Từ câu hỏi truyền thống đến câu hỏi trắc nghiệm khách quan - Chủ đề: Số phức

 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HUẾ 
 KHOA TOÁN 
 -------- 
TỪ CÂU HỎI TRUYỀN THỐNG ĐẾN CÂU HỎI TRẮC 
 NGHIỆM KHÁCH QUAN 
 CHỦ ĐỀ: SỐ PHỨC 
 SINH VIÊN: LÊ QUANG NHẬT 
 MSV: 13S1011108 
 LỚP TOÁN 4T 
 GIÁO VIÊN: NGUYỄN ĐĂNG MINH PHÚC 
 Huế, tháng 04 năm 2017 
Sinh viên: Lê Quang Nhật 
GVHD: Nguyễn Đăng Minh Phúc 
 Môn: LLDH Toán NC và ĐG trong DH Toán 
 Chủ đề: Số phức 
Bài toán 1: Trong mặt phẳng phức, cho và lần lượt là hai điểm biểu diễn hai số phức 
 và . Tìm số phức có phần thực dương được biểu diễn bởi điểm 
 biết rằng tam giác vuông cân tại . 
 Bài giải: 
 và lần lượt biểu diễn cho hai số phức và nên 
 . Gọi thỏa mãn yêu cầu bài toán, lúc đó biểu diễn cho số phức 
 . 
 Ta có 
 Tam giác vuông cân tại nên 
 ⇔ 
 ⇔ 
 ⇔ 
 ⇔ 
 ⇔ 
 ⇔ 
 loại ần t ực dương 
 ⇔ 
 Vậy số phức được biểu diễn bởi điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán là 
 Đây là dạng toán t ường hay gặp ở lớp 12, ở đây điều chúng ta muốn biết là học sinh 
có thể nhớ và hiểu cách biểu diễn hình học của một số phức ay k ông. Trước hết học sinh 
sử dụng các t ông tin được viết để thành lập một mô hình toán, bước này phụ thuộc vào kiến 
thức về biểu diễn hình học của số phức. Giả sử các học sinh có những kiến thức này thì sẽ vẽ 
một n n ư sau: 
 Sau đó ọc sinh sẽ gọi tọa độ của điểm biểu diễn cho số phức cần tìm rồi từ 
giả thiết bài toán tam giác vuông cân tại học sinh có được hệ ương tr n sau: 
 Giải hệ ương tr n trên ta sẽ t m được tọa độ điểm , từ đó suy ra số phức cần tìm 
sau k i đối chiếu điều kiện bài toán. 
 Rõ ràng nếu các em thất bại ngay ở bước đầu tiên là không biết cách biểu diễn hình 
học của số phức thì không thể giải quyết được bài toán trên. Đặc trưng của bài toán này là 
học sinh không thể giải đơn t uần bằng các biểu thức đại số mà phải thông qua hình học, từ 
đó ta t ấy được tầm quan trọng của biễu diễn hình học của số phức. Nếu chỉ là câu hỏi tự 
luận chúng ta sẽ không phản án được khả năng của học sinh về các khía cạnh trong bài toán 
gốc, do đó c úng ta sẽ sử dụng các câu hỏi trắc nghiệm có liên quan n ư sau: 
Câu 1: Trong các n dưới đây, n nào có điểm A biểu diễn cho số phức ? 
 A B 
 C D 
Đáp án B 
( Ở đây ọc sinh cần nhớ kiến thức: "Số phức t có điểm biểu diễn là " là 
có thể trả lời được câu hỏi này) 
Câu 2: Cho là điểm biểu diễn số phức và là điểm biểu diễn số phức 
 . Mện đề nào sau đây đúng? 
 A. Hai điểm và đối xứng với nhau qua trục hoành. 
 B. Hai điểm và đối xứng với nhau qua trục tung. 
 C. Hai điểm và đối xứng với nhau qua gốc tọa độ . 
 D. Hai điểm và đối xứng với n au qua đường thẳng . 
Đáp án A 
( Trong câu này ta thấy 2 số phức và có phần ảo đối n au nên ai điểm biểu diễn tương 
ứng của chúng sẽ đối xứng với nhau qua trục thực ( hay còn gọi là trục hoành ), học sinh 
t ường hay nhầm lẫn điều này nên một số sẽ chọn đá án B 
 Bước thứ 2 là từ giả thiết bài toán ta đưa ề biểu thức toán học, ta có thể xây dựng một 
câu hỏi để kiểm tra khả năng đó. 
Câu 3: Cho tam giác vuông cân tại hệ thức nào sau đây đúng ? 
 A. B. 
 C. D. 
Đáp án B 
( Do tam giác vuông cân tại nên và , trong các ương án được 
đưa ra trước hết học sinh có thể loại bỏ đá án D tức là tam giác vuông 
tại . Tiếp theo học sinh sẽ phát hiện đá án A à C gần giống nhau nên sẽ phân vân một 
trong hai đá án, ở đá án C ai ectơ và bằng nhau ( vô lý ). Vì vậy đá án c ín 
xác là đá án B . 
 Bước cuối cùng là kiểm tra lại giả thiết của bài toán, ở phần này học sinh phải có kiến 
thức về số phức có phần thực, phần ảo dương ay âm , cụ thể ta có thể đưa câu ỏi trắc 
nghiệm sau: 
Câu 4: Cho hình vẽ, A, B, C, D, E lần lượt là các điểm biểu diễn số phức . 
Trong các số phức trên, số nào có phần thực dương ? 
