Tiêu chuẩn về tính điều khiển được hệ phương trình tuyến tính rời rạc không có hạn chế trên điều khiển

TẠP CHÍ KHOA HỌC SỐ 4/2016 15 
TIÊU CHUẨN VỀ TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƢỢC HỆ PHƢƠNG 
 TRÌNH TUYẾN TÍNH RỜI RẠC KHÔNG CÓ HẠN CHẾ 
 TRÊN ĐIỀU KHIỂN 
 Nguyễn V n H o1, Lê Thị Huyền My 
 Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 
 Tóm tắt: Trong bài báo này, trước hết chúng tôi giới thiệu bài toán điều khiển được hệ 
 phương trình tuyến tính rời rạc. Từ đó trình bày một số tiêu chuẩn về tính điều khiển 
 được hệ phương trình tuyến tính rời rạc không có hạn chế trên điều khiển. 
 Từ khóa: phương trình tuyến tính rời rạc, điều khiển, tiêu chuẩn. 
1. ĐẶT VẤN ĐỀ 
 Tính điều khiển đƣợc nghiên cứu các lớp hàm điều khiển chấp nhận đƣợc sao cho dƣới 
tác động của nó hệ thống đƣợc điều khiển về các vị trí mong muốn. Nói một cách cụ thể 
hơn: cho một hệ thống mô tả bởi phƣơng trình điều khiển, các vị trí mong muốn cần điều 
khiển của hệ thống, nhƣ trạng thái xx01, đƣợc cho trƣớc, hãy tìm các điều khiển chấp nhận 
đƣợc ut() sao cho dƣới tác dụng của điều khiển này, hệ thống đƣợc điều khiển từ trạng thái 
x 0 tới trạng thái x1 trong một thời gian (tùy ý hoặc cố định) nào đó, tức là quỹ đạo của hệ 
thống xuất phát từ trạng thái x 0 tại thời điểm t0 sẽ chuyển đến trạng thái x1 tại thời điểm 
t1 . 
 Hệ điều khiển với thời gian rời rạc: 
 x( k 1) f ( k , x ( k ), u ( k )), k (1.1) 
 Khi đó, với trạng thái ban đầu xx(0) 0 và dãy điều khiển
u u(0), u (1), , u ( k 1), , hệ luôn có nghiệm xác định: 
 x(1) f 0, x , u (0) 
 0
1 Nhận bài ngày 21.04.2016; gửi phản biện và duyệt đăng ngày 10.05.2016 
 Liên hệ tác giả: Nguyễn Văn Hào; Email: nguyenvanhaodhsphn2@gmail.com 
16 TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ ĐÔ HÀ NỘI 
 x(2) f 1; f 0, x , u (0) , u (1) 
 0
 x(3) f 2, f 1; f 0, x0 , u (0) , u (1) , u (2) 
 Hệ (1.1) là hệ phƣơng trình phi tuyến nếu hàm f k, x ( k ), u ( k ) là hàm phi tuyến. Hệ 
(1.1) là hệ phƣơng trình tuyến tính nếu hàm f k, x ( k ), u ( k ) là hàm tuyến tính, hay: 
 fkxkuk,(),() Akxk ()() Bkukk ()(), 
 Do đó, hệ phƣơng trình tuyến tính với thời gian rời rạc có dạng: 
 xkAkxk( 1) ()() Bkuk ()(),k 
 k
 Khi đó với điều kiện ban đầu xx(0) 0 tùy ý, điều khiển u u(0), u (1), , u ( k 1) , 
nghiệm xk() tại bƣớc k 0 đƣợc cho bởi công thức Cauchy: 
 k 1
 xk() Fkx (,0)(,0 1)()(), Fks Bsus 
 s 0
Trong đó, F(,) k s là ma trận nghiệm cơ bản của hệ tuyến tính thuần nhất: 
 x( kA k 1) x k ( ) ( ), k . 
 Ta có thể mô tả đƣợc công thức biểu diễn của F(,) k s theo công thức: 
 F( k , s ) A ( kA s 1) ( ), ks0, 
 F(,). k k I 
 Nếu các ma trận AB(.), (.) là ma trận hằng số, thì ta có hệ tuyến tính dừng với thời 
gian rời rạc có dạng: 
 x( k 1) Ax ( k ) Bu ( k ). 
