Tính liên tục của hàm gap cho bài toán bất đẳng thức tựa biến phân loại Minty

iệc nghiên cứu tính ổn định 
của tập nghiệm cho các loại bài toán tối ưu, bài toán bất đẳng thức biến phân và cân 
bằng trong những tài liệu giới thiệu trên và động lực nghiên cứu từ [12], trong bài viết 
này, chúng tôi sẽ xây dựng hàm gap tham số cho một loại bài toán bất đẳng thức tựa 
biến phân véctơ yếu hỗn hợp phụ thuộc tham số loại Minty (viết tắt, (MQVIP)). Đồng 
thời, các tính nửa liên tục và liên tục của hàm gap tham số cũng được khảo sát. Các kết 
quả của chúng tôi là cải thiện và mở rộng so với những kết quả nghiên cứu trong [12]. 
 Trong mục tiếp theo, chúng tôi thiết lập bài toán (MQVIP) và trình bày một số 
kiến thức cơ bản liên quan đến những kết quả tiếp theo. Trong Mục 3, hàm gap tham 
số được xây dựng cho bài toán (MQVIP), các tính chất về nửa liên tục và liên tục của 
hàm gap tham số cũng được xem xét. Những nhận xét kết luận và các hướng nghiên 
cứu tiếp tục cho những kết quả trong bài viết này được trình bày trong Mục 4. 
 421 
2. Giới thiệu bài toán và những kiến thức cơ bản 
 Lấy X là một không gian véctơ tôpô Hausdorff và  là một không gian tôpô 
Hausdorff. Cho LX( , ) Rn là không gian của tất cả các toán tử tuyến tính liên tục từ X 
 n
vào Rn và KXTX:2,:2  XLX (,) R là các ánh xạ đa trị, 
 gXXX:  và fXX:  Rn là các ánh xạ đơn trị, liên tục. Ký hiệu 
 zx, là giá trị của toán tử tuyến tính z L X ( , ) Rn tại xX , ta luôn giả sử rằng .,. 
là liên tục. Với , chúng ta xét bài toán bất đẳng thức tựa biến phân véctơ yếu hỗn 
hợp phụ thuộc tham số loại Minty sau: 
 (MQVIP) Tìm x K(,) x  sao cho 
 n
 z,(,,)(,,)int,(,),(,). gy   xfy xyKxzTy R 
Trong đó chúng ta ký hiệu số không âm và phần trong của số không âm của Rn bởi 
 nn
 RR = {=tttttin (,,...,)|0,=12 1,2,...,}ni 
và 
 nn
 int=RR {= (,,...,)|>tttttin12 0,= 1,2,...,}ni 
ở đây  được ký hiệu là chuyển vị. 
 Với mỗi  , chúng ta đặt ExXxKx():={|(,)} và  :2X là 
ánh xạ đa trị, sao cho () là tập nghiệm của (MQVIP). 
 Trong suốt bài viết này chúng tôi luôn giả sử rằng  () với mỗi  trong 
lân cận 0 . 
 Tiếp theo trong mục này, chúng ta gọi lại một số định nghĩa và tính chất của 
chúng đã được trình bày trong [2, 3]. Trước hết, chúng ta sẽ nghiên cứu các khái niệm 
nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới theo nghĩa Berge. Giả sử X và Y là hai không 
gian tôpô Hausdorff. 
 Ðịnh nghĩa 2.1 
 (a) Ánh xạ đa trị FX:2 Y được gọi là B -nửa liên tục dưới (gọi tắt là B -lsc) 
tại x0 nếu với mọi tập mở VY thỏa FxV()0   tồn tại lân cận U của x0 sao 
cho F() UV  . 
 (b) Ánh xạ đa trị FX:2 Y được gọi là B -nửa liên tục trên (gọi tắt là B -usc) 
tại x0 nếu với mọi lân cận V của Fx()0 tồn tại lân cận U của x0 sao cho FUV() . 
 (c) Nếu (a) (tương ứng (b)) thỏa với mọi xdomF0 thì ta nói rằng F là B -lsc 
(tương ứng B -usc). 
 (d) F được gọi là B -liên tục nếu và chỉ nếu nó là B -lsc và là B -usc. 
 Trong đó, domF kí hiệu cho miền hiệu quả của F và được xác định 
 domF:= { x X | F ( x )  }. 
 422 
 Mệnh đề 2.2 Cho ánh xạ đa trị FX:2 Y . Nếu F có giá trị compắc, thì F 
