Tính duy nhất nghiệm của β - Nhớt của phương trình Hamilton-Jacobi trong không gian Banach

giá tr bng −∞( +∞ ). 
 f X , f β − x β −
 Cho hàm xác ñnh trên ta nói rng là kh vi ti và có ño hàm 
 ∇β f( x ) nu f( x ) hu hn và 
 fxtu(+− ) fx () −〈∇ t fxu (), 〉
 β → 0 
 t
 khi t → 0 ñu trên u∈ V vi bt kì V ∈ β. Ta nói rng hàm f là β − trơn ti x nu 
 *
 ∇βf: X → X β là liên tc trong lân cn ca x. 
 Đnh nghĩa 2.4. Cho f: X → ℝ là mt hàm na liên tc dưi và f( x )< +∞ . Ta nói 
 rng f là kh dưi vi phân β − nht và x* là mt dưi ño hàm β − nht ca f ti x nu 
 *
 tn ti mt hàm Lipschitz ña phương g: X → ℝ sao cho g là β − trơn ti x , ∇β g( x ) = x 
 và f− g ñt cc tiu ña phương ti x. Ta kí hiu tp tt c các dưi ño hàm β − nht 
 −
ca f ti x là Dβ f( x ) và gi là dưi vi phân β − nht ca f ti x. 
 Cho f: X → ℝ là mt hàm na liên tc trên và f( x )> −∞ . Ta nói rng f là kh trên 
 vi phân β − nht và x* là mt trên ño hàm β − nht ca f ti x nu tn ti mt hàm 
 *
 Lipschitz ña phương g: X → ℝ sao cho g là β − trơn ti x , ∇β g( x ) = x và f− g ñt 
 cc ñi ña phương ti x. 
 +
 Ta kí hiu tp tt c các trên ño hàm β − nht ca f ti x là Dβ f( x ) và gi là trên 
vi phân β − nht ca f ti x . 
 Đnh lí dưi ñây cho chúng ta thông tin v s liên h gia các dưi ño hàm β − nht 
ca hàm b chn, na liên tc dưi. Kt qu này ñưc s dng trong vic chng minh tính 
duy nht nghim β − nht ca phương trình HamiltonJacobi. 
 Đnh lí này ly kĩ thut chng minh  [Theorem 2.9, [6]] và ý tưng  [Lemma III.6, [5]]. 
 Đnh lí 2.5. Cho X là mt không gian Banach vi chun tương ñương vi chun 
 β − trơn và f1,..., fN : X → ℝ là N hàm na liên tc dưi, b chn. 
118 TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ ĐÔ H NỘI 
 * −
 Khi ñó, vi mi ε > 0, tn ti xn ∈ Xn, = 1,..., N và xn∈ Dfβ n( x n ) tho mãn: 
 ‖* ‖ ‖ * ‖
 i) diam(xx1 ,...,N ).max(1, x 1 ,..., x N ) < ε , 
 N N
 ii) fxn()inf n< fx n () + ε , 
 ∑x∈ X ∑
 n=1 n = 1
 N
 *
 iii) ∑ xn < ε. 
 n=1
 N
 Chng minh: Vi mi s thc t > 0, ta xác ñnh hàm wt : X → ℝ cho bi: 
 N N
 ‖ ‖ 2
 wxxt(1 ,..., N )=∑ fxt nn ( ) + ∑ xx nm − . 
 n=1 n , m = 1
 Đt Mt= inf w t , khi ñó Mt ñơn ñiu tăng theo t và b chn trên bi: 
 N 
 α:= liminffxn ( n ): diam ( xx1 ,..., N ) ≤ η  . 
