Giáo trình Toán ứng dụng 2

ên hàm-tích phân. 
 + Tính được tích phân bất định, tích phân xác định. 
Nội dung chính: 
3.1. Nguyên hàm 
3.1.1. Nguyên hàm và tính chất 
A. Nguyên hàm 
Ký hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng của 
Định nghĩa. Cho hàm số f(x) xác định trên K. 
Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F/(x) = f(x) với mọi 
x thuộc K.14 
Ví dụ 1. 
Hàm số F(x) = x3 là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 3x2 trên khoảng ; vì 
F/(x) = (x3)/ = 3x2, x ; . 
Định lí 1. Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì với mỗi hằng số C, 
hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K.15 
Định lí 2. Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của 
f(x) trên K đều có dạng F(x) + C, với C là một hằng số. 
 fxdxFxC 16 
Định lí 3. Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.17 
CHÚ Ý 
Biểu thức f(x)dx chính là vi phân của nguyên hàm F(x) của f(x), vì dF(x) = F/(x)dx = 
f(x)dx. 
Ví dụ 2 
a) Với xx dxxC ;,3 23 
b) Với ttdtt C;, cossin 
B. Tính chất của nguyên hàm 
14 Giải tích 12 trang 93, SGK lớp 12 
15 Giải tích 12 trang 93, SGK lớp 12 
16 Giải tích 12 trang 94, SGK lớp 12 
17 Giải tích 12 trang 95, SGK lớp 12 
KHOA CÔNG NGHỆ Ô TÔ 8 
 Chương 3. Tích phân 
 1) fxdxfxC/ 
 2) kfxdxkfxdxkconst () 18 
 3) fxgxdxfxdxgxdx 
C. Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp 
Từ bảng các đạo hàm, ta có nguyên hàm sau đây. 
 ax
 1) 0 dxC 6) 0,1adxCaax 
 ln a
 2) dxxC 
 7) cossinx xdxC 
 1
 3) 1xdxxC 1 8) sincosxdxxC 
 1 
 1
 1 9) tan dxxC 
 4) ln dxxC 2
 x cos x
 xx 1
 5) edxeC 10)cot dxxC 
 sin2 x
19 
3.1.2. Phương pháp tính nguyên hàm 
1) Phương pháp đổi biến số 
Định lí 1. Nếu fuduFuC và uux là hàm số có đạo hàm liên tục thì 
 fuxuxdxFuxC / 
Hệ quả 
 1
Với uaxba 0 , ta có faxbdxFaxbC 20 
 a
Ví dụ 1. Tính cos 3x 1 dx 
 1
Giải. cos 31sinxdxxC 31 
 3
 5
Ví dụ 2. Tính xxdx 1 
 5
Giải. Đặt u = x + 1 thì u/ = 1 và xxdx 1 được viết thành uudu 1 5 . Khi đó, 
 76
 5 uu
 x xdxu 11 u duu u 56 duC 5 
 76
 76
 5 xx 11 
Thay u = x + 1 vào kết quả, ta được x xdxC 1 
 76
18 Giải tích 12 trang 94,95, SGK lớp 12 
19 Giải tích 12 trang 97, SGK lớp 12 
20 Giải tích 12 trang 98, SGK lớp 12 
KHOA CÔNG NGHỆ Ô TÔ 9 
 Chương 3. Tích phân 
2) Phương pháp tính nguyên hàm từng phần 
Định lí 2. Nếu hai hàm số u u x và v v x có đạo hàm liên tục trên K thì 
 uxvxdxuxvxuxvxdx // 
CHÚ Ý 
Vì vxdxdvuxdxdu// , , nên đẳng thức trên còn được viết ở dạng 
 udvuvvdu 
Đó là công thức tính nguyên hàm từng phần.21 
3.2. Tích phân 
3.2.1. Khái niệm 
A. Diện tích hình thang cong 
Cho hàm số y = f(x) liên tục, không đổi dấu trên đoạn [a ; b]. Hình phẳng giới hạn bởi 
đồ thị của hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b được gọi là hình 
thang cong. 
Bằng cách kẻ các đường thẳng song song với các trục toạ độ, ta chia D thành những 
hình nhỏ là những hình thang cong. Bài toán trên được đưa về tính diện tích của hình 
thang cong, diện tích hình thang cần tìm là: S(b) = F(b) – F(a). 