là usc tại x0 khi và chỉ khi, với mỗi lưới {}xX  hội tụ về x0 và với mỗi lưới 
{ }y (F ) x , tồn tại y F x () và một lưới con {}y của {}y sao cho yy . 
 Mệnh đề 2.3 Cho GX:2 Y là một ánh xạ đa trị và W X: Y R là một 
hàm giá trị thực. Nếu W là liên tục trên XY và G là B -liên tục với giá trị 
compắctrên X thì 
 VxWxy() :=(,) max 
 yGx ()
liên tục trên X . 
 Ðịnh nghĩa 2.4 Một ánh xạ đơn trị fX: R được gọi là nửa liên tục dưới 
(tương ứng trên) nếu với mỗi r R tập mức {x | ( X ) } f x r (tương ứng 
{x | ( X ) } f x r ) là đóng. f được gọi là liên tục nếu và chỉ nếu nó là nửa liên tục 
dưới và là nửa liên tục trên. 
3. Kết quả chính 
 Trong mục này, chúng tôi xây dựng hàm gap tham số cho bài toán (MQVIP). 
Ðồng thời, các tính nửa liên tục và liên tục của hàm gap tham số cũng được khảo sát. 
 Ðịnh nghĩa 3.1 Hàm số hX:  R được gọi là hàm gap phụ thuộc tham số 
(hay hàm gap tham số) của bài toán (MQVIP) nếu nó thỏa mãn các tính chất sau: 
 (a) hx(,)0 với mọi xE () , 
 (b) hx(00 , ) = 0 khi và chỉ khi x00 () . 
 Bây giờ chúng ta giả sử rằng Kx( , )  và Ty( , )  là các tập compắc với mọi 
(,)xX  và (,)yX  . Chúng ta định nghĩa hàm số hXR:  như sau 
 hxzgyxf(, )={(maxmaxmax , yxx ( , , E )( ,  , ))},(), i (1) 
 z T( yy ,  )( K , xi ) n 1
trong đó (,(,,)(,,))zgyxfyx i là thành phần thứ i của 
zgyxfyx,(,,)(,,) , in= 1,2,...,. 
 Vì Kx(,) và Ty( , )  là các tập compắc, nên hx(,) xác định. 
 Sau đây chúng tôi luôn giả sử rằng g(,,)= x x f (,,)=0 x x , với mọi xE () . 
 Ðịnh lí 3.2 Hàm số hx(,) được định nghĩa bởi phương trình (1) là một hàm 
gap tham số của bài toán (MQVIP). 
 Chứng minh. 
 Chúng ta định nghĩa một hàm số h:(,) X L X RRn  như sau: 
 hxz(,,)=max { max (,(,,)  zgyx   fyx (,,))}, i xEzTy (),  (,).  
 y K( x , ) 1 i n
 (a) Ta dễ dàng thấy rằng h( x , z , ) 0, x E( ),  z T ( y ,  ),    . Cho 
0 và giả sử ngược lại rằng tồn tại xE00 () , z00 T(,) y  sao cho 
 423 
 h x( , z ,000 ) < 0  , thì 
 0 >(,,)h xzzg ={(,(,,)(,,))00000000 y xfy x }, maxmax  i
 y K(,)1 xi00 n
 {(,(,,)(,,))max  zgy0000000 },(,). xfy xyKx i 
 1 in
 Điều này là không thể khi ta lấy yx= 0 . Do đó, 
 h( x , zz ,) g={(,( y xfymaxmax , ,)(xxEzT ,  ,)) y }0,(  ),( ,). i 
 y K( xi , )1n
 Do đó, với bất kì z T(,) y  , ta có 
 h(,) xz ={(,(,,)(,,)) gy xfymaxmaxmax x }0.  i 
 z TyyK(, )( xin , )1
 (b) Từ định nghĩa của hàm số h( . ,. ), hx( , )00 = 0 khi và chỉ khi với bất kỳ 
 y K x ( , )00 và z T y ( , ) 0 , 
 max (,(,,)(,,))0,zgyxfyx0000i 
 1 in
hoặc 
 max(,(,,)zgyx0 0  fyx (,,))0, 0  0i  yKx (,), 0  0  zTy (,)  0
 1 in 
do đó, tồn tại một chỉ số1 in0 , 
 (z ,  g ( y ,,)( xf  ,,))0,(y xyK xz ,),( T ,) y 
 0 00 00 00 i0
tương đương với 
 n
 zgyxf, (  ,,)(0  ,,))int,(yxRy 00 00 Kxz 00,),( ,). Ty 
 Điều này có nghĩa là, x00 () . W 
 Ví dụ 3.3 Lấy X R, n 1,  = [1,2], K ( x , ) = [0,  ], T ( y ,  ) = [1,1  22 y ] và 
 g(,,)= y x y x ,(,,)=0 f y x . Bây giờ ta xét bài toán (MQVIP), tìm x K(,) x  sao 
cho 
 zgyx,(,,)  fyx (,,)=(  zyx )0,  yKx (,),   zTy (,).  
 Tính toán ra ta được ( ) ={0} với mọi  [1,2]. Bây giờ ta chứng tỏ hx(,) 
là một hàm gap tham số của (MQVIP). Thật vậy, ta có 
 
