Quartic B splines collocation method for numerical solution of the MRLW equation

e test examples, and the numerical results have been 
 compared with the exact solutions. The  and  in the solutions show the efficiency of 
 the method computationally. 
 Keywords: MRLW equation; quartic B spline; collocation method; finite difference. 
 Email:  nvdungkiev@yahoo.com  
 Received 02 December 2017 
 Accepted for publication 25 December 2017 
1. INTRODUCTION 
  In this work, we consider the solution of the mGRLW equation 
 
 u + αu + εu u − βu = 0,          (1) 
x ∈ [a, b], t ∈ [0, T], 
with the initial condition 
 u(x, 0) = f(x), x ∈ [a, b],            (2) 
and the boundary condition 
 u(a, t) = 0, u(b, t) = 0
  u(a, t) = u(a, t) = 0            (3) 
 u(a, t) = u(b, t) = 0,
where α, ε, β are constants,  β > 0. 
6   TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ ĐÔ HÀ NỘI 
 The  MRLW  equations  play  a  dominant  role  in  many  branches  of  science  and 
engineering [1]. In the past several years, many different methods have been used to estimate 
the solution of the MRLW equation, for example, see [1, 3]. 
 In this present work, we have applied the quartic B spline collocation method to the 
MRLW equations. This work is built as follow: in Section 2, numerical scheme is presented. 
Section 3, is devoted to stability analysis of the method. The numerical results are discussed 
in Section 4. A conclusion is given at the end of the paper in Section 5. 
2. QUINTIC B – SPLINE COLLOCATION METHOD 
 The interval [, ] is partitioned in to a mesh of uniform lengthh = x − x by the 
knots x, i = 0,N such that 
 a = x < x < ⋯ < x < x = b. 
 Our numerical treatment for the MRLW equation using the collocation method with 
quartic  B  spline  is  to  find  an  approximate  solution  U(x,t)  to  the  exact  solution  u(x,t)  in 
the form 
 
 U(x, t) = ∑  δ(t)B(x),          (4) 
where δ(t) are time-dependent quantities to be determined from the boundary conditions 
and collocation form of the differential equations. Also B(x) are the quartic B spline basis 
functions at knots, given by [4]. 
 
 (x − x) , x ≤ x ≤ x
 ⎧  
 ⎪(x − x) − 5(x − x) , 
 ⎪ x ≤ x ≤ x
 ⎪   
 ⎪(x − x) − 5(x − x) + 10(x − x) , x ≤ x ≤ x
 1
 ( ) 
 B x =     
 h ⎨(x − x) − 5(x − x) , x ≤ x ≤ x
 ⎪ 
 ⎪ 
 ⎪ (x − x) , x ≤ x ≤ x
 ⎪ 
 ⎩0, x x.
 The value of B(x) and its derivatives may be tabulated as in Table 1. 
 U = δ + 11δ + 11δ + δ 
 4
 U′ = (−δ − 3δ + 3δ + δ ) 
  h    
 12
 U′′ = (δ − δ − δ + δ ). 
  h    
TẠP CHÍ KHOA HỌC SỐ 20/2017   7 
 Table 1. , ′, and ′′ at the node points 
 x       
 B(x)  0  1  11  11  1  0 
 4 12 12 4
 B′ (x)  0      −   −   0 
  h h h h
 12 12 12 12
 B′′ (x)  0    −   −     0 
  h h h h
 Using the finite difference method, from the equation (1), we have: 
 ( )( )  ( )( )
   + ε(u)(u ) + α   = 0.               (5) 
    
 Using the value given in Table 1, Eq. (5) can be calculated at the knots x, i = 0,N so 
that Eq. (5) reduces to: 
       
 aδ + aδ + aδ + aδ = bδ + bδ + bδ +
 
 bδ,               (6) 
where 
 
 a = 2h − 4hα∆t − 24β − 4p + 4q,   
 
 a = 22h − 12hα∆t + 24β − 12p + 22q, 
 
 a = 22h + 12hα∆t + 24β + 12p + 22q, 
 
  a = 2h + 4hα∆t − 24β + 4p + 4q, 
 
  b = 2h + 4hα∆t − 24β − 4p,   
 
 b = 22h + 12hα∆t − 24β − 12p, 
 
 b = 22h − 12hα∆t + 24β + 12p, 
 
  b = 2h − 4hα∆t − 24β + 4p, 
  
  p = h∆tεL, q = h ε∆tLL, 
    
  L = δ + 11δ + 11δ + δ, 
 4
 L = (−δ − 3δ + 3δ + δ ). 
  h    
8   TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ ĐÔ HÀ NỘI 
 