 η→0 ∑
 n=1 
 Tht vy, vi ε > 0 bt kì, tn ti η0 > 0 sao cho vi mi 0 <η < η 0 thì: 
 N 
 inf∑ fxn ( n ): diam (,... xx1 , N ) ≤η  < α + ε . 
 n=1 
 2 2
 Chn η∈(0, η 0 ) tho mãn t. N .η< ε . Khi ñó, tn ti y1,..., y N sao cho: 
 diam(y ,..., y ) <η 
 1 N
 Và: 
 N N 
 ∑fynn( )< inf ∑ fx nn ( ): diam (,..., xx1 N ) ≤η  + ε . 
 n=1 n = 1 
 N
 ‖ ‖ 2
 Theo cách chn η  trên ta có: t∑ yn− y m < ε nên: 
 n, m = 1
 N N N
 ‖ ‖ 2  
 ∑fytyynn()+−< ∑ nm inf ∑ fx nn (): di am (,...,) xx1 N ≤+<+η  2 εα 3. ε 
 n=1 nm ,1 = n = 1 
 Do ñó Mt 0 bt kì nên Mt ≤ α. Đt M= lim M t . Trên không gian 
 t→+∞
tích X N có mt chun tương ñương vi mt chun β − trơn. Vi mi t > 0 áp dng 
 1 t
 nguyên lí bin phân trơn [5] cho hàm wt tn ti mt hàm φt li, C và xn , n= 1,..., N sao 
 t t ‖t t ‖
cho wt+φ t ñt cc tiu ña phương ti (x1 ,..., x N ), ∇βφt(x1 ,..., x N ) < ε / N và 
 t t 1 1
 wxxt(,...,1 N )inf< w t +≤+ M . (1) 
 t t
TẠP CHÍ KHOA HỌC −−− SỐ 8/2016 119 
 ttt t ttt t
 Vi mi n, hàm ywx֏ t(111 ,..., xyx nnNt−+ ,, ,..., x )+φ ( x 111 ,..., xyx nnN −+ ,, ,..., x ) ñt cc 
 t
tiu ña phương ti y= x n. Như vy, vi n= 1,..., N thì: 
 N
 x* :=−∇φ (,...,)2 xxttt −∇‖‖ .(2 xxDfx tt −∈ )− (). t (2) 
 ntβ xt n 1 N∑ β nm β nn
 m=1
 Do ñó: 
 NN NN
 x* =−∇φ (,...,)2 xxttt − ∇‖‖ .(2 xx tt − ). 
 ∑∑ntβ xtN n 1 ∑∑ β nm
 nn==11 nm == 11
 N
 Vì: ‖− ∇φ(xt ,..., x t ) ‖ < ε và ∇‖‖.(2xxtt −+∇ ) ‖‖ .( 2 xx tt −= )0 nên: 
 ∑ β xn t1 N βnm β mn
 n=1
 N
 x* < ε. 
 ∑ nt
 n=1
 Theo Đnh nghĩa Mt , kt hp vi (1) ta có: 
 t t
 Mt/2≤ wx t /2( 1 ,..., x N )
 t N
 tt‖ tt ‖ 2
 =wxxt(1 ,..., N ) −∑ xx nm − 
 2 n, m = 1
 t N
 1 ‖t t ‖ 2
 ≤+−Mt∑ x n − x m .
 t 2 n, m = 1
 Do ñó: 
 N 1
 t‖ xxt− t ‖ 2 ≤2( MM − + ) 
 ∑ nm tt /2 t
 n, m = 1
và t ñó ta có kt lun: 
 N
 ‖t t ‖ 2
 limt xn− x m = 0. 
 t→+∞ ∑
 n, m = 1
 Suy ra: 
 t t
 limdi am (x1 ,..., x N ) = 0. 
 t→+∞
 ‖ ‖‖2 ‖ ‖ ‖
 Mt khác ta có ñánh giá ∇β . ()x ≤ 2 x nên t công thc (2) ta có 
 N
 ‖x* ‖‖≤−∇φ ( xxttt ,..., ) ‖ +∇ 2 ‖‖ .2 ( xx tt − )
 nt xt n 1 N∑ nm
 m=1 
 εN ε
 ‖tt ‖ tt
 ≤+2t∑ 2 xxn −≤+ m 4 tN dia m ( xx1 ,...,N )
 Nm=1 N
 ‖* ‖
suy ra: limxn = 0 do ñó 
 t→+∞ t
120 TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ ĐÔ H NỘI 
 t t ‖* ‖ ‖ * ‖
 limdia m (xx1 ,...,N ).max( x 1 ,.. ., x N )= 0. 
