp ngành Sư phạm Toán

ển đổi từ tình huống thực tế đến yêu cầu của tình huống thực tế. 
 27
Chuyên san Khoa học Xã hội và Nhân văn
 2. Cơ sở lý thuyết và một số hoạt động Bước 3: Sử dụng công cụ toán học để giải 
dạy học minh họa quyết bài toán hình thành trong bước 2. 
 2.1. Các quy trình hoạt động mô hình hóa Bước 4: Phân tích và kiểm định lại kết quả 
 Theo các tác giả Blum và LeiB (2006), sơ đạt được trong bước 3, nếu kết quả không phù 
đồ mô hình hóa gồm 7 bước sau: hợp thì phải thực hiện lại quy trình. 
 Bước 1: Hiểu tình huống đặt ra, xây dựng Có thể nhận định rằng phương pháp dạy học 
mô hình cho tình huống đó; bằng mô hình hóa của của tác giả Lê Thị Hoài 
 Bước 2: Đơn giản hóa tình huống đưa vào Châu là dạng rút gọn của mô hình 7 bước của 
các biến phù hợp để được mô hình thực của các tác giả Blum và LeiB. 
tình huống; Tóm lại, quá trình dạy học bằng mô hình 
 Bước 3: Chuyển từ mô hình thực sang mô hóa, hay viết ngắn gọn là quá trình mô hình hóa, 
hình toán; gồm các bước thực hiện như sau: 
 Bước 4: Sử dụng các công cụ toán học để Bước 1: Nghiên cứu tình huống thực tế, 
tìm lời giải cho mô hình toán; xác định dữ liệu đầu vào và kết quả đầu ra cần 
 Bước 5: Thể hiện kết quả trong ngữ cảnh đạt được; 
thực tế; Bước 2: Chuyển vấn đề từ tình huống thực 
 Bước 6: Xem xét tính phù hợp của kết quả, tế đã nghiên cứu thành một mô hình toán; 
nếu kết quả không phù hợp phải quay trở lại bước Bước 3: Sử dụng các kiến thức toán để tìm 
2 để xem xét mô hình; lời giải cho tình huống;
 Bước 7: Trình bày cách giải quyết cho tình Bước 4: Đánh giá lại kết quả đạt được từ 
huống. mô hình và hiệu chỉnh mô hình cho phù hợp với 
 Theo tác giả Nguyễn Thị Tân An (2012), yêu cầu đặt ra của tình huống. 
bước thứ nhất trong quá trình mô hình hóa là 2.2. Tổ chức các hoạt động dạy học cụ thể
xuất phát từ tình huống thực tế, trong đó tình Học phần Đại số sơ cấp cung cấp cho sinh 
huống phải thích hợp đối với đối tượng người viên năm nhất hệ đại học các kiến thức về phương 
học và phù hợp với kiến thức toán mà người học trình và hệ phương trình, bất phương trình và hệ 
đã biết. Sau đó, giảng viên cần cụ thể hóa tình bất phương trình, hàm số và đồ thị hàm số. Đây 
huống, xây dựng được mô hình toán thể hiện rõ là các kiến thức gần với toán phổ thông, giúp sinh 
mối liên hệ giữa tình huống thực tế và toán học, viên ôn tập và hệ thống lại các kiến thức đại số 
trong đó cụ thể các biến, mối quan hệ giữa các của chương trình toán bậc trung học phổ thông. 
biến và các nội dung toán học cần thiết để tìm ra Mặc dù đây là các kiến thức toán sơ cấp nhưng 
lời giải hợp lý cho mô hình. chúng rất gần gũi với các tình huống thực tiễn, 
 Tác giả Lê Thị Hoài Châu (2014) nhận định đồng thời là nguồn tư liệu phong phú để giảng 
rằng phương pháp dạy học bằng mô hình hóa có viên có thể vận dụng mô hình toán học trong các 
thể được tóm tắt qua bốn bước có mối quan hệ bài toán thực tế, giúp sinh viên hiểu rõ hơn mối 
mật thiết với nhau như sau: quan hệ mật thiết giữa toán học và hoạt động thực 
 Bước 1: Xây dựng mô hình mô phỏng thực tiễn cuộc sống. Ngoài ra, dựa trên các mô hình 
tiễn của vấn đề, trong đó xác định rõ dữ liệu đầu toán học đơn giản, giảng viên cùng với sinh viên 
vào và kết quả đầu ra cần đạt được. có thể xây dựng và phát triển các mô hình phức 
 Bước 2: Xây dựng mô hình toán học cho vấn tạp hơn có liên quan. 
