Một số kết quả về C3-môđun

TẠP CHÍ KHOA HỌC SỐ 22 * 2019 65 
 MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ C3-MÔĐUN 
 Lê Đức Thoang*, Võ Thị Mỹ Hưng 
 Trường Đại học Phú Yên 
Tóm tắt 
 Trong bài báo này, chúng tôi khảo sát quan hệ giữa các lớp Ci-môđun (i=1, 2, 3) và 
các lớp môđun liên quan, chúng tôi chứng minh tường minh một số tính chất của C3-môđun. 
 Từ khóa: C3-môđun. 
Abstract 
 Some results on C3-modules 
 In this paper, we consider the relationships between the Ci-modules classes (i = 1, 2, 
3) and the related modules classes. We have explicitly demonstrated some properties of the 
C3-modules. 
 Key words: C3-modules. 
1. Giới thiệu và một số khái niệm 
 Trong bài này, chúng tôi luôn giả thiết vành R đã cho là vành kết hợp có đơn vị 10 
và mọi R-môđun được xét là môđun unita. Với vành R, ta kí hiệu MR (RM) để chỉ M là một 
R-môđun phải (trái, tương ứng). Trong một ngữ cảnh cụ thể, khi không sợ nhầm lẫn về phía 
của môđun, để đơn giản ta viết môđun M thay vì M R . Kí hiệu NM để chỉ N là một 
môđun con của M. Môđun con A của M được gọi là một hạng tử trực tiếp của M nếu có 
mô đun con B của M thỏa mãn MAB  (tức là MAB và AB 0 ), khi đó 
ta kí hiệu AM  . Môđun con NM được gọi là môđun con cốt yếu (essential 
submodule), nếu với mọi môđun con AM , NA 0 thì phải có A 0 , kí hiệu 
 ess
NM . Môđun UR được gọi là nội xạ theo MR (hay U là M-nội xạ) trong trường hợp 
với mọi đơn cấu f: NRR M và mỗi đồng cấu h: NRR U tồn tại một đồng cấu 
h: MRR U sao cho biểu đồ sau giao hoán: 
 0  NM  f
 hh 
 U
 Mô đun U được gọi là tự nội xạ (hay tựa nội xạ) nếu U nội xạ theo U. Mô đun U được 
gọi là nội xạ nếu U là M-nội xạ, với mọi MR Mod (phạm trù các R-môđun phải). 
Lớp các môđun nội xạ là một lớp môđun quan trọng trong Lý thuyết vành và môđun. Chúng 
ta có thể tìm hiểu thêm về những khái niệm và kết quả liên quan đến bài viết này trong tài 
liệu tham khảo [AF] và [Kacsh]. 
* Email: leducthoang@pyu.edu.vn 
66 TRƯỜNG ĐẠI HỌC PHÚ YÊN 
Chúng ta xét các điều kiện sau: 
 (C1): Mọi môđun con của M là cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp của M. 
 (C2): Với mọi môđun con A, B của M, nếu AB và BM  thì AM  . 
 (C3): Nếu A, B là các môđun con của với AM  , BM  và AB 0, thì 
 ABM  . 
Định nghĩa 1.1. Một môđun được gọi là một C1-môđun (hay CS-môđun) nếu thỏa 
điều kiện (C1), được gọi là C2-môđun nếu thỏa điều kiện (C2), được gọi là C3-
môđun nếu thỏa điều kiện (C3). 
Ví dụ 1.2. -môđun 2 và 8 thỏa mãn các điều kiện (C1), (C2) và (C3). 
 Lớp các môđun thỏa mãn điều kiện Ci (i=1, 2, 3) là một lớp mở rộng của môđun nội xạ, 
tựa nội xạ. 
2. Ci-mô đun (i = 1, 2, 3) và các lớp mô đun liên quan 
 Trước tiên, ta sẽ khảo sát về quan hệ giữa các điều kiện (C1), (C2) và (C3). 
Mệnh đề 2.1. Nếu môđun thỏa điều kiện (C2) thì thỏa điều kiện (C3). 
Chứng minh. 
   
Giả sử AM , BM và ta cần chứng minh ABM . 
 
