Sử dụng số phức vào giải câu hình học phẳng trong đề thi tuyển sinh Đại học môn Toán và đề thi học sinh giỏi

 429 
 SỬ DỤNG SỐ PHỨC VÀO GIẢI CÂU HÌNH HỌC PHẲNG TRONG ĐỀ THI 
 TUYỂN SINH ĐẠI HỌC MÔN TOÁN VÀ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI 
 HV. Phạm Hoài Trung 
 TS. Trần Lê Nam 
 Tóm tắt. Trong bài báo, chúng tôi giới thiệu một số kiến thức cơ bản của hình 
học phẳng theo ngôn ngữ số phức. Từ đó, bài viết đưa ra cách tiếp cận khác đối với các 
câu hỏi khác nhau về hình học giải tích trên mặt phẳng trong các đề thi tuyển sinh Đại 
học môn Toán, cũng như đề thi học sinh giỏi về hình học phẳng theo ngôn ngữ số phức. 
1. Mở đầu 
 Từ thế kỉ XVI do nhu cầu phát triển của toán học về giải những phương trình 
đại số mà số phức đã xuất hiện. Số phức kể từ khi ra đời đã tìm được rất nhiều những 
ứng dụng hiệu quả trong nhiều lĩnh vực khác nhau của Vật lí và Toán học. Riêng về 
khía cạnh Toán học, số phức cung cấp công cụ hiệu quả để giải một số dạng toán đại 
số, giải tích, hình học và tổ hợp (xem [4]). 
 Trên thực tế, trong các kì thi học sinh quốc gia, Olympic quốc tế có khá nhiều 
bài toán liên quan đến số phức. Dùng số phức ta cũng có thể tìm được lời giải khá tự 
nhiên và hữu hiệu (xem [4]). Chính vì vậy, chúng tôi nghĩ đến việc ứng dụng số phức 
vào giải các bài toán hình học giải tích và hình học phẳng. 
 Câu hình học giải tích phẳng trong đề thi tuyển sinh Đại học các năm gần đây 
thuộc dạng câu hỏi phân loại học sinh khá, giỏi. Vì vậy, có khá nhiều học sinh không 
giải được câu này. Bài viết sẽ giới thiệu sự thể hiện của một số khái niệm trong hình 
học giải tích phẳng theo ngôn ngữ số phức. Từ đó, chúng tôi áp dụng vào giải các bài 
tập ở dạng toán này. Đồng thời, chúng tôi tiếp cận thêm với đề thi học sinh giỏi môn 
Toán học. 
2. Kiến thức chuẩn bị 
 fa:,,RC babi2 
 Chúng ta đã biết rằng nhờ song ánh nên mỗi điểm 
 M a b, zabi .
 trên mặt O x y được đồng nhất với một số phức M Theo cách đồng 
 z
nhất đó thì véc-tơ OM có tọa độ (hay tọa vị) là M (Hình 1). Nói cách khác, véc-tơ 
 aab , zabi .
 cũng được đồng nhất với số phức a Khi đó, các phép cộng, trừ hai 
véc-tơ, nhân một số thực với một véc-tơ bằng các phép toán đó trên các số phức tương 
ứng. Phép nhân vô hướng 2 véc-tơ được tính theo công thức 
 1
 a. b Re z . z z . z z . z .
 ab a b a b 
 2 
 azz ..
 Đặc biệt, độ dài của a được tính theo công thức aa 
 430 
 Hình 1: Một điểm và một véc-tơ trên mặt phẳng được đồng nhất với một số phức 
 2.1. Hai đường thẳng vuông góc 
 Hai đường thẳng AB và CD vuông góc với nhau khi và chỉ khi 
 zz zz 
 AB CD.
 zzzz 
 ABCD 
 2.2. Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng 
 zzAB 
 zM .
 Điểm M là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi 2 
 2.3. Phương trình của đường thẳng 
 d
 Giả sử là đường thẳng qua điểm A nhận a 0 làm véc-tơ chỉ phương. 
 d
Điểm M nằm trên đường thẳng khi và chỉ khi AMtat ,.R Điều này tương 
đương với đẳng thức 
 zzzzzz 
 MAMAMA t hay . 
 zzz
 aaa 
 d
 Do đó, đường thẳng có phương trình dạng 
 zzzz 
 d :.AMA 
 z z
 a a 
 d 
 Lý luận tương tự, chúng ta được đường thẳng qua điểm A nhận n 0 làm 
véc-tơ pháp tuyến có phương trình dạng 
 zzzz 
 d ' :. AMA 
 z z
 n n 
 2.4. Phương trình chính tắc của đường tròn 
 dAB , , AB
 Do khoảng cách giữa hai điểm A và B, ký hiệu bằng nên 
chúng ta được 
 dA , B z z z z .
