Từ câu hỏi truyền thống đến trắc nghiệm khách quan - Chủ đề: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HUẾ 
 KHOA TOÁN 
 ********** 
 VÕ THỊ VÂN HÒA 
 TỪ CÂU HỎI TRUYỀN THỐNG ĐẾN 
 TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN 
 CHỦ ĐỀ: 
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG 
 (PHẦN PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG) 
 HỌC PHẦN 
LÝ LUẬN DẠY HỌC TOÁN NÂNG CAO VÀ 
 ĐÁNH GIÁ TRONG GIÁO DỤC TOÁN 
 Huế, tháng 4 năm 2017 
TL-TN-PTĐT 
 Mở đầu 
 Câu hỏi trắc nghiệm khách quan đã thể hiện nhiều ưu điểm trong đánh giá khả 
năng toán của học sinh như đo lường các quá trình tư duy cao hơn, đo lường sự áp 
dụng trong những tình huống mới tốt hơn so với câu hỏi tự luận. Ngoài ra, trắc 
nghiệm khách quan còn cung cấp các đơn vị kiến thức trên diện rộng, tương đối đủ 
và phù hợp với mục tiêu giáo dục toán. Vì vậy, việc chuyển từ câu hỏi truyền thống 
sang câu hỏi trắc nghiệm khách quan sẽ phát huy những ưu điểm trên, đồng thời hạn 
chế những khuyết điểm của câu hỏi truyền thống. 
 Một số bài toán minh họa 
Bài 1: Cho tam giác 푪, 푴( ; ), 푵( ; ), 푷( ; ) lần lượt là trung điểm của 
 , 푪, 푪 . Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác. 
Giải: 
Cách 1: 푃, 푃 , là các đường trung bình 
của tam giác nên ta có: 
 푃 ∥ 푃 ∥ ∥ 푃 
 푃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (1; 1) 푛⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ = (−1; 1) 
 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (1; 0) 푛⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ = (0; 1) 
푃 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (−2; −1) 푛⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ = (1; −2) 
Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua (0; 2) và nhận 푛⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ = (−1; 1) 
làm vector pháp tuyến là: − + − 2 = 0 
Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua (1; 2) và nhận 푛⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ = (1; −2) 
làm vector pháp tuyến là: − 2 + 3 = 0 
Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua 푃(2; 3) và nhận 푛⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ = (0; 1) 
làm vector pháp tuyến là: − 3 = 0 
Vì là giao điểm của và nên tọa độ điểm là nghiệm của hệ 
 − 2 + 3 = 0 = 3
{ ⇔ { 
 − 3 = 0 = 3
 VÕ THỊ VÂN HÒA 1 
TL-TN-PTĐT 
Vậy (3; 3) 
Vì là giao điểm của và nên tọa độ điểm là nghiệm của hệ 
 − 2 + 3 = 0 = −1
{ ⇔ { 
− + − 2 = 0 = 1
Vậy (−1; 1) 
Vì là giao điểm của và nên tọa độ điểm là nghiệm của hệ 
 − + − 2 = 0 = 1
{ ⇔ { 
 − 3 = 0 = 3
Vậy (1; 3) 
Cách 2: 푃, 푃 , là các đường trung bình của tam giác nên ta có: 
 푃 ∥ , 푃 = 푃 ∥ , 푃 = ∥ 푃 , = 푃 
 푃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (1; 1) ⃗⃗⃗⃗⃗ = ( ; − 2) 
 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (1; 0) 푃 ⃗⃗⃗⃗⃗ = ( − 2; − 3) 
 푃 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (−2; −1) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ( − 1; − 2) 
 = 1 = 1
 ⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 푃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⇔ { ⇔ { 
 − 2 = 1 = 3
Vậy (1; 3) 
 − 2 = 1 = 3
푃 ⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⇔ { ⇔ { 
 − 3 = 0 = 3
Vậy (3; 3) 
 − 1 = −2 = −1
 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 푃 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⇔ { ⇔ { 
 − 2 = −1 = 1
Vậy (−1; 1) 
Cách 3: ( ; ) ( ; ) ( ; ) 
 + = 2 + = 4 + = 0
 { (I) { (II) { (III) 
 + = 4 + = 6 + = 4
 VÕ THỊ VÂN HÒA 2 
TL-TN-PTĐT 
 + = 0 = −1
 − = −2 = 1
 + = 4 = 1
Từ (I), (II), (III), suy ra ⇔ 
 − = −2 = 3
 + = 2 = 3
 { + = 4 { = 3
Vậy (3; 3), (−1; 1), (1; 3) 
Cách 4: 푃, 푃 , là các đường trung bình của tam giác nên ta có: 
 푃 ∥ , 푃 = 푃 ∥ , 푃 = ∥ 푃 , = 푃 
Suy ra 푃, 푃 , 푃 là các hình bình hành. 
