Ứng dụng phương trình sai phân trong giảng dạy một số mô hình kinh tế cho sinh viên khối ngành Kinh tế tại trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật thành phố Hồ Chí Minh

1 và |r2 | 1. 
3. Một số mô hình kinh tế 
3.1. Một số mô hình ứng dụng phương trình sai phân cấp 1 
3.1.1. Một số ví dụ trong kinh tế vĩ mô 
 a) Lượng tiêu thụ có tính trễ (Sampson, 2005) 
 Giả sử rằng Yt là tổng thu nhập của một nền kinh tế (GNP), Ct là lượng tiêu thụ của 
dân cư, It là lượng đầu tư và Gt là chi tiêu của chính phủ thỏa mãn: 
 YCIGt= t + t + t . 
 Cả đầu tư và chi tiêu của chính phủ đều là hằng số sao cho 
 II= ,
 t 0 
 GGt = 0
trong đó IG00, là các hằng số. Lượng tiêu thụ phụ thuộc vào mức thu nhập có tính trễ một 
giai đoạn thông qua hàm tiêu thụ 
 Ctt= C01 + cY− , 0 c 1 
trong đó c là xu hướng tiêu dùng biên tế. Điều này dẫn đến 
 Ytt=( C0 + I 0 + G 0 ) + cY − 1 . (3.1) 
chính là một phương trình sai phân tuyến tính cấp một. 
 Giá trị cân bằng của GNP là 
 CIG++
 Y * = 0 0 0 . 
 1− c
Nền kinh tế ổn định vì 01  =c . Nghiệm của phương trình (3.1) là 
 510 
 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Nguyễn Quang Huy 
 CIGCIGCIG0+ 0 + 0t 0 + 0 + 0t→ 0 + 0 + 0
 Yt = + c Y0 − ⎯⎯⎯→ .
 1−c 1 − c 1 − c 
 Sau đây chúng tôi khảo sát trường hợp mức thu nhập có tính trễ và trường hợp lượng 
tiêu thụ và mức thu nhập có tính trễ. 
 b) Mức thu nhập có tính trễ 
 Giả sử rằng Dt là tổng cầu của một nền kinh tế (GNP), Yt là tổng sản phẩm quốc dân, 
Ct là lượng tiêu thụ của dân cư, It là lượng đầu tư và Gt là chi tiêu của chính phủ thỏa mãn 
 DCIGt= t + t + t , 
 II= ,
 t 0 
 GGt = 0 ,
 Ctt= C01 + cY− , 0 c 1, 
 YYDY− =( − ),0 1.
 t t−−11 t t 
 Ta có 
  1− 
 YIGCYtt= (0 + 0 + 0 ) + − 1 . (3.2)
 11−−cc 
 Mức thu nhập cân bằng là 
 CIG++
 Y * = 0 0 0 .
 1− c 
 1− 
 Nền kinh tế ổn định vì 01  = . Nghiệm của phương trình (3.2) là 
 1− c
 t
 CIGCIGCIG0+ 0 + 0 1−  0 + 0 + 0t→ 0 + 0 + 0
 YYt = + 0 − ⎯⎯⎯→ . 
 1−c 1 − c 1 − c 1 − c
 c) Lượng tiêu thụ và mức thu nhập có tính trễ 
 DCIGt= t + t + t ,
 C= C + cY,0 c 1,
 tt01− 
 YYDYt− t−−11 =( t − t ),0 1.
 Ta có 
 Ytt=( C0 + I 0 + G 0 ) +( 1 − (1 − c )) Y − 1 . (3.3)
 Mức thu nhập cân bằng là 
 CIG++
 Y * = 0 0 0 .
 1− c 
 Nền kinh tế ổn định vì 0  = 1 − (1 −c ) 1. Nghiệm của phương trình (3.3) là 
 511 
Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Tập 18, Số 3 (2021): 508-520 
 CIGCIGCIG0+ 0 + 0t 0 + 0 + 0t→ 0 + 0 + 0
 Yt = +(1 − (1 − c )) Y0 − ⎯⎯⎯→ . 