 h(,)= xmax max  max [,(,,)  z g y x   f (,,)] y x  i 
 z T( y , ) y K ( x , )  1 i n
 =max max {z ( x y )} 
 z T(,)(,) y y K x
 =max zx ( 0) 
 z T(,) y 
 424 
 = m ax zx 
 zy [1,1]  22
 0 khi = 0() x  
 = 
 22
 xxyx khi (0,].
 Do đó, hx( , )  là một hàm gap tham số của bài toán (MQVIP). 
 Ví dụ 3.4 Lấy Xn=,=2,=[0,1]R  , Kx( , ) = [ ,0 ] , 
 
  11 
Ty( , ) =  , và g(,,)= y x y x ,(,,)=0 f y x . Bây giờ ta xét bài toán 
  22
(MQVIP), tìm x K x ( , )  sao cho 
 11 2
 z,(,,)(,,) g y xfy =(),()int,(  xyxyxyK ,). x R 
 22 
 Dễ dàng tính toán được  ( ) ={ } . 
 Bây giờ ta chứng tỏ là một hàm gap tham số của (MQVIP). Thật vậy, ta có 
 
 h(,)=[ xz g y xfmaxmaxmax , y(,,)(,,)] x   i 
 z T( yy ,  )( K , xi )1 n 
  11 
 =max(),()max  yxyx  
 y K(,) x   22 
  1
 =() max   xy 
 y [,0]  2
 0 khi x =   ( )
 = 1 
 (xx  ) khi (  ,0].
 2
 Do đó, là một hàm gap tham số của bài toán (MQVIP). 
 Nhận xét 3.5 Nếu Xfyx Rm,(,,) = 0  , gyxyxn(,,) =,1 , thì bài toán 
(MQVIP) dần về bài toán bất đẳng thức tựa biến phân vô hướng phụ thuộc tham số 
loại Minty (viết tắt, (MVI)) được xét trong [12] như sau: 
 (MVI) Tìm x K(,) x  sao cho 
  z,0,( y  xy , ),(  K  , xz ). T y  
 Khi đó hàm gap tham số cho bài toán (MVI) trong [12] là một trường hợp đặc 
biệt của hàm gap hx(,)  của chúng tôi. 
 425 
 Ðịnh lí 3.6 Xét bài toán (MQVIP). Nếu các điều kiện sau đây xác định: 
 (i) K( . ,. ) là B - nửa liên tục dưới trên X ; 
 (ii) T(.,. ) là B - nửa liên tục dưới trên . 
 Thì h( . ,. ) là nửa liên tục dưới trên X . 
 Chứng minh. Cho r R và giả sử rằng {(,)}xX    thỏa mãn 
 h( x , r ) ,   và (,)(,)khixx  00 , ta phải chứng tỏ rằng 
 h x( , r )00 . Thật vậy, từ h x( , r )  ta có 
  
 maxmaxmax   (,(,,)(,,))z gy xfy xri
 z TyyK(,)(  ,)1 xin 
và do đó 
 max  (,(,,)(,,)),(,),(,).z g y xfy  xryK xzTy i (2) 
 1 in
 Vì K( . ,. ) là B -nửa liên tục dưới trên X , nên với mọi y0 K(,) x 0 0 , tồn 
tại y K x ( , )  sao cho yy 0 khi . Do là - nửa liên tục dưới 
trên nên với mọi z000 T y ( , )  , tồn tại z T y ( , )  sao cho zz 0 khi 
 . Vì y K(,) x  và nên từ (2) suy ra 
 max (,(,,)(,,)).zg yxf yxr i (3) 
 1 in
 Do f ( . ,. ,. ), g( . ,. ,. ) và .,. là liên tục, nên 
 {(,( max ,,)(1 in ,,)) }z g y xfy x i 
cũng liên tục. Do đó, ta có thể lấy giới hạn trong (3) và có được 
 max (,(,,)(,,)).zg0000000 yxfyxr i (4) 
 1 in
 Do y0 K(,) x 0 0 và là tùy ý, nên từ (4) suy ra 
  