đề đang xét, tuy nhiên trong nhiều trường hợp với Ví dụ 1. Một nhà hàng bán thức ăn nhanh, 
cùng một vấn đề xem xét, có thể xác định được mở cửa từ 8 giờ sáng đến 22 giờ tối. Người quản 
nhiều mô hình khác nhau. lý của nhà hàng muốn thuê nhân viên phục vụ 
28
 Tạp chí Khoa học Đại học Đồng Tháp, Tập 10, Số 1, 2021, 26-32
theo 2 ca, ca sáng trưa từ 8 giờ đến 15 giờ và ca Tiền lương trả cho nhân viên phục vụ ca 
chiều tối từ 15 giờ đến 22 giờ. Tiền lương của chiều tối là:
nhân viên phục vụ được tính theo giờ, mỗi giờ là 
 Qyyy 20000uuuu 3 30000 4 180000 .
20.000 đồng. Do lượng khách đến nhà hàng vào 1
chiều tối thường rất đông, nên nhân viên phục Tổng tiền lương trả cho nhân viên trong 
vụ từ 18 giờ đến 22 giờ được tiền phụ cấp tăng ngày là: 
thêm 10.000 đồng/giờ. Theo tình hình thực tế, Qxy üüüüüü 
nhà hàng cần ít nhất 4 nhân viên và không quá 6 
nhân viên phục vụ vào ca sáng trưa và số nhân Như vậy, sinh viên xây dựng được một mô 
viên phục vụ vào ca chiều tối thường tối thiểu hình toán đơn giản là tìm max và min của đại 
phải gấp đôi số nhân viên ca sáng trưa và không lượng Qxy 140000 180000 với điều kiện 
quá 16 nhân viên. Ngoài ra, theo quy định của 4 d x d 6; 2 x d y d 16; 4  x + y d 18 
nhà hàng thì tổng số nhân viên phục vụ trong mỗi Bước 3: Sử dụng công cụ toán học để tìm 
ngày không quá 18 nhân viên. lời giải
 Em hãy giúp người quản lý nhà hàng tìm ra Đối với ví dụ này, sinh viên có thể dùng 
số lượng nhân viên phục vụ cần tuyển trong ca nhiều cách để tìm ra lời giải cho bài toán. 
sáng trưa và ca chiều tối để số tiền lương phải trả Cách 1: Sử dụng kiến thức hàm số
mỗi ngày là ít nhất. Trong trường hợp nào thì số 
tiền lương phải trả cho nhân viên phục vụ trong Sinh viên xem Qxy 140000 180000 là 
ngày là nhiều nhất. hàm số theo hai biến x, y đây là hàm tuyến tính 
 Giảng viên có thể hướng dẫn sinh viên xây và đồng biến theo hai biến x, y. Vì thế Q đạt giá 
dựng mô hình toán học từ tình huống đã nêu theo trị nhỏ nhất nếu x, y là nhỏ nhất. 
các bước sau: Do đó, từ dữ liệu về mối quan hệ giữa x, 
 Bước 1. Phân tích tình huống thực tế, xác y suy ra với x = 4, y = 8 thì tiền lương trả cho 
định dữ liệu đầu vào và kết quả đầu ra cần nhân viên phục vụ là ít nhất Q = 2000000 (đồng).