B. Định nghĩa 
Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a ; b]. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) 
trên đoạn [a ; b]. 
Hiệu số F(b) – F(a) được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn 
 b
[a ; b]) của hàm số f(x), kí hiệu là fxdx . 
 a
 b
Ta còn dùng kí hiệu Fx a để chỉ hiệu số F(b) – F(a). 
 b
Vậy fxdxFxFbFa b . 
 a 
 a
 b
Ta gọi là dấu tích phân, a là cận dưới, b là cận trên, f(x)dx là biểu thức dưới dấu 
 a
tích phân và f(x) là hàm số dưới dấu tích phân. 
CHÚ Ý 
Trong trường hợp a = b hoặc a > b, ta quy ước 
 a b a
 fxdx 0; fxdx fxdx . 22 
 a a b
NHẬN XÉT 
21 Giải tích 12 trang 99, SGK lớp 12 
22 Giải tích 12 trang 105, SGK lớp 12 
KHOA CÔNG NGHỆ Ô TÔ 10 
 Chương 3. Tích phân 
Nếu hàm số f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a ; b], thì diện tích hình thang cong 
giới hạn bởi đồ thị của f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b. Vậy 
 b
 S f x dx 
 a
3.2.2. Tính chất 
 bb
 1) kfxdxkfxdxkconst 
 aa
 bbb
 2) fxgxdxfxdxgxdx 
 aaa
 bcb
 3) fxdxfxdxfxdxacb 
 aac
3.2.3. Phương pháp tính tích phân 
A. Phương pháp đổi biến số 
Định lí 
Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a ; b]. Giả sử hàm số xt có đạo hàm liên tục 
 23
trên đoạn b; sao cho b ab, và a t b với mọi t b; . 
Khi đó 
 b b
 fxdxftt dt ( )( )./ 24 
 a 
B. Phương pháp tính tích phân từng phần 
Định lí 
Nếu uux và vvx là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [a ; b] thì 
 bbb
 u x vx// dxu x v xux()() v x dx 
 aaa
 bb
 b
hay udv uv vdu. 25 
 a
 aa
3.3. Ứng dụng 
A. Tính diện tích hình phẳng 
a) Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành 
Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số f(x) liên tục, trục hoành và 
hai đường thẳng x = a, x = b được tính theo công thức 
23 Nếu , ta xét đoạn 
 b b ;
24 Giải tích 12 trang 108, SGK lớp 12 
25 Giải tích 12 trang 110, SGK lớp 12 
KHOA CÔNG NGHỆ Ô TÔ 11 
 Chương 3. Tích phân 
 b
 S f x dx 26 
 a
b) Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong 
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y = f1(x) và y = f2(x) liên tục, các 
đường thẳng x = a, x = b 
 b
 Sfxfxdx 27 
 12 
 a
B. Tính thể tích 
a) Thể tích của vật thể 
Cắt một vật thể bởi hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với trục Ox lần lượt tại x = 
a, x = b (a < b). Một mặt phẳng tuỳ ý vuông góc với Ox tại điểm x (a x b) cắt  
theo thiết diện có diện tích là S(x). Giả sử S(x) liên tục trên đoạn [a ; b]. Người ta 
chứng minh được rằng thể tích V của vật thể  giới hạn bởi hai mặt phẳng (P) và (Q) 
được tính bởi công thức: 
 b
 V S x dx 28 
 a
b) Thể tích khối chóp và khối chóp cụt 
- Thể tích khối chóp có chiều cao h và diện tích đáy bằng B là 
 Bh
 V 29 
 3
- Thể tích khối chóp cụt tạo bởi khối chop đỉnh S có diện tích hai đáy lần lượt là B, B/ 
và chiều cao bằng h là 
 h
 V B BB// B 30 
 3 
C. Thể tích khối tròn xoay 
 b
 V f2 x dx 31 
 a
26 Giải tích 12 trang 114, SGK lớp 12 
27 Giải tích 12 trang 115, SGK lớp 12 
28 Giải tích 12 trang 117, SGK lớp 12 
29 Giải tích 12 trang 118, SGK lớp 12 
30 Giải tích 12 trang 119, SGK lớp 12 
31 Giải tích 12 trang 120, SGK lớp 12 
KHOA CÔNG NGHỆ Ô TÔ 12 
 Chương 4. Số phức 
 CHƯƠNG 4: SỐ PHỨC 
Mục tiêu: 
 + Trình bày được khái niệm về số phức. 
