Giáo trình Toán cao cấp (Phần 2) - Nguyễn Huy Hoàng

 Tính giới hạn: limx 1 arctan 2x. 
 x 0
 Câu 4 (1 điểm). Khai triển Maclaurin đến cấp 4 của hàm số: f (x) ln(1 x) . 
 1
 Câu 5 (1 điểm). Tính tích phân suy rộng: dx . 
 1 x(x 1)
Câu 6 (1 điểm). Cho hàm số: y f (x) thỏa mãn đẳng thức x3 x 2 e y 2ln y 2018 . Tính 
 / /
 yx ( yx là đạo hàm của y theo x). 
 Câu 7 (1 điểm). Tìm cực trị của hàm sau: f x,y x3 3xy 2 15x 12y 2018 với 
 x, y 0. 
 Câu 8 (1 điểm). Giải phương trình vi phân: y/ 2y 4xe 2x với y(0) 10 . 
 Đề số 13 
 Câu 1 (2 điểm). 
 2x1 x 2 x 3 x 4 0
 1) Giải hệ phương trình tuyến tính sau : x1 x 2 x 3 2x 4 0 
 5x1 x 2 3x 3 2x 4 0
 1 0 3 2 
 0 2 2 0 
 2) Tính định thức của ma trận sau : A 
 3 2 3 1 
 0 3 0 4 
 Câu 2 (2 điểm). 
 2 2 1 
 1) Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận A 1 1 0 (nếu có). 
 1 0 1 
 1 1 
 2) Cho ma trận A . Tìm ma trận B sao cho AB BA. 
 0 1 
 Câu 3 (1 điểm). Tính giới hạn: lim 1 x ln x . 
 x 0 
 235 
 e2x 1
 khi x 0
 Câu 4 (1 điểm). Cho hàm số f x x x2 
 m 3 khi x 0
 Tìm m để hàm f liên tục tại x 0. Với m tìm được hãy tính f/ 0 , (nếu có). 
 dx
 Câu 5 (1 điểm). Tính tích phân suy rộng: . 
 2
 1 3x 12x 39
 u  u
Câu 6 (1 điểm). Cho hàm số: u ln x2 y 2 . Chứng minh rằng: x y 1. 
 x  y
 Câu 7 (1 điểm). Tìm cực trị của hàm f x, y 2x 3y , với ràng buộc x2 9y 2 180 . 
 2
 Câu 8 (1 điểm). Giải phương trình vi phân: y/ 2xy 3xe x với y(0) 1. 
 Đề số 14 
 Câu 1 (2 điểm). 
 2x1 x 2 x 3 x 4 0
 1) Giải hệ phương trình tuyến tính : 3x1 2x 2 2x 3 x 4 0 
 5x1 x 2 3x 3 2x 4 0
 1 2 0 3 
 0 2 2 0 
 2) Tính định thức của ma trận sau : A 
 1 2 3 1 
 0 3 0 4 
 Câu 2 (2 điểm). 
 2 2 1 
 1) Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận : A 3 3 1 (nếu có). 
 1 2 0 
 1 0 
 2) Tìm ma trận B sao cho AB BA với A 
 1 0 
 Câu 3 (1 điểm). Tính giới hạn: limx 1 tan x . 
 x 0
 e3x 1
 khi x 0
 Câu 4 (1 điểm). Cho hàm số f x x x2 
 m 2 khi x 0
 Tìm m để hàm f liên tục tại x 0. Với m tìm được hãy tính f/ 0 , (nếu có). 
 236 
 dx
 Câu 5 (1 điểm). Tính tích phân suy rộng: . 
 2
 1 3x 12x 39
 x u  u
Câu 6 (1 điểm). Cho hàm số: u arctan . Chứng minh rằng : y x 1. 
 y x  y
 Câu 7 (1 điểm). Tìm cực trị của hàm f x,y 3x y , với ràng buộc 9x2 y 2 162 . 
 2
 Câu 8 (1 điểm). Giải phương trình vi phân: y/ 4xy xe 2x với y(0) 5. 