 Khi đó ta có: 
 F( k , s ) Aks ; k s 0 
và nghiệm của hệ tuyến tính dừng với thời gian rời rạc đƣợc xác định bởi công thức: 
 k 1
 k k s 1
 x( k ) A x0 A Bu ( s ). 
 s 0
 Xét hệ tuyến tính rời rạc: 
 xk( 1) Akxk ()() Bkukk ()(); , (1.2) 
TẠP CHÍ KHOA HỌC SỐ 4/2016 17 
Trong đó: xk() n là vectơ trạng thái, uk() m là vectơ điều khiển, nm
A( k ), B ( k ),0,1,2, k là những ma trận có số chiều ()nn và ()nm tƣơng ứng. 
 Định nghĩa 1.1. Một dãy hàm vectơ u( k );0,1,2,... k trong m đƣợc gọi là điều khiển 
chấp nhận đƣợc của hệ (1.2). 
 Xét hệ điều khiển tuyến tính (1.2) với giá trị ban đầu xx(0) 0 cho trƣớc. Nhƣ vậy, 
ứng với mỗi điều khiển chấp nhận đƣợc uk(), bài toán Cauchy của hệ (1.2) luôn có nghiệm 
 k 0
x k,, x0 u tại bƣớc đƣợc cho bởi: 
 k 1
 xkxu,00 , Fk (,0)(, x 1)()(), Fki Biui 
 i 0
Trong đó F(,) k i là ma trận nghiệm cơ bản của hệ (1.2) thỏa mãn hệ phƣơng trình ma trận: 
 Fki(,) Ak ( 1)( AkAik 2) ();i
 F(,). k k I
 xx, n
 Định nghĩa 1.2. Cho hai trạng thái 01 , cặp xx01, đƣợc gọi là điều khiển 
đƣợc sau bƣớc k1 0 , nếu tồn tại một điều khiển chấp nhận đƣợc uk() sao cho nghiệm 
 x(0, x , u ) x , x(,,). k x u x
x k,, x0 u của hệ thỏa mãn điều kiện: 001 01 
 Định nghĩa 1.3. Hệ điều khiển (1.2) gọi là điều khiển đƣợc hoàn toàn (global 
controllability - GC) nếu với bất kỳ hai trạng thái xx01, sẽ tìm đƣợc một bƣớc k1 0 sao 
 k
cho xx01, là điều khiển đƣợc sau bƣớc 1 . 
 Trong trƣờng hợp tồn tại một lân cận gốc V(0) n sao cho hệ (1.2) là điều khiển 
đƣợc hoàn toàn trong V(0), thì hệ đƣợc gọi là điều khiển đƣợc địa phƣơng (local 
controllability - LC). 
 Định nghĩa 1.4. Hệ điều khiển (1.2) gọi là đạt đƣợc hoàn toàn (global reachability - 
 x n k 0
GR) nếu với bất kỳ trạng thái 1 , tồn tại một bƣớc 1 sao cho 0, x1 là điều 
khiển đƣợc sau bƣớc k1 . 
 Định nghĩa 1.5. Hệ điều khiển (1.2) đƣợc gọi là điều khiển đƣợc hoàn toàn về 0 
 n
(global null-controllability - GNC) nếu với bất kỳ trạng thái x 0 , tồn tại một bƣớc 
k 0 k
 1 sao cho x0,0 là điều khiển đƣợc sau bƣớc 1 . 
18 TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ ĐÔ HÀ NỘI 
2. NỘI DUNG 
 Xét hệ tuyến tính rời rạc không có hạn chế trên điều khiển sau: 
 xkAkxk( 1) ( Bkuk ) ( ) (k ) ( ); ,
 (2.1) 
 x(),(), knm u k
 Trong đó : A( k ), B ( k ) là các ma trận ()nn, ()nm chiều tƣơng ứng. 