 + Tính được phép cộng, trừ, nhân, chia số phức. 
Nội dung chính: 
4.1. Số phức 
4.1.1. Số i 
Ta đã biết các phương trình bậc hai với biệt số âm không có nghiệm thực. Phương 
trình bậc hai đơn giản nhất không có nghiệm thực là phương trình 
 x2 + 1 = 0. 
Với mong muốn mở rộng tập hợp số thực để mọi phương trình bậc n đều có nghiệm, 
nười ta đưa ra một số mới, kí hiệu là i và coi nó là nghiệm của phương trình trên. Như 
vậy 
 i2 = – 1.32 
4.1.2. Định nghĩa số phức 
Mỗi biểu thức dạng a + bi, trong đó a, b , i2 = – 1 được gọi là một số phức. 
Đối với số phức z = a + bi, ta nói a là phần thực, b là phần ảo của z. 
Tập hợp các số phức kí hiệu là .33 
4.1.3. Số phức bằng nhau 
Hai số phức là bằng nhau nếu phần thực và phần ảo của chúng tương ứng bằng nhau. 
 ac 
 abicdi 
 bd 
4.1.4. Môđun số phức 
Giả sử số phức z = a + bi được biểu diễn bởi điểm M(a ; b) trên mặt phẳng toạ độ. 
Độ dài của vectơ OM được gọi là môđun của số phức z và kí hiệu là |z|. 
Vậy |z| = OM hay abiab 22.34 
4.1.5. Số phức liên hợp 
Cho số phức z = a + bi. Ta gọi a – bi là số phức liên hợp của z và kí hiệu là z = a – 
bi.35 
32 Giải tích 12 trang 130, SGK lớp 12 
33 Giải tích 12 trang 130, SGK lớp 12 
34 Giải tích 12 trang 132, SGK lớp 12 
35 Giải tích 12 trang 132, SGK lớp 12 
KHOA CÔNG NGHỆ Ô TÔ 13 
 Chương 4. Số phức 
4.2. Cộng, trừ và nhân số phức 
4.2.1. Phép cộng và phép trừ 
Cho hai số phức z = a + bi và z/ = c + di. Tổng quát 
z + z/ = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i ; 
z – z/ = (a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i .36 
4.2.2. Phép nhân 
Cho hai số phức z = a + bi và z/ = c + di. Tổng quát 
z.z/ = (a + bi)(a – bi) = (ac – bd) + (ad + bc)i 
CHÚ Ý 
Phép cộng và phép nhân các số phức có tất cả các tính chất của phép cộng và phép 
nhân các số thực.37 
4.3. Phép chia số phức 
4.3.1. Tổng và tích của hai số phức liên hợp 
- Tổng của một số phức với số phức liên hợp của nó bằng hai lần phần thực của số 
phức đó. 
- Tích của một số phức với số phức liên hợp của nó bằng bình phương môđun của số 
phức đó. 
4.3.2. Phép chia hai số phức 
Chia số phức c + di cho số phức a + bi khác 0 là tìm số phức z sao cho c + di = (a + 
bi)z. Số phức z được gọi là thương trong phép chia c + di cho a + bi và kí hiệu là 
 cdi 
 z 38 
 abi 
Thực hiện phép chia bằng cách nhân cả hai vế với số phức liên hợp của a + bi, ta được 
 cdiacbdadbc 
 zi . 
 abi abab2222 
4.4. Phương trình bậc hai với hệ số thực 
Cho phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 với a, b, c , a 0. Xét biệt số = b2 – 
4ac của phương trình. Ta thấy: 
 b
- Khi = 0, phương trình có một nghiệm thực x 
 2a
- Khi > 0, có hai căn bậc hai (thực) của là và phương trình có hai nghiệm 
thực phân biệt, được xác định bởi công thức 
 b
 x 
 1,2 2a
36 Giải tích 12 trang 135, SGK lớp 12 
37 Giải tích 12 trang 135, SGK lớp 12 
38 Giải tích 12 trang 137, SGK lớp 12 
KHOA CÔNG NGHỆ Ô TÔ 14 
 Chương 4. Số phức 
- Khi < 0 phương trình không có nghiệm thực vì không tồn tại căn bậc hai thực của 
 . 