 푃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (1; 1) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (−1; 0) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ( − 1; − 2) 
푃 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (−1; −1) 푃 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (−2; −1) 푃 ⃗⃗⃗⃗⃗ = ( − 2; − 3) 
 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (1; 0) 푃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (2; 1) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ( ; − 2) 
Áp dụng quy tắc hình bình hành ta được: 
 − 1 = 0 = 1
 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 푃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⇔ { ⇔ { 
 − 2 = 1 = 3
Vậy (1; 3) 
Tương tự ta tính được (3; 3), (−1; 1) 
 Bài toán này có khá nhiều cách giải, trong đó mỗi cách thể hiện một hoặc hai 
nội dung kiến thức và kỹ thuật giải toán. Chẳng hạn, cách 4 dùng kiến thức về đường 
trung bình và quy tắc hình bình hành, còn cách 3 chỉ sử dụng quy tắc trung điểm. 
Khi làm bài toán tự luận này, học sinh chỉ lựa chọn giải theo một cách nhất định và 
ta cũng chỉ kiểm tra được một kỹ thuật nào đó, ví dụ như cách 3 ta chỉ biết học sinh 
dùng quy tắc trung điểm. Trong lúc đó, còn nhiều kỹ thuật ở những cách giải khác 
nữa, ví dụ như ta muốn kiểm tra kỹ thuật viết phương trình đường thẳng ở cách 1, 
kiến thức về hai vector bằng nhau ở cách 2. Ở đây, các câu hỏi trắc nghiệm sẽ phát 
huy tác dụng của mình. 
 Hoặc là, trong trường hợp cách 1, 2, 4, học sinh cần sử dụng tính chất đường 
trung bình. Nếu không nhớ hoặc nhầm lẫn tính chất này thì học sinh không thể làm 
 VÕ THỊ VÂN HÒA 3 
TL-TN-PTĐT 
tiếp bài toán được, ta cũng không thể biết học sinh có làm được các kỹ thuật, kiến 
thức ở phần sau hay không. Trắc nghiệm khách quan sẽ cho ta cơ hội tìm ra ở phần 
nào của bài toán thì học sinh có thể là được. Tận dụng cả bốn cách giải trên, ta có 
thể đặt ra các câu hỏi trắc nghiệm tương ứng nhằm kiểm tra nhiều kiến thức, kỹ thuật 
hơn . Cụ thể, ta có những câu hỏi trắc nghiệm sau. 
 Những câu hỏi trắc nghiệm tương ứng 
Câu 1: Đường thẳng đi qua trung điểm hai cạnh của tam giác có tính chất nào sau 
đây? 
A. Định ra trên hai cạnh đó các đoạn thẳng bằng nhau 
B. Có độ dài bằng nửa cạnh thứ ba 
C. Là đường trung tuyến của tam giác đó 
D. Song song với cạnh thứ ba 
 Để chọn được đáp án đúng là D, học sinh cần biết định nghĩa và tính chất của 
đường trung bình. 
 Phương án A, B, C gây nhiễu cho những học sinh không học kĩ kiến thức, nhớ 
mang máng các tính chất. 
Câu 2: Cho đường thẳng có vectơ chỉ phương ⃗ = (−2; −1). Hãy tìm một vectơ 
pháp tuyến của nó. 
A. 푛⃗ = (−2; 4) B. 푛⃗ = (−4; −2) C. 푛⃗ = (−1; −2) D. 푛⃗ = (1; 2) 
 Để chọn được đáp án đúng là A, học sinh phải biết quy tắc đổi tọa độ vector 
chỉ phương sang vector pháp tuyến và lưu ý nếu 푛⃗ là vector pháp tuyến thì 푛⃗ cũng 
là vector pháp tuyến. 
 Phương án C, D gây nhiễu cho những học sinh không biết cách đổi tọa độ 
vector chỉ phương sang vector pháp tuyến, nhầm dấu. 