 t→+∞ t t
 Và: 
 t t ‖* ‖ ‖ * ‖
 limdia m (xx1 ,...,N ).max(1, x 1 ,..., x N )= 0 . 
 t→+∞ t t
 Như vy, vì α là mt chn trên ca Mt nên ta có: 
 N 
 M≤lim inf fxn ( n ) :diam ( xx1 ,..., N ) ≤ η 
 η→0 ∑
 n=1 
 N N
 t t t
 ≤limin ffxnn ( ) = l im inf wxxM t (1 , ..., N ) ≤
 t→+∞∑ t →+∞ ∑
 n=1 n = 1
 Nên: 
 N 
 M=liminf fxn ( n ): dia m ( xx1 ,..., N ) ≤ η  . 
 η→0 ∑
 n=1 
 Vi η > 0 bt kì ta có: 
 N  N
 inffxnn (): dia m (,..., xx1 N )≤η  ≤ inf fx n ( ) 
 ∑x∈ X ∑
 n=1  n = 1
 suy ra: 
 N  N
 M=liminf fxnn ( ): diam (,..., xx1 N ) ≤η  ≤ in f fx n ( ) . 
 η→0 ∑x∈ X ∑
 n=1  n = 1
 N
 t t t
 Theo cách xác ñnh hàm wt ta có ∑ fxnn( )≤ wx t (1 ,..., x N ). T công thc (1) ta có: 
 n=1
 N N
 t 1 1
 fxMn() n<+≤ inf fx n (). + 
 ∑x∈ X ∑
 n=1t n = 1 t
 Ly x= x t và x*= xn * , = 1,..., N vi t ñ ln ta có kt lun ca Đnh lí. 
 n n n n t
2.2. Nghim β − nht ca phương trình HamiltonJacobi 
 Cho X là không gian Banach thc, X * là không gian ñi ngu ca nó. Xét phương 
trình ño hàm riêng: 
 F( x, u , Du ) = 0. 
 Trong trưng hp tng quát, phương trình (3) không có nghim c ñin. Nghim nht 
 ca phương trình ñã ñưc ñ xut bi Crandall và Lions [8] ñ thay th cho nghim c 
 ñin. Đnh nghĩa ban ñu ca nghim nht ñưc trình bày trong [8] và [7] trên cơ s dưi 
 vi phân Fréchet. Trong [[9], [6]], nghim β − nht ñưc ñnh nghĩa cho phương trình (3) 
 trên không gian không có chun Fréchet trơn. Ta nhc li ñnh nghĩa dưi ñây. 
TẠP CHÍ KHOA HỌC −−− SỐ 8/2016 121 
 Đnh nghĩa 2.6. ( Definition 3.1, [6]) 
 Cho X là mt không gian Banach vi chun tương ñương mt chun β − trơn. Mt 
hàm u: X → ℝ là nghim dưi β − nh t ca phương trình (3) nu u là mt hàm na liên 
 * +
 tc trên và vi mi x∈ X , vi mi x∈ Duxβ ( ), 
 Fxux(,(), x * )≤ 0.
 Mt hàm u: X → ℝ là nghim trên β − nht ca phương trình (3) nu u là mt hàm 
 * −
na liên tc dưi và vi mi x∈ X , vi mi x∈ Duxβ ( ), 
 Fxux(,(), x * )≥ 0.
 Hàm u ñưc gi là nghim β − nht ca phương trình (3) nu u va là nghim dưi 
 β − nht va là nghim trên β − nht ca phương trình (3). 