Vì AM nên giả sử MAA ' với AM'. Xét phép chiếu :MA ', ta có 
Ker A. Lấy b B và b a a', a A,', a A từ đó suy ra b a'' A do đó 
 
 BA '. Rõ ràng : BB là đẳng cấu. Do đó, để chứng minh ABM , ta chỉ 
  
cần chứng minh ABM . Vì thỏa điều kiện (C2) mà BM , BB nên 
 BM  . Từ BA  ' suy ra ABV'  với V là một môđun con nào đó của 
A'. Vậy MABV   . 
 Như vậy, một C2-môđun là C3-môđun. Các ví dụ sau cho chúng ta rõ thêm về quan hệ 
giữa các lớp Ci-môđun (i=1, 2, 3). 
Ví dụ 2.2. Môđun thỏa mãn cả điều kiện (C1) và (C3) nhưng không thỏa điều kiện 
 FV
(C2). Tuy nhiên, nếu F là một trường, giả sử R trong đó VFF . Nếu 
 0 F
 10 FV
e thì eR là một C2-môđun, nhưng nó không là một C1-môđun. 
 00 00
 FF
Ví dụ 2.3. Cho R , trong đó F là một trường bất kỳ và 
 0 F
 FF 00
A , B . Khi đó, A là một R -môđun nội xạ, B là một -môđun đơn. 
 00 0 F
TẠP CHÍ KHOA HỌC SỐ 22 * 2019 67 
Tuy nhiên RAB  là RR -môđun thỏa điều kiện (C1) nhưng không thỏa điều kiện (C3). 
Mệnh đề 2.4. Môđun tựa nội xạ M thỏa mãn các điều kiện (C1) và (C2). 
Chứng minh. 
 Trước tiên ta chứng minh f M M với mọi f End E M . 
 Vì EM là nội xạ nên ta xét f Hom M,. E M Giả sử 
 A m M:. f m M 
Xét biểu đồ: i 
 0 A 
 M 
 f h 
 A
 M 
 f 
 E(M) 
 Vì là tựa nội xạ nên đồng cấu f A có thể mở rộng tới một đồng cấu h: M M 
tức là f A hi trong đó i là ánh xạ nhúng chính tắc từ A vào M. 
 Ta cần chứng minh M h f M 0. Thật vậy, giả sử x M  h f M, tồn tại 
 yM sao cho x h f y h y f y . Khi đó f y h y x M, do đó 
 yA . 
 Ta có x h y f y f y f y 0 nên M h f M 0 và do đó 
 ess
 h f M 0 vì MEM . Vậy fM hM M. 
 Gọi N là một môđun con của M. Ta có EMEE 12 trong đó EEN1 . Vì 
 f M M với mọi f EndE M nên MMEME 12   . Gọi U là môđun 
 ess
con khác không của ME 1, ta có là môđun con của E1 mà UE 1 nên 
 ess
 NU 0, do đó NME 1. Vậy thỏa điều kiện (C1). 
 Giả sử AM , AB và BM  ta cần chứng minh AM  . Thật vậy, ta có đơn 
cấu f: B M sao cho ImfA . Vì là tựa nội xạ và BM  nên B là -nội xạ. 
Từ đó suy ra tồn tại đồng cấu g: M B sao cho gf idB. Ta có 
68 TRƯỜNG ĐẠI HỌC PHÚ YÊN 
M Im f Kerg A Kerg hay AM  . Vậy M thỏa điều kiện (C2). 
 Như vậy, môđun tựa nội xạ là Ci-môđun, với i=1, 2, 3. 
 Nhắc lại rằng, một R -môđun M được gọi là liên tục nếu nó thỏa mãn điều kiện (C1) và 
(C2), M được gọi là tựa liên tục nếu nó thỏa mãn điều kiện (C1) và (C3). Một -môđun 
M được gọi là đều nếu mọi môđun con khác không của nó đều cốt yếu trong M. 
 Ta có sơ đồ sau về mối quan hệ của các lớp môđun: 
Nội xạ Tựa nội xạ Liên tục Tựa liên tục (C1) 
 (C2) (C3) 
 Tiếp theo, chúng ta xét hạng tử trực tiếp của một Ci-mô đun (i = 1, 2, 3) 
Bổ đề 2.5. Hạng tử trực tiếp của một Ci-môđun cũng là một Ci-môđun (i = 1, 2, 3). 
Chứng minh. 
 Trước hết, ta chứng minh rằng mọi hạng tử trực tiếp của một C1-môđun là C1-môđun. 
Giả sử là C1-môđun và N là hạng tử trực tiếp của M. Ta chỉ cần chứng minh cũng 
là C1-môđun. Xét T là môđun con đóng trong N. Do đó, đóng trong Vì là C1-
môđun nên TM  , nghĩa là MTX  với môđun con X nào đó của . 
Theo luật modular, ta có NNMNTXTNX      . Do đó TN  . 
Bởi vậy cũng là C1-môđun. 
 Tiếp theo, ta chứng minh mọi hạng tử trực tiếp của C2-môđun là một C2-môđun. 
Giả sử là C2-môđun và L là hạng tử trực tiếp của M. Ta chứng minh cũng là C2-
môđun. Xét BL  , AB với AL ta chỉ cần chứng minh AL  . Thật vậy, vì 
BL  nên LBX  với XL và LM  nên MLY  với YM . Từ đó 
  