 1−c 1 − c 1 − c
 d) Mô hình ổn định Phillips đơn giản (Ferguson , Lim, 2003)
 Ta xét mô hình sau 
 YCIGt= t + t + t ,
 Ctt= C01 + cY− ,0 c 1,
 IIt = 0 ,
 p 
 GGGtt=+0 ,
 pF
 GYYtt=( −−1 ), 0
 p F
trong đó, Gt là thành phần chính sách tài khóa của chi tiêu chính phủ, Y là thu nhập đầy 
đủ và  là hệ số điều chỉnh tốc độ. 
 Ta có 
 Y=( C + I + G + YF ) + ( c − ) Y . (3.4)
 tt0 0 0− 1 
 Mức thu nhập cân bằng là 
 CIGY+ + +  F
 Y * = 0 0 0 . 
 1−+c 
 Nghiệm của phương trình là 
 FF
 CIGYCIGY0+ 0 + 0 +t 0 + 0 + 0 +
 Yt = +( c −) Y0 − .
 11−cc + − + 
 Tính ổn định đòi hỏi  +c 1. Khi đó 
 CIGY+ + +  F
 Y ⎯⎯⎯→t→ 0 0 0 . 
 t 1−+c 
3.1.2. Mô hình Cob – Web (Sampson, 2005) 
 s
 Giả sử rằng lượng cung Qt phụ thuộc vào giá của sản phẩm tại một giai đoạn trước 
 d
chứ không phải là giá hiện tại. Giả sử rằng lượng cầu Qt phụ thuộc vào giá sản phẩm hiện 
tại. Khi đó ta có 
 Qd =− a bP,
 tt 
 s
 Qtt= c + dP−1 , ( b , d 0, c a )
 d s
trong đó, Qt là lượng cầu, Qt là lượng cung và Pt là giá tại thời điểm t. 
 Thị trường cân bằng khi và chỉ khi 
 ds
 QQtt= . 
 Ta được 
 512 
Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Nguyễn Quang Huy 
 a− c d
 PP=−. (3.5) 
 ttbb−1
 Giá cân bằng là 
 ac−
 P* = 
 bd+
và giá tại thời điểm t là 
 t
 ** d
 PPPPt = + −(0 − ). 
 b
 Tính ổn định đòi hỏi rằng db hay hệ số góc của đường cong cung sẽ nhỏ hơn hệ số 
góc của đường cong cầu. Khi đó 
 t→ ac−
 Pt ⎯⎯⎯→ .
 bd+ 
 Sau đây, chúng tôi khảo sát mô hình tổng quát hơn là mô hình cân bằng thị trường với 
kì vọng giá.
3.1.3. Mô hình cân bằng thị trường với kì vọng giá 
 Ta xét mô hình thị trường biểu diễn bởi hệ phương trình sau đây 
 ds
 QQtt= ,
 d
 Qtt= a − bP, ( b , d 0, c a , 0  1)
 Qs =+ c dP ,
 tt−1 
 PPPPt= t−1 +() t − 1 − t − 1
trong đó, Pt là kì vọng giá tại thời điểm t . 
 Ta giải được 
 bd( −+ 1) 
 Ptt=( a − c ) − P−1 . (3.6) 
 bb
 Nghiệm của phương trình (3.6) là 
 t
 a− c b( − 1) + d a − c 
 PPt = + − 0 − . 
 b++ d b b d 
 Điều này dẫn đến 
 t
 a− c d b( − 1) + d a − c 
 PPt = − − 0 − . 
 b++ d b b b d 
 Tính ổn định của phương trình (3.6) đòi hỏi 
 b(−+ 1) d 2 b
 −1 − 1  .
 b b+ d 
 Khi đó 
 513 
Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Tập 18, Số 3 (2021): 508-520 
 ac−
 P ⎯⎯⎯→t→ .
 t bd+ 
 Nhận xét: Khi  = 1 thì mô hình trên trở thành mô hình Cob – Web. Vậy mô hình Cob 
– Web là một trường hợp riêng của mô hình trên. 