 The system (6) consists of N + 1 equations in the N + 4 knowns (δ, δ,  , δ) . 
 To get a solution to this system, we need four additional constraints. These constraints 
are obtained from the boundary conditions (3) and can be used to eliminate from the system 
(6). Then, we get the matrix system equation 
 A(δ)δ = B(δ)δ + r,         (7) 
 Where the matrix A(δ), B(δ) are penta-diagonal (N + 1) × (N + 1) matrices and r 
is the N + 1 dimensional colum vector. The algorithm is then used to solve the system (7). 
We apply the initial condition 
  
 U(x, 0) = ∑  δ B(x),                                         (8)     
then we need that the approximately solution is satisfied following conditions 
 U(x , 0) = f(x )
 ⎧  
 U (x , 0) = U (a, 0) = 0
 ⎪   
 U (x , 0) = U (b, 0) = 0
            (9) 
 ⎨U(x, 0) = U(a, 0) = 0
 ⎪U(x, 0) = U(b, 0) = 0
 ⎩ i = 0,1,  , N.
    
 Eliminating δ, δ and δ  from the system (9), we get Aδ = r, where A is the 
quartic-diagonal matrix given by: 
 3 1 0 ... ... 0 
   37 43
 1 0 ... ... 0 
   4 4 
 1 11 11 1 0 ... ... 0 
   A ... ... ... 
 ... ... ... 
 ... 
 0 ... 0 1 11 11 1 
   0 ... 0 1 1 
      
and δ = (δ, δ,  , δ) , r = (f(x), f(x),  , f(x)) . 
3. STABILITY ANALYSIS 
 In this section, we present the stability of the quartic B spline approximation (6) using 
the von-Neumann method. According to the von-Neumann method, we have: 
  
 δ = ξ exp(iγmh) , i = √−1,        (10) 
where γ is the mode number and h is the element size. 
TẠP CHÍ KHOA HỌC SỐ 20/2017   9 
 
 Being applicable to only linear schemes the nonlinear term U U is linearized by taking 
U as a  locally constant value θ. The linearized form of proposed scheme is given as 
        
 σδ + σδ + σδ + σδ = σδ + σδ + σδ + σδ  (11) 
where 
 4a 12β 12a 12β
 σ = 1 −  −  , σ = 11 −  + ,  
  h h  h h
 12a 12β 4a 12β
 σ = 11 +  +  , σ = 1 +  − , 
  h h  h h
 (α + εθ)∆t
  = . 
  h
  
 Substitretion of δ = exp(iγjh)ξ ,into Eq. (11) leads to  
 ξ[σ exp(−2ihγ) + σ exp(−iγh) + σ + σ exp(iγh)] = σ exp(−2iγh) +
 σ exp(−iγh) + σ + σ exp(iγh).  (12) 
 Simplifying Eq. (12), we get: 
 A − iB
  =  , 
 C + iB 
    
 It is clear that C + B = A + B . So || = 1. 
 Therefore, the linearized numerical scheme for the MRLW equation is unconditionally 
stable. 
4. NUMERICAL EXAMPLE 
 We now obtain the numerical solution of the MRLW equation for some problems. To 
show the efficiency of the present method for our problem in comparison with the exact 
solution, we report L and L using formula: 
 L = max|U(x, t) − u(x, t)|, 
 
 
 
 L = h |U(x, t) − u(x, t)|  , 
 
where U is numerical solution and u denotes exact solution. 
 Three invariants of motion which correspond to the conservation of mass, momentum, 
and energy are given as: 
10   TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ ĐÔ HÀ NỘI 
  
  
 I =  udx, I =  (u + βu)dx, I 
  
 
  2β(p + 1) 
 =  u − u dx. 
  ε
 We have the exact solution of the MRLW is: 
 A
 u(x, t) = , 
 cosh (ρ(x − x − ct))
 ()()() 
where          =  ,  = . 
   
 The initial condition of Equation (1) given by: 
 A
 f(x) = . 
 cosh (ρ(x − x))
 We  take  α = 1.1, ε = 64, β = 2, a = 0, b = 100, x = 30, ∆t = 0.025  and  ∆t =
0.01, h = 0.1 and h = 0.2, t ∈ [0, 20]. The values of the variants and the error norms at 
several times are listed in Table 2 and Table 3. From Table 2, we see that, changes of variants 
  
I, I × 10  and I × 10 from their initial value are less than 0.1, 0.2 and 0.9, respectively. 
The error nomrs L, L are less than 0.009695 and 0.008033, respectively.  
  