suy ra MBXY   . Vì là một C2-môđun, BM và nên AM . Do 
đó MAZ . Theo luật modular ta có 
LMLAZLAZL      .Vậy AL  . 
 Cuối cùng, ta chứng minh mọi hạng tử trực tiếp của C3-môđun là một C3-môđun. 
Giả sử là C3-môđun và K là hạng tử trực tiếp của M. Ta chứng minh cũng là C3-
môđun. Xét EK  , FK  và EF 0 ta chỉ cần chứng minh EFK  . Thật 
   
vậy, vì KM nên MKH  với HM và EK , FK nên 
KEC  FD. Từ đó suy ra MECHFDH     do đó EM  , 
FM  . Hơn nữa, là một C3-môđun và EF 0 nên EFM  . Do đó 
MEFU   với UM . Theo luật modular ta có 
KMKEFUKEFUK        . 
TẠP CHÍ KHOA HỌC SỐ 22 * 2019 69 
Vậy EFK  . 
3. Một số tính chất của C3-môđun 
Mệnh đề 3.1. Cho M là một R -môđun phải. Những điều kiện sau đây là tương đương: 
 1. là một C3-môđun. 
  
 2. Nếu AM , BM và AB 0 thì MABAB 11   với các 
 môđun con AA 1 và BB 1. 
    
 3. Nếu AM , BM và ABM , thì ABM . 
Chứng minh. 
  
 (1) (2) Giả sử AM , BM và AB 0. Vì là một C3-môđun nên 
 
ABM . Do đó, tồn tại một môđun con TM sao cho MABT   . 
Đặt A1 A  T và BBT1 . Khi đó ta có MABAB 11   với các môđun 
con AA 1 và B B1. 
  
 (2) (1) Giả sử AM , BM và AB 0. 
Theo giả thiết, ta có MABAB   với các môđun con AA và BB . Khi đó, 
 11 1 1 
B B  M (A  B) BAB   . Do đó, 
 1 1 1 11 
MABABAB 1   1  1 . 
 
 (1) (3) Vì ABM nên MABK   với một môđun con KM . Ta 
có, AAMABAK     và BBMABBK     . Vì M là 
một C3-môđun, AKM  , BKM  và 
 AKBKABK     0 nên TAKBKM     . Hơn nữa, 
   
TM , ABM và AB  T 0. Từ đó suy ra ABTM  . Khi 
đó, 
 AB  A BA  K  AB  BK 
 ABAKBK      ABTM    . 
 (3) (1) Dễ thấy. 
Mệnh đề 3.2. Nếu M là một C3-môđun, MAA 12 với các môđun con AA12, và 
  
f: A12 A là một R -đồng cấu với Kerf A1, thì ImfA 2 . 
Chứng minh. 
 