3.1.4. Mô hình thị trường có hàng hóa tồn đọng (Chiang) 
 Xét mô hình sau đây: 
 d
 Qtt=− a bP,
 s
 Qtt=+ c dP , 
 (b , d 0, c a ).
 Lượng điều chỉnh giá từ thời kì này sang thời kì khác tỉ lệ với lượng dư cầu 
 P− P = k( Qds − Q ) ( k 0).
 t+1 t t t 
 Ta giải được 
 P= k( a − c ) + (1 − k ( b + d )) P . (3.7)
 tt+1 
 Điều này dẫn đến 
 P= k( a − c ) + [1 − k ( b + d )] P .
 tt−1 
 Nghiệm của phương trình (3.7) là 
 a−− ct a c
 Pt = +[1 − k ( b + d )] P0 − . 
 b++ d b d
 Phương trình (3.7) ổn định khi và chỉ khi 
 2
 −1 1 −k ( b + d ) 1 k . 
 bd+
3.1.5. Mô hình Harrod– Domar (Le, 2010) 
 Mô hình Harrod – Domar được dùng để giải thích sự tăng trưởng của nền kinh tế. Gọi 
Yt là thu nhập, St là tiết kiệm tỉ lệ với thu nhập tại cùng thời điểm. 
 S= sY(0 s 1) .
 tt 
 Lượng đầu tư It là 
 I= k( Y − Y ), k 0, k s .
 t t t−1 
 Đầu tư It bằng tiết kiệm St tại cùng thời điểm 
 IS= .
 tt 
 Ta giải được 
 k
 YY−=0. (3.8) 
 ttks− −1
 Từ đó ta có nghiệm của phương trình (3.8) là 
 t
 k
 YYt = 0. 
 ks−
 514 
Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Nguyễn Quang Huy 
 Phương trình (3.8) ổn định khi và chỉ khi 
 ks
 −1 1 k . 
 ks− 2
3.1.6. Bài toán trả góp (internet, “Difference equations and applications in economic 
dynamics”) 
 Một người muốn mua một loại hàng hóa theo hình thức trả góp. Gọi giá trị của loại 
hàng hóa là V và P là khoản trả trước. Khoản nợ ban đầu là DVP0 =−. Theo hợp đồng vay 
nợ, khoản nợ gốc D được trả trong T giai đoạn với lãi suất của từng giai đoạn là r. Ta cần 
 0 
tính số tiền trả góp mỗi giai đoạn. 
 Ta kí hiệu giá trị của khoản trả góp mỗi giai đoạn là B. Khoản nợ còn lại cuối giai đoạn 
thứ t là 
 D=(1 + r ) D − B
 tt−1 
 Ta giải được 
 BBt
 Dt = D0 −(1 + r ) + (3.9) 
 rr
 Ta có khoản nợ cuối giai đoạn thứ T là D = 0. Phương trình (3.9) dẫn đến 
 T 
 BBT
 Dr0 −(1 + ) + = 0
 rr 
hay 
 rD
 B = 0 .
 1−+ (1r )−T 
3.2. Một số mô hình ứng dụng phương trình sai phân cấp 2 
3.2.1. Mô hình thu nhập quốc dân với nhân tử tăng tốc Samuelson (Sampson, 2005) 
 Giả sử rằng Yt là tổng sản phẩm quốc dân của một nền kinh tế (GNP), Ct là tiêu thụ, It 
là đầu tư và Gt là chi tiêu của chính phủ thỏa mãn 
 YCIGt= t + t + t . 
 Bây giờ ta cho đầu tư thỏa mãn lí thuyết tăng tốc đầu tư sao cho 
 IIYYt=0 +( t−− 1 − t 2 ), 0. 
 Ta giữ chi tiêu của chính phủ GGt = 0 trong đó I0 và G0 là các hằng số. 
