Ứng dụng của định giá trị trung bình trong một số bài toán về giới hạn dãy số

TẠP CHÍ KHOA HỌC −−− SỐ 18/2017 31 
 ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH 
 TRONG MỘT SỐ BI TOÁN VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ 
 Nguyn Văn Hào 1, Nguyn Th Thanh Hà2, Vũ Th Ngc Diu 1 
 1 Trưng Đi hc Sư phm Hà Ni 2 
 2 Trưng Đi hc Công nghip Vit Trì 
 Tóm tttttt: Trong bài báo này, chúng tôi trình bày mt s phương pháp xây dng các bài 
 toán v gii hn ca hàm s t ñnh lý giá tr trung bình bng k thut to dng các hàm ph. 
 TTTT khóakhóa: Đnh lý giá tr trung bình, gii hn ca dãy s, hàm s liên tc, hàm s kh vi. 
 Nhn bài ngày 10.7.2017; gi phn bin, chnh sa và duyt ñăng ngày 10.9.2017 
 Liên hệ tác giả: Nguyen Văn Hào; Email: nguyenvanhaodhsphn2@gmail.com 
1. M ĐU 
 Các ñnh lý cơ bn v ño hàm ñóng vai trò quan trng trong Toán hc, cũng như 
nhiu lĩnh vc khoa hc khác. Điu ñó, ngưi ta có th k ñn mt s vn ñ như: bài toán 
tn ti nghim ca các phương trình ñi s, ưc lưng khong cha nghim ca các 
phương trình và toán t trong vic gii gn ñúng ca lý thuyt s, bài toán tìm cc tr ca 
hàm s Khi ngun ca các ñnh lý giá tr trung bình là Đnh lý Rolle ñưc phát biu 
như sau: 
 Đnh lý 1 (Đnh lý Rolle): Gi s hàm y= f( x ) liên tc trên ñon [a , b ] , kh vi 
trên khong (a , b ) và tha mãn ñiu kin fa()= fb () . Khi ñó, tn ti ít nht mt s 
c∈ ( a , b ) sao cho f′( c )= 0 . 
 Theo mt khía cnh, nhìn li cách chng minh ca ñnh lý Lagrange và ñnh lý 
Cauchy, chúng ta thy hai ñnh lý ñó là h qu ca ñnh lý Rolle nh vic thit lp hai hàm 
ph cũng tha mãn các gi thit ca ñnh Rolle tương ng là: 
 fb()− fa ()
 ϕ()()()xfxfa=−− ( xa − ) 
 b− a
 fb()− fa ()
 Và: ϕ()x=−− fxfa ()()() gxga ()() − . 
 gb()− ga ()
32 TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ ĐÔ H NỘI 
 T vic thit lp các hàm ph ñó, ta nhn ñưc hai ñnh lý quan trng sau: 
 Đnh lý 2 (Đnh lý Lagrange): Gi s hàm s f( x ) hàm liên tc trên ñon [a , b ] và 
kh vi trên khong (a , b ) . Khi ñó tn ti s c∈ ( a , b ) sao cho: 
 fb()− fa ()
 f′( c ) = 
 b− a
 Hay: fb()− fa () = fcb′ ()( − a ) 
 Đnh lý 3 (Đnh lý Cauchy): Gi s các hàm s f( x ) và g( x ) liên tc trên ñon, kh 
vi trên khong (a , b ) và ngoài ra g′( x ) khác 0 vi mi giá tr ca x thuc khong (a , b ). 
Khi ñó, tn ti ñim c∈ ( a , b ) sao cho: 
 fb()− fa () fx′ ()
 = . 
 ′
 ba− gx( )
 Các kt qu này chúng tôi không trình bày cách chng minh  ñây, chi tit có th thao 
kho trong tài liu [1]. Mt cách tng quan, ta có th nói rng hai ñnh lý Lagrange và ñnh 
lý Cauchynhn ñưc t vic kt hp t hàm f( x ) (mà  ñây chúng ta gi nó là “hàm gc” ) 
liên tc trên ñon [a , b ] và kh vi trên khong (a , b ) vi nhng ñiu kin ph nào ñó ñ ñưc 
nhng kt qu mi. Theo ý tưng ñó, chúng tôi s dng mt s gii hn cơ bn mt s hàm sơ 
cp kt hp vi hàm gc f( x ) ñ có ñưc các bài toán mi v gii hn ca hàm s 
2. MT S CÁCH XÂY DNG BÀI TOÁN GII HN CA DÃY S T 
CÁC ĐNH LÝ CƠ BN CA ĐO HÀM 
2.1. Các gii hn cơ bn ca hàm s mt bin s 
 Đ thun li cho vic trình bày kt qu, chúng ta nhc li mt s gii hn cơ bn sau: 
 eα(n ) − 1 ln1( + α ()n )
 1. lim= 1 . 2. lim= 1 
 α(n )→ 0 α(n ) α(n )→ 0 α(n )
   α(n )
  a  a sinα (n )
 3. lim 1 + = e . 4. lim= 1 
 α(n ) →∞  α(n )  α(n )→ 0 α(n )
 tanα (n )
 5. lim= 1 . 
 α(n )→ 0 α(n )
TẠP CHÍ KHOA HỌC −−− SỐ 18/2017 33 
2.2. Xây dng mt s bài toán qua vic kt hp hàm gc vi các gii hn cơ bn 
 Trong phn này, chúng ta xây dng mt s bài toán v gii hn ca dãy s bng cách 
thit lp nhng dãy hàm s tho mãn các gi thit ca ñnh lý Rolle. 
 Bài toán 1. Cho hàm s f( x ) kh vi trên ñon [a , b ] . Gi s rng fa()= fb () = 0 
 ∞
và f( x )≠ 0 vi mi x∈ ( a , b ) . Chng minh rng tn ti dãy x trong khong 
 { n }n =1
(a , b ) sao cho: 
 f′( x )
 limn = 2017 . 
 n→∞ (n e− 1) f ( x )
 n
 Đ chng minh bài toán này, chúng ta xét hàm s: 
 2017 x
 −
 Hx()= en fxx (); ∈ (,) ab . 
 n
 Đo hàm ca Hn ( x ) là: 
 2017x 2017 x
 − −
 ′ 2017 n n
 Hxn ()= − e fxe () + fx′ () 
 n
 2017 x
 − 2017 
 =en  fx′() − fx () . 
  n 
  
