Sự đồng bộ hóa của hệ thống các phương trình phản ứng khuếch tán Fitzhugh-Nagumo có nghiệm dạng xoắn ốc

TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC ÑOÀNG THAÙP Taïp chí Khoa hoïc soá 37 (04-2019) 
 SỰ ĐỒNG BỘ HÓA CỦA HỆ THỐNG CÁC PHƢƠNG TRÌNH PHẢN ỨNG 
 KHUẾCH TÁN FITZHUGH-NAGUMO CÓ NGHIỆM DẠNG XOẮN ỐC 
  Phan Vaên Long Em(*) 
 Toùm taét 
 Đồng bộ hóa là một hiện tượng phổ biến trong nhiều hệ thống tự nhiên và khoa học phi tuyến. 
Trong bài báo này, sự đồng bộ hóa được nghiên cứu đối với hệ thống mạng đầy đủ. Mỗi phần tử 
trong hệ được mô phỏng bằng một hệ phương trình phản ứng - khuếch tán dạng FitzHugh-Nagumo, 
đặc biệt mỗi hệ phương trình trong hệ thống đều có nghiệm dạng xoắn ốc. Kết quả cho thấy rằng hệ 
thống mạng có số lượng các phần tử càng nhiều thì sự đồng bộ hóa càng dễ, và hình dáng nghiệm 
xoắn ốc vẫn còn, tuy nhiên đã khác lúc đầu. 
 Từ khóa: Độ mạnh liên kết, hệ thống đầy đủ, nghiệm xoắn ốc, mô hình FitzHugh-Nagumo, sự 
đồng bộ hóa. 
 1. Đặt vấn đề  N là tập mở bị chặn đều và hệ thỏa mãn 
 Mô hình FitzHugh-Nagumo (FHN) được điều kiện Neumann trên biên ( N là một số 
biết là mô hình hai chiều đơn giản hóa từ hệ nguyên dương). Hệ phương trình này gồm hai 
phương trình nổi tiếng của Hodgkin-Huxley [5], phương trình đạo hàm riêng phi tuyến dạng 
[6], [7], [8], [9], [10]. Tuy là mô hình đơn giản parabolic, cho phép thể hiện nhiều hình dạng 
hơn, nhưng nó có nhiều kết quả giải tích đáng phong phú và hiện tượng có liên quan đến điện 
chú ý và giữ được các tính chất, ý nghĩa về mặt áp của màng tế bào về mặt sinh lý học [1], [2]. 
sinh học. Mô hình này được tạo thành từ hai Chú ý rằng phương trình đầu tiên còn được gọi là 
phương trình của hai biến u và v . Biến đầu tiên phương trình dây cáp, mô tả sự lưu chuyển của 
là biến nhanh, được gọi là biến hoạt náo, nó thể điện thế dọc theo thân của một tế bào [5], [7]. Ở 
hiện cho điện áp của màng tế bào. Biến thứ hai là Hình 2, có hai hình ảnh tương ứng với hai 
biến chậm, nó thể hiện cho một số đại lượng vật nghiệm của hệ ở hai thời gian t khác nhau trong 
lí phụ thuộc thời gian như độ dẫn điện của dòng 
 không gian được chọn  0;100 0;100 . 
ion đi ngang qua màng tế bào. Hệ hương trình    
FitzHugh-Nagumo được biểu diễn bởi hệ sau, sử Hình 2(a) mô tả nghiệm u( x12 , x ,0) của phương 
dụng kí hiệu như trong [1], [2]: trình (2) ở thời điểm t 0 . Hình 2(b) mô tả 
 du nghiệm u( x , x ,190) ở thời điểm t 190 , 
  f() u v 12
 dt nghiệm này được gọi là nghiệm xoắn ốc hay 
 , (1) 
 dv sóng xoắn ốc. Hình ảnh có dạng xoắn ốc được 
 au bv c
 dt thấy trong rất nhiều ứng dụng. Các sóng xoắn ốc 
 được quan sát khi nghiên cứu điện thế của các tế 
trong đó, ab, và c là các hằng số ( a và b là 
 bào não và tim. Ở trái tim, nếu sóng điện thế có 
 3
các số dương), 01  và f( u ) u 3 u . các hình dạng này thì chức năng của tim có vấn 
 Dựa trên mô hình này, bài báo tập trung đề, nó liên quan đến vấn đề loạn nhịp tim [9]. 
nghiên cứu hệ phương trình đạo hàm riêng sau: Ngoài ra, kết quả này cũng được tìm thấy ở tim 
 du của loài thỏ, ở vỏ não của chuột cống và ở tim 
  u f() u v d u
 dt tu của loài cừu. 