 Lượng tiêu thụ phụ thuộc vào mức thu nhập có tính trễ một giai đoạn thông qua hàm 
tiêu thụ 
 Ctt= C01 + cY− , 0 c 1 
trong đó c là xu hướng tiêu dùng biên tế. Điều này dẫn đến 
 Y=( C + I + G ) + ( c + ) Y − Y (3.10)
 t0 0 0 t−− 1 t 2 
 YYYt= + 1 t−− 1 +  2 t 2.
 515 
Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Tập 18, Số 3 (2021): 508-520 
 Phương trình trên chính là một phương trình sai phân tuyến tính cấp hai. 
 Giá trị cân bằng của GNP là 
 CIG++
 Y * ==0 0 0 . 
 11−12 − − c
 Phương trình đặc trưng là 
 r2 −( c + ) r + = 0. 
 Tính ổn định của phương trình (3.10) đòi hỏi rằng các nghiệm 
 (cc+ ) ( +  )2 − 4 
 rr, = 
 12 2
đều có giá trị tuyệt đối bé hơn 1. Điều này xảy ra khi 1. Khi đó 
 CIG++
 Y ⎯⎯⎯→t→ 0 0 0 . 
 t 1− c
3.2.2. Mô hình Cob – Web (Le, 2010). 
 Ta xét mô hình tổng quát hơn mô hình Cob – Web trong phương trình sai phân cấp 1 
ở mục 3.1.2 như dưới đây 
 d
 Qtt=− a bP,
 s
 Qt= c + d[ P t−1 − k ( P t − 1 − P t − 2 )], 
 (b , d 0, c a , − 1 k 1)
 d s
trong đó Qt là lượng cầu, Qt là lượng cung và Pt là giá tại thời điểm t. 
 Ta tìm được phương trình sai phân tuyến tính cấp 2 như sau: 
 a−− c d( k 1) dk
 PPPt= + t−−12 − t . (3.11) 
 b b b
 Giá cân bằng 
 ac−
 P* = . 
 bd+
 Phương trình đặc trưng là 
 d( k− 1) dk
 rr2 − + = 0. 
 bb
 Phương trình ổn định khi và chỉ khi phương trình đặc trưng có hai nghiệm rr, thỏa 
 12 
mãn |r | 1và |r | 1.
 1 2 
 Để xét tính ổn định của phương trình (3.11), ta xét các trường hợp sau: 
 Trường hợp 1: −10 k 
 Phương trình (3.11) ổn định khi và chỉ khi b+ d(2 k − 1) 0 . 
 Trường hợp 2: 01 k 
 516 
Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Nguyễn Quang Huy 
 2
 d( k− 1) 4 dk
 a) = − 0 d ( k2 + 1) 2 k ( d + 2 b ). 
 bb
 dk
 Phương trình (3.11) ổn định khi và chỉ khi b+ d(2 k − 1) 0 và 1. 
 b
 2
 b) =0 d ( k + 1) = 2 k ( d + 2 b ). 
 Phương trình (3.11) ổn định khi và chỉ khi d(1− k ) 2 b . 
 2
 c) 0 d ( k + 1) 2 k ( d + 2 b ). 
 Phương trình (3.11) ổn định khi và chỉ khi 
 Nhận xét: Khi k = 0 thì mô hình trên trở thành mô hình Cob – Web trong phương trình 
sai phân cấp 1. 
3.2.3. Mô hình Cob – Web với sự thay đổi số công ti trong thị trường (Ferguson, & Lim, 
2003) 
 Ta xét mô hình sau đây 
 d
 Qt= b0 − b 1 P t + b 2 Y t ,
 s
 Qt= a0 + a 1 P t− 1 + a 2 N t ,
 ds
 QQtt= ,
 c 
 Nt− N t−−11 = k( P t − P ),
 (a0 , a 1 , a 2 , b 0 , b 1 , b 2 , k 0, a 1 b 1 )
 d s
trong đó, Qt là lượng cầu, Qt là lượng cung, Pt là giá tại thời điểm t, Yt là thu nhập của 
 c
người tiêu dùng, Nt là số công ti trong thị trường và P là giá trị tới hạn. 
