Khai thác các tính chất số học liên quan đến bài toán về dãy số trong các kì thi Olympic sinh viên

 No.16_June 2020|Số 16 – Tháng 6 năm 2020| p. 110-115 
 TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC TÂN TRÀO 
 ISSN: 2354 - 1431 
 KHAI THÁC CÁC TÍNH CHẤT SỐ HỌC LIÊN QUAN ĐẾN BÀI TOÁN 
 VỀ DÃY SỐ TRONG CÁC KÌ THI OLYMPIC SINH VIÊN 
Dương Thị Hồng Hảia,, Lê Thiếu Tránga,* 
aTrường Đại học Tân Trào 
*Email: lttrang0466@tuyenquang.edu.vn 
Thông tin bài viết Tóm tắt 
 Dãy số là một trong những chủ đề nằm trong chương trình giải tích của chương 
Ngày nhận bài: 
2/5/2020 trình Đại học Sư phạm Toán, là một chuyên đề cơ bản trong nội dung dạy học cho 
Ngày duyệt đăng: các đội tuyển Olympic dành cho sinh viên toán các trường Đại học và Cao đẳng. 
10/6/2020 
 Bài toán về dãy số giúp sinh viên hiểu sâu sắc hơn về hàm số, về qui luật phân bố 
 các số, về tính chất các vô cùng bé, vô cùng lớn... Bài viết này, tác giả tổng hợp 
Từ khóa: một số bài toán liên quan đến dãy số nhằm phát triển năng lực học tập và nghiên 
Dãy số, giới hạn, số học, số 
chính phương, sinh viên. cứu của sinh viên. 
 1. ĐẶT VẤN ĐỀ 
 Trong bài báo này, tác giả dựa trên các ý tưởng đã có cần thiết phải trang bị cho các em các kiến thức về dãy 
về số học và dãy số của một số tác giả như GS.TS Phan số thông qua một số bài toán cơ bản. 
Huy Khải (Viện Toán học Việt Nam), một số bài toán 2. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU 
trong Tạp chí Toán Học và Tuổi trẻ và một số chuyên đề Trong phần nội dung, do chuyên đề này là ứng dụng 
về dãy số, làm sáng tỏ một số vấn đề học sinh và sinh số học vào dãy số, nên kiến thức cơ sở sẽ được đề cập 
viên còn chưa rõ khi giải toán dạng này, hình thành trong từng bài cụ thể. 
phương pháp chung giải các dạng toán đó. 2.1. Bài toán 1. Tính tổng 
 Thực tế giảng dạy, sinh viên tham gia dự thi Olympic k k k
 Sk 1 2 ... n ,n ¥¥ *,k . 
tại Trường Đại học Tân Trào năm 2018- 2019 tác giả 
 2.1.1. Xây dựng công thức tính: 
nhận thấy, sinh viên đội tuyển toán chưa nắm được hệ 
 Ta đã biết: 
thống các ứng dụng số học vào dãy số hiệu quả, chưa có 0 0 0
 S0 1 2 ... n n 
cái nhìn tổng thể, nguồn gốc các bài toán và chưa có tính 
 n(n 1)
chủ động, sáng tạo trong thực tiễn. Do đó, để các đội S 11 2 1 ... n 1 
 1 2
tuyển sinh viên đạt kết quả cao trong các kì thi Olympic 
 L.T.Trang et al/ No.16_June 2020|p.110-115 
 2 2 2 n(n 1)(2n 1) 4 4 4 2 2 2 
 S 1 2 ... n , xn 1 2 ... n 1 2 ... n
 2 6 
 Đã có nhiều cách để tính các tổng trên, nhưng để tổng Đây chính là tổng S4và S2ở trên. Thay vào ta được: 
quát được, ta có thể làm như sau: 
 x (n 1)n(n 1)(2n 1)(n 2) 
 n n 10
 Ta đã có công thức: n k n k k . 
 a b  Can b
 k0 (n 1)(2n 1) . 
 un ,n ¥ *
 Áp dụng vào các khai triển sau: 10(n 1)
 2 12 Nhận xét: Bài toán trên là loại dãy sai phân tuyến tính 
 n 1 -1=CS2 1 CS 2 0 
 với hệ số biến thiên: Tìm số hạng tổng quát của dãy 
 3
 (n+1)3-1= n 1 -1=CS1 CS 2 CS 3 ... n(n 1)...(n k)
 3 2 3 1 3 0 un biết ua ; u u 1,n¥ *. 