 T gi thit f( x ) kh vi trên ñon [a , b ] và fa()= fb () = 0 , chúng ta suy ra 
Hn ( x ) tha mãn các ñiu kin ca ñnh lý Rolle. Do ñó, tn ti dãy {xn } ⊂ ( a , b ) sao 
 ′
cho Hn( x n )= 0 . T ñó, ta có: 
 f′( x ) 2017
 n = . 
 f( x ) n
 n
 S dng gii hn cơ bn 1 trong mc 2.1, chúng ta thu ñưc: 
 f′( x ) 2017 2017
 limn = lim = lim = 2017 . 
 n→∞n n →∞ n n →∞ n
 (efx− 1) (n ) ( en − 1) e − 1
 1
 n
34 TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ ĐÔ H NỘI 
 2017 x
 −
 n
 Gi nguyên hàm Hxn ()= e fx () và s dng các gii hn cơ bn khác, chúng 
ta nhn ñưc các bài toán sau: 
 Bài toán 2. Cho hàm f( x ) kh vi trên [a , b ] và tha mãn ñiu kin 
fa()= fb () = 0 . Chng minh rng, nu f( x ) không ñng nht bng 0 trên khong 
(a , b ) thì tn ti mt dãy {xn } trong khong (a , b ) sao cho: 
 n
 ′ 
  f( x n )  2017
 lim 1 + = e . 
 n →∞  f( x ) 
 n 
 Bài toán 3. Cho hàm f( x ) kh vi trên [a , b ] và fa()= fb () = 0 . Chng minh 
rng nu f( x ) không ñng nht bng 0 trên khong (a , b ) thì tn ti mt dãy {xn } trong 
khong (a , b ) sao cho: 
 f′( x )  
  n  
 limn ln1 +  = 2017 . 
 n→∞  f( x ) 
 n 
 Bài toán 4. Cho hàm f( x ) kh vi trên [a , b ] và fa()= fb () = 0 . Chng minh 
rng nu f( x ) không ñng nht bng 0 trên khong (a , b ) thì tn ti mt dãy {xn } trong 
khong (a , b ) sao cho: 
 f′( x ) 
 limn sinn  = 2017 . 
 n→∞ f( x ) 
 n 
 Bài toán 5. Cho hàm f( x ) kh vi trên [a , b ] và fa()= fb () = 0 . Chng minh 
rng nu f( x ) không ñng nht bng 0 trên khong (a , b ) thì tn ti mt dãy {xn } trong 
khong (a , b ) sao cho: 
 f′( x ) 
 limn tann  = 2017 . 
 n→∞ f( x ) 
 n 
2.3. Mt s hàm khác 
 Ngoài hàm Hn ( x ) ñưc xét trong bài toán m ñu, ta có th lp các hàm khác. 
Tương ng vi mi hàm cùng gii hn cơ bn, ta ñưc các bài toán mi như sau: 
TẠP CHÍ KHOA HỌC −−− SỐ 18/2017 35 
2.3.1. Xét hàm 
 x α
 −
 Dx1 ()= en fx (). 
 n
 Hàm này có ño hàm là: 
 xα x α
 ′ αx α−1 − −
 Dx1 efxefxn n ′ 
 ( n ()) = − () + ()
 n
 α
 x α−1 
 −  αx 
 =en  fx′() − fx ()  . 
 n 
  
