Từ câu hỏi truyền thống đến trắc nghiệm khách quan - Chủ đề: Phương pháp tọa độ trong không gian

 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HUẾ 
 KHOA TOÁN 
 ---------- 
 HỒ THỊ ĐỨC THẢO 
TỪ CÂU HỎI TRUYỀN THỐNG ĐẾN 
 TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN 
 CHỦ ĐỀ: 
 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG 
 KHÔNG GIAN 
 Huế, tháng 4 năm 2017 
Hồ Thị Đức Thảo Toán 4T 
Bài toán 1:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A( 4; 2;4) và 
 xt 32 
 đường thẳng d: y 1 t ( t ). 
 zt 14 
Viết phương trình đường thẳng đi qua A, cắt và vuông góc với đường thẳng d . 
Bài giải: 
Cách 1: Đường thẳng cần tìm là giao tuyến của hai mặt phẳng ()P và ()Q , 
trong đó ()P là mặt phẳng đi qua A và chứa d , là mặt phẳng đi qua Avà 
vuông góc với d . 
Đường thẳng d đi qua B( 3 ; 1 ; 1) và có vectơ chỉ phương u (2 ; 1 ; 4) . 
Ta có: AB (1 ; 3 ; 5) 
Mặt phẳng ()P nhận u và AB làm vectơ chỉ phương, suy ra có một vectơ 
 1
pháp tuyến là: n u, AB (1 ; 2 ; 1) 
 7 
Mặt phẳng đi qua A( 4 ; 2 ; 4) và nhận n (1 ; 2 ; 1) làm vectơ 
pháp tuyến nên có phương trình: 
1(x 4) 2( y 2) 1( z 4) 0 hay x 2 y z 4 0 
Vì ()Qd nên ()Q nhận làm vectơ pháp tuyến. 
Phương trình mặt phẳng là: 
2(x 4) 1( y 2) 4( z 4) 0 hay 2x y 4 z 10 0 
 ()()PQ  
 xt 13 
 x 2 y z 4 0 
Vậy phương trình của là: hay yt 2 
 2x y 4 z 10 0 
 zt 3
Cách 2: Vì đi qua A và vuông góc với d nên phải nằm trong mặt phẳng 
()P đi qua A và vuông góc với d . 
Mặt phẳng ()P nhận vecto chỉ phương của làm vectơ pháp 
tuyến. 
Phương trình của mặt phẳng là: 
2016 – 2017 2 
Hồ Thị Đức Thảo Toán 4T 
Gọi M  d() P thì M( 3 2 t ;1 t ; 1 4 t ) d và M 
M () P 2(32)(1 t t )4(14)100 t t 1 
Vậy M ( 1;0;3) 
Khi đó: AM (3;2; 1) 
 x 4 y 2 z 4
Đường thẳng qua Avà M có phương trình: 
 3 2 1
Cách 3: Gọi M là hình chiếu vuông góc của A trên d thì Md . 
Suy ra: M( 3 2 t ;1 t ; 1 4 t ) 
Khi đó: AM (1 2 t ;3 t ; 5 4 t ) 
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương u (2 ; 1 ; 4) 
Ta có: AM d AM. u 0 2(12)1(3 t t )4(54) t 0 t 1 
Suy ra: AM (3;2; 1) 
Đường thẳng đi qua A và M nên có phương trình là 
Phân tích: Bài toán này có nhiều cách giải, học sinh có thể viết phương trình 
đường thẳng là giao tuyến của 2 mặt phẳng()P và ()Q , trong đó mp chứa 
A và d , mp chứa A và vuông góc với d (cách 1) hoặc xác định giao điểm 
M của và d rồi lập phương trình đi qua A và M (cách 2 và 3). Nếu học 
sinh thất bại ngay từ bước xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng d dựa 
trên phương trình tham số đề cho thì câu hỏi tự luận sẽ không thể cho ta biết điều 
gì về khả năng của học sinh về các khía cạnh khác của câu hỏi. 
 Các cách giải khác nhau kiểm tra học sinh nhiều kiến thức và kỹ năng như 
cách xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng khi biết phương trình tham số, 
viết phương trình mặt phẳng khi biết tọa độ điểm đi qua và vectơ pháp tuyến 
hoặc hai vectơ chỉ phương, chuyển đổi giữa các dạng biểu diễn khác nhau của 
phương trình đường thẳng. 
Những câu hỏi trắc nghiệm khách quan tương ứng: 
2016 – 2017 3 
Hồ Thị Đức Thảo Toán 4T 
 xt 12
 1
Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng : yt 2 
 3
 z 5
Vectơ nào sau đây là vecto chỉ phương của đường thẳng ? 