 1 n 1 (n k 1)...(n 2k 1) n 
 Tổng quát ta có công thức truy hồi cho S : 
 k 2.1.3. Bài tập tương tự 
 k 1 2 k k 1
 n 1 -1=Ck1k S C k1k1 S ... C k11 S C k10 S Bài 1.1. Cho dãy số (un) biết: 
 2.12 3.2 2 ... n 1.n 2
 2.1.2. Ví dụ 1. Tìm số hạng tổng quát của dãy số (un), u . Tính limun? 
 n n4
biết: 
 Bài 1.2. Tính các giới hạn sau: 
 n(n 1) . 
 u1 0,u n 1 u n 1,n ¥ * 5 5 5
 (n 2)(n 3) 1) lim1 2 ... n ; 
 n6
 Giải: Phương trình dãy được viết lại: un+1=
 1k 2 k ... n k
 2 2) lim . 
u n(n 1)(n 2) u 1 nk1 
n 1(n 1)(n 2)(n2 3) n 
 Bài 1.3. Tìm un biết 
 2 2 2 n1 
 n1n2 n3u nn1n2u nn1n2. u 1,u (u 2),n ¥ *. 
 n 1 n 1 n 1n2 n
 2
 Đặt n n 1 n 2 unn x 2.2. Bài toán 2. Tìm điều kiện hoặc chứng minh các số 
 2 hạng của một dãy số không đổi dấu. 
 và n n 1 n 2 f , ta có phương trình: 
 n 2.2.1. Ví dụ: Cho dãy biết và 
 an a01 a, a b
 xn 1 x n f n , x 1 0. 
 an 2 a n 1 2a n 6. Tìm điều kiện của a, b để 
 Cho n 1,2,...,ta có: 
 an> 0, n ¥ . 
 2
xn x n 1 n 1.n . n 1 Giải: 
 2 + Tìm số hạng tổng quát của dãy: Đặt 
xn 1 x x 2 n 2 . n 1 .n ... 
 2 a v w , với vn là dãy tuyến tính thuần 
x21 x 1.2.3 n n n 
Cộng các đẳng thức và rút gọn ta được: nhất, wn là dãy đa thức của n. Phương trình đặc 
 2
 trưng của dãy là x x 2 0, có nghiệm 
 2 2 2
 xn1 x 1.2.3 2.3.4 ... n 1.n. n 1. 
 x12 1, x 2, nên ta có: 
 Thay x01 ta có: n nn
 vn A.1 B. 2 A B. 2 và 
 2 2 2
 xn 1.2.3 2.3.4 ... n 1.n . n 1. 
 wn C.n. 
 Ta hãy tìm cách tính tổng trên, ta có: Thay vào dãy ta có: 
 2 4 2
 n 1.n . n 1 n n . Cn2 Cn1 2Cn6 C2 
 Do đó: 
 L.T.Trang et al/ No.16_June 2020|p.110-115 
 Do đó: wn 2n. Vậy: 
 2.3.2. Các bài tập tương tự 
 n
an A B. 2 2n, n ¥ . 
 Bài 3.1. Cho dãy xn biết: 
 Thay n 0,1ta có: 2
 x1 1,x n 1 3x n 8x n 1,n ¥ *. 
 2a b 2 2n a b 2
 a ( 2)n ,n ¥ . Chứng minh mọi số hạng của dãy đều nguyên. 
 n ( 2)nn ( 2) 3
 Bài 3.2. Cho dãy un thoả mãn: 
 Từ đó ta thấy: 
 un .u n 1 .Tìm điều kiện 
 a b 2 un2 ,  n 1,2,...
 - Nếu 0 thì với n 2k 1 có 2u u
 3 n n 1
 cần và đủ đối với để dãy có vô số số hạng 
liman , loại. u,12 u
 nguyên. 
 - Nếu a b 2 thì với có 
 0 n 2k Bài 3.3. Cho dãy biết: 
 3 an 
 , loại. 2
 a1 1,a n 1 5a n ka n 8,n ¥ *. Tìm k 
 a b 2 0 thoả mãn và điều kiện cần tìm của nguyên dương để mọi số hạng của dãy đều nguyên. 
