Tính liên tục Holder của ánh xạ nghiệm bài toán cực tiểu hóa có điều kiện

 các không gian định | ( 1) − ( 2)| ≤ 푛 ∥ 1, − 2 ∥ ; 
chuẩn, và ⊂ , Λ ⊂ 푌, ⊂ 푍 là các 
 (b) một ánh xạ đa trị 퐾: Λ ⇉ là 푛. 훾-
tập con khác rỗng. Cho 퐾: Λ ⇉ là ánh 
 liên tục Hölder tại 휆̅ ∈ Λ nếu và chỉ nếu 
xạ đa trị có giá trị lồi, khác rỗng và : ×
 tồn tại một lân cận của 휆̅ sao cho, với 
 → ℝ. Ta xét bài toán cực tiểu hóa có 
 mọi 휆 , 휆 ∈ , 
điều kiện phụ thuộc tham số (휆, ) ∈ Λ × 1 2
 훾
 sau đây: 퐾(휆1) ⊂ 퐾(휆2) + 푛픹(0, ∥ 휆1 − 휆2 ∥ ). 
(CMP) min ( , ). Nếu 훾 = 1, thì tính liên tục Hölder 
 ∈퐾(휆)
 được gọi là liên tục Lipschitz. 
 Với mỗi (휆, ) ∈ Λ × , ta ký hiệu tập 
nghiệm của (CMP) là Ta nói rằng một tính chất nào đó được 
 thỏa mãn trên một tập con ⊂ nếu và 
푆(휆, ): = { ̅ ∈ 퐾(휆)| ( , ) − ( ̅, ) chỉ nếu nó thỏa mãn tại mọi điểm của . 
 ≥ 0, ∀ ∈ 퐾(휆)}. 
 Định nghĩa 2.2 Xét : → ℝ, ⊂ , 
 Trong bài báo này, ta sử dụng ký hiệu và ℎ, 훽 là các số dương. Ta nói rằng 
∥⋅∥ cho chuẩn trong không gian định 
 (a) là ℎ. 훽-lồi mạnh trên một tập con 
chuẩn bất kỳ. Ký hiệu ℝ+ là tập hợp các 
số thực không âm và 픹( , ) là quả cầu lồi nếu và chỉ nếu, với mọi 1, 2 ∈ 
đóng bán kính ≥ 0 có tâm tại . và 푡 ∈ (0,1), 
conv( ) ký hiệu cho bao lồi của tập ⊂
 ((1 − 푡) 1 + 푡 2)
 . Với hai tập , ⊂ , ta sử dụng khái ≤ (1 − 푡) ( 1) + 푡 ( 2)
niệm khoảng cách sau 훽
 − ℎ푡(1 − 푡) ∥ 1 − 2 ∥ . 
 휌( , ): = sup ∥ − ∥. (b) là ℎ. 훽-tựa lồi mạnh trên một tập 
 ∈ , ∈ 
 con lồi nếu và chỉ nếu, với mọi 1, 2 ∈
 Chú ý rằng 휌( , ) = +∞ khi hoặc và 푡 ∈ (0,1), 
 không bị chặn. Ta nhắc lại một số khái 
niệm cần thiết trong phần tiếp theo. ((1 − 푡) 1 + 푡 2)
 ≤ max{ ( 1), ( 2)}
 Định nghĩa 2.1 Cho 푛, 훾 > 0. Ta nói 훽
 − ℎ푡(1 − 푡) ∥ 1 − 2 ∥ . 
rằng 
 (c) là ℎ. 훽-giống lồi mạnh trên ( 
 không cần thiết phải lồi) nếu và chỉ nếu, 
 119 
Tạp chí Nghiên cứu khoa học và Phát triển kinh tế Trường Đại học Tây Đô Số 11 - 2021 
với mọi 1, 2 ∈ và 푡 ∈ (0,1), tồn tại giả thiết rằng các tập nghiệm là khác rỗng 
 ∈ sao cho, trong một lân cận của điểm đang xét. 