đạt được Ngoài ra, sinh viên có thể nhận xét tiền 
 Dữ liệu đầu vào là mối quan hệ giữa số lương trả nhiều nhất khi số nhân viên phục vụ 
lượng nhân viên phục vụ các ca với số nhân viên mà nhà hàng thuê là nhiều nhất, tương ứng với 
tối thiểu, tối đa trong mỗi ca và tổng số nhân viên 18 người. Khi đó, xảy ra các trường hợp sau:
trong một ngày mà nhà hàng có thể sử dụng. Trường hợp 1: x = 4, y = 14 thì Q = 3080000 
 Khi đó 4 d x d 6, 2 x d y d 16, 4  x + (đồng);
y d 18 với x, y lần lượt là số lượng nhân viên Trường hợp 2: x =5, y = 13 thì Q = 3040000 
phục vụ mà nhà hàng sử dụng trong ca sáng trưa thì (đồng);
và ca chiều tối. Trường hợp 3: x = 6, y = 12 thì Q = 3000000 
 Kết quả đầu ra cần có là số tiền lương trả thì (đồng).
cho nhân viên phục vụ ít nhất và nhiều nhất là Vậy trường hợp nhà hàng phải thuê 4 nhân 
bao nhiêu? viên phục vụ ca sáng trưa và 14 nhân viên phục 
 Bước 2: Xây dựng mô hình toán học dựa vụ ca chiều tối thì phải trả tiền lương cao nhất. 
vào tình huống thực tế Bên cạnh việc sử dụng tính chất đồng biến 
 Tiền lương trả cho nhân viên phục vụ ca của hàm số, giảng viên có thể gợi ý cho sinh viên 
sáng trưa là: sử dụng kiến thức tìm cực trị của hàm số, từ đó 
 xác định giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của Q(x,y). 
 Qxx üüüüüüuu 
 1 Cách 2: Sử dụng kiến thức hệ bất phương 
 29
Chuyên san Khoa học Xã hội và Nhân văn
trình bậc nhất hai ẩn, toán lớp 10 chương trình Q(x,y) = 2000000 (đồng) đạt tại đỉnh A(4; 8).
phổ thông. Bước 4. Kiểm tra lại tính phù hợp kết 
 Với x,y lần lượt là số lượng nhân viên phục quả của mô hình toán với tình huống thực tế 
vụ mà nhà hàng sử dụng trong ca sáng trưa và và cải tiến mô hình
ca chiều tối. Tập nghiệm của bài toán trong tình Giảng viên cho sinh viên lập bảng tính toán 
huống trên phải thỏa hệ bất phương trình bậc tất cả các trường hợp mà nhà hàng cần trả lương 
nhất hai ẩn sau: cho nhân viên (Bảng 1).
 Bảng 1. Các trường hợp mà nhà hàng cần trả 
 lương cho nhân viên phục vụ
 ­46ddx
 ° Tổng 
 ®216.xydd Lương 
 Số nhân Lương lương 
 °418dxy Số nhân trả nhân 
 ¯ viên ca trả nhân trả nhân 
 viên ca viên ca 
 sáng viên ca viên 
 chiều tối sáng 
 Dựa vào tập nghiệm của hệ bất phương trưa chiều tối trong 
 (người) trưa 
trình trên, sinh viên tìm giá trị max và min của (người) (đồng) 1 ngày 
 (đồng)
biểu thức (đồng)
 Q(x,y) = 140000x + 180000y. 4 8 560000 1440000 2000000
 4 9 560000 1620000 2180000
 Sinh viên vẽ các đường thẳng (d1): x = 4, 
 4 10 560000 1800000 2360000
(d2): x = 6; (d3): y = 2x; (d4): x + y = 18, khi đó 
xác định được các đỉnh của tam giác A(4; 8); B(4; 4 11 560000 1980000 2540000
14); C(6; 12) (Hình 1). 4 12 560000 2160000 2720000
 4 13 560000 2340000 2900000
 4 14 560000 2520000 3080000
 5 10 700000 1800000 2500000
 5 11 700000 1980000 2680000
 5 12 700000 2160000 2860000
 5 13 700000 2340000 3040000
 6 12 840000 2160000 3000000
 Như vậy kết quả mô hình toán là phù hợp 
 với thực tế, giảng viên có thể cho sinh viên vẽ đồ 
 thị để thấy được sự biến thiên của hàm số. Ngoài 
 Hình 1. Giao điểm các đường thẳng tạo nên ra, giảng viên có thể đưa thêm các yếu tố khác 
 miền tính toán ứng với Ví dụ 1 về chi phí, lợi nhuận, giá bán của sản phẩm để 
 Sinh viên tính lần lượt các giá trị Q(x,y) = phát triển thêm mô hình đơn giản này. 