 Ta đƣa vào ma trận điều khiển đƣợc kiểu Kalman nhƣ sau: 
 Ck() FkkBk (,)( 1),(, Fkk 1)( Bk 2), ,(,1)(0); FkB k , 
 Trong đó: F(,) k s là ma trận nghiệm cơ bản của hệ tuyến tính 
x( k 1) A ( k ) x ( k ), k . 
 Sau đây là tiêu chuẩn hạng để hệ (2.1) là điều khiển đƣợc. 
 Định lý 2.1. Hệ tuyến tính rời rạc (2.1) là đạt được hoàn toàn khi và chỉ khi tồn tại 
k0 1 sao cho: 
 rankC ( kn0 ) . (2.2) 
 Chứng minh: Xét ánh xạ: 
 k 1
 k
 Lk u F( k , i 1) B ( i ) u ( i ). 
 i 0
 kmn
 Ta thấy: Lk : là ánh xạ tuyến tính liên tục và: 
 km
 kLL kk Im . 
 Vậy, nếu hệ là GR thì ta có : 
 L km n . 
 k 1 k
 Sử dụng Định lý Baire về phạm trù, ta sẽ tìm đƣợc một số kl0 sao cho: 
 km
 L 0 n , 
 kk00
Từ đó suy ra điều kiện hạng (2.2). Ngƣợc lại, giả sử có điều kiện hạng (2.2), khi đó ma trận 
()nn chiều dạng: 
 D()()() k0 C k 0 C k 0 
TẠP CHÍ KHOA HỌC SỐ 4/2016 19 
 1 n
là không suy biến, khi đó tồn tại ma trận ngƣợc Dk(). Với tùy ý x1 , ta xác định 
điều khiển: 
 1
 u( k ) B ( k ) F k00 , k 1 1 D k x . 
 Ta có: 
 k0 1
 1
 xk0000 1 Fki, 1 BiBiFki ( ) ( ) , 1 Dkx 
 i 0
 1
 D k00 D 1 k 1 x x . 
 Từ đó suy ra rằng với điều khiển xác định trên hệ sẽ đƣợc chuyển từ trạng thái 0 tới 
 n
bất kỳ trạng thái x1 nào, nói cách khác, hệ là GR. Định lý đƣợc chứng minh. 
 Hệ quả 2.2. Hệ tuyến tính dừng rời rạc (khi AB, trong (2.1) là các ma trận hằng số) 
đạt được hoàn toàn khi và chỉ khi tồn tại k0 1 sao cho: 
 k 1
 rankB , AB ,..., A0 B n . 
 Ví dụ 2.3. Cho hệ phƣơng trình: 
 x1( k 1) x 1 ( k ) x 2 ( k ) u ( k ),
 x2( k 1) x 1 ( k ) x 2 ( k ) u ( k ).
 Ta có: 
 11 1 1 1 1 2 12
 A , B AB , C(2) B ,. AB
 11 1 1 11 0 10
 Do đó: rankC (2)=rank[ B , AB ] 2. Vậy hệ đã cho là GR. 
 Nhận xét: Từ cách định nghĩa tập điều khiển đƣợc về 0 , ta dễ dàng thấy rằng điều 
kiện hạng (2.2) cũng là điều kiện đủ để hệ là GNC, xong không phải là điều kiện cần. Ví 
dụ sau sẽ chứng tỏ điều này. 
 Ví dụ 2.4. Xét hệ: 
 x( k 1) x ( k ) x ( k ) u ( k ),
 1 1 2 
 x2( k 1) x 1 ( k ) x 2 ( k ) u ( k ).
 Ta có: 
20 TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ ĐÔ HÀ NỘI 
 11 1 1 1 1 0 10
 A , B AB , CB(2),. AB
 11 1 1 10 1 10
 Do đó: rankCB (2)=rank[ AB , ] 1 2. Vậy hệ đã cho không thỏa mãn điều kiện hạng 
(2.2), xong dễ kiểm tra đƣợc hệ là GNC. 
 Định lý sau đây cho ta một điều kiện cần và đủ yếu hơn điều kiện hạng (2.2). 