 ( ) ≤ (1 − 푡) ( 1) + 푡 ( 2) − ℎ푡(1 Định lý 3.1 Xét (CMP), giả sử rằng 
 훽
 − 푡) ∥ 1 − 2 ∥ . tập nghiệm của (CMP) tồn tại trong lân 
 cận × 푈 của điểm (휆̅, ̅) ∈ Λ × . Giả 
 (d) là ℎ. 훽-tựa giống lồi mạnh trên 
 sử thêm rằng 
 ( không cần thiết phải lồi) nếu và chỉ 
nếu, với mọi 1, 2 ∈ và 푡 ∈ (0,1), tồn (i) 퐾 là ℓ. 훼-liên tục Hölder trên một 
tại ∈ sao cho, lân cận của 휆̅; 
 ( ) ≤ max{ ( 1), ( 2)} − ℎ푡(1 − 푡) (ii) với mỗi ∈ 푈, (⋅, ) là . 훿-liên 
 훽
 ∥ 1 − 2 ∥ . tục Hölder cũng như ℎ. 훽-tựa lồi mạnh 
 trên conv(퐾( )); 
 Chú ý 2.1 Dễ thấy rằng tính lồi mạnh 
(giống lồi mạnh) suy ra tính tựa lồi mạnh (iii) với mỗi ∈ 퐾( ), ( ,⋅) là 푛. 훾-
(tựa giống lồi mạnh). Ví dụ sau đây chỉ ra liên tục Hölder trên 푈. 
chiều ngược lại không đúng. 
 Khi đó, trên × 푈, ánh xạ nghiệm 푆 
 Ví dụ 2.1 Cho : ℝ → ℝ được xác là đơn trị và thỏa mãn điều kiện Hölder 
 2
định bởi ( ) = − − 2 với mọi ∈ sau: với mọi (휆1, 1), (휆2, 2) ∈ × 푈, 
[0,1]. Khi đó, là 1.2-tựa lồi mạnh trên 1
[0,1] nhưng, nó không những không lồi 4 ℓ훿 훽
 휌(푆(휆 , ), 푆(휆 , )) ≤ ( )
mạnh mà còn không lồi trên [0,1]. 1 1 2 2 2훿ℎ
 1
 Ta nói rằng là ℎ. 훽-tựa lõm mạnh 훼훿 8푛 훽
 ∥ 휆 − 휆 ∥ 훽 + ( )
(giống tựa lõm mạnh) trên nếu − là 1 2 ℎ
ℎ. 훽- tựa lồi mạnh (giống tựa lồi mạnh) 훾
 훽
trên . ∥ 1 − 2 ∥ . 
 Chứng minh. Ta chia nội dung chứng 
 3. TÍNH LIÊN TỤC CỦA ÁNH XẠ 
NGHIỆM minh thành ba bước. 
 Trong mục này, chúng tôi phát biểu Bước 1. Xét 11 ∈ 푆(휆1, 1) và 21 ∈
các kết quả chính của bài báo. Cụ thể, các 푆(휆2, 1) tùy ý. Ta chứng minh rằng 
điều kiện đủ cho tính liên tục Hölder của 1
 훼훿
 4 ℓ훿 훽
các ánh xạ nghiệm đối với các bài toán 훽
 ∥ 11 − 21 ∥≤ ( 훿 ) ∥ 휆1 − 휆2 ∥ . (1) 
cực tiểu hóa có điều kiện phụ thuộc tham 2 ℎ
số được thiết lập. Vì sự tồn tại của các tập Từ tính liên tục Hölder của 퐾, tồn tại 
nghiệm đã được nghiên cứu nhiều, chúng 1 ∈ 퐾(휆1) và 2 ∈ 퐾(휆2) sao cho 
tôi không nghiên cứu về sự tồn tại và luôn 
 120 
Tạp chí Nghiên cứu khoa học và Phát triển kinh tế Trường Đại học Tây Đô Số 11 - 2021 
∥ − ∥≤ ℓ ∥ 휆 − 휆 ∥훼, ∥ − 훿
 11 2 1 2 21 훼훿 ℓ
 훼 ≤ (ℓ ∥ 휆1 − 휆2 ∥) =
 1 ∥≤ ℓ ∥ 휆1 − 휆2 ∥ . (2) 2훿 2훿
 훼훿
 + ∥ 휆 − 휆 ∥ , 
 Vì 퐾 có giá trị lồi, ta có 1 11 ∈ 퐾(휆 ) 1 2
 2 1
 2+ 21 suy ra 