 Mt kt qu quan trng ca mc này là Đnh lí dưi ñây. Đnh lí này là s m rng 
cho Đnh lí 3.2 trong [6]  ñây u, v trong Đnh lí ñưc phát biu là hai hàm b chn sao cho 
 u na liên tc trên và v na liên tc dưi còn kt qu  Đnh lí 3.2 trong [6] thì hàm u, v 
 b chn và liên tc ñu trên X . Đây cũng là cơ s ñ chng minh tính duy nht nghim cho 
phương trình (3) 
 Đnh lí 2.7. Cho X là mt không gian Banach vi chun tương ñương vi mt chun 
 *
 β − trơn. Xét FxuDu(,, )= u + HxDu (, ) vi H: X× X β → ℝ tho mãn gi thit: (A) vi 
 * * *
mi x, y∈ X và x, y∈ X β , 
 |(,)Hxx*− Hyy (,)| * ≤−−+ wxyxy ( , ** ) K .max(‖ x ** ‖‖ , y ‖‖ ) xy − ‖ ,
 *
 Trong ñó: K là hng s dương và w: X× X β → ℝ là hàm liên tc vi w(0,0)= 0. 
 Cho u, v là hai hàm b chn sao cho u na liên tc trên và v na liên tc dưi. Nu u 
 là nghim β − nht dưi v là nghim β − nht trên ca phương trình F(,, x u Du )= 0 thì 
 u≤ v . 
 Chng minh: Ly ε là hng s dương bt kì. Theo gi thit (A) tn ti η∈(0, ε ) và 
 * ‖ ‖ * *
 mt lân cn Vβ ca 0 trong X β sao cho vi x1− x 2 < 2η và x1− x 2 ∈ V β thì 
 |(,)HxxHxx*−<+ (,)| *ε K .max(‖ x ** ‖‖ , x ‖‖ ) xx − ‖ . 
 11 22 1212
 *
 Trên X , tô pô Fréchet τ F là tô pô mnh nht trong các tô pô τ β , nên Vβ là mt τ F − 
 lân cn ca 0. Do vy, tn ti r > 0 (ta có th gi thit r >η, nu không thì ta gim η) 
 sao cho B(0, r )⊂ V β . 
 * − * +
 Áp dng Đnh lí 2.5 cho hàm f1= vf, 2 = − u tn ti x1∈ Dvxβ ( 1 ) và x2∈ Duxβ ( 2 ) 
 tho mãn 
122 TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ ĐÔ H NỘI 
 ‖* ‖‖ ‖ ‖* ‖‖ ‖
 (i) x1. x 1− x 2 < ε và x2. x 1− x 2 < ε ; 
 * *
 (ii) x1− x 2 ∈ B(0, r ); 
 (iii) vx()1− ux ( 2 ) < inf( vu −+ )ε . 
 X
 Vì u là nghim β − nht dưi nên ta có: 
 Fxux(,(),) x*= ux () + Hxx (,)0 * ≤ 
 222 2 22
 và v là nghim β − nht trên: 
 Fxvx(,(), x* )= vx () + Hxx (, * )0. ≥ 
 111 1 11
 ‖ ‖ * *
 Do ñó, vi x1− x 2 < 2η và x1− x 2 ∈ V β , 
 inf(vu−> ) vx ()1 − ux ( 2 ) − ε
 X
 ≥Hxx(,)* − Hxx (,) * − ε
 22 11 
 ‖* ‖‖ * ‖‖ ‖
 ≥−+(εK .max( xx1 , 2 ) xx 12 −− ) ε
 ≥ −ε(2 + K ).
 Vì ε > 0 bt kì nên inf(v− u ) ≥ 0 hay v≥ u . 
 X
 H qu 2.8. Dưi các gi thit ca Đnh lí 2.7, nghim β − nht trong lp hàm liên 
tc, b chn ca phương trình F(,, x u Du )= 0 là duy nht. 