 Ta giải được 
 ba00− b1 a 1 b 2
 NPPYt= − t − t−1 + t . 
 a2 a 2 a 2 a 2
 Từ đó ta có 
 b1−− a 1 ka 2 a 1 b 2 b 2 ka 2 c
 PPPYYPt− t−1 − t − 2 = t − t − 1 + . 
 b1 b 1 b 1 b 1 b 1
 Ta giả sử thu nhập là hằng số, nghĩa là YYYtt==−10.Khi đó ta có 
 ka2c b 1−− a 1 ka 2 a 1
 PPPPt= + t−−12 + t . (3.12) 
 b1 b 1 b 1
 Trên đây là phương trình sai phân tuyến tính cấp 2. 
 Giá cân bằng là 
 * c
 PP= . 
 517 
Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Tập 18, Số 3 (2021): 508-520 
 Phương trình đặc trưng là 
 2 b−− a ka a
 rr− 1 1 2 − 1 = 0. 
 bb11
 2(ba− )
 Tính ổn định của phương trình (3.12) đòi hỏi k 11.
 a
 2 
 Khi đó 
 t→ c
 PPt ⎯⎯⎯→ . 
3.2.4. Mô hình chính sách ổn định Phillips (Ferguson, & Lim, 2003) 
 Ta mở rộng mô hình ổn định Phillips đã xét trong mục 3.1.1 d) như dưới đây 
 YCIGt= t + t + t ,
 Ctt= C01 + cY− ,0 c 1,
 IIt = 0 ,
 pd
 GGGGt=0 + t + t ,
 pF
 GYYtt=( −−1 ), 0,
 p 
 Gt= − k( Y t−−12 − Y t ), k 0.
 Ta giải được 
 Y= C + I + G + YF +( c − − k ) Y + kY . (3.13) 
 t( 0 0 0) t−− 1 t 2
 Thu nhập cân bằng là 
 CIGY+ + +  F
 Y * = 0 0 0 . 
 1−+c 
 Phương trình đặc trưng là 
 r2 −( c − − k ) r − k = 0. 
 Tính ổn định của phương trình (3.13) đòi hỏi  + 2k 1. 
 Khi đó 
 CIGY+ + +  F
 Y ⎯⎯⎯→t→ 0 0 0 . 
 t 1−+c 
3.2.5. Mô hình kinh tế vĩ mô về lạm phát và thất nghiệp (Chiang) 
 Ta xét mô hình sau đây 
 p= a − T − bU + c ( a , b 0, 0 c 1),
 t+1 − t =d( p t − t ) (0 d 1), 
 Ut++11− U t = − k( m − p t ) ( k 0)
trong đó, p là tốc độ lạm phát thực sự, Tlà hiệu suất lao động, là tốc độ lạm phát kì vọng, 
U là tỉ lệ thất nghiệp và m là tỉ lệ tăng trưởng của đồng tiền danh nghĩa. 
 Ta giải được 
 518 
Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Nguyễn Quang Huy 
 1+cd + (1 − d )(1 + kb ) 1 − d (1 − c ) dbkm
 p− p + p = 
 t++211+kb t 1 + kb t 1 + kb
hay 
 dbkm1+ cd + (1 − d )(1 + kb ) 1 − d (1 − c )
 p= + p − p . (3.14) 
 t1+kb 1 + kb t−−12 1 + kb t
 Tốc độ lạm phát thực sự cân bằng là 
 pm* = . 
 Phương trình đặc trưng là 
 1+cd + (1 − d )(1 + kb ) 1 − d (1 − c )
 rr2 − + = 0. 
 11++kb kb
 Tính ổn định của phương trình sai phân tuyến tính cấp 2 đòi hỏi phương trình đặc trưng 
có hai nghiệm rr12, thỏa mãn|rr12 | 1, | | 1. 