và ∈ 퐾(휆2). Theo định nghĩa của 
 2 1
tập nghiệm, ta có, 4 ℓ훿 훽
 ∥ − ∥≤ ( ) ∥ 휆 −
 11 21 2훿ℎ 1
 + 
 ( 1 11 , ) − ( , ) ≥ 0 và 훼훿
 2 1 11 1 훽
 휆2 ∥ . (5) 
 + 
 ( 2 21 , ) − ( , ) ≥ 0. (3) Trường hợp 2: 
 2 1 21 1
 max{ ( 11, 1), ( 21, 1)} =
 Sử dụng giả thiết tựa lồi mạnh trong 
 ( 21, 1), khi đó (4) suy ra 
(ii), ta có 
 ℎ
 + 훽
 ( 11 21 , ) ≤ ∥ 11 − 21 ∥
 2 1 4
 ℎ ≤ ( 21, 1)
max{ ( 11, 1), ( 21, 1)} − ∥ 11 −
 4 11 + 21
 훽 − ( , 1) 
 21 ∥ . (4) 2
 Trường hợp 1: 11 + 21
 ≤ ( 21, 1) − ( , 1)
max{ ( 11, 1), ( 21, 1)} = 2
 + 
 ( 11, 1), khi đó (4) suy ra + ( 2 21 , )
 2 1
ℎ
 ∥ − ∥훽 − ( 21, 1) 
4 11 21
 2 + 21 11 + 21 
 ≤ ( 11, 1) 훿
 ≤ ∥ − ∥ = 훿
 11 + 21 2 2 2
 − ( , 1) 훿
 2 ∥ 2 − 11 ∥ 
 + 훿
 11 21 훼훿 ℓ
 ≤ ( 11, 1) − ( , 1) ≤ (ℓ ∥ 휆 − 휆 ∥) =
 2 2훿 1 2 2훿
 1 + 11 훼훿
 + ( , ) ∥ 휆1 − 휆2 ∥ , 
 2 1
 suy ra 
 − ( 11, 1) 
 1
 1 + 11 11 + 21 4 ℓ훿 훽
 ≤ ∥ − ∥훿= ∥ − ∥≤ ( ) ∥ 휆 −
 2 2 2훿 11 21 2훿ℎ 1
 훿 훼훿
 ∥ 1 − 21 ∥ 훽
 휆2 ∥ . (6) 
 121 
Tạp chí Nghiên cứu khoa học và Phát triển kinh tế Trường Đại học Tây Đô Số 11 - 2021 
 Từ (5) và (6), ta được bất đẳng thức 21 + 22
 + ( , ) − ( , ) 
(1). 2 2 22 2
 훾 훾
 Bước 2. Với mọi 21 ∈ 푆(휆2, 1) và ≤ 푛 ∥ 1 − 2 ∥ + 푛 ∥ 1 − 2 ∥ = 2푛
 훾
 22 ∈ 푆(휆2, 2), ta có ( 22, 1) − ∥ 1 − 2 ∥ , 
 ( 21, 1) ≥ 0 và ( 21, 2) − suy ra 
 ( 22, 2) ≥ 0. Ta chứng minh rằng 
 1
 훾
 1 8푛 훽
 훾 훽
 8푛 훽 ∥ 21 − 22 ∥≤ ( ) ∥ 1 − 2 ∥ . (10) 
∥ − ∥≤ ( ) ∥ − ∥훽. (7) ℎ
 21 22 ℎ 1 2
 Trường hợp 2: 
 + 
 Vì 퐾 có giá trị lồi, ta có 21 22 ∈
 2 max{ ( 21, 2), ( 22, 2)} =
퐾(휆2). Theo định nghĩa của tập nghiệm, ( 22, 2), khi đó (9) suy ra 
ta có 
 ℎ 훽
 + ∥ 21 − 22 ∥
 ( 21 22 , ) − ( , ) ≥ 0 4
 2 2 22 2
 ≤ ( 22, 2)
 21+ 22
và ( , ) − ( , ) ≥ 0. (8) 21 + 22
 2 1 21 1 − ( , ) 
 2 2
 Sử dụng tính tựa lồi mạnh trong (ii), ta 
 + 
có ≤ ( , ) − ( 21 22 , )
 22 2 2 2
 21+ 22
 ( , ) ≤ + ( 21, 2) − ( 22, 2) 
 2 2
 ℎ
max{ ( , ), ( , )} − ∥ − 21 + 22
 21 2 22 2 4 21 + ( , 1) − ( 21, 1) 
 훽 2
 22 ∥ . (9) 
 훾 훾
 ≤ 푛 ∥ 1 − 2 ∥ + 푛 ∥ 1 − 2 ∥ = 2푛
 Trường hợp 1: 훾
 ∥ 1 − 2 ∥ , 
max{ ( 21, 2), ( 22, 2)} =
 ( 21, 2), khi đó (9) suy ra suy ra 
 1
 훾
ℎ 8푛 훽
 ∥ − ∥훽 ∥ − ∥≤ ( ) ∥ − ∥훽. (11) 
4 21 22 21 22 ℎ 1 2
 ≤ ( 21, 2) Từ (10) và (11), (7) được chứng minh. 