 , (2) Đối với hệ phương trình (2), cùng với 
 dv
 v au bv c a 1, b 0, 001, c 0, 0,1, d 0,05, để tạo 
 dt t u
 ra được nghiệm có hình xoắn ốc thì miền  
trong đó, uuxtvvxt (,), (,),(,) xt  , d 
 u được chia làm bốn phần có diện tích gần như 
là hằng số dương, u là toán tử Laplace của u, nhau. Trên mỗi miền nhỏ đó, chọn điều kiện ban 
 đầu là các hàm hằng (u ( x ,0), v ( x ,0)) , sao cho 
(*) Trường Đại học An Giang. các hàm hằng này lệch pha nhau một cách đều 
54 
TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC ÑOÀNG THAÙP Taïp chí Khoa hoïc soá 37 (04-2019) 
đặn trên vòng tròn định mức của hệ phương trình tế bào được liên kết với nhau về mặt sinh lý học. 
(1). Các điều kiện ban đầu này có thể chọn như Sự trao đổi giữa chúng chủ yếu là dựa vào các 
trong Hình 1 bên dưới, và bằng phương pháp số quá trình điện hóa. Bài báo này trình bày sự đồng 
sai phân hữu hạn, nghiệm dạng xoắn ốc được tạo bộ hóa của hệ thống đầy đủ các tế bào. Trong đó, 
ra như ở Hình 2. mỗi tế bào được mô tả bằng một hệ phương trình 
 đạo hàm riêng dạng FHN. 
 (u ( x ,0), v ( x ,0)) (0, 1) (u ( x ,0), v ( x ,0)) ( 1,0) Hệ phương trình (2) được xem là mô hình 
 (u ( x ,0), v ( x ,0)) (1,0) (u ( x ,0), v ( x ,0)) (0,1) của một tế bào, từ đó xây dựng được một mạng 
 lưới tế bào gồm n hệ phương trình (2) liên kết 
Hình 1. Điều kiện ban đầu cho phép hệ phƣơng trình với nhau bởi hệ sau: 
 (2) có nghiệm dạng một xoắn ốc uit f()(,) u i v i d u u u h u i u j
 ii i, j 1,..., n , i j , (3) 
 vit au i bv i c
 trong đó (uii , v ), i 1,2,..., n được định nghĩa như 
 phương trình (2). 
 Hàm số h là hàm liên kết mô tả hình thức 
 liên kết giữa các tế bào i và j. Hình thức liên 
 Hình 2. Nghiệm có dạng một xoắn ốc của (2) tƣơng kết giữa các tế bào có hai dạng: hóa học và 
ứng với điều kiện ban đầu đƣợc cho ở Hình 1 (Hình điện học. Bài nghiên cứu này chỉ tập trung vào 
 (a) mô tả nghiệm u( x , x ,0) của phƣơng trình (2) 
 12 dạng liên kết theo kiểu điện học, khi đó hàm 
 ở thời điểm t 0 , Hình (b) mô tả nghiệm liên kết là hàm tuyến tính và được cho bởi 
 u( x , x ,190) ở thời điểm t 190 ) 
 12 công thức sau: 
 Tương tự, nếu chia miền  thành 16 n
(tương ứng 64) phần bằng nhau thì nghiệm của h( ui , u j ) g n c ij ( u i u j ), i 1,2,..., n . (4) 
hệ phương trình (2) sẽ có dạng 4 (tương ứng 16) j 1
xoắn ốc được minh họa bởi Hình 3 (tương ứng Tham số gn mô tả độ mạnh của liên kết. 
Hình 4). 
 Các hệ số cij là các phần tử của ma trận liên kết 
 Ccn () ij n n thỏa: cij 1 nếu i và j có liên kết, 
 cij 0 nếu nếu i và j không có liên kết, trong đó 
 i, j 1,2,..., n , i j . 