 In Table 3, changes of variants I, I × 10  and I × 10  from their initial value are 
less than 0.7, 0.4 and 0.6, respectively. The error nomrs L, L are less than 0.007553 and 
0.008033, respectively. 
 Table 2. Variants and error norms of the MRLW equation with  = 1.1,  = 1.11 
  = 64,  = 2,  = 0,  = 100,  = 30, ∆ = 0.01, ℎ = 0.1,  ∈ [0, 20] 
 t 0 5 10 15 20 
 I  1.251299  1.287541  1.315251  1.335511  1.347595 
 I  0.037046  0.036778  0.036835  0.036867  0.036847 
 I  -0.001087  -0.001035  -0.001022  -0.001013  -0.001004 
 L   0.007105  0.006936  0.007444  0.008531  0.009695 
 L    0.008033  0.005587  0.003866  0.002957  0.002993 
 Figure 1 shows approximate solution graphs at t = 0, 5, 10, 15, 20. 
 TẠP CHÍ KHOA HỌC SỐ 20/2017   11 
 Figure 1. Single solitary wave with 
  = 1.1,  = 1.11,  = 64,  = 2,  = 0,  = 100,  = 30, ∆ = 0.01, 
 ℎ = 0.2,  = 0, 5,10, 15, 20. 
 Table 3. Variants and error norms of the MRLW equation with  = 1.1,  = 1.11 
  = 64,  = 2,  = 0,  = 100,  = 30, ∆ = 0.01, ℎ = 0.2,  ∈ [0, 20] 
 t 0 5 10 15 20 
 I  1.250960  1.283776  1.304115  1.313904  1.314098 
 I  0.031271  0.030893  0.030752  0.030577  0.030395 
 I  -0.000546  -0.000488  -0.000464  -0.000443  -0.000426 
 L  0.007553  0.007163  0.006965  0.006883  0.006890 
 L  0.008033  0.005587  0.003866  0.002670  0.002472 
The plot of the estimated solution at time t = 0, 5, 10, 15, 20 in Figure 2.  
 Figure 2. Single solitary wave with 
  = 1.1,  = 1.11,  = 64,  = 2,  = 0,  = 100,  = 30, ∆ = 0.01, 
 ℎ = 0.2,  = 0, 5,10, 15, 20. 
12   TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ ĐÔ HÀ NỘI 
 To get more the variants and error norms, we choose two sets of parameters by taking 
different  values  of  h = 0.1 and  h  =  0.2  and  the  same  values  of     = 1.1,  = 1.11, ε =
128, β = 2, a = 0, b = 100, x = 30, ∆t = 0.01.    The  variants  and  error  norms  are 
calculated from time t = 0 to t = 20. The numerical results are given Table 4 and Table 5. 
  
From Table 4, we see that, changes of variants I × 10, I × 10  and I × 10  from their 
initial value are less than 0.7, 0.1 and 0.3, respectively. The error nomrs L, L are less than 
0.006855 and 0.005681, respectively. 
  
 In Table 5, changes of variants I × 10, I × 10  and I × 10 from their initial value 
are less than 0.4, 0.6  and 0.4, respectively. The error nomrs L, L are less than 0.005341 
and 0.005680, respectively.  
 Error graphs are shown in Figure 3 and Figure 4 at t = 0, 5, 10, 15 and t = 20. 
 Table 4. Variants and error norms of the MRLW equation with  = 1.1,  = 1.11 
  = 128,  = 2,  = 0,  = 100,  = 30, ∆ = 0.01, ℎ = 0.1,  ∈ [0, 20] 
 t 0 5 10 15 20 
 I  0.884802  0.910429  0.930023  0.944348  0.952893 
 I  0.018523  0.018389  0.018418  0.018433  0.018424 
 I  -0.000272  -0.000259  -0.000256  -0.000253  -0.000251 
 L  0.005024  0.004905  0.005264  0.006033  0.006855 
 L  0.005681  0.003950  0.002734  0.002091  0.002117 
 Table 5. Variants and error norms of the MRLW equation with  = 1.1,  = 1.11 
  = 128,  = 2,  = 0,  = 100,  = 30, ∆ = 0.01, ℎ = 0.2,  ∈ [0, 20] 
 t 0 5 10 15 20 
 I  0.884562  0.907767  0.922149  0.929070  0.929208 
 I  0.015636  0.015447  0.015376  0.015289  0.015120 
 I  -0.000137  -0.000122  -0.000116  -0.000111  -0.000106 
 L  0.005341  0.005065  0.004925  0.004867  0.004872 
 L  0.005680  0.003950  0.002734  0.001888  0.001748 
TẠP CHÍ KHOA HỌC SỐ 20/2017   13 
 a) h = 0.1  b)   h= 0.2 
 Figure 3. Single solitary wave with 
  = 1.1,  = 1.11,  = 128,  = 2,  = 0,  = 100,  = 30, ∆ = 0.01, 
 ℎ = 0.1, ℎ = 0.2,  = 0, 5,10, 15, 20. 
 Finally,  we  choose  the  parameter  sets  α = 1.5, ε = 256, β = 2, a = 0, b = 100, x =
30, ∆t = 0.01, c = 1.31, h = 0.1and h = 0.2, t ∈ [0, 20]. The obtained results are given in 
 