 21 + 22
 − ( , 2) 
 2 Bước 3. Với mọi 11 ∈ 푆(휆1, 1) và 
 22 ∈ 푆(휆2, 2), từ (1) và (7), ta có 
 21 + 22
≤ ( 21, 2) − ( , 2)
 2 ∥ 11 − 22 ∥≤∥ 11 − 21 ∥ +
 + ( , ) − ( , ) 
 22 1 21 1 ∥ 21 − 22 ∥, 
 122 
Tạp chí Nghiên cứu khoa học và Phát triển kinh tế Trường Đại học Tây Đô Số 11 - 2021 
suy ra thiết của Định lý 3.1 đều thỏa mãn với 
 1 푙 = 1, 훼 = 1, ℎ = 2, 훽 = 1, = 2, 훿 =
 4 ℓ훿 훽 1, 푛 = 2, 훾 = 1. Tập nghiệm là 푆(휆, ) =
 휌(푆(휆 , ), 푆(휆 , )) ≤ ( ) 
 1 1 2 2 2훿ℎ {0} liên tục Hölder với mọi (휆, ). 
 1 Rõ ràng điều kiện lồi mạnh của 
 훼훿 8푛 훽 훾
 훽 훽 không được thỏa mãn. Nghĩa là, các kết 
 ∥ 휆1 − 휆2 ∥ + ( ) ∥ 1 − 2 ∥ . 
 ℎ quả trong Li and Li (2014) và Anh et al. 
 Đặt 휆2 = 휆1 và 2 = 1 trong bất đẳng (2015) không áp dụng được. 
thức trên, ta thấy rằng đường kính của Ví dụ tiếp theo chỉ ra rằng các giả thiết 
푆(휆1, 1) bằng 0 với (휆1, 1) tùy ý, nghĩa trong Định lý 3.1 là thiết yếu. 
là, ánh xạ nghiệm 푆 là đơn trị trên × 푈. 
Định lý 3.1 đã được chứng minh. ∎ Ví dụ 3.2 (tính tựa lồi mạnh là quan 
 trọng) Cho = = ℝ, Λ = = [0,1], 
 Chú ý 3.1 Định lý 3.1 đã cải thiện 퐾(휆) = [휆, 2], (휆̅, ̅) = (0,0), và 
Định lý 3.3 trong Li and Li (2014) và Hệ 
 ( , ) = 2(− 2). Khi đó, giả thiết (i) 
quả 4.1 trong Anh et al. (2015) theo hai 
 thỏa mãn với 푙 = 1, 훼 = 1, và tính liên 
phương diện sau: 
 tục Hölder trong (ii) được thỏa mãn với 
 1. Tính lồi mạnh của hàm mục tiêu = 4, 훿 = 1. Giả thiết (iii) thỏa mãn với 
trong thành phần thứ nhất được giảm nhẹ 푛 = 8, 훾 = 1. Tập nghiệm là 
thành tựa lồi mạnh. Ta biết rằng tính lồi [0,2], = 0,
mạnh là một điều kiện nặng và do đó điều 푆(휆, ) = { 
 {2}, ≠ 0.
kiện này khó áp dụng trong các tình 
huống thực tế. Vì vậy, sự giảm nhẹ này là Do đó, 푆(0,0) là không đơn phần tử và 
rất có ý nghĩa. thậm chí 푆 không nửa liên tục dưới tại 
 (휆̅, ̅) = (0,0). Nguyên nhân là tính tựa 
 2. Tính chất Lipschitz của hàm mục 
 lồi mạnh của trong (ii) bị vi phạm. 
tiêu trong thành phần thứ hai được tổng 
quát lên thành tính liên tục Hölder. Trong trường hợp đặc biệt khi 퐾(휆) ≡
 퐾 (퐾 là một tập khác rỗng), thì tính tựa 
 Ví dụ sau đây chỉ ra trường hợp Định 
 lồi mạnh trong giả thiết (ii) của Định lý 
lý 3.1 có thể áp dụng được trong khi các 
 3.1 có thể được giảm xuống thành giống 
kết quả trong Li and Li (2014) và Anh et 
 tựa lồi mạnh, và chúng ta thu được kết 
al. (2015) thì không. 
 quả sau. 