 Định lý 2.5. Hệ rời rạc (2.1) là điều khiển được về 0 hoàn toàn khi và chỉ khi tồn tại 
số k0 1 sao cho: 
 ImFkC00 ,0 k Im. (2.3) 
 Chứng minh: Giả sử hệ là GNC. Khi đó n , trong đó: 
 kkFk( , 0), R 
FM() là nghịch ảnh của tập M xác định bởi: 
 F( M ):. xFxn M 
 Theo Định lý Baire về phạm trù, sẽ có một k 0 sao cho n , điều đó có nghĩa 
 0 k0
là: 
 Fk,0. R n 
 0 k0
 Từ đó suy ra điều kiện (2.3). Ngƣợc lại, nếu (2.3) thỏa mãn thì theo định nghĩa về tính 
GNC, hệ sẽ là điều khiển đƣợc về 0 sau k0 bƣớc, vậy hệ là GNC. Định lý đƣợc chứng 
minh. 
 Hệ quả 2.6. Hệ tuyến tính dừngrời rạc (khi AB, trong (2.1) là các ma trận hằng số) 
là điều khiển được về 0 hoàn toàn khi và chỉ khi tồn tại số k0 1 sao cho: 
 kk1
 ImA00 Im B , AB ,..., A B .
 Ví dụ 2.7. Xét hệ rời rạc: 
 x11( k 1) kx ( k ),
 2
 x2( k 1) x 2 ( k ) k x 3 ( k ) ( k 2) u ( k ), 
 x3( k 1) x 1 ( k ) 2 kx 2 ( k ) ( k 1) u ( k ).
 Ta có: 
TẠP CHÍ KHOA HỌC SỐ 4/2016 21 
 k 0 0 0
 A( kk )0 1 2 , B( k ) k 2 ,CBFBFB(3) (2), (3,2) (1), (3,1) (0) , 
 1 2k 0 k 1
Trong đó: 
 000
 BBB(0) 2 , (1) 1 , (2) 0 , 
 101
 2 0 0 2 0 0
 FA(3,2) (2) 0 1 4 , FA(3,1) A (2) (1) 4 9 1 
 1 4 0 144
 0 0
 FBAB(3,2) (1) (2) (1) 1 , FBAAB(3,1) (0) (2) (1) (0) 19 , 
 4 12
 Vậy: 
 0 0 0
 CBABAAB(3) (2), (2) (1), (2) (1) (0) 0 1 19 . 
 1 4 12
 Do đó: rankC (3) 2 3, điều kiện hạng (2.2) không thỏa mãn. Thế nhƣng, bởi vì: 
 0 0 0
 FAAA(3,0) (2) (1) (0) 1 9 0 . 
 440
 Nên: 
 0 0 0
 rankF (3,0) rank 1 9 0 2. 
 440
 Từ đó dễ thấy rằng điều kiện (2.3) thỏa mãn và hệ đã cho là GNC, mặc dù nó không 
GR. 
3. KẾT LUẬN 
22 TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ ĐÔ HÀ NỘI 
 Từ bài toán điều khiển đƣợc hệ phƣơng trình tuyến tính rời rạc, ch ng tôi đã trình bày 
một số tiêu chuẩn về tính điều khiển đƣợc hệ phƣơng trình tuyến tính rời rạc không có hạn 
chế trên điều khiển thông qua các định lý. Ở đó cũng minh họa bởi các ví dụ cụ thể. 
 TÀI LIỆU THAM KHẢO 
1. Ahmed N.U (1982), “Element of Finite-dimensional Systems and Control Theory”, Longman 
 Sci. Tech., New York. 
2. Kalman R.E (1960), “Contribution to the theory of optimal control”, Bol. Soc, Math. 
 Mexicana, 5, pp.102-119. 
STANDARDS OF CONTROLLABILITYOFSYSTEMSOF UNLIMITEDON 
 CONTROLLINEAR DISCRETE EQUATIONS 
 Abstract: In this paper, the first we introduce the controllable problem of systems of 
 linear discrete equations. Then we present some standards of controllability of systems of 
 unlimited on control linear discrete equations. 
 Keywords: linear discrete equations, controllable, standards