 Khi hàm 1 tho mãn các ñiu kin ca ñnh lý Rolle nhn ñưc t gi thit ca 
 Dn ( x )
 ′
hàm gc cho ta khng ñnh D1 x . Điu ñó, tương ñương vi: 
 ( n( n )) = 0
 f′( x ) α
 n = . 
 xα−1 f( x ) n
 n n
 T ñó, chúng ta có bài toán: 
 Bài toán 7. Cho hàm f( x ) kh vi trên ñon [a , b ] và giá tr ca hàm ti hai ñu mút 
ñu bng 0. Chng minh rng nu f( x ) không ñng nht bng 0 trên khong (a , b ) thì 
tn ti mt dãy {xn } trong khong (a , b ) tha mãn: 
 f′( x )
 1. lim n = α ; 
 n→∞ n α−1
 (e− 1) xn fx ( n )
 n
 f′( x ) 
  n  α
 2. lim 1 + = e ; 
 n →∞  α−1 
 xn f( x n )  
   
  f′( x )  
 3. limn ln 1 +n  = α ; 
  α−1  
 n→∞  x f( x )  
 n n  
36 TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ ĐÔ H NỘI 
 f′( x ) 
  n 
 4. limn sin  = α ; 
 n→∞  α−1 
 xn f( x n ) 
 f′( x ) 
  n 
 5. limn tan  = α . 
 n→∞  α−1 
  xn f( x n ) 
2.3.2. Xét hàm 
 2 x
 Dxn ()= fxc ().os . 
 n
 Đo hàm ca hàm này là: 
 ′ x1 x
 Hx2 fxc′ fx . 
 ( n ()) = ()os − ()sin
 n n n
 ′
 Điu kin D2 x cho ta: 
 ( n( n )) = 0
 f′( x ) 1 x
 n= tan n . 
 fx( ) n n
 n
 T ñó, ta nhn ñưc bài toán: 
 π  π 
 Bài toán 8. Cho hàm f( x ) kh vi trên 0;  và f(0)= f   = 0 . Khi ñó, nu 
    
 4   4 
 π 
 f x không ñng nht bng 0 trên khong   thì tn ti mt dãy trong khong 
 ( ) 0;  {xn }
  4 
ñó sao cho: 
 n2 f′( x )
 limn = 1 . 
 n→∞ x f( x )
 n n
 Tương t như vy, ñi vi hàm: 
 x π 
 H3( x )= fx ( )cot ; vi x ∈ 0;  , 
 n  
 n 4 
chúng ta nhn ñưc: 
TẠP CHÍ KHOA HỌC −−− SỐ 18/2017 37 
 π  π 
 Bài toán 9. Cho hàm f( x ) kh vi trên 0;  và f(0)= f   = 0 . Khi ñó nu 
    