 Ví dụ 3.1 Cho = = ℝ, Λ = =
 Định lý 3.2 Xét (CMP) với 퐾(휆) ≡ 퐾, 
[0,1], 퐾(휆) = [0, 휆], và ( , ) = ( +
 giả sử tập nghiệm tồn tại trong lân cận 푈 
1) . Khi đó, ta thấy rằng tất cả các giả 
 123 
Tạp chí Nghiên cứu khoa học và Phát triển kinh tế Trường Đại học Tây Đô Số 11 - 2021 
 1
 훾
của điểm ̅ ∈ . Giả sử thêm rằng các 8푛 훽
 ∥ − ∥≤ ( ) ∥ − ∥훽. (14) 
điều kiện sau được thỏa mãn 21 22 ℎ 1 2
 (i) với mỗi ∈ 푈, (⋅, ) là ℎ. 훽- Trường hợp 2: 
giống tựa lồi mạnh trên conv(퐾); max{ ( 1, 1), ( 2, 1)} = ( 2, 1), 
 khi đó (13) suy ra 
 (ii) với mỗi ∈ 퐾, ( ,⋅) là 푛. 훾-liên 
tục Hölder trên 푈. ℎ
 ∥ − ∥훽≤ ( , ) − ( ̅, ) 
 4 1 2 2 1 1
 Khi đó, trên 푈, ánh xạ nghiệm 푆 là đơn 
trị và thỏa mãn điều kiện Hölder sau: với ≤ ( 2, 1) − ( ̅, 1) + ( ̅, 1)
 − ( , ) + ( , )
mọi 1, 2 ∈ 푈, 휌(푆( 1), 푆( 2)) ≤ 1 1 1 2
 1
 훾 − ( 2, 2) 
 4푛 훽−1
( ) ∥ − ∥훽−1. 
 ℎ 1 2 훾 훾
 ≤ 푛 ∥ 1 − 2 ∥ + 푛 ∥ 1 − 2 ∥ = 2푛
 훾
 Chứng minh. Với mọi 1 ∈ 푆( 1) và ∥ 1 − 2 ∥ , 
 2 ∈ 푆( 2), ta có suy ra 
 1
 ( 2, 1) − ( 1, 1) ≥ 0, ( 1, 2) − 훾
 8푛 훽
 ( , ) ≥ 0. (12) ∥ − ∥≤ ( ) ∥ − ∥훽. (15) 
 2 2 21 22 ℎ 1 2
 Theo tính giống tựa lồi mạnh của Do đó 
trên 퐾, tồn tại ̅ ∈ 퐾 sao cho 
 1
 8푛 훽 훾
 ( ̅, ) ≤ max{ ( , ), ( , } − 훽
 1 1 1 2 1 휌(푆( 1), 푆( 2)) ≤ ( ) ∥ 1 − 2 ∥ . 
ℎ ℎ
 ∥ − ∥훽. (13) 
4 1 2
 Đặt 2 = 1 trong bất đẳng thức ở trên, 
 Trường hợp 1: khi đó đường kính của 푆( 1) bằng 0 với 
max{ ( 1, 1), ( 2, 1)} = ( 1, 1), 1 tùy ý, nghĩa là, ánh xạ nghiệm 푆 là đơn 
khi đó (13) suy ra trị trên 푈. ∎ 
 ℎ 4. KẾT LUẬN 
 ∥ − ∥훽≤ ( , ) − ( ̅, ) 
 4 1 2 1 1 1 Trong bài báo này, bằng cách sử dụng 
 các giả thiết về tính tựa lồi mạnh, chúng 
 ≤ ( 1, 1) − ( ̅, 1) + ( ̅, 2)
 tôi thiết lập các điều kiện đủ cho tính liên 
 − ( 2, 2) + ( 2, 1)
 − ( , ) tục Hölder của ánh xạ nghiệm cho bài 
 1 1 toán cực tiểu hóa có ràng buộc phụ thuộc 
 훾 훾
≤ 푛 ∥ 1 − 2 ∥ + 푛 ∥ 1 − 2 ∥ = 2푛 tham số. Chúng tôi cung cấp các ví dụ và 
 훾
 ∥ 1 − 2 ∥ , phản ví dụ để minh họa khả năng áp dụng 
suy ra cũng như sự thiết yếu của các giả thiết. 