 Như đã trình bày ở trên, sóng xoắn ốc có thể 
Hình 3. Nghiệm có dạng 4 xoắn ốc của (2) (Hình (a) tìm thấy ở nhiều nơi trong thực tiễn. Đặc biệt, sự 
mô tả nghiệm u( x12 , x ,0) của phƣơng trình (2) ở thời xuất hiện của chúng ở tim người là dấu hiệu của 
 điểm t 0 , Hình (b) mô tả nghiệm u( x12 , x ,190) ở sự rối loạn nhịp tim. Nếu các tế bào trong hệ 
 thời điểm ( t 190 ) thống của quả tim cùng có sóng xoắn ốc như thế 
 ở một thời điểm nào đó thì rõ ràng sẽ gây ảnh 
 hưởng không nhỏ đến sự hoạt động của tim. Vì 
 thế, việc nghiên cứu về sự đồng bộ hóa của hệ 
 thống các tế bào là hết sức cần thiết. 
 2. Sự đồng bộ hóa của hệ thống đầy đủ 
 các tế bào 
Hình 4. Nghiệm có dạng 16 xoắn ốc của (2) (Hình (a) 
mô tả nghiệm u( x , x ,0) của phƣơng trình (2) ở thời Sự đồng bộ hóa là một hiện tượng vô cùng 
 12 quan trọng trong tự nhiên và trong khoa học phi 
 điểm t 0 , Hình (b) mô tả nghiệm u( x , x ,190) ở 
 12 tuyến, đặc biệt là trong mạng lưới các hệ phương 
 thời điểm t 190 ) trình dao động được liên kết yếu với nhau [3], 
 Trong bộ não con người có rất nhiều tế bào, [4]. Nó có nghĩa là có cùng đặc tính ở cùng thời 
chúng liên kết với nhau tạo thành một mạng lưới điểm. Do đó, đối với một mạng lưới gồm hai hệ 
tế bào. Một mạng lưới tế bào là một hệ thống các phương trình thì sự đồng bộ hóa có nghĩa là hệ 
 55 
TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC ÑOÀNG THAÙP Taïp chí Khoa hoïc soá 37 (04-2019) 
phương trình này sẽ sao chép những đặc tính của hệ phương trình FHN. Kết quả cho thấy sự đồng 
hệ phương trình kia kể từ một thời điểm nào đó. bộ hóa của hệ thống được thực hiện kể từ giá trị 
Khi đó, mạng lưới các hệ phương trình được gọi g3 0,025. Các hình (a), (b), (f), (g), (k), (l), 
là đồng bộ. (p), (q) mô tả độ sai lệch của các cặp nghiệm 
 Trong bài báo này, kết quả nghiên cứu u( x , x , t ), u ( x , x , t ) và u( x , x , t ), u ( x , x , t ) , 
được thực hiện trên hệ thống đầy đủ, nghĩa là 1 1 2 2 1 2 2 1 2 3 1 2
mỗi phần tử trong hệ thống đều được liên kết trong đó tT 0;  và với mọi (,).xx12  Ở 
với tất cả các phần tử còn lại. Ví dụ ở Hình 5 là hình (p) và (q) với g3 0,025, kết quả cho thấy 
các hệ thống đầy đủ từ 3 đến 10 phần tử được u(,,)(,,) x x t u x x t và u(,,)(,,) x x t u x x t 
liên kết với nhau. Nhắc lại rằng, mỗi một phần 1 1 2 2 1 2 2 1 2 3 1 2
tử của hệ thống là một tế bào được mô phỏng với mọi (,).xx12  Các hình (c), (d), (e), (h), 
bằng một hệ phương trình phản ứng-khuếch tán (i), (j), (m), (n), (o), (r), (s), (t) mô tả các nghiệm 
dạng FHN và mỗi cạnh là đại diện cho một liên xoắn ốc ui ( x12 , x ,190), i 1,2,3, của hệ thống từ 
kết tế bào được mô phỏng bằng hàm số liên kết. khi chưa có sự đồng bộ hóa xảy ra cho tới khi 
Do bài nghiên cứu liên quan đến hệ thống đầy chúng có hình dạng giống nhau, nghĩa là sự đồng 
đủ các tế bào được liên kết theo kiểu điện học bộ hóa được thực hiện. Kết quả cũng cho thấy 
nên hệ (3) trở thành: khi có sự đồng bộ hóa xảy ra thì hình dạng của 
 n
 u f()() u v d u g u u các xoắn ốc đã thay đổi so với ban đầu, nhưng 
 it i i ui i n i j
 j 1, j i in 1,2,..., . (5) vẫn còn thấy được các xoắn ốc tồn tại. 