 3 Bài 3.4. Bài toán tổng quát 1: Cho a, b Zvà dãy 
 là và . 
a, b b a 2 a0 biết: 
 2.2.2. Bài tập tương tự 2
 a1 1, an 1 a.a n k.an b. Tìm nguyên 
 Bài 2.1. Xác định các dãy an biết: 
 dương để an ¢ , n¥ *. 
 a 1, a a a mà a 0,  n ¥ . 
 0 n 2 n 1 n n Bài 3.5. Bài toán tổng quát 2: Cho các số nguyên 
 Bài 2.2. Chứng minh có duy nhất 1 dãy số dương thoả mãn: 2 . Dãy 
 a, b, c a b 1
 u thoả mãn điều kiện: 
 n được xác định như sau: 
 u 1, u u u ,  n ¥ . 22
 0 n n 1 n 2 u0 0, u n 1 au n bun c ,n ¥ . Chứng 
 2.3. Bài toán 3. Lập luận để các số hạng của một mọi số hạng của dãy đều nguyên. 
dãy số là số nguyên. Bài 3.6. Chứng minh tồn tại đúng một dãy 
 2.3.1. Ví dụ: Cho dãy an biết: a12 a 1, nguyên thoả mãn: 
 3
 2 u1=1, u2 > 1, u1 1,u 2 1,u n 1 1 u n u n 2 ,  n 1,2,... 
 a2n1 . Chứng minh mọi số hạng của 
 an ,  n 3 2.4. Bài toán 4. Chứng minh, phát hiện các đẳng thức 
 an2 
 về dãy số, số chính phương và số lập phương. 
dãy đều là số nguyên. 
 2.4.1. Ví dụ: Cho dãy an với 
 Giải: Trước hết ta đưa dãy về dạng tuyến tính. Ta 
 a 1, a 13, a 14a a , n ¥ . 
 có: a3 3, a 4 11, a 5 41. Giả sử 0 1 n 2 n 1 n
 Chứng minh với mọi số tự nhiên nta có: 
 a a  a  .Thay n 1,2,3ta được 
 n n 1 n 2 2
 1) an 1 a n .a n 2 12 0. 
 34   2
 hệ: . 2) 4an 1 là số chính phương. Từ đó suy ra số 
 11 3    1 3
 41 11 3    0
 2a 1và 2an 1 cũng là các số chính phương. 
 n 3
 Vậy: an 4a n 1 a n 2 , n 3. 
 3) là tổng của hai số chính phương liên tiếp và 2 
 Do an an
 a1 a 2 1 ¢ a n ¢, n ¥ *. 
 là hiệu của hai số lập phương liên tiếp. 
 L.T.Trang et al/ No.16_June 2020|p.110-115 
 Điều này đúng vì 2ann 1, 2a 1 1nên 
 Giải: 
 2a 1,2an 1 1 
 1) Câu hỏi 1) có thể làm bằng phương pháp qui nạp n 3
(các tài liệu đều giải theo cách này). Nhưng vấn đề đặt ra 
 Mặt khác an  1 mod3 (chứng minh quy nạp) 
là: Nếu không yêu cầu chứng minh đẳng thức trên, mà 
 2an 33M. 
hỏi các câu hỏi sau thì học sinh sẽ xử lí như thế nào? Ta 
 2
hãy hướng dẫn học sinh tự xây dựng được đẳng thức 3) Vì và 4an 1 là những số chính phương 
phần 1), đó cũng là cách khác để chứng minh đẳng thức 3
 lẻ nên ta có: 
này: 
 2222 
 Từ giả thiết dễ thấy an 0, n ¥ và a2 181. 2ann 1 2k1 a 2k 2k1k k1. 
 2
 Nên đẳng thức: 4a 1 23
 n 2k1 a3k3k1 2 k1 k3. 
 aa 3
 an 2 14a n 1 a n n 2 n 14. 
 an1 2.4.2. Bài tập tương tự 
 Thay nbởi n1 ta được: Bài 4.1. Cho dãy số an với 
 aa aa aa 
 n 1 n 1 14 n 2 n n 1 n 1 2
 a0 2, a n 1 4a n 15an 60,n ¥ . Tìm an 
 an an1 an
 22 1
 a a .a a a .a . Truy hồi biểu và chứng minh: a8 bằng tổng bình phương 3 
 n 1 n n 2 n n 1 n 1 5 2n 
thức trên ta được: 
 số nguyên liên tiếp,  n*¥ . 