Tuy nhiên, trong trường hợp < 0, nếu xét trong tập hợp số phức, ta vẫn có hai căn 
bậc hai thuần ảo của là i . Khi đó, phương trình có hai nghiệm phức được xác 
định bởi công thức 
 bi 
 x 39 
 1,2 2a
NHẬN XÉT 
Trên tập số phức, mọi phương trình bậc hai đều có hai nghiệm (không nhất thiết phân 
biệt). 
Tổng quát, người ta đã chứng minh được rằng mọi phương trình bậc n (n 1) 
 nn 1
 axaxaxa011 ...0, nn 
trong đó aaaa010,,...,, 0n đều có n nghiệm phức (các nghiệm không nhất thiết 
phân biệt).40 
39 Giải tích 12 trang 139,140, SGK lớp 12 
40 Giải tích 12 trang 140, SGK lớp 12 
KHOA CÔNG NGHỆ Ô TÔ 15 
 BÀI TẬP ÔN 
1) Tam giác ABC có BC13cm,AC14cm,AB15cm. 
a/ Tính diện tích tam giác ABC. 
b/ Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC. 
2) Tam giác ABC có AB5cm,AC8cm,A60. 0 
a/ Tính diện tích tam giác ABC. 
b/ Tính độ dài cạnh BC. 
3) Tam giác ABC có AB50cm,AC80cm,A60. 0 
a/ Tính diện tích tam giác ABC. 
b/ Tính độ dài cạnh BC. 
4) Tam giác ABC có AB 10cm,AC 16cm,A 600 . 
a/ Tính diện tích tam giác ABC. 
b/ Tính độ dài cạnh BC. 
5) Tam giác ABC có AB15cm,AC24cm,A60. 0 
a/ Tính diện tích tam giác ABC. 
b/ Tính độ dài cạnh BC. 
6) Tam giác ABC có BC14cm,AC15cm,AB13cm. 
a/ Tính diện tích tam giác ABC. 
b/ Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC. 
7) Tam giác ABC có BC15cm,AC13cm,AB14cm. 
a/ Tính diện tích tam giác ABC. 
b/ Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC. 
8) Tam giác ABC có BC130cm,AC140cm,AB150cm. 
a/ Tính diện tích tam giác ABC. 
b/ Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC. 
9) Tam giác ABC có 
a/ Tính diện tích tam giác ABC. 
b/ Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC. 
10) Tam giác ABC có BC 150cm,AC 130cm,AB 140cm. 
a/ Tính diện tích tam giác ABC. 
KHOA CÔNG NGHỆ Ô TÔ 16 
b/ Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC. 
11) Tam giác ABC có BC26cm,AC28cm,AB30cm. 
a/ Tính diện tích tam giác ABC. 
b/ Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. 
12) Tam giác ABC có AB20cm,AC32cm,A60. 0 
a/ Tính diện tích tam giác ABC. 
b/ Tính độ dài cạnh BC. 
13) Tam giác ABC có BC5cm,AC4cm,AB3cm. 
a/ Tính diện tích tam giác ABC. 
b/ Tính số đo góc BAC . 
14) Tam giác ABC có BC50cm,AC40cm,AB30cm. 
a/ Tính diện tích tam giác ABC. 
b/ Tính số đo góc . 
15) Tam giác ABC có AB25cm,AC40cm,A60 . 0 
a/ Tính diện tích tam giác ABC. 
b/ Tính độ dài cạnh BC. 
16) Tam giác ABC có BC65cm,AC70cm,AB75cm. 
a/ Tính diện tích tam giác ABC. 
b/ Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. 
17) Đo chiều cao của một cái tháp đỉnh D mà không thể đến được chân tháp C. Chọn 2 
điểm A, B trên mặt đất sao cho A, B, C thẳng hàng, tiến hành đo độ dài đoạn AB, góc 
 CADCBD, .Tính chiều cao h = CD của tháp. 