 BABA 
 Từ đó, chúng ta suy ra đường tròn tâm A, bán kính R 0 có phương trình dạng 
 z z z z R2.
 AA 
 431 
3. Sử dụng số phức vào giải câu hình học phẳng trong đề thi tuyển sinh đại học 
môn Toán và đề thi học sinh giỏi 
 Bài 1. (Tuyển sinh khối A năm 2009 ) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho 
hình chữ nhật A B C D có I(6 ,2) là giao điểm của hai đường chéo AC và BD . Điểm 
 M (1;5 ) thuộc đường thẳng AB và trung điểm E của cạnh CD thuộc đường thẳng 
 : 5 xy 0. Viết phương trình đường thẳng AB. 
 Chuyển giả thuyết bài toán sang mặt phẳng phức 
 Mi 1 5 ; Ii 6 2 ; : (1)(1)10.iziz 
 Từ đó, chúng ta có bài toán: Trên mặt phẳng phức cho hình chữ nhật có 
 Ii 62 là giao điểm của hai đường chéo và BD. Điểm Mi 15 thuộc đường 
thẳng AB và trung điểm của cạnh CD thuộc đường thẳng 
 : (1)(1)10.iziz 
 Viết phương trình đường thẳng AB. 
 Giải 
 Gọi N là điểm đối xứng với M qua I , ta suy ra 
được N thuộc đường thẳng và tọa độ của 
 N 2 I M 11 i . Vì E nên EiiE 55. 
 Hơn thế nữa, vì đường thẳng EI vuông góc với 
đường thẳng EN nên ta suy ra được 
 Hình 2. 
 EIEN 
 .
 EIEN 
 2 Ei 6
 2(626iEi Ei )38800. 
 Từ đó, ta có phương trình Ei 72 
  Với Ei 6 ta được IEi 3. 
 Phương trình đường thẳng ABzzi:10 . Khi đó ABy:50. 
 • Với Ei 72 ta được IEi 14 . 
 Phương trình đường thẳng ABi: (1 zi z 4 )(1 4 )38. Khi đó 
 AB: x 4 y 19 0. 
 Bài 2. (Tuyển sinh khối A năm 2010 ) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, 
cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh A(6;6); đường thẳng đi qua trung điểm các cạnh 
 AB và AC có phương trình xy 4 0. Tìm tọa độ các đỉnh B và C , biết điểm 
 E(1; 3) nằm trên đường cao đi qua đỉnh C của tam giác đã cho. 
 432 
 Chuyển giả thuyết bài toán sang mặt phẳng phức 
 Gọi : 4 xy 0 và H là trung điểm của BC. Khi đó, 
 Ai 6 6 ; Ei 1 3 ; : (1)(1)8.iziz 
 Từ đó, chúng ta có bài toán: Trên mặt phẳng phức, cho tam giác ABC cân tại 
 A có đỉnh Ai 6 6 ; đường thẳng đi qua trung điểm các cạnh AB và AC có phương 
trình : (1)(1)8.iziz Tìm tọa độ các đỉnh B và C, biết điểm Ei 13 nằm trên 
đường cao đi qua đỉnh C của tam giác đã cho. 
 Giải 
 Phương trình đường thẳng AH 
 AHiziz: (1)(1)0. 
 Gọi I là giao điểm của và . Khi 
đó, I là trung điểm của và tọa độ của 
là nghiệm của hệ phương trình 
 Hình 3 
 (1)(1)0 i zi z
 zi 22 .
 (1)(1)8 i zi z 
 Vậy, Ii 22. Vì H đối xứng với A qua I nên HIAi 222 . 
 Phương trình đường thẳng BCiziz: (1)(1)8. 
 Vì B BC nên BiiB 44. Do C đối xứng với B qua H nên C iB. 
 Chúng ta suy ra được CiB 44. 
 Do đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng CE nên ta được: 
 ABCE 
 ABCE hay ()()()()0.ABCECECD 
 2 Bi 62 
 2iB (412) i B 48160 i .
 Từ đó ta có phương trình Bi 4 
 • Với Bi 6 2 , suy ra Ci 2 6 . 
 • Với Bi 4, suy ra C 4. 
 Vậy, BC( 6;2), (2; 6) hoặc BC(0;4),(4;0). 
 Bài 3. (Tuyển sinh khối A năm 2014 ) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình 
vuông ABCD có M là trung điểm AB, N là điểm thuộc AC sao cho AN 3. NC Viết 
phương trình đường thẳng CD biết M (1;2) và N(2; 1). 