140000x + 180000y tại các đỉnh này tìm được Ví dụ 2. Một trạm thủy văn cung cấp dữ liệu 
giá trị lớn nhất Q(x,y) = 3080000 (đồng) đạt thực đo về lưu lượng và mực nước trong 12 giờ 
tại đỉnh B(4; 14) trong khi giá trị nhỏ nhất là theo số liệu sau: 
 Giờ123456789101112
 Mực nước 
 1.86 1.89 1.90 1.89 1.88 1.86 1.83 1.82 1.82 1.83 1.88 1.96
 (m)
 Lưu lượng 
 6920 6970 6990 6970 6990 6960 6910 6890 6890 6870 6910 7030
 (m3/s)
30
 Tạp chí Khoa học Đại học Đồng Tháp, Tập 10, Số 1, 2021, 26-32
 Bạn sinh viên A nhận định rằng giá trị mực Sinh viên có thể vẽ đồ thị về lưu lượng và 
nước và lưu lượng trong 12 giờ này là cùng pha, mực nước 12 giờ để quan sát. 
tức là cùng tăng và cùng giảm và có quan hệ Giảng viên cho sinh viên tính giá trị logarit 
tuyến tính. tự nhiên ln(Q) với Q là lưu lượng và ln(H) với H 
 Theo em, nhận định của bạn sinh viên đó là là mực nước làm tròn đến hai chữ số thập phân, 
đúng hay sai? Tại sao? mục tiêu làm giảm các giá trị lưu lượng và mực 
 Giảng viên lần lượt hướng dẫn sinh viên tìm nước để dễ so sánh. 
hiểu vấn đề qua các bước sau: Để kiểm tra nhận định bạn sinh viên A 
 Bước 1. Phân tích tình huống thực tế, xác đúng hay sai, giảng viên yêu cầu sinh viên thử 
định dữ liệu đầu vào và kết quả đầu ra cần tìm mối liên hệ của ln(Q) và ln(H) theo dạng 
đạt được ln(Q) = a ln(H) + b với a, b là các hằng số cần tìm. 
 Dữ liệu đầu vào là giá trị mực nước, lưu Bước 3: Sử dụng công cụ toán học để tìm 
lượng trong 12 giờ của trạm thủy văn. lời giải
 Dữ liệu đầu ra là xác định mối quan hệ giữa Sinh viên dự đoán kết quả bằng các công cụ 
hai đại lượng này khi lưu lượng tính bằng (m3/s) và hồi quy như Excel, R sau đó áp dụng kiến thức 
mực nước tính bằng (m). hồi quy tuyến tính, trong đó có việc giải trực tiếp 
 Bước 2: Xây dựng mô hình toán học dựa hệ phương trình bậc nhất hai ẩn để tìm lại các giá 
vào tình huống thực tế trị a, b thỏa ln(Q) = a ln(H) + b
 Bảng 2. Mối quan hệ giữa lưu lượng và mực nước dựa trên số liệu đo đạc
 Giờ H Q ln(H) ln(Q) z = 0.2955*ln(H) + 8.6606
 1 1.86 6920 0.621 8.842 8.844
 2 1.89 6970 0.637 8.849 8.849
 3 1.9 6990 0.642 8.852 8.850
 4 1.89 6970 0.637 8.849 8.849
 5 1.88 6990 0.631 8.852 8.847
 6 1.86 6960 0.621 8.848 8.844
 7 1.83 6910 0.604 8.841 8.839
 8 1.82 6890 0.599 8.838 8.838
 9 1.82 6890 0.599 8.838 8.838
 10 1.83 6870 0.604 8.835 8.839
 11 1.88 6910 0.631 8.841 8.847
 12 1.96 7030 0.673 8.858 8.859
 Từ Bảng 2, sinh viên có thể nhận thấy Vậy nhận định của sinh viên A là đúng vì 
ln(Q )| 0.2955*ln ( H )  8.6606. các giá trị của ln(Q) và z khi tính làm tròn đến ba 
 chữ số thập phân thì rất gần với nhau. Biểu đồ so 
 Bước 4: Kiểm tra lại tính phù hợp kết sánh giá trị của hai đại lượng này cũng cho thấy 
quả của mô hình toán với tình huống thực tế sự cùng pha và sự chênh lệch về giá trị không 
và cải tiến mô hình nhiều (Hình 2).