 A. Số phức B. Số phức 
 C. Số phức D. Số phức 
Đáp án D 
( Nếu học sinh không nắm rõ phần thực dương là n ư t ế nào thì từ hình vẽ có thể chia làm 2 
trường hợp: Trường hợp 1 gồm các điểm à trường hợp 2 gồm các điểm . 
Trong trường hợp học sin xác địn được phần thực dương là trường hợp 2 thì cần lưu ý 
điểm có phần thực bằng 0 do đó ta sẽ loại điểm ) 
Bài toán 2: Tìm các giá trị m để là số thuần ảo với là số phức có phần ảo dương thỏa 
mãn . 
 Bài giải: 
 Gọi ). 
 Ta có 
 ⇔ 
 ⇔ 
 ⇔ 
 ⇔ 
 ⇔ oặc oặc 
 ậy oặc oặc 
 có ần ảo dương nên ta có 
 Số ức có dạng lượng giác là 
 Suy ra 
 là số t uần ảo t ⇔ 
 Dạng toán này yêu cầu sự hiểu biết của học sinh về các phép toán trong số phức, số 
phức liên hợp, module của số phức, Nếu n ư câu tự luận trên thì chúng ta không thể đán 
giá được học sinh hiểu được những gì trong phần số phức, do đó c úng ta có t ể sử dụng một 
số câu hỏi trắc nghiệm để đán giá được học sinh. 
 Trước hết học sinh cần xác địn được số phức liên hợp của một số phức. Ta có thể 
dùng câu hỏi trắc nghiệm sau: 
Câu 1: Cho số phức Tìm số phức liên hợp của ? 
 A. B. 
 C D. 
Đáp án B 
( Học sinh cần nhớ rằng: "Một số phức thì có số phức liên hợp là "). 
 Không chỉ vậy từ bài toán ta còn cần phải biết cách tính module của một số phức bất 
kỳ, hai số phức bằng nhau khi nào? 
Câu 2: Cho số phức . Công thức nào dưới đây đúng? 
 A. | B. 
 C. D. 
Đáp án A 
Câu 3: Cho hai số phức và Tìm để 
 . 
 A B. 
 C. D. 
Đáp án C 
( Với câu hỏi trắc nghiệm này, học sin được đán giá ề kiến thức hai số phức bằng nhau: 
 " hai số phức được gọi là bằng nhau nếu phần thực bằng nhau và phần ảo bằng nhau ".) 
 Câu hỏi trắc nghiệm tiếp theo sẽ giú c úng ta đán giá xem ọc sinh có hiểu được 
dạng lượng giác của số phức không. 
Câu 4 : Cho số phức . Tìm dạng lượng giác của ? 
 A. B. 
 C. D. 
Đáp án C 
 Học sinh cần nhớ dạng lượng giác của số phức là . 
Câu 5: Cho số phức . Tìm để là số thuần ảo. 
 A. B. 
 C. D. 
Đáp án D 
 Trong các đá án trên nếu học sinh làm bằng cách thử đá số một cách vội vàng thì sẽ 
chọn đá án A, trong k i đó đá án c ín xác sẽ là đá án D, đá án A c ứa c ưa đầy đủ 
các giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán đề ra. 
 Đến với phần cuối cùng chúng ta sẽ làm quen với dạng toán giải ương tr n bậc hai 
với hệ số phức. 
Bài toán 3: Tìm phần thực phần ảo của số phức biết có phần thực dương à là ng iệm 
của ương tr n . 
 Bài giải: 
 Ta có (1) 
 Do đó ương tr n 1 có ai ng iệm phân biệt 
 Ta thấy số phức có phần thực bằng không thỏa mãn điều kiện nên loại 
 Ta chọn 
 Suy ra 
 Vậy số phức có phần thực là , phần ảo là 
 Để làm được bài toán trên t trước hết học sinh phải nhớ giải ương tr n ức với 
hệ số phức cũng n ư giải ương tr n ức với hệ số thực, nếu không nhớ điều này thì các 
em không thể giải quyết bài toán này. Nếu đã biết cách làm học sinh sẽ thực hiện t eo đúng 
quy tr n à đi đến kết quả bài toán. Tuy nhiên bài toán có một số kiến thức cơ bản yêu cầu 
học sinh cần chú ý mà chúng ta có thể viết thành các câu hỏi trắc nghiệm n ư sau: 
 Câu 1: Cho số phức . Tìm phần thực, phần ảo của số phức 
 A. Phần thực bằng và phần ảo bằng . 
 B. Phần thực bằng và phần ảo bằng . 
 C. Phần thực bằng và phần ảo bằng 
 D. Phần thực bằng và phần ảo bằng . 
Đáp án D 
 Đây là câu ỏi cơ bản nhằm đán giá ọc sinh xem có nhận biết được phần thực và 
phần ảo của một số phức không. Ở đây ọc sinh chỉ cần nhớ nếu số phức thì có 
phần thực bằng và phần ảo bằng là có thể làm được câu hỏi trắc nghiệm trên. 
Câu 2: Cho số phức . Tính giá trị của . 
 A. B. 
 C. D. 
Đáp án C 
( Học sinh cần chú ý yêu cầu của bài toán là , nếu tính một cách vội vàng thì học sinh sẽ 
lấy à ra được đá án D. ) 
Câu 3: C o ương tr n . Tìm z thỏa mãn ương tr n đã 
cho. 
 A. B. 
 C. D. 
Đáp án A