 433 
 Chuyển giả thuyết bài toán sang mặt phẳng phức 
 Chúng ta có bài toán: Trên mặt phẳng phức cho cho hình vuông A B C D có M 
là trung điểm AB, N là điểm thuộc AC sao cho A N N C3. Viết phương trình đường 
thẳng CD biết Mi 12 và Ni 2. 
 Giải 
 Gọi F là giao điểm của MN và CD. Giả sử 
 Fxyixy ,,. R Ta có NM i 1 3 , 
 NFxyi 2(1) và 
 FCNCNF 1
 .
 MANAMN 3 
 7
 Fi 2. 
 Vì NM 3 NF nên 3 
 Hình 4 
 CDME 
 MEFDCP 90.
 DPMF 
 Xét hai tam giác M E F và D C P, chúng ta có 
  
 Do đó EMFCDP và EMFNDFEFN 90 hay NDFEFN 90 . 
 Từ đó, chúng ta được DNMF . 
 Phương trình đường thẳng DNiziz: (13 )(13 )10. 
 N; ND
 Vì NDMN 10 nên D là giao của đường tròn và đường thẳng 
 DN. Tọa độ của D là nghiệm của hệ phương trình 
 (2)(2)10zizi 
 (13 )(13iziz )10 
 zz (2 i ) z (2 i ) z 5
 Hệ trên tương đương với (1 3i ) z (1 3 i ) z 10 
 43 2 zi 12 
 i zi zi( 2 4 ) 10 5 0. 
 Suy ra 55 z 5 
 Vậy Di 12 hoặc D 5. 
 10
 DF .
 • Với Di 12 ta có 3 Phương trình CD: z z 4 i . 
 Khi đó CD: y 2 0. 
 434 
 8 2
 DF 2 i (4 3 i ).
 • Với D 5 ta có 33 
 Phương trình CDizizi: (43)(43)30. Khi đó CDxy:34150. 
 BB CC
 Bài 4. (MOP 1995) Cho 1 và 1 là hai đường cao của ABC và A B A C . 
Gọi M là trung điểm của BC, H là trực tâm của ABC và D là giao điểm của BC 
 BC.
và 11 Chứng minh rằng D H A M . 
 Giải 
 Trong bài này, chúng ta ký hiệu chữ cái thường là tọa vị của chữ cái in hoa. 
 Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC 
là đường tròn đơn vị. Từ đó aabbcc...1. 
 bc,
 Vì 11 lần lượt là chân đường cao kẻ từ B, 
C, m là trung điểm BC và H là trực tâm tam giác 
 ABC nên ta có: 
 11 ac
 babcacbabc1 .
 22 b 
 11 ab Hình 5 
 cabcabcabc1 .
 22 c
 bc 
 mhabc ;.
 2 
 b c d
 d .
 Phương trình đường thẳng ():.bc z bcz b c Vì d bc () nên bc 
 b d b c
 1 1 1 a2.
 bc, b d b c
 Theo đề bài 11 và d cộng tuyến nên ta có: 1 1 1 
 2
 abbd11 
 d 2 .
 Suy ra a 
 a222222 b ab a c ac b c bcabc2
 d 2 .
 Do đó 2()a bc 
 dhma 
 .
 Để chứng minh ()()dham ta sẽ chứng minh dhma Thật vậy, ta có: 
 d h abc( b c 2 a )
 .
 d h( ac ab 2 bc )
 m a abc( b c 2 a )
 .
 m a( ac ab 2 bc ) 
 Do đó, ta được điều phải chứng minh. 
 435 
3. Kết luận 
 Qua bài viết trên chúng tôi đã thực hiện được: 
  Giới thiệu một số kiến thức cơ bản của hình học phẳng theo ngôn ngữ của 
số phức. 
  Sử dụng số phức giải câu hình học tọa độ trong mặt phẳng các đề thi tuyển 
sinh đại học môn Toán khối A năm 2009, năm 2010, năm 2014 và đề thi học sinh giỏi 
MOP năm 1995. 
 Tài liệu tham khảo 
[1] Bộ giáo dục và Đào tạo (2009), Đề thi tuyển sinh đại học môn Toán khối A. 
[2] Bộ giáo dục và Đào tạo (2010), Đề thi tuyển sinh đại học môn Toán khối A. 
 AA 
[3] Bộ giáo dục và Đào tạo (2014), Đề thi tuyển sinh đại học môn Toán khối 1 . 
[4] Nguyễn Văn Mậu (Chủ biên), Trần Nam Dũng, Đinh Công Hướng, Nguyễn 
 Đăng Phất, Tạ Duy Phượng, Nguyễn Thủy Thanh (2009), Biến phức định lý và 
 áp dụng, NXB ĐH Quốc Gia Hà Nội.