 Sinh viên vẽ đồ thị thể hiện mối quan hệ giữa Đây là mô hình toán học đơn giản với số liệu 
ln(Q) và z khi làm tròn ba chữ số thập phân. đo đạc thực tế tương đối ít, giảng viên và sinh 
 31
Chuyên san Khoa học Xã hội và Nhân văn
viên có thể sử dụng các phần mềm chuyên dụng trong nghiên cứu mô hình. Để phát triển hoạt 
để nghiên cứu các trường hợp phức tạp hơn với động dạy học bằng mô hình hóa, giảng viên và 
số liệu đo đạc trong nhiều tháng, năm. Ngoài ra, sinh viên phải tìm hiểu sâu về các tình huống có 
sinh viên có phát triển mô hình bằng cách xây liên quan đến toán học trong cuộc sống và đồng 
dựng công thức tính lưu lượng tại một giờ cụ thể thời phát triển các mô hình dạy học có sẵn./. 
khi biết mực nước tại thời điểm đó, xác định được Tài liệu tham khảo
sai số giữa kết quả dự báo và kết quả thực tế. 
 Blum, W. and LeiB, D. (2006). How do students 
 8.865 and teachers deal with modeling problem?, 
 In (Q) ___
 * ___
 8.86 z= 0.955 In(H)+8.6606 Mathematical modeling (ICTMA12): 
 8.855 Education, Engineering and Economics. 
 Chichester: Horwood Publishing, 222- 231. 
 8.85
 8.845 Blum, W. and Niss. M. (1991). Applied 
 8.84 mathematical problem solving, modelling 
 applications and links to other subjects 
 8.835
 - State, trend and issues in mathematics 
 8.83
 0 2 4 6 8 10 12 14 Educational studies in mathematics, (22), 
 Hour 33 - 68. 
 Hình 2. So sánh giá trị của ln(Q) Edwards, D., Hamson, M. J. (2001). Guide to 
 và giá trị z trong 12 giờ
 mathematical modelling. Second edition, 
 3. Kết luận London Palgrave Mathematical Guides. 
 Tóm lại dạy học bằng phương pháp mô Kai Velten. (2009). Mathematical modelling and 
hình hóa không những giúp sinh viên hiểu rõ simulation. Wiley - VCH Verlag, Weinhem. 
hơn mối quan hệ mật thiết giữa toán học và hoạt Lê Thị Hoài Châu. (2014). “Mô hình hóa trong 
động thực tiễn trong cuộc sống mà còn giúp sinh dạy học khái niệm đạo hàm”. Tạp chí Khoa 
viên nâng cao năng lực tư duy, phản biện và khả học Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí 
năng giải quyết vấn đề. Ngoài ra, sử dụng thành Minh, (65), 8-15. 
thạo phương pháp mô hình hóa sẽ góp phần đáng 
 Nguyễn Thị Tân An. (2012). “Sự cần thiết của 
kể khi nghiên cứu các vấn đề phức tạp trong tự 
 mô hình hóa trong dạy học Toán”. Tạp chí 
nhiên cũng như hoạt động thực tiễn, góp phần 
 Khoa học Đại học Sư phạm Thành phố Hồ 
quan trọng đối với công tác dự báo. 
 Chí Minh, (37), 114-122.
 Các kiến thức toán học sơ cấp và nâng cao 
 Swetz, F., Hartzler, J. S. (Eds). (1991). 
đều có thể được sử dụng linh hoạt trong quá trình 
 Mathematical modelling in the secondary 
nghiên cứu mô hình tìm lời giải cho các bài toán 
 school curriculum. Reston, VA: National 
thực tế. Ngoài ra, trong xu hướng phát triển của 
 Council teacher of mathematics. 
giáo dục hiện nay, những sinh viên sư phạm, với 
vai trò là các giáo viên tương lai cần trang bị đầy Weiner Blum and Peter L. Galbraith. (2007). 
đủ các kiến thức chuyên môn và nghiệp vụ, trong Modelling and Application in mathematics 
 th
đó có kỹ năng mô hình hóa và sử dụng kiến thức educations. The 14 ICMI Study, Springer. 
về công nghệ thông tin, phần mềm chuyên dụng 
32