 vit au i bv i c
 Định nghĩa 1: Đặt Si ( u i , v i ), i 1,2,..., n 
và SSSS (12 , ,...,n ) là một hệ thống các hệ 
phương trình. Hệ S được gọi là đồng bộ hóa nếu 
 n 1
 limui u i 1122 v i v i 0. 
 t  LL()() 
 i 1
 Hình 6. Sự đồng bộ hóa trong hệ thống đầy đủ của 3 
 tế bào liên kết theo kiểu điện học. Sự đồng bộ hóa 
 xảy ra khi g3 0,025. Trƣớc khi có sự đồng bộ hóa 
 với g3 0,005, Hình (a) mô tả độ sai lệch của u2 
 đối với u1, với mọi (,);xx12  Hình (b) mô tả độ sai 
 lệch của u3 đối với u2 ; Hình (c) thể hiện nghiệm 
 Hình 5. Hệ thống đầy đủ từ 3 đến 10 phần tử đƣợc xoắn ốc u( x , x ,190); tƣơng tự, Hình (d) và (e) thể 
 liên kết với nhau. Mỗi một phần tử của hệ thống 1 1 2
 đƣợc mô phỏng bằng một hệ phƣơng trình phản hiện nghiệm xoắn ốc u2( x 1 , x 2 ,190) và g3 0,01 khi 
 ứng-khuếch tán dạng FHN và mỗi cạnh là đại diện chúng đƣợc liên kết với nhau; kết quả đƣợc thực 
cho một liên kết đƣợc mô phỏng bằng hàm số liên kết hiện tƣơng tự đối với g3 0,01 (Hình (f), (g), (h), (i), 
 3. Kết quả bằng phƣơng pháp số (j)), g3 0,023 (Hình(k), (l), (m), (n), (o)) và 
 Trong phần này, kết quả bài báo được thực g3 0,025 (Hình (p), (q), (r), (s), (t)). Đối với 
hiện bằng phương pháp số đối với hệ (5), trong g3 0,025 thì hiện tƣợng đồng bộ hóa đã xảy ra 
đó n 3, f ( u ) u3 3 u , a 1, b 0,001, c 0, Bằng phương pháp số, kết quả nghiên cứu 
 cho phép tìm được độ mạnh liên kết đủ nhỏ cần 
 0,1, diu 0,05, 1,2,3. Phương pháp số 
 i thiết để hiện tượng đồng bộ hóa xảy ra trong hệ 
này được thực hiên trên C++, với 
 thống mạng lưới các tế bào. Bằng cách làm 
0;T   0;200  0;100  0;100 . tương tự như trong trường hợp n 3, kết quả 
 Kết quả được thể hiện ở Hình 6, mô tả hiện trong Bảng 1 dưới đây cho thấy sự thay đổi của 
tượng đồng bộ của các nghiệm xoắn ốc của các 
56 
TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC ÑOÀNG THAÙP Taïp chí Khoa hoïc soá 37 (04-2019) 
độ mạnh liên kết tương ứng với số lượng tế bào 
tăng dần từ 3 đến 20 trong hệ thống đầy đủ. 
Bảng 1. Bảng giá trị của độ mạnh liên kết đủ nhỏ cần 
 thiết để hiện tƣợng đồng bộ hóa xảy ra trong hệ 
 thống đầy đủ các tế bào, tƣơng ứng với số lƣợng tế 
 bào tăng dần từ 3 đến 20 
 n 3 4 5 6 7 8 9 10 11 
 g 0,025 0,015 0,012 0,009 0,008 0,007 0,006 0,005 0,0045 
 n 
 n 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Hình 7. Biểu đồ độ mạnh liên kết tƣơng ứng với số 
 lƣợng tế bào trong hệ thống đầy đủ. Độ mạnh liên 
 gn 0,004 0,0038 0,0035 0,0032 0,003 0,0028 0,0026 0,0024 0,0023 kết giảm dần khi số lƣợng tế bào tăng lên và tuân 
 0,051
 theo quy luật g 0,00041 
 Dựa trên kết quả đạt được, có thể thấy rằng n n 1
độ mạnh liên kết để sự đồng bộ hóa được thực 4. Kết luận 
hiện trong hệ thống đầy đủ là phụ thuộc vào số Bài báo đã cho thấy kết quả của sự đồng bộ 
lượng tế bào trong hệ. Thật vậy, ở Hình 7, các giữa các nghiệm dạng xoắn ốc của hệ thống đầy 
điểm màu xanh chính là giá trị của các độ mạnh đủ các hệ phương trình phản ứng - khuếch tán 
liên kết tương ứng với số lượng tế bào có trong dạng FitzHugh-Nagumo. Kết quả cho thấy các 
hệ đầy đủ, đường cong màu đỏ chính là mô nghiệm dạng xoắn ốc đã thay đổi hình dạng khi 