 h( xz0 , g 00 )=( y xf 00maxmaxmax ,(,y 0 xr , )(,   , )). i
 z T( yy , 00 K )( xi 0 , n )1 
 Ðiều này chứng tỏ rằng, với r R , thì tập mức {(x , ) | h ( x , ) r } là đóng. Do 
đó, h(.,.) là nửa liên tục dưới trên X . W 
 Nhận xét 3.7 Trong trường hợp đặc biệt như Nhận xét 3.5. Bổ đề 4.1 trong 
[12] là trường hợp đặc biệt của Định lí 3.6. Tuy nhiên phương pháp chứng minh Định 
lí 3.6 của chúng tôi là khác phương pháp chứng minh Bổ đề 4.1 trong [12]. 
 Ðịnh lí 3.8 Xét bài toán (MQVIP). Nếu các điều kiện sau đây xác định: 
 (i) là -liên tục với giá trị compắc trên ; 
 (ii) là -liên tục với giá trị compắc trên . 
Thì là liên tục trên . 
 426 
 Chứng minh. Từ kết quả của Ðịnh lí 3.6, h( . ,. ) là nửa liên tục dưới trên X . 
Do đó, để chứng minh h( . ,. ) là liên tục trên X , ta chỉ cần chứng minh rằng h( . ,. ) 
là nửa liên tục trên trên X . Thật vậy, ta lấy r R. Giả sử rằng {(,)}xX    
thỏa mãn h(,), x   r và (,)(,)khixx  00 . Chúng ta sẽ chứng 
minh h x( , r )00 . Vì , ta có 
  
 maxmaxmax   (,(,,)(,,)).z gy xfy xri
 z T( yyK ,)(,)1  xin 
 Xét lại hàm h x( ,z , )  được định nghĩa như trong phần đầu chứng minh của 
Ðịnh lí 3.2 như sau 
 
 hxz(,,)=max  max (,(,,)  zgyx   fyx (,,)), i xEzTy (),  (,).  
 y K( x , )  1 i n
 Vì f ( . ,. ,. ), g( . ,. ,. ) và .,. là liên tục, ta có 
 {(,(,,)(,,)) max 1 in } zgyxfyx i 
là liên tục, và cũng do K( . ,. ) là B -liên tục với giá trị compắc trên X . Vì vậy, theo 
Mệnh đề 2.3, ta có thể suy ra rằng h x( ,z , )  là liên tục. Từ tính compắc của Ty( , )  , 
tồn tại z T(,) y  sao cho 
  
 h( xz ,)( g y ,  xf ( y ,,)(maxmaxmax x ,,)) i
 z T( yy ,  K )( xi , n )1 
 =(,,)hxz  
  
 =(, (maxmax ,,)( ,,)).   zg y xf y xri
 y K(,)1 xi n 
 Từ tính compắc của Kx(,)  , tồn tại yKx (,)  sao cho 
 max (,(,,)(,,)).zg yxf yxr i (5) 
 1 in
 Vì K( . ,. ) là B -nửa liên tục trên với giá trị compắc trên X , tồn tại 
 y0 K(,) x 0 0 sao cho yy 0 (có thể lấy một lưới con {}y của {}y nếu cần 
thiết) khi . Vì T(.,.) là B - nửa liên tục trên với giá trị compắc trên X , tồn 
tại zTy000 (,)  sao cho zz 0 (có thể lấy một lưới con {}z của {}z nếu cần 
thiết) khi . 
 Do { max1 in (,(,,) z g y x  f (,,))} y x i là liên tục. Lấy giới hạn trong (5), 
ta có 
 max(,(,,) z0 g y 0 x 0 0  f (,,)) y 0 x 0 0 i r . 
 1 in
 427 
 Vì vậy, với bất kì y K x ( , )00 và z T y ( , ) 0 , ta có 
  