 2 2
 an 1 a n .a n 2 a1 a 0 .a 2 12=-12. Vậy: 
 Bài 4.2. Cho dãy un biết 
 2
an 1 a n .a n 2 12 0,  ¥ . 
 u1 1, u 2 3, u n 1 n 2 u n n 1 u n 1 , n 2,3,...Tìm n
2) Từ giả thiết dễ thấy an ¢ , n ¥ . Theo 1) thì 
 để un là số chính phương. 
 2
phương trình: an 1 a n .a n 2 12 0. Bài 4.3. Cho dãy số nguyên với 
 2
 an1 an . 14a n 1 an 12 0
 u0 1, u 1 45, u n 2 45u n 1 7u, n  ¥ . 
 2
 an 1 14an1 .an a 120 phải có nghiệm 1) Tìm số ước số tự nhiên của số 
 2 2
 xa n1 ¢ ' 48an 12 phải là số chính M un 1 u n .u n 2. 
phương. 2) Chứng minh với mọi số tự nhiên n thì số 
 2 2 n1 
 Ta có 4an 1 chính phương 4an 1 là A 1997. 4.7 là số chính phương. 
 ' 36. n
 3 3
 Bài 4.4. Cho dãy biết 
số chính phương. 
 u0 3, u 1 17, u n 6u n 1 u n 2 ,  n 2,3,...Chứng minh 
 Ta cũng có: 4a2 1 2an 1 chính 
 n 2an 1 
 3 3 2
  n ¥ thì un 12M và thương là số chính phương. 
phương. Bài 4.5. Cho dãy biết 
 2a 1
 Để hai số 2an 1và n chính phương thì phải 
 3 u1 1, u 2 1, u n u n 1 2u n 2 , n 3. 
 2an 1 Lập dãy vn với 
có: 2an 1, 1. 
 3 n 1 2
 vn 2 7u n 1 ,n 2,3,...Chứng minh mọi số 
 2an 13M
 hạng của dãy là số chính phương. 
 L.T.Trang et al/ No.16_June 2020|p.110-115 
 2.5. Bài toán 5. Các bài toán liên quan đến tính chất Bài 5.2. a) Cho hai dãy và xác định như 
 un vn 
chia hết và có dư sau: 
 2.5.1. Ví dụ: Cho dãy un biết: 
 u0 u 1 1, u n 1 u n 2u n 1 ,  n 1,2...;
 u 1, u 3 và 
 01 v 1, v 7, v 2v 3v ,  n 1,2...
 u 9u :n 2k 0 1 n 1 n n 1 
 u n 1 n ,  n ¥ . 
 n2 Tìm và ? 
 9un 1 5u n :n 2k 1 un vn
 1999
 Tính tổng 2. Tìm số dư khi chia S cho 8, Chứng minh trong 2 dãy trên chỉ có 1 hạng tử chung, 
 Su  i
 i0 ngoài ra không còn hạng tử nào chung khác. 
cho 5 và cho 40. 
 Giải: Bài 5.3. Cho dãy xác định như sau: 
 + Từ giả thiết ta tính được: nn
 u = 2 3 2 3 
 u u 9u n , n 0,1,2,...
 2n 2 2n 1 2n 23
 u 9u 5u 
 2n 1 2n 2n 1 Chứng minh 
 u2n 2 u 2n 1 u 2n u ¢ ,  n 0, 1, 2...Tìm tất cả các số hạng của 
 (mod4) n
 u2n 1 u 2n u 2n 1 dãy chia hết cho 3. 
 Khai triển dãy : u0 u1 u2
 Bài 5.4. Cho dãy với 
 u3 u4 u5 ..... an 
 1 3
 a 19, a 98, a a a . 
 12 123 121 2794 0 1 n 2 n n 1
 Do đó u0 u1 u2 u3 1998
 Tìm số dư khi chia 2cho 8. 
 u4 u5 u6 u7 u8 Sa i
 0
 u9 ... lần lượt đồng dư 1 3
 0 3 3 2 1 Bài 5.5. Cho dãy , n* ¥ với 
 3 0 3 (mod4) 
 32
 Dãy số dư tuần hoàn chu kỳ 6 (mod4),  n2. u1 2, u n 3u n 1 2n 9n 3, n 2,3,... 