Câu 3: Phương trình nào sau đây là phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua 
điểm (1; 2) và có vectơ pháp tuyến 푛⃗ = (1; −2)? 
A. 2 + − 4 = 0 B. − 2 + 3 = 0 C. + 2 + 3 = 0 D. 2 − = 0 
 Để chọn được đáp án đúng là B, học sinh phải biết viết phương trình tổng quát 
của đường thẳng. 
 VÕ THỊ VÂN HÒA 4 
TL-TN-PTĐT 
 Phương án C gây nhiễu cho những học sinh nhầm lẫn giữa điểm và vector, 
phương án A gây nhiễu cho những học sinh nhầm lẫn giữa vector pháp tuyến và 
vector chỉ phương. 
Câu 4: Giả sử là giao điểm của : − 2 + 3 = 0 và 푙: − + − 2 = 0. Tìm tọa 
độ điểm . 
A. (1; 3) B. (1; 2) C. (−1; 1) D. Không tồn tại 
 Để chọn được đáp án đúng là C, học sinh phải biết vị trí tương đối của hai 
đường thẳng và kỹ năng giải hệ phương trình. 
 Phương án A, B gây nhiễu cho những học sinh sử dụng phương pháp thế tọa 
độ điểm vào phương trình, học sinh có thể đưa ra những kết luận vội vàng khi tọa 
độ điểm thỏa một phương trình. 
Câu 5: Hai vector nào sau đây là hai vector bằng nhau? 
A. 푃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗ B. 푃 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 
C. ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗ D. ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 
 Để chọn được đáp án đúng là A, học sinh phải biết kiến thức về vector và điều 
kiện để hai vector bằng nhau. 
 Phương án B, C, D gây nhiễu những học sinh chưa hiểu điều kiện để hai vector 
bằng nhau là phải cùng hướng (phương án B, D) và cùng độ dài (phương án C) 
Câu 6: Cho là trung điểm của , biểu thức tọa độ nào sau đây được biểu diễn 
đúng? 
 + = + = 2 2 + 2 = + = 2 
A.{ B.{ C.{ D.{ 
 + = + = 2 2 + 2 = + = 2 
 Để chọn được đáp án đúng là B, học sinh cần biết biểu thức tính tọa độ trung 
điểm của đoạn thẳng. 
 Phương án A, C gây nhiễu cho những học sinh không nhớ hoặc nhớ mang 
máng biểu thức tọa độ, nếu học sinh nhầm lẫn giữa vị trí các điểm thì có thể chọn 
phương án D 
 VÕ THỊ VÂN HÒA 5 
TL-TN-PTĐT 
Câu 7: Cho 푃푄 là hình bình hành. Biểu thức vector 
nào sau đây đúng? 
A. ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 푃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 푄⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗ B. ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 푄⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 푄⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 
C. ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 푄⃗⃗⃗⃗⃗⃗ − 푃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗ D. ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 푄⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 2 푃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 
 Để chọn được đáp án đúng là C, học sinh cần hiểu quy tắc hình bình hành. 
 Phương án A, B, D gây nhiễu cho những học sinh không hiểu quy tắc hình 
bình hành, nhầm lẫn giữa các quy tắc trung điểm (phương án D) hay quy tắc trọng 
tâm (phương án A), hoặc áp dụng sai quy tắc ba điểm (phương án B). 
Tóm lại, để làm được những câu trắc nghiệm khách quan, học sinh cần nắm vững 
kiến thức và những kỹ năng tính toán cơ bản, điều đó giúp các em hạn chế sa vào 
những phương án nhiễu, tiết kiệm thời gian làm bài và hiệu quả bài kiểm tra cao 
hơn. 
Bài 2: Cho hình bình hành có tọa độ một đỉnh là (ퟒ; ). Biết phương trình các 
đường thẳng chứa hai cạnh là 풙 − 풚 = và 풙 − 풚 + = . Tìm tọa độ ba 
đỉnh còn lại của hình bình hành đó. 
Giải: Gọi , , , là bốn đỉnh của 
hình bình hành. 