 Trước tiên, ta chứng minh rằng nếu là một -đơn cấu, thì ImfA 2 . 
70 TRƯỜNG ĐẠI HỌC PHÚ YÊN 
Giả sử T a f a : a A1 là môđun con của M. Ta chứng minh MTA 2. 
Thật vậy, xM thì x a b với aA 1 và bA 2. Khi đó 
 x a f a fa b TA và do đó MTA . Nếu x  T A thì 
 2 2 2
 với aA 1, tương đương, a x f a A12  A 0. Rõ ràng, x 0, 
 
 MTA 2 và TM . 
 Tiếp theo, ta chứng minh AT1  0. Nếu x  A1 T thì với 
và tương đương, x a f a A12  A 0. Vì f là một đơn cấu nên a 0 và do đó 
 x 0. Vì M là một C3-môđun nên ATM  . 
 1
 Cuối cùng, ta chứng minh A11 T A  Im f . 
Nếu xf Im thì x f a , nên x a a f a A1 T. Do đó, 
 AT AfIm . Vì ATM  nên Im fM  và do đó ImfA  . Khi 
 1 1 1 2
đó, giả sử f: A A là R -đồng cấu với Kerf  A . Nếu A  Kerf B với 
 12 1 1
 thì và ánh xạ hạn chế là một đơn 
 BA 1 MA 1 A2 Kerf  B  A2, f B : B A2
cấu. Vì hạng tử trực tiếp của một C3-môđun cũng là một C3-môđun, nên BA 2 là một 
 
C3-môđun. Do đó, áp dụng chứng minh trên, suy ra Imf Im f B A2 . 
Hệ quả 3.3. Nếu M là một C3-môđun, MAA  với các môđun con AA, và 
 12 12
 
 f: A12 A là một -đơn cấu, thì ImfA 2 . 
 Ví dụ sau chứng tỏ tổng trực tiếp của hai C3-môđun không nhất thiết là một C3-môđun. 
Ví dụ 3.4. Vì -đơn cấu 02 không chẻ ra, nên -môđun M 2 không 
là một C3-môđun, trong khi  và 2 là một C3-môđun. 
Hệ quả 3.5. Nếu MM là một C3-môđun, thì là một C2-môđun. 
Chứng minh. 
  
Giả sử MM1 , MM12 ta cần chứng minh MM2 . Đặt : MM12 là một 
đẳng cấu và giả sử MMK  với KM . Khi đó MMMKM 0.  
 1 1 
Ta xét đồng cấu sau đây 
 :0MKM 
 1 
 mm,0 0, 
 11 
Ta có Do đó là một đơn cấu. Vì 
 Ker m1,0  m 1 0, m 1 M 1 0,0  . 
TẠP CHÍ KHOA HỌC SỐ 22 * 2019 71 
MM là một C3-môđun nên theo Hệ quả 3.3, ta có Im  KM hay 
0 M  KM. Giả sử KMMH 0   với HKM . Khi đó: 
 2 2 
 00MMKM    
 MMH    
 00 2 
 0 MMH  0   .
 2 
Đặt L m M  0, m H . Khi đó LM . Hơn nữa, vì 
 (0  M)  H (0,m ) (0, m) H nên 0MHL  0  .
  
  
Do đó 0MML 0 2  0  hay 0 M2 0. M Vậy MM2 .  
Hệ quả 3.6. Nếu M là một R -môđun phải, thì mọi tổng trực tiếp hữu hạn (đếm được, bất 
kỳ) các bản sao của là một C3-môđun nếu và chỉ nếu mọi tổng trực tiếp hữu hạn (đếm 
được, bất kỳ) các bản sao của là một C2-môđun 
 TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[AIY] I. Amin, Y. Ibrahim, M. Yousif , C3-Modules, Algebra Colloquium 22:4 (2015) 655-
 670, DOI: 10.1142/S1005386715000553. 
[AF] F. W. Anderson and K. R. Fuller (1992), Rings and categories of modules, Second 
 Edition, Graduate Text in Math., Vol. 13, Springer-Verlag, Berlin - Heidelberg - 
 New York. 
[Faith] C. Faith, Algebra II: Ring theory, Springer-Verlag, Berlin and New York, 1976. 
[Jonah] D. Jonah, Rings with minimum condition for principal left ideals have the 
 maximum condition for right ideals, Math. Z. 113 (1970), 106-112. 
[Kasch] F. Kasch (1982), Modules and rings, London Math. Soc. Mono. No. 17. New York: 
 Academic Press. 
[MM] S. H. Mohamed, B. J. Muller (1990), Continuous and Discrete modules, Cambridge 
 Univ. Press, Cambridge. 
[NY] W. K. Nicholson and M. F. Yousif (2003), Quasi-Frobenius rings, Cambridge Univ. 
 Press. 
 (Ngày nhận bài: 21/09/2019; ngày phản biện: 27/09/2019; ngày nhận đăng: 02/10/2019)