 4   4  
 π 
 không ñng nht bng 0 trên khong ñó thì tn ti dãy x   sao cho: 
f( x ) {}n ⊂ 0; 
  4  
 x f′( x )
 limn n = 1 . 
 n →∞ f( x )
 n
 Kt thúc phn này chúng ta trình bày li gii ñy ñ ca bài toán sau: 
 Bài toán 10. Cho hàms f( x ) kh vi trên [a , b ] và fa()= fb () = 0 . Gi s f( x ) 
không ñng nht bng 0 trên (a , b ) . Chng minh rng tn ti dãy {xn } ⊂ ( a , b ) sao cho: 
 x f′( x )
 limn n = − 2017 . 
 n →∞ f( x )
 n
 Trong bài toán này, chúng ta xét hàm ph: 
 2017 
 4  x 
 Dx()= fx ()ln1 + . 
 n n  
  
 Ta có: 
 x 2016
 2017.
 ′ x 2017  
 Dx4 fx′   fx n . 
 ()n ()= ()ln1 + + ()
 n  x 2017
 1 +
 n
 4
 T các ñiu kin ca hàm f( x ) chúng ta thy rng hàm Dn ( x ) tha mãn ñiu kin 
 ∞
ca ñnh lý Rolle trên ñon [a , b ] . T ñó, suy ra tn ti dãy x⊂ ( a , b ) sao cho: 
 { n }n=1
 ′
 D4 x , tc là: 
( n( n )) = 0
 2017
 x 2016
 f′( x ) n
 n = − n . 
 f( x ) x2017  x 2017 
 n n  n 
 1+ ln1  + 
 n  n 
   
38 TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ ĐÔ H NỘI 
 Do ñó: 
  
 2017 
 x 2017 
 x f′( x ) n 
 limn n = lim  − n  
 n→∞f( x ) n →∞ x2017  x 2017  
 n n  n  
 1+ ln1  +  
 n   n  
  
  
 x 2017 
 n 
 2017 
 =lim  − ⋅ n  = − 2017 . 
 n →∞ x2017  x 2017  
 n  n  
 1+ ln  1 +  
 n   n  
   
3. KT LUN 
 Bng vic s dng nhng tính cht ñc trưng ca hàm sơ cp và k thut to dng hàm 
ph, chúng ta cũng thy ñưc mt phương pháp vn dng kt hp gia gii hn cơ bn vi 
ñnh lý giá tr trung bình ñ có ñưc mt lp các bài toán gii hn v dãy s khá ñc sc. 
 TÀI LIU THAM KHO 
1. Trn Đc Long, Nguyn Đình Sang, Hoàng Quc Toàn (2008), Giáo trình gii tích tp 2 ,  
 Nxb Đi hc Quc gia Hà Ni. 
2. P. Ahern, M. Flores and W. Rudin (1993), “An invariant volumemean value property” , J. 
 Funct. Anal . 111, pp.380397. 
3. W. A. Granville (2008), Elements of the Differential and Integral Calculus (revised edition). 
4. W. J. Kaczor, M. T. Nowak (2001), Problems in Mathematical Analysis II:Continuity and 
 Differentiation , Student mathematical library, Volume 12, pp.4552. 
5. K. Ramachandra (1995), Lectures on the MeanValue and OmegaTheorems for the Riemann 
 ZetaFunction , SpringerVerlag Berlin Heidelberg  New YorkTokyo. 
 APPLICATION OF MEAN VALUE THEOREM 
 IN PROBLEMS OF SEQUENCE LIMIT 
 AbstractAbstract: In this paper, we presented some methods of construction of sequence limit 
 problems by mean  value theorems with technics of creation aid functions. 
 KeywordsKeywords: volumemean value theorem, sequence limit, continiuos function, differential 
 function.