Vì là giao điểm của và nên 
tọa độ điểm là nghiệm của hệ 
 − 3 = 0 = −6
{ ⇔ { 
 2 − 5 + 2 = 0 = −2
Vậy (−6; −2) 
 Trước khi bắt tay vào giải bài toán này, học sinh cần vẽ hình để xác định vị 
trí các điểm và đường thẳng mà đề bài cho. Học sinh có thể chọn cách vẽ các dữ kiện 
trên hệ trục tọa độ . Nhưng thật mất thời gian và phải thật chính xác. Thay vào 
đó, học sinh có thể xét xem điểm (4; 0) có nằm trên các đường thẳng − 3 = 0 
và 2 − 5 + 2 = 0 hay không và các đường thẳng đó có cắt nhau hay không, từ đó 
xác định được vị trí của điểm, đường thẳng ứng với phần nào của hình bình hành. 
Tiếp tục bài toán, ta có thể giải theo các cách sau. 
 VÕ THỊ VÂN HÒA 6 
TL-TN-PTĐT 
 = −1
Cách 1: là trung điểm của nên tọa độ là { 
 = −1
 ∈ nên (3 ; ) 
 = −2 − 3 
 là trung điểm của nên tọa độ là { 
 = −2 − 
Vì ∈ nên tọa độ B thỏa phương trình 2(−2 − 3 ) − 5(−2 − ) + 2 = 0 
⇒ = 8 
Vậy (−26; −10), (24; 8) 
Cách 2: ∈ nên (3 ; ) ∈ nên (5 − 1; 2 ) 
 ⃗⃗⃗⃗⃗ = (3 − 4; ) ⃗⃗⃗⃗⃗ = (−5 − 5 ; −2 − 2 ) 
 3 − 4 = −5 − 5 3 + 5 = −1 = 8
 ⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗ ⇔ { ⇔ { ⇔ { 
 = −2 − 2 + 2 = −2 = −5
Vậy (−26; −10), (24; 8) 
 Đối với bài toán này, học sinh cần phân tích, tính toán xem điểm và đường 
thẳng trong giả thiết có mối liên hệ gì với nhau để có cơ sở vẽ hình đúng. Nếu không 
làm được bước này, học sinh có thể nhầm lẫn, làm sai hoặc không giải được bài 
toán.Việc đặt ra các câu hỏi trắc nghiệm có nội dung tương ứng với các phần kiến 
thức, kỹ năng cần có để giải bài toán này giúp kiểm tra, đánh giá được nhiều kỹ năng 
và mức độ hiểu của học sinh đối với các kỹ năng khác. Sau đây là một số câu hỏi 
trắc nghiệm được sinh ra từ bài toán trên. 
 Những câu hỏi trắc nghiệm tương ứng 
Câu 1: Điểm nào sau đây không thuộc đường thẳng 2 − 5 + 2 = 0? 
A. (4; 0) B. (−1; 0) C. 푃(4; 2) D. 푄(−6; −2) 
 Để chọn được đáp án đúng là A, học sinh chỉ cần hiểu tính chất một điểm 
thuộc một đường thẳng thì tọa độ của nó thỏa phương trình đường thẳng đó. 
 Nếu không đọc kĩ câu hỏi, học sinh có thể chọn ba phương án B, C, D do 
nhầm tưởng các điểm thuộc đường thẳng. 
 VÕ THỊ VÂN HÒA 7 
TL-TN-PTĐT 
 − 3 = 0
Câu 2: Tìm nghiệm ( ; ) của hệ phương trình { . 
 2 − 5 + 2 = 0
A. (3; 1) B. (−6; −2) C. (−1; 0) D. (2; 2) 
 Để chọn được đáp án đúng là B, học sinh cần biết cách giải hệ, câu này cũng 
có thể sử dụng máy tính. 
 Nếu không biết kĩ năng sử dụng máy tính, cũng không thể giải bằng các 
phương pháp đã học, học sinh có thể thế các phương án vào hệ và có thể bị bẫy ở 
phương án A (chỉ thỏa phương trình thứ nhất), C (chỉ thỏa phương trình thứ hai). 
Câu 3: Nếu M thuộc đường thẳng 2 − 5 + 2 = 0 thì tọa độ điểm M là 
A. (2푡 − 1; −5푡) B. (2푡; −5푡 + 2) C. (5푡 − 1; 2푡) D. (5푡; 2푡 − 1) 
 Để chọn được đáp án đúng là C, học sinh cần hiểu tính chất một điểm thuộc 
đường thẳng thì tọa độ của nó thỏa phương trình đường thẳng. Đặt một ẩn làm tham 
số và đưa ẩn còn lại về biểu thức theo tham số đó. 