 Nu u, v là hai nghim β − nht ca phương trình F(,, x u Du )= 0 khi ñó: u là nghim 
 dưi β − nht, v là nghim trên β − nht nên theo H qu 2.8 ta có u≤ v , tương t v là 
 nghim dưi β − nht, u là nghim trên β − nht nên theo H qu 2.8 ta có v≤ u . T ñó ta 
có u= v . 
 Như vy, ta ñã chng minh ñưc tính duy nht nghim β − nht cho phương trình 
 F(,, x u Du )= 0 trong lp hàm liên tc và b chn, kt qu này là s m rng thc s cho 
 [Corollary 3.3, [6]].  ñó ñưa ra kt qu tính duy nht nghim β − nht ca phương trình 
 F(,, x u Du )= 0 trong lp hàm b chn và liên tc ñu. 
 Nhn xét 2.9. 
 1) Xét phương trình HamiltonJacobi gn lin vi lí thuyt ñiu khin ti ưu (xem [6]): 
 Cho X là mt không gian Banach vi chun β − trơn, U là mt không gian mêtric, 
 gX: × U → X là mt hàm liên tc, Lipschitz theo bin x ñu trên U, tn ti K ∈ β sao 
cho gxU( , ) ⊂ K vi mi x∈ X , f: X× U → ℝ là hàm liên tc, b chn, Lipschitz theo 
bin x ñu trên U. 
TẠP CHÍ KHOA HỌC −−− SỐ 8/2016 123 
 Ta xác ñnh hàm H: X× X * → ℝ bi 
 Hxp(,)= sup{− − fx (, α )} . 
 α∈U
 Khi ñó H tho mãn gi thit (A) ca Đnh lí 2.7. Tht vy, vi x, y∈ X và p, q∈ X * , 
 ta có: 
 |HxpHyq (,)−≤ (,)|sup qgy ,(,)α − pgx ,(,) α + sup|(,) fy αα − fx (,)| 
 α∈U α ∈ U
 ≤−supqpgy ,(,)α + sup pgy ,(,) α −+− gx (,) α Mxy | | 
 α∈U α ∈ U
 ≤supqpx −+ , Lp‖ ‖‖ xy −+− ‖ Mxy | | 
 x∈ K
 ≤−+supqpx , L max{,‖ pq ‖‖‖‖ } xyMxy −+− ‖ | |. 
 x∈ K
 Trong ñó M là hng s Lipschitz theo bin x ñu trên U ca hàm f . L là hng s 
Lipschitz ca hàm g. Điu kin (A) ca Đnh lí 2.7 tho mãn vi 
 wxypq(−−= , )sup qpx − , + Mxy | − |. 
 x∈ K
 Theo H qu 2.8, phương trình u+ H(, xDu ) = 0 có nghim β − nht duy nht. 
 2) Ví d sau ch ra mt phương trình mà ñiu kin (A) ca Đnh lí 2.7 không tho mãn 
và phương trình không có nghim duy nht. 
 Xét X = ℝ, vi borno Fréchet, H : ℝ× ℝ → ℝ xác ñnh bi Hxp(,)= − p 2 . 
 1
 Phương trình: u+ H(, xDu ) = 0 có hai nghim c ñim là hàm u ≡ 0, và hàm u= x 2 . 
 4
 Gi thit A) ta có th thy rng nu x− y dn ñn 0 và x*− y * dn ñn 0 thì 
 |Hxx (,* )− Hyy (, * )| dn ñn 0, tuy nhiên ñiu này không ñúng. Tht vy vi δ > 0, chn 
 1 1
 x*=δ +, y * = thì |Hxx (,* )− Hyy (, * )|2. > 
 δ δ
3. KT LUN 
 Bài vit ñã chng minh ñưc tính duy nht nghim β − nht ca phương trình 
HamiltonJacobi trong lp hàm liên tc và b chn. Đây là s m rng cho kt qu ñưc 
trình bày trong [6],  ñó kt qu ñưc trình bày cho lp hàm liên tc ñu và b chn. Tuy 
nhiên, tính duy nht nghim β − nht cho lp hàm liên tc và không b chn cũng như 
 Hamilton H trong phương trình u+ H( x , Du ) trong ñó H ph thuc ba n H(,, x u Du ) 
 chưa ñưc trình bày. Trong thi gian ti chúng tôi hy vng rng s có ñưc nhng kt qu 
 mi cho các vn ñ quan tâm ñó. 