 124 
Tạp chí Nghiên cứu khoa học và Phát triển kinh tế Trường Đại học Tây Đô Số 11 - 2021 
Các kết quả đạt được rất có ý nghĩa trong 6. Guo, L., Lin, G.H., Ye, J.J., 2012. 
toán học ứng dụng. Hơn nữa, chúng tôi Stability analysis for parametric 
tin rằng cách tiếp cận này có thể áp dụng mathematical programs with geometric 
cho các bài toán quan trọng khác như các constraints and its applications. SIAM 
bài toán quan hệ biến phân, bài toán bao Journal of Optimization. 22: 1151–1176. 
hàm thức biến phân, 
 7. Gfrerer, H., 2013. On directional 
 TÀI LIỆU THAM KHẢO metric subregularity and second-order 
 1. Anh, L.Q., Khanh, P.Q., 2009. optimality conditions for a class of 
Hölder continuity of the unique solution nonsmooth mathematical programs. 
to quasiequilibrium problems in metric SIAM Journal of Optimization. 23: 632–
spaces. Journal of Optimization Theory 665. 
and Applications. 141: 37–54. 8. Gfrerer, H., 2014. Optimality 
 2. Anh, L.Q., Khanh, P.Q., Tam, conditions for disjunctive programs 
T.N., 2015. On Hölder continuity of based on generalized differentiation with 
solution maps of parametric primal and application to mathematical programs 
dual Ky Fan inequalities. TOP. 23: 151– with equilibrium constraints. SIAM 
167. Journal of Optimization. 24: 898–931. 
 3. Anh, L.Q, Duoc, P.T, Tam, T.N., 9. Gfrerer, H., Klatte, D., 2015. 
2018. On Lipschitz continuity of Lipschitz and Hölder stability of 
solution maps to parametric vector optimization problems and generalized 
primal and dual equilibrium problems. equations. Mathematical Programming. 
Optimization. 67:1169–1182. 10. Khan, A.A., Tammer, C., 
 4. Chen, C.R., 2013. Hölder Zălinescu, C., 2015. Set-Valued 
continuity of the unique solution to Optimization: An Introduction with 
parametric vector quasiequilibrium Applications. Springer, Berlin. 
problems via nonlinear scalarization. 11. Khushboo, Lalitha, C.S., 2019. 
Positivity. 17: Scalarizations for a set optimization 
133–150. problem using generalized oriented 
 5. Eichfelder, G., Ha, T.X.D., 2013. distance function. Positivity. 
Optimality conditions for vector 12. Li, X.B., Li, S.J., Wang, L.N., 
optimization problems with variable Teo, K.L., 2009. The Hölder continuity 
ordering structures. Optimization. 62: of solutions to generalized vector 
597–627. equilibrium problems. European Journal 
 of Operational Research. 199: 334–338. 
 125 
Tạp chí Nghiên cứu khoa học và Phát triển kinh tế Trường Đại học Tây Đô Số 11 - 2021 
 13. Li, S., Li, X., 2011. Hölder 14. Li, X., Li, S., 2014. Hölder 
continuity of solutions to parametric continuity of perturbed solution set for 
weak generalized ky fan inequality. convex optimization problems. Applied 
Journal of Optimization Theory and Mathematics and Computation. 232: 
Applications. 149: 540–553. 908–918. 
 H퐎̈ LDER CONTINUITY OF SOLUTION MAPPINGS TO 
 CONSTRAINED MINIMIZATION PROBLEMS 
 Nguyen Huu Danh1* and Tran Ngoc Tam2 
 1Faculty of Basic Sciences, Tay Do University 
 2Faculty of Natural Sciences, Can Tho University 
 (*Email: nhdanh@tdu.edu.vn) 
ABSTRACT 
In this paper, we are concerned a constrained minimization problem under perturbations of 
both objective functions and constraints. Under the key assumptions of the strong 
quasiconvexity, Hölder continuity of objective functions, the Hölder continuity of constrained 
mapping, sufficient conditions for the stability in the sense of Hölder/Lipschitz continuity of 
solution mappings to such problems are established. Our study aimed at improving the 
problem from the results of Li and Li (2014), and Anh et al. (2015). More precisely, we want 
to relax the strong convexity conditions in the above results to the weaker one whereas 
Hölder/Lipschitz continuity for solution mappings to the constrained minimization problem 
is also archived. Numerous examples are also given to illustrate that our main results are 
new and different from the ones in literature. 
Keywords: Constrained minimization problems, Hölder continuity, Lipschitz continuity, 
Strong quasiconvexity 
 126