 1
A. a (1 ; 2 ;5) B. a 1; ;5 
 3
 1
 C. a 6; 1;0 D. a 2; ;5 
 3
Đáp án: C 
Phân tích: Để chọn được phương án đúng thì học sinh cần biết được cách tìm 
vectơ chỉ phương của đường thẳng khi biết phương trình tham số và các vectơ chỉ 
phương của đường thẳng cùng phương với nhau, đây cũng là điểm mà học sinh 
có thể không chú ý. 
Khi nhìn vào phương trình đường thẳng , học sinh sẽ dễ dàng tìm được ngay 
 1
một vectơ chỉ phương của đường thẳng là u 2; ;0 .Tuy nhiên kết quả 
 3
này lại không trùng với cả 4 phương án câu hỏi đưa ra, dẫn đến việc học sinh 
phải suy nghĩ đến các vectơ chỉ phương khác cùng phương với u , cụ thể ở đây là 
 (phương án C ) . Các phương án A, B, D gây nhiễu còn lại được đưa 
ra dựa trên việc học sinh có thể nhầm lẫn tọa độ điểm mà đường thẳng đi qua 
(tương ứng với hệ số tự do) với tọa độ vectơ chỉ phương của đường thẳng (tương 
ứng với hệ số của tham số t) 
Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , phương trình mặt phẳng đi qua 
điểm M (4 ; 3 ; 1) và có vectơ pháp tuyến n (2 ; 3 ; 4) là phương trình nào 
trong các phương trình sau đây? 
A. 2x 3 y 4 z 13 0 B. 4x 3 y z 13 0 
C. 2x 3 y 4 z 13 0 D. 2x 3 y 4 z 9 0 
Đáp án: A 
2016 – 2017 4 
Hồ Thị Đức Thảo Toán 4T 
Phân tích: Để chọn được phương án đúng học sinh cần nhớ được phương trình 
mặt phẳng đi qua điểm M(;;) x0 y 0 z 0 có vectơ pháp tuyến n (;;) a b c là:
a( x x0 ) b ( y y 0 ) c ( z z 0 ) 0 . 
Các phương án nhiễu được đưa ra dựa trên việc học sinh có thể nhầm lẫn tọa độ 
điểm M với tọa độ vectơ pháp tuyến (phương án B), hay sai sót, bất cẩn trong 
quá trình tính toán (phương án C và D). 
Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , viết phương trình mặt phẳng () 
 x 11 y z
đi qua A(0 ; 1 ; 1) và vuông góc với đường thẳng d : . 
 1 1 2
A. x y 2 z 1 0 B. x y 2 z 1 0 
C. x y 2 z 1 0 D. x y 2 z 3 0 
Đáp án: A 
Phân tích: Để làm được câu hỏi này, học sinh cần biết rằng khi một mặt phẳng 
 vuông góc với đường thẳng d thì vecto chỉ phương của đường thẳng d sẽ là 
vecto pháp tuyến của mặt phẳng . 
Các phương án nhiễu được đưa ra dựa trên việc học sinh có thể sai sót trong quá 
trình tính toán. 
 xt 13 
Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ , cho đường thẳng d:2 y t . 
 zt 3
Phương trình nào sau đây không là phương trình của đường thẳng d ? 
 x 2 y z 4 0 x 4 y 2 z 4
A. B. 
 2x y 4 z 10 0 3 2 1
 xt 16 xt 23 
C. yt 4 D. yt 12 
 zt 32 zt 41
Đáp án: D 
Phân tích: Để chọn được phương án đúng, học sinh cần có sự chuyển đổi linh 
hoạt giữa các dạng biểu diễn khác nhau của phương trình đường thẳng. 
Các phương án gây nhiễu được đưa ra dựa trên việc học sinh lúng túng khi đường 
thẳng được biểu diễn dưới dạng giao của 2 mặt phẳng (phương án A), dạng 
2016 – 2017 5 
Hồ Thị Đức Thảo Toán 4T 
chính tắc của phương trình đường thẳng (phương án B ), dạng khác của phương 
trình tham số khi chọn điểm đi qua và vecto chỉ phương của đường thẳng khác 
với phương trình đề cho (phương án C) 
Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A(4 ; -3 ; 2) và đường 
 x 22 y z
thẳng d : . Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc M của A trên 
 3 2 1
đường thẳng d ? 
A. M( 1 ; 0 ; 1) B. M(1 ; 0 ; 1) 
C. M( 1 ; 0 ; 1) D. M( 1 ; 0 ; 2) 
Đáp án: B 
Phân tích: Để chọn được phương án đúng học sinh có thể làm theo hai cách: tìm 
giao điểm M của mặt phẳng đi qua A vuông góc với đường thẳng d và đường 
thẳng d hoặc tìm giao điểm M của đường thẳng AM và đường thẳng d dựa trên 
điều kiện AM d . 