 h(,) xz000000 =(,(,,)(,,)). g y xfymaxmaxmax xr   i
 z T( yy ,)(,)1 000 K xi n 
 Ðiều này chứng tỏ rằng, với rR , tập mức {(,)|(,)}xhxr là đóng. Do đó, h( . ,. ) 
là nửa liên tục trên trên X . W 
 Nhận xét 3.9 Trong [12], Lalitha và Bhatia chỉ xét tính nửa liên tục dưới của 
hàm gap cho bài toán (MVI). Tuy nhiên các tác giả chưa xét tính nửa liên tục trên và 
tính liên tục cho hàm gap tham số. Vì vậy, Ðịnh lí 3.8 của chúng tôi là mới. 
4. Kết luận 
 Trong bài viết này, chúng tôi đã thiết lập được một hàm gap tham số cho bài 
toán (MQVIP) (xem Định lí 3.2). Đồng thời, các tính nửa liên tục và liên tục của hàm 
gap tham số cũng được xem xét (xem Định lí 3.6 và Định lí 3.8). Các kết quả của 
chúng tôi là cải thiện và mở rộng so với những kết quả về hàm gap trong [12]. 
 Từ những kết quả trong bài viết này, trong thời gian tới chúng tôi sẽ tiếp tục 
nghiên cứu một số vấn đề còn đang mở, đó là: 
 - Thiết lập các loại hàm gap tham số chính quy mới, từ đó xét các tính nửa liên 
tục và liên tục của chúng. Đồng thời, đi tìm biên sai dựa trên những hàm gap tham số 
chính quy đó trong thuật toán tìm nghiệm. 
 - Khảo sát tính nửa liên tục dưới, tính nửa liên tục dưới Hausdorff, tính liên tục 
và tính liên tục Hausdorff của tập nghiệm bài toán (MQVIP). 
 Tài liệu tham khảo 
[1]. A. Auslender, Optimization: Méthods Numériques, Masson, Paris, France (1976). 
[2]. J.P. Aubin, I. Ekeland, Applied Nonlinear Analysis, John Wiley and Sons, New 
 York, (1984). 
[3]. C. Berge, Topological Spaces, Oliver and Boyd, London (1963). 
[4]. G.Y. Chen, C.J. Goh, X.Q. Yang, On Gap Functions for Vector Variational 
 Inequalities, Non. Optim. Appl. 38 (2000), 55–72. 
[5]. C.R. Chen, S.J. Li, Z.M. Fang, On the solution semicontinuity to a parametric 
 generalized vector quasivariational inequality, Comput. Math. Appl. 60 (2010), 
 2417–2425. 
[6]. F. Giannessi, Theorems of alternative, quadratic programmes and 
 complementarity problems, in: R. W. Cottle, F. Giannessi, J. L. Lions (Eds.), 
 Variational Inequalities and Complementarity Problems, Wiley, Chichester, 
 (1980), 151-186. 
[7]. F. Giannessi, On some connections among variational inequalities, 
 combinatorial and continuous optimization, Annals of Operations Research 58 
 (1995), 181–200. 
[8]. D.W. Hearn, The gap function of a convex program, Operations Research Letter 
 1(1982), 67–71. 
 428 
[9]. N.V. Hung, Stability of a solution set for parametric generalized vector mixed 
 quasivariational inequality problem, J. Inequal. Appl. 276 (2013), 1–13. 
[10]. N.V. Hung, L.H.M. Van, V.M. Tam, On the semicontinuity of solution sets for 
 parametric vector quasi-variational inequality problems, J. Sci. Hue Univ. 96 
 (2014), 71–85. 
[11]. B.T. Kien, On the lower semicontinuity of optimal solution sets, Optimization, 
 54(2005), 123-130. 
[12]. C.S. Lalitha, G. Bhatia, Stability of parametric quasivariational inequality of 
 the Minty type, J. Optim. Theory Appl. 148(2011), 281-300. 
[13]. J. Li, Z.Q. He, Gap functions and existence of solutions to generalized vector 
 variational inequalities, Appl. Math. Lett. 18(2005), 989–1000. 
[14]. S.J. Li and C.R. Chen, Stability of weak vector variational inequality problems, 
 Nonlinear Anal. TMA 70 (2009), 1528–1535. 
[15]. R.T. Rockafellar, R.J. Wets, Variational analysis, Springer, Berlin (1998). 
[16]. N. Ð. Yên, Giáo trình giải tích đa trị, NXB Khoa học tự nhiên và công nghệ (2007). 
[17]. J. Zhao, The lower semicontinuity of optimal solution sets, J. Math. Anal. Appl. 
 207(1997), 240-254.