Vậy: Chứng minh với mỗi số p nguyên tố ta có: 
S 12 3 2 3330 2 3 2 3 2 2 2 1 2 3 2 10666  2 p1 
 . 
 2000 uiM p
(mod4) S2 (mod8). i1 
 + Tương tự trên ta có: 3. KẾT LUẬN 
 Qua một số bài toán cơ bản nêu trên, sẽ góp phần giúp 
 u2n 2 u 2n 1 u 2n (mod5). Khai triển được 
 uu các em sinh viên rút ra được định hướng tư duy và 
 2n 1 2n phương pháp giải bài toán số học liên quan đến dãy số 
 tuần hoàn chu kỳ 8 (mod5), , nên trong các kì thi Olympic Toán. Với những đánh giá và 
 bổ sung về lí luận và phương pháp giải sẽ giúp sinh viên 
 2 2 2 2 2
S=1+3+249 2 +3+...+1 3(mod5) củng cố vững hơn về dạng toán và giải quyết những bài 
 toán khó hơn. Tuy nhiên, bài toán về dãy số là một chủ 
 + Từ hai ý trên do 8,5 1 nên ta có S18 
 đề rất rộng nên rất cần tiếp tục có nghiên cứu, tổng hợp 
(mod40). chuyên sâu đến những dạng toán thường gặp trong các 
 2.5.2. Bài tập tương tự kì thi Olympic Toán của học sinh, sinh viên, đặc biệt là 
 những bài toán giúp phát triển năng lực tư duy Toán học 
 Bài 5.1. Cho dãy bn với 
 cho học sinh, sinh viên, góp phần nâng cao chất lượng 
b1 0, b 2 14, b 3 18, b n 1 7b n 1 6b n 2 ,  n ¥ *. dạy học môn toán theo hướng tập trung vào phát triển 
 năng lực người học. 
Chứng minh nếu plà số nguyên tố thì bppM. 
 L.T.Trang et al/ No.16_June 2020|p.110-115 
 TÀI LIỆU THAM KHẢO [4] Trần Đức Long - Nguyễn Đình Sang - Nguyễn 
 [1]. Phan Huy Khải, Các chuyên đề số học bồi dưỡng Viết Triều Tiên - Hoàng Quốc Toàn (2008), Bài tập giải 
học sinh giỏi Toán - Chuyên đề Số học và dãy số, Nxb tích tập I, Nhà xuất bản ĐHQG Hà Nội, Hà Nội. 
 [5] Trần Đức Long - Nguyễn Đình Sang - Hoàng 
Giáo dục, 2016 (tái bản). 
 Quốc Toàn (2009), Bài tập giải tích tập II, Nhà xuất bản 
 [2]. Bộ Giáo dục và Đào tạo - Hội Toán học Việt 
 ĐHQG Hà Nội, Hà Nội. 
Nam, Tuyển tập 30 năm Tạp chí Toán học và Tuổi trẻ, [6] Nguyễn Đình Trí (chủ biên) - Tạ Văn Đĩnh -
Nxb Giáo dục, 2013 (tái bản). Nguyễn Hồ Quỳnh (2001), Bài tập toán cao cấp tập hai, 
 [3] Nguyễn Xuân Liêm (1997), Giải tích tập 1, Nhà Nhà xuất bản Giáo dục, Hà Nội. 
xuất bản Giáo dục, Hà Nội. [7]. W.J.Kaczkor - M.T.Nowak (Người dịch: Đoàn 
 Chi), Bài tập Giải tích 1, Nxb Đại học Sư phạm, 2003. 
 Exploiting arithmetical properties related to numeral mathematical 
 problems in student olympic exams 
Le Thieu Trang, Duong Thi Hong Hai 
Article info Abstract 
 The sequence of numbers is one of the subjects in the analytic program of the 
Recieved: 
2/5/2020 Mathematics Pedagogical University, it is a basic subject in teaching contents for the 
Accepted: Olympic of Maths students in colleges and universities. The problems of sequence’s 
10/6/2020 
 number helps students understand more about the functions, the distribution rules of 
 numbers, the properties of the infinitely small, infinitely great,... In this article, the 
Keywords: author summarizes a number of problems related to the sequence of number to develop 
Sequence of numbers, students' learning and research capacity. 
limit, arithmetics, square 
number, student.