Các phương án nhiễu được đưa ra dựa trên việc học sinh có thể sai sót trong quá 
trình tính toán. 
 xt 1
Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d: y t và 
 zt 12
mặt phẳng (P ) : 2 x y z 2 0. Giao điểm M của d và (P) có tọa độ là gì? 
A. M(3 ; 1 ; 5) B. M(2 ; 1; 7) 
C. M(4 ; 3 ; 5) D. M(1 ; 0 ; 0) 
Đáp án: A 
Phân tích: Để chọn được phương án đúng học sinh cần biết được rằng khi điểm 
Md thì M(1 t ; t ; 1 2 t ) sau đó thế tọa độ điểm M vào phương trình mặt 
phẳng (P) để tìm giá trị t. 
Các phương án nhiễu được đưa ra dựa trên việc học sinh có thể nhầm lẫn trong 
quá trình tính toán. 
Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ , mặt phẳng song song với hai 
đường thẳng 
2016 – 2017 6 
Hồ Thị Đức Thảo Toán 4T 
 xt 2
 x 21 y z 
d1 : và d2 : y 3 2 t có vectơ pháp tuyến là gì? 
 2 3 4 
 zt 1
A. n ( 5;6; 7) B. n (5; 6;7) 
C. n ( 5; 6;7) D. n ( 5;6;7) 
Đáp án:D 
Phân tích: Để chọn được phương án đúng, học sinh cần tìm được vecto chỉ 
phương của đường thẳng d1 và d2 được cho dưới dạng phương trình tham số 
hay chính tắc, sau đó tính được tích có hướng của 2 vectơ chỉ phương để tìm 
được vectơ pháp tuyến. 
Các phương án nhiễu được đưa ra dựa trên việc học sinh có thể sai sót về dấu 
trong quá trình tính toán. 
Bài toán 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , viết phương trình mặt phẳng 
()P đi qua AC(3;0;0), (0;0;1) và tạo với mp ()Oxy một góc 60 . 
Bài giải: Mặt phẳng ()P đi qua AC, và tạo với mp một góc nên cắt 
Oy tại điểm Bb(0; ;0) khác gốc O b 0 
 x y z
Phương trình của mp(P) là: 1 hay bx 3 y 3 bz 3 b 0 
 31b
Suy ra: nP ( b ;3;3 b ) 
Mặt phẳng ()Oxy có vecto pháp tuyến là k (0;0;1) . 
Theo giả thiết, ta có: 
 3b 1
cos(nk , ) cos600 
 p 222
 bb 99 
 93
 6b 10 b22 9 b b 
 26 26
Vậy có hai mặt phẳng ()P thỏa mãn yêu cầu của đề bài: 
 x 26 y 3 z 3 0
 x 26 y 3 z 3 0
Phân tích: Nếu từ giả thiết mặt phẳng ()P đi qua điểm A Ox và tạo với mp
 một góc học sinh không suy ra được (P) sẽ cắt trục Oy tại một điểm 
2016 – 2017 7 
Hồ Thị Đức Thảo Toán 4T 
khác với gốc tọa độ thì câu hỏi tự luận sẽ không cho ta biết được khả năng của 
học sinh về các khía cạnh khác của bài toán như viết phương trình mặt phẳng 
theo đoạn chắn, tính góc giữa hai mặt phẳng dựa trên góc giữa hai vectơ pháp 
tuyến. 
Những câu hỏi trắc nghiệm khách quan tương ứng 
Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , gọi() là mặt phẳng cắt ba trục 
tọa độ tại ba điểm ABC(0 ; 0 ; 3), (0 ; -1 ; 0), (4 ; 0 ; 0) .Phương trình của () là 
gì? 
 x y z x y z
 A. () : 0 B. () : 1 
 3 1 4 4 1 3
 x y z x y z
 C. () : 0 D. () : 1 
 4 1 3 3 1 4
Đáp án: B 
Phân tích: Để chọn được phương án đúng, học sinh cần nắm được phương trình 
mặt phẳng theo đoạn chắn đi qua các điểm Aa( ; 0 ; 0) , Bb( ;0;0) ,Cc(0;0; ) là 
x y z
 1
a b c . 
 Các phương án nhiễu được đưa ra dựa trên việc học sinh nhớ sai vế phải 
của phương trình mặt phẳng theo đoan chắn bằng 0 (phương án A,C) hoặc là viết 
phương trình theo thứ tự các điểm đề cho (phương án A,D) 
Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ cho hai mặt phẳng 
(P ): 2 x y 3 z 1 0 và (Q ): x y z 5 0. Gọi là góc giữa hai mặt phẳng
()P và ()Q . Tính cos . 