phỏng cho sự liên hệ này và được cho bởi công có sự đồng bộ hóa xảy ra, tuy nhiên chúng vẫn 
thức sau: có dạng xoắn ốc khác với ban đầu. Hơn nữa, nếu 
 0,051
 g 0,00041, (6) số lượng tế bào trong hệ thống tăng dần thì độ 
 n n 1 mạnh liên kết cần thiết để xảy ra sự đồng bộ hóa 
trong đó, n là số lượng tế bào có mặt trong hệ giảm dần. Điều đó cũng có nghĩa là càng dễ làm 
thống đầy đủ. Như vậy, độ mạnh liên kết cần cho hệ thống đầy đủ đồng bộ nếu số lượng các 
thiết cho sự đồng bộ hóa của hệ thống đầy đủ sẽ phần tử trong hệ tăng lên. Trong bài báo tiếp 
giảm dần khi số lượng tế bào có trong hệ tăng theo, tác giả sẽ nghiên cứu sự đồng bộ hóa của 
lên và tuân theo quy luật được cho bởi công các nghiệm xoắn ốc trong trường hợp hệ thống 
thức (6). không đầy đủ với liên kết dạng hoá học./. 
 Tài liệu tham khảo 
 [1]. Ambrosio, B., & Aziz-Alaoui, M. A. (2012), “Synchronization and control of coupled 
reaction-diffusion systems of the FitzHugh-Nagumo-type”, Computers and Mathematics with 
Applications, (64), pp. 934-943. 
 [2]. Ambrosio, B., & Aziz-Alaoui, M. A. (March 2013), “Synchronization and control of a 
network of coupled reaction-diffusion systems of generalized FitzHugh-Nagumo type”, ESAIM: 
Proceedings, Vol. 39, pp. 15-24. 
 [3]. Aziz-Alaoui, M. A. (2006), “Synchronization of Chaos”, Encyclopedia of Mathematical 
Physics, Elsevier, Vol. 5, pp. 213-226. 
 [4]. Corson, N. (2009), Dynamique d'un modèle neuronal, synchronisation et complexité, Luận 
án Tiến sĩ, Trường Đại học Le Havre, Pháp. 
 [5]. Ermentrout, G. B., & Terman, D. H. (2009), Mathematical Foundations of Neurosciences, 
Springer. 
 [6]. Hodgkin, A. L., & Huxley, A. F. (1952), “A quantitative description of membrane current 
and ts application to conduction and excitation in nerve”, J. Physiol., (117), pp. 500-544. 
 [7]. Izhikevich, E. M. (2007), Dynamical Systems in Neuroscience, The MIT Press. 
 [8]. Keener, J. P., & Sneyd, J. (2009), Mathematical Physiology, Springer. 
 57 
TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC ÑOÀNG THAÙP Taïp chí Khoa hoïc soá 37 (04-2019) 
 [9]. Murray, J. D. (2010), Mathematical Biology, Springer. 
 [10]. Nagumo, J., Arimoto, S., & Yoshizawa, S. (1962), “An active pulse transmission line 
simulating nerve axon”, Proc. IRE., (50), pp. 2061-2070. 
 SYNCHRONIZATION IN COMPLETE NETWORKS OF REACTION-DIFFUSION 
 EQUATIONS OF FITZHUGH-NAGUMO WIHT SPIRAL SOLUTIONS 
 Summary 
 Synchronization is a ubiquitous feature in many natural systems and nonlinear science. In this 
paper, synchronization is studied in complete networks. Each element of the network is represented 
by a system of FitzHugh-Nagumo reaction-diffusion; especially every subsystem has a spiral-type 
solution. The result shows that those networks of greater elements synchronize more easily, and their 
spiral solutions are maintained, but different in forms. 
 Keywords: Coupling strength, complete network, spiral solution, FitzHugh-Nagumo model, 
synchronization. 
 Ngày nhận bài: 24/8/2018; Ngày nhận lại: 28/02/2019; Ngày duyệt đăng:19/4/2019. 
58