 Đề số 15 
 Câu 1 (2 điểm). 
 2x1 x 2 x 3 x 4 0
 1) Giải hệ phương trình tuyến tính sau : x1 x 2 x 3 2x 4 0 
 7x1 2x 2 4x 3 x 4 0
 1 2 0 2 
 0 2 2 0 
 2) Tính định thức của ma trận sau : A 
 2 1 3 1 
 0 5 0 4 
 Câu 2 (2 điểm). 
 2 2 1 
 1) Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận A 4 3 3 (nếu có). 
 3 2 2 
 1 2 
 2) Cho ma trận A . Tìm ma trận B sao cho AB BA. 
 1 1 
 2
 Câu 3 (1 điểm). Tính giới hạn: limx cos 2x . 
 x 0
 ln x
 Câu 4 (1 điểm). Khảo sát tính tăng, giảm và cực trị của hàm số sau: f (x) 
 x
 2 dx
 Câu 5 (1 điểm). Tính tích phân suy rộng: . 
 2
 2x 4x 20
Câu 6 (1 điểm). Cho hàm số: y f (x) thỏa mãn đẳng thức x3 y 3 6xy 2018 . Tính 
 / /
 yx ( yx là đạo hàm của y theo x). 
 Câu 7 (1 điểm). Tìm cực trị của hàm f x,y x 3y , với ràng buộc x2 9y 2 288. 
 2
 Câu 8 (1 điểm). Giải phương trình vi phân: y/ 2xy 3xe x với y(0) 2 . 
 237 
Phụ lục 1. Tập số, tổng, tích hữu hạn, hằng đẳng thức, bất đẳng thức, 
chứng minh bằng phương pháp quy nạp 
1. Các ký hiệu tập số 
1.1. Tập số tự nhiên (natural integer) 
Ký hiệu: 
 0,1,2,... ; * 1,2,... \ 0 
1.2. Tập số nguyên (relative integer) 
Ký hiệu: 
 ..., 2, 1,0,1,2,... 
1.3. Tập số hữu tỷ (rational number) 
Ký hiệu:  
 m * 
  m ,n  
 n 
1.4. Tập số thực (real number): Ký hiệu: 
1.5. Tập số phức (complex number) 
Ký hiệu: 
 a bi a,b , i2 1 
2. Tổng, tích hữu hạn 
2.1. Ký hiệu tổng, tích 
 Cho a1 ,a 2 ,...,a n 
 n n
 a1 a 2 ... a n  a i ;a 1  a 2  ...  a n  a i 
 i 1 i 1
2.2. Tổng, tích được định nghĩa bằng quy nạp 
 n 1 n n 1 n 
 ai  a i a n 1 ; a i  a i  a n 1 . 
 i 1 i 1 i 1 i 1 
 1 1
Quy ước: ai a 1 ; a 1 a 1 . 
 i 1 i 1
3. Hằng đẳng thức 
 n
 n k n k k
 a. a b  Cn a b (Nhị thức newton) 
 k 0
 238 
 n
 b. an b n a b  a n k b k 1 
 k 1
 với 
 n!
 Ck 
 n k!(n k)!
Hệ quả 
 n
 n k k n k k
 a. a b  Cn ( 1) a b 
 i 0
 n
 b. Nếu n lẻ: an b n a b  ( 1) k 1 a n k b k 1 . 
 k 1
4. Bất đẳng thức 
4.1. Bất đẳng thức Cauchy 
 Cho a1 ,a 2 ,...,a n 0, ta có 
 a a ... a
 1 2 n n a a ...a 
 n 1 2 n
 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a1 a 2  a n . 
4.2. Bất đẳng thức BCS 
 Cho a1 ,a 2 ,...,a n ,b 1 ,b 2 ,...,b n 
 n2 n n
 2 2 
 ai b i  a i  b i 
 i 1 i 1 i 1 
 a a a
 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 1 2  n . 
 b1 b 2 b n
4.3. Bất đẳng thức Bernoulli 
 n
 Cho a 1. Ta có n , 1 a 1 na 
 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi n 0  n 1,a 1. 