 Điều trên luôn thỏa mãn. Vậy phương trình (3.14) luôn ổn định. 
 Tiếp theo, ta giải được 
 1+cd + (1 − d )(1 + kb ) 1 − dc (1 − ) kdaT [ − − (1 − cm ) ]
 UUU− + = , 
 t++211+kb t 1 + kb t 1 + kb
hay 
 kdaT[− − (1 − cm ) ] 1 + cd + (1 − d )(1 + kb ) 1 − dc (1 − )
 UUU= + − . (3.15) 
 t1+kb 1 + kb t−−12 1 + kb t
 Giả sử a T +(1 − c ) m , ta có tỉ lệ thất nghiệp cân bằng là 
 a− T −(1 − c ) m
 U * = . 
 b
 Phương trình đặc trưng là 
 1+cd + (1 − d )(1 + kb ) 1 − d (1 − c )
 rr2 − + = 0. 
 11++kb kb
 Theo phần trước, phương trình đặc trưng luôn có hai nghiệm thỏa mãn|r1 | 1| 
và r2 | 1. Vậy phương trình (3.15) luôn ổn định. 
4. Kết luận 
 Trong bài báo này, chúng tôi đã khảo sát nghiệm và đánh giá tính ổn định của nhiều 
mô hình ứng dụng phương trình sai phân cấp một và cấp hai trong kinh tế. Ngoài ra, chúng 
tôi mở rộng thêm mô hình kinh tế vĩ mô và mô hình cân bằng thị trường. Bài báo nghiên cứu 
này giúp cho giảng viên và sinh viên hiểu sâu rộng hơn các mô hình ứng dụng phương trình 
sai phân trong kinh tế cũng như có thể vận dụng chúng vào các bài toán trong thực tiễn. 
Trong thời gian tới, chúng tôi sẽ khảo sát thêm các mô hình ứng dụng hệ phương trình sai 
phân tuyến tính cấp một trong kinh tế. 
 519 
Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Tập 18, Số 3 (2021): 508-520 
 ❖ Tuyên bố về quyền lợi: Tác giả xác nhận hoàn toàn không có xung đột về quyền lợi. 
 TÀI LIỆU THAM KHẢO 
Alpha C. Chiang (2004). Fundamental Methods of Mathematical Economics. Third edition, McGraw 
 - Hill, Inc. 
Brian Ferguson and Guay Lim (2003). Discrete time dynamic economic models. Routledge. 
Le, D. T. (2010). Toan cao cap cho cac nha kinh te, Phan II: Giai tich toan hoc [Advanced 
 mathematics for economists, Part 2: Mathematical Analysis]. Hanoi: National Economics 
 University Publishing House. 
Michael Sampson (2001). An introduction to mathematical economics part 2. Loglinear Publishing. 
 APPLICATIONS OF DIFFERENCE EQUATION IN TEACHING 
ECONOMIC MODELS FOR ECONOMIC STUDENTS AT HO CHI MINH CITY UNIVERSITY 
 OF TECHNOLOGY AND EDUCATION 
 Nguyen Quang Huy 
 Ho Chi Minh City University of Technology and Education, Vietnam 
 Corresponding author: Nguyen Quang Huy – Email: huynq@hcmute.edu.vn 
 Received: August 05, 2020; Revised: December 11, 2020; Accepted: March 16, 2021 
ABSTRACT 
 In this article, we synthesize, analyse, and evaluate several mathematical economics models 
which apply first order and second order difference equations. Moreover, we also expand some 
classical modes such as macroeconomic model and equilibrium market model. In addition, we 
evaluate the stability of those equations, which is necessary. This article can be used as a useful 
reference material for lecturers who teach mathematical economics and economics to students at 
Ho Chi Minh City University of Technology and Education and other universities. 
 Keywords: first order difference equations; mathematical economics model; second order 
difference equation 
 520