124 TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ ĐÔ H NỘI 
 TÀI LIU THAM KHO 
1. Barbu V., Prato G. D., (1983), HamiltonJacobi equations in Hilbert spaces , Boston, London, 
 Melbourne. 
 2. Bardi M., CapuzzoDolcetta I. (1997), Optimal control and viscosity solutions of Hamilton
 JacobiBellman equations , Birkhauser, Boston. Basel. Berlin. 
 3. Borwein J. M. and Zhu Q. J. (1999), "A survey of subdifferential calculus with applications", 
 Journal nonlinear analysis , Vol. (38), pp.687773. 
 4. Crandall M. G. and Lions P. L. (1986), "HamiltonJacobi equations in infinite dimensions", II, 
 J. Funct. Anal. , (65), pp.368405. 
5. Borwein J. M., Preiss D. (1987), "A smooth variational principle with applications to 
 subdifferentiability and to differentiability of convex functions", Trans. Amer. Math. Soc ., 
 (303), pp.517527. 
 6. Borwein J. M., Zhu Q. J., (1996), "Viscosity solutions and viscosity subderivatives in smooth 
 Banach spaces with applications to metric regularity", SIAM J. Control and Optimization , 
 (34), pp.15681591. 
 7. Crandall M. G. and Lions P. L. (1985), "HamiltonJacobi equations in infinite dimensions", I, 
 J. Funct. Anal. , (62), pp.379398. 
 8. Crandall M. G., Lions P. L. (1983): "Viscosity solutions of HamiltonJacobi equations" , 
 Trans. Amer. Math. Soc , (277), pp.142. 
 9. Deville R., Godefroy G. & Zizler V. (1993), "A Smooth variational principle with 
 applications to HamiltonJacobi equations in infinite dimensions", J. Funct. Anal. , (111), 
 pp.197212. 
10. Deville R., Godefroy G. & Zizler V. (1993), "Smoothness and Renormings in Banach 
 Spaces", Pitman Monographs and Surveys in Pure and Applied Mathematics , (64), J. Wiley 
 & Sons, Inc., New York. 
11. Durea M. (2003), "Applications of the Fréchet subdifferential", Serdica Math. J. , (29), pp.301314. 
 12. El Haddad E., Deville R. (1996), "The Viscosity Subdifferential of the Sum of Two Functions 
 in Banach Spaces, I: First Order Case", Journal of Convex Analysis , Volume 3, (2), pp.295308. 
13. Ishii H. (1987), "Perron's method for HamiltonJacobi equations", Duke Math. J. , (55), 
 pp.369384. 
14. Mordukhovich B. S., Nam N. M., Yen N. D. (2007), "Subgradients of marginal functions in 
 parametric mathematical programming", Math. Program., Ser. B , (116), pp.369396. 
 15. Mordukhovich B. S., Yongheng Shao, Zhu Q. J., (2000), "Viscosity Coderivatives and Their 
 Limiting Behavior in Smooth Banach Spaces" , Kluwer Academic Publishers , Printed in the 
 Netherlands, (4), pp.139. 
 THE UNIQUENESS OF β − VISCOSITY SOLUTIONS OF 
 HAMILTONJACOBI EQUATIONS IN BANACH SPACES 
 AbstractAbstract: This article provides some results on β − viscosity sub  differential and the 
 uniqueness of β − viscosity solutions of HamiltonJacobi equations in the class of 
 bounded and continuous functions. 
 Keywords : Bornology β, β − smooth, β − viscosity subsolution, β − viscosity supersolution, 
 HamiltonJacobi equations.