18) Tính đạo hàm của các hàm số sau: 
1/ y 5x42 3x 2x 7 
2/ y 3x43 3x 5x 9 
3/ y 7x5 3x 4 5x 2 10 
4/ y 4x5 9x 4 3x 2 10x 6 
5/ y 4x54 2x 3x 
 3x8
6/ y 5x43 3x 
 8
KHOA CÔNG NGHỆ Ô TÔ 17 
 5x7
7/ y6x5x 4 
 7
 5x6
8/ y7x11x 3 
 6
 x6
9/ y3x17x 4 
 6
 7x4
10/ y5x13x 32 
 4
11/ y4x7xx 54 
12/ y 2x53 5x x 2 
 x1 
13/ y 
 x1 
 2x 1 
14/ y 
 x1 
 x1 
15/ y 
 2x 1 
 x2 
17/ y 
 x1 
18/ y5sin x7cos x 
19/ y2sin x5cos x 
20/ y7sin x4cos x 
21/ y5sin x3cos x 
22/ y9sin x2cos x 
23/ y7sin x8cos x 
24/ y cos x 3sin x 
25/ y 14sin x 2cos x 
26) y(t)cos(2t5) 
27) y(t)sin(7t1) 
28) y(t) sin( 4t3 ) 
19) Cho phương trình sau trên tập số phức: z2 z 1 0 
a/ Giải phương trình đó trên tập số phức. 
b/ Tính mô đun các nghiệm của phương trình trên. 
20) Cho phương trình sau trên tập số phức: zz302 
a/ Giải phương trình đó trên tập số phức. 
b/ Tính mô đun các nghiệm của phương trình trên. 
21) Cho phương trình sau trên tập số phức: z2 z 5 0 
a/ Giải phương trình đó trên tập số phức. 
KHOA CÔNG NGHỆ Ô TÔ 18 
b/ Tính mô đun các nghiệm của phương trình trên . 
22) Cho phương trình sau trên tập số phức: z z2 2 0 
a/ Giải phương trình đó trên tập số phức. 
b/ Tính mô đun các nghiệm của phương trình trên. 
23) Cho phương trình sau trên tập số phức: 3z2 z 1 0 
a/ Giải phương trình đó trên tập số phức. 
b/ Tính mô đun các nghiệm của phương trình trên. 
24) Xác định phần thực, phần ảo, tính môđun |z| của số phức: 
1/ z = i(24i)(32i) 
2/ z i(2 i) ( 3 i) 
3/ z(1i)(1i) 22 
 11 3
4/ zi 3 
 2 i i 
 1i 
5/ z 2 i 1 
 1i 
 3i 
6/ zi(2i) 
 3i 
 1i 
7/ z 
 1i 
25) Cho phương trình sau trên tập số phức: 4zz102 
a/ Giải phương trình đó trên tập số phức. 
b/ Tính mô đun các nghiệm của phương trình trên. 
26) Cho số phức z35i 
a/ Tìm số phức liên hợp z và tính zz 
b/ Tính môđun |z| và | | 
27) Cho số phức z92i 
a/ Tìm số phức liên hợp và tính zz 
b/ Tính môđun |z| và | | 
28) Cho số phức z 5 4i 
a/ Tìm số phức liên hợp và tính 
b/ Tính môđun |z| và | | 
29) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường 
1/ yx2 và y 9 
2/ và yx2 
3/ và yx23 
4/ yx2 2 và yx3 
5/ yx2 và yx2 
6/ yx2 và yx23 
KHOA CÔNG NGHỆ Ô TÔ 19 
7/ yx2 và y 4 
8/ yx2 2 và y 8 
 4
30) Tính A(x3x)dx 2 
 1
 2
31) Tính A(x2)(x1)dx 
 0
 4
32) Tính A(x6x9x)dx 32 
 2
 2
33) Tính A(x3x2)dx 2 
 1
 2
34) Tính A(x3x2)dx 3 
 1
 2
35) Tính A(sinxcos x)dx 
 0
 4
36) Tính A(sin xcos x)dx 
 0
 3
37) Tính A(sin xcos x)dx 
 0
 3
 2
38) Tính A(xsin x)dx 
 0
 3 x
39) Tính A(x sin)dx 
 0 2
 3 x
40) Tính A (cos2 )dx 
 0 2
KHOA CÔNG NGHỆ Ô TÔ 20 
 TÀI LIỆU THAM KHẢO 
1. Trần Văn Hạo, Đại Số và Giải Tích 11, Nhà xuất bản Giáo dục, 2010 
2. Trần Văn Hạo, Hình học 11, Nhà xuất bản Giáo dục, 2010 
3. Vũ Tuấn, Giải tích 12, Nhà xuất bản Giáo dục, 2010 
4. Nguyễn Mộng Hy, Hình học 12, Nhà xuất bản Giáo dục, 2010 
KHOA CÔNG NGHỆ Ô TÔ 21