 Học sinh có thể thế tọa độ các điểm vào để thử, nhưng có vẻ khá rối rắm và 
đáng sợ đối với những học sinh chưa hiểu kĩ thuật này. Câu này có thể để ở mức độ 
thông hiểu. 
 Để dễ hiểu hơn, ta có thể đưa về câu hỏi sau 
Câu 4: Cho đường thẳng có phương trình tổng quát 2 − 5 + 2 = 0. Phương 
trình nào sau đây là phương trình tham số của ? 
 = −1 + 2푡 = 2푡 = 5푡 = −1 + 5푡
A. { B. { C. { D. { 
 = −5푡 = 2 − 5푡 = −1 + 2푡 = 2푡
 Để chọn được đáp án đúng là D, học sinh cần biết cách đổi từ phương trình 
tổng quát sang phương trình tham số và ngược lại, mà kĩ thuật có thể là đổi từ vector 
pháp tuyến sáng vector chỉ phương. 
 Phương án A, B gây nhiễu cho những học sinh nhầm lẫn giữa vector chỉ 
phương và vector pháp tuyến, không đổi được tọa độ giữ hai loại vector đó. Học sinh 
không xác định được điểm nào thuộc đường thẳng cũng dễ mắc sai lầm và lựa chọn 
phương án C (vector chỉ phương đúng nhưng điểm (0; −1) không thuộc đường thẳng 
 ) 
 Bây giờ, câu 3 có thể đưa về mức độ nhận biết. 
 VÕ THỊ VÂN HÒA 8 
TL-TN-PTĐT 
 = −1 + 5푡
Câu 3: Nếu M thuộc đường thẳng { thì tọa độ điểm M là: 
 = 2푡
A. (2푡 − 1; −5푡) B. (2푡; −5푡 + 2) C. (5푡 − 1; 2푡) D. (5푡; 2푡 − 1) 
Câu 5: Cho ba điểm (1; 2), (0; 2), 푃(2; 3). Điểm 푄 có tọa độ bằng bao nhiêu để 
tứ giác 푄푃 là hình bình hành? 
A. 푄(1; 3) B. 푄(−1; 1) C. 푄(3; 3) D. Không tồn tại 푄 
 Để chọn được đáp án đúng là A, học sinh cần biết điều kiện để một tứ giác trở 
thành một hình bình hành đó chính là bốn đỉnh của tứ giác tạo thành hai vector bằng 
nhau. 
 Phương án B, C gây nhiễu cho những học sinh nhầ đỉnh của hình bình hành, 
không xác định được hoặc xác định nhầm hai vector bằng nhau. 
Câu 6: Tìm tọa độ điểm để (−1; −1) là trung điểm của 퐹 với 퐹(24; 8). 
A. (49; 17) B. (−26; −10) C. (22; 6) D. (47; 15) 
 Để chọn được đáp án đúng là B, học sinh cần hiểu biểu thức tính tọa độ trung 
điểm, có sự biến đổi linh hoạt để tính tọa độ một điểm mút của đoạn thẳng khi biết 
điểm mút còn lại và trung điểm của đoạn thẳng đó. 
 Các phương án A, C, D gây nhiễu cho những học sinh chưa hiểu kĩ công thức 
hoặc áp dụng sai, tính nhầm. 
 Kết luận 
 Câu hỏi khách quan không phải là ưu việt nhất, nó cũng tồn tại những nhược 
điểm mà câu hỏi truyền thống có thể khắc phục được. Vì vậy, nên có sự kết hợp giữa 
cả hai loại câu hỏi trên một cách phù hợp trong đánh giá năng lực toán của học sinh. 
Sự kết hợp đó có thể bổ trợ cho nhau để giúp đánh giá toàn diện các mặt, các khía 
cạnh khác nhau của năng lực toán ở học sinh. Từ đây ta cũng thấy rằng, việc đưa ra 
những câu hỏi trắc nghiệm khách quan cũng phải dựa vào các câu hỏi truyền thống, 
phân tích những kiến thức, kỹ năng mà học sinh có thể thực hiện được hoặc không, 
những sai lầm học sinh thường mắc phải, những nhầm lẫn trong cách hiểu, tư duy 
đặt ra những câu hỏi hay, những đáp án tốt đánh giá đúng năng lực của học sinh. 
 VÕ THỊ VÂN HÒA 9