 3 23
A. cos B. cos 
 14 14
 23 3
C. cos D. cos 
 14 14
Đáp án: C 
Phân tích: Để chọn được phương án đúng học sinh cần nắm được công thức 
 nnPQ.
cos . 
 nnpQ.
2016 – 2017 8 
Hồ Thị Đức Thảo Toán 4T 
Các phương án gây nhiễu được đưa ra dựa trên việc học sinh có thể làm thiếu dấu 
giá trị tuyệt đối ở tử số trong công thức trên, dẫn đến cos nhận giá trị âm 
(phương án B và D) hay sai sót trong quá trình tính toán (phương án A và D). 
Bài toán 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các điểm 
ABCD ( 2 ; 1 ; 2), (0 ; 4 ; 1), (5 ; 1 ; 5) , ( 2 ; 8 ; 5) 
a. Chứng minh: ABCD,,, là bốn đỉnh của một tứ diện. 
b. Tính thể tích khối tứ diện ABCD 
Bài giải: 
 a. Ta có: AB (2 ; 3 ; 1) , AC (7 ; 0 ; 7) 
 3 1 1 2 2 3
Suy ra: AB, AC ; ; (21 ; 7 ; 21) 
 0 7 7 7 7 0
AD (0;7; 7) nên AB, AC . AD 49 147 0 
ABCD,,, không đồng phẳng nên là các đỉnh của một tứ diện. 
 1 196 98
 b. V AB,. AC AD 
 ABCD 6 6 3
Phân tích: Bài toán này yêu cầu học sinh vận dụng tích có hướng để kiểm tra tính 
đồng phẳng của các điểm trong không gian và tính thể tích tứ diện. Tuy nhiên nếu 
học sinh không biết điều kiện để các điểm không đồng phẳng là gì thì bài toán sẽ 
không thể cho ta biết những phần nào của câu hỏi học sinh có thể trả lời được. 
Những câu hỏi trắc nghiệm khách quan tương ứng: 
Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ , cho 
ABC (0 ; 2 ; 2), ( 3 ; 1 ; 1), (4 ; 3 ; 0) và Dm (1 ; 2 ; ) . Tìm m để bốn 
điểm ABCD,,, đồng phẳng. 
Một học sinh giải như sau: 
Bước 1: AB ( 3 ; 1 ; 1) ; AC (4 ; 1 ; 2) ; AD (1 ; 0 ; m 2) 
 1 1 1 3 3 1
Bước 2: AB, AC ; ; ( 3 ; 10 ; 1) 
 1 2 2 4 4 1
Bước 3: ABCD,,, đồng phẳng AB, AC . AD 0 m 5 0 
Đáp số: m 5 
2016 – 2017 9 
Hồ Thị Đức Thảo Toán 4T 
Bài giải trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai ở bước nào? 
A. Đúng B. Sai ở bước 1 
C. Sai ở bước 2 D. Sai ở bước 3 
Đáp án: C 
Phân tích: Câu hỏi này kiểm tra kiến thức tổng hợp về tích vô hướng và điều kiện 
để các điểm trong không gian đồng phẳng, khả năng phân tích, theo dõi các bước 
giải để tìm ra lỗi sai. 
Câu 2 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho MN(2 ; 1 ; 1), (3 ; 0 ; 1), 
 P (2 ; 1 ; 3) , điểm Q nằm trên trục Oy và thể tích tứ diện MNPQ bằng 5. 
Tìm tọa độ của điểm Q . 
A. Q(0 ; 7 ; 0) B. Q(0 ; 7 ; 0) hoặc Q(0 ; 8 ; 0) 
C. Q(0 ; 8 ; 0) D. Q(0 ; 7 ; 0) hoặc Q(0 ; 8 ; 0) 
Đáp án: B 
Phân tích: Để chọn được phương án đúng, học sinh cần nắm được công thức tính 
 1
thể tích tứ diện MNPQ là V MN,. MP MQ 
 MNPQ 6 
Các phương án nhiễu được đưa ra dựa trên việc học sinh có thể xét thiếu trường 
hợp khi phá dấu giá trị tuyệt đối trong công thức tính thể tích (phương án A và 
C) hay tính sai dấu (phương án D). 
KẾT LUẬN 
 Việc chuyển bài toán tự luận thành các câu hỏi trắc nghiệm khách quan 
kiểm tra các khía cạnh khác nhau của bài toán giúp chúng ta có thể đánh giá học 
sinh một cách chính xác hơn, Tuy nhiên, trắc nghiệm khách quan thường chỉ phù 
hợp với những bài toán ở mức độ nhận biết và thông hiểu, ở mức độ vận dụng 
cao thì loại hình câu hỏi này không thể hiện được các bước suy luận của học sinh 
để giải quyết bài toán. 
2016 – 2017 10