Table 6 and Table 7. From Table 6, we see that, changes of variants I × 10, I × 10  and 
 
I × 10 from their initial value are less than 0.4, 0.2 and 0.7, respectively. The error nomrs 
L, L are less than 0.004010 and 0.004683, respectively. In Table 7, changes of variants 
  
I × 10, I × 10   and  I × 10 from  their  initial  value  are  less  than  0.3,  0.5  and  0.2, 
respectively. Besides, we observed that the error in the L, L norm in those tables is small. 
 Table 6. Variants and error norms of the MRLW equation with  = 1.3,  = 1.31 
  = 256,  = 2,  = 0,  = 100,  = 30, ∆ = 0.01, ℎ = 0.1,  ∈ [0, 10] 
 t 0 2 4 6 8 10 
 I  0.666901  0.677352  0.686507  0.694563  0.701611  0.707678 
 I  0.010805  0.010699  0.010714  0.010721  0.010730  0.010738 
 I  -0.000092  -0.000086  -0.000088  -0.000087  -0.000087  -0.000087 
 L  0.003753  0.003671  0.003636  0.003676  0.003804  0.004010 
 L  0.004683  0.004010  0.003427  0.002925  0.002494  0.002126 
 14   TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ ĐÔ HÀ NỘI 
 Table 7. Variants and error norms of the MRLW equation with  = 1.3,  = 1.31 
  = 256,  = 2,  = 0,  = 100,  = 30, ∆ = 0.01, ℎ = 0.2,  ∈ [0, 10] 
 t 0 2 4 6 8 10 
 I  0.666670  0.676480  0.684479  0.690849  0.695687  0.699124 
 I  0.008842  0.008723  0.008715  0.008698  0.008674  0.008648 
 I  -0.000046  -0.000042  -0.000042  -0.000041  -0.000040  -0.000039 
 L  0.004040  0.003923  0.003836  0.003773  0.003732  0.003708 
 L  0.004683  0.004010  0.003427  0.002925  0.002494  0.002126 
 5. CONCLUSION 
 In this work, we have used the quartic B  spline collocation method for solution of the 
 MRLW equation. The stability analysis of the method is shown to be unconditionally stable. 
 The  numerical  results  given  in  the  previous  section  demonstrate  the  good  accuracy  and 
 stability of the proposed scheme in this research. 
 REFERENCES 
1.    A.Gul Kaplan and Y.Maz Derel (2017), “Numerical solutions of the MRLW equation using 
 moving  least  square  collocation  method”,  Commun.Fac.Sci.Univ.Ank.Series  A1  Vol.  66(2), 
 pp.349-361. 
2.    S.Islam,  F.Haq  and  I.A.Tirmizi  (2010),  “Collocation  method  using  quartic  B-spline  for 
 numerical solution of the modified  equal width wave equation”, J. Appl. Math. Inform., Vol. 
 28 (3-4), pp.611-624.  
3.    R.Mohammadi (2015),“Exponential B spline collocation method for numerical solution of the 
 generalized regularized long wave equation”, Chin. Phys. B, Vol. 24(5), 050206, pp.1-14. 
4.   P.M.Prenter (1975), “Splines and Variational Methods”, Wiley, New York.  
5.  M.Zarebnia and R.Parvaz (2013), “Cubic B-spline collocation method for numerical solution of 
 the  Benjamin-Bona-Mahony-Burgers  equation”,  International Journal of Mathematical, 
 Computational, Physical, Electrical and Computer Engineering, Vol. 7(3), pp.540-543. 
 PHƯƠNG PHÁP KẾT NỐI TRƠN CÁC ĐA THỨC BẬC BỐN 
 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MRLW 
 Tóm tắt: Trong bài báo này, nghiệm số của phương trình sóng dài chính quy cải biên 
 (MRLW) sẽ tìm được dựa trên cơ sở sử dụng sự kết nối trơn các đa thức bậc 4. Sử dụng 
 phương pháp Von–Neumann hệ phương trình sai phân ổn định vô điều kiện. Phương pháp 
 giải nêu ra được áp dụng cho một số ví dụ và so sánh với nghiệm chính xác. Kết quả tính 
 toán cho thấy hiệu lực của phương pháp đề xuất. 
 Từ khóa: Phương trình MRLW, spline bậc 4, phương pháp collocation, phương pháp sai 
 phân hữu hạn.