5. Chứng minh bằng phương pháp quy nạp 
 Xét hàm mệnh đề: p(n), n * 
 Nếu 
 + p(1) đúng 
 + p(n) đúng p(n 1) đúng 
 239 
 Thì p(n) đúng với n * . 
 Ví dụ. Chứng minh đẳng thức sau bằng phương pháp quy nạp 
 n(n 1)
 1 2  n 
 2
 Giải 
 Đặt 
 n(n 1)
 p(n) :1 2  n 
 2
 1(1 1)
 +) Với n 1, p(1) :1 là đẳng thức đúng. 
 2
 +) Với n bất kỳ, nếu p(n) đúng, nghĩa là đẳng thức 
 n(n 1)
 1 2  n 
 2
 đúng thì khi đó, ta có 
 n(n 1) (n 1)(n 2)
 12  n(n1) (n1) 
 2 2
 nghĩa là p(n 1) cũng là mệnh đề đúng. Nói khác đi 
 n ,p(n) p(n 1) 
 là mệnh đề đúng. 
 Do nguyên lý quy nạp, đẳng thức 
 n(n 1)
 1 2  n 
 2
 đúng với mọi n . 
 Chú ý rằng nguyên lý quy nạp không đơn thuần là một phép chứng minh. Nó còn 
dùng trong các phép suy luận. 
 Tổng quát hơn, nguyên lý quy nạp còn dùng để chứng minh hàm mệnh đề sau: 
 Xét hàm mệnh đề: n n0 , p(n) 
 Nếu 
 +) p(n0 ) đúng và 
 +) n n0 , p(n) đúng p(n 1) đúng 
 Thì n n0 , p(n) đúng. 
 240 
 Phụ lục 2. Tập hợp và ánh xạ 
1. Tập hợp 
1.1. Khái niệm tập hợp 
 Tập hợp là một khái niệm cơ bản, không định nghĩa. Thông thường, một tập hợp bao 
gồm nhiều đối tượng, mỗi đối tượng đó được gọi là một phần tử của tập hợp. Ta chỉ có thể 
nhận biết được tập hợp thông qua các phần tử của nó. 
Ví dụ 1. Tập hợp các môn mà sinh viên năm thứ nhất của trường Đại học Tài chính – 
Marketing phải học; tập hợp các mặt hàng mà công ty đang bán, 
 Người ta thường kí hiệu tập hợp bằng các chữ cái in hoa A, B, C,và các phần tử 
của tập hợp bằng các chữ cái in thường a, c, b,. Một tập hợp A chứa phần tử a (hay phần 
tử a thuộc tập hợp A) được kí hiệu là a A. Tập hợp không chứa phần tử nào được gọi là 
tập rỗng, ký hiệu . 
 Để biểu diễn một tập hợp A, người ta còn dùng giản đồ Venn với một đường cong 
đơn khép kín, chia mặt phẳng làm hai miền, miền phía bên trong đường cong dành cho các 
phần tử thuộc về tập hợp A và miền phía bên ngoài mặt phẳng dành cho các phần tử không 
thuộc về tập hợp A. Chẳng hạn, với giản đồ Venn sau mô tả 1,2,3 A và 4,5 A . 
 Có hai cách để xác định một tập hợp. Cách thứ nhất là liệt kê các phần tử của nó. 
Trong toán học, người ta liệt kê các phần tử của một tập hợp giữa hai ngoặc nhọn (“{” và 
“}”), không chú ý thứ tự liệt kê và mỗi phần tử chỉ được liệt kê một lần. Cách thứ hai là 
mô tả tính chất của các phần tử của tập hợp đó. 
Ví dụ 2. Một số tập hợp số thường dùng 
 Tập hợp các số tự nhiên, ký hiệu = {0,1,2,...} ; tập hợp các số tự nhiên khác 0, kí 
hiệu *. 
 Tập hợp các số nguyên, ký hiệu = {...,-2,-1,0,1,2,...} 
 m
 Tập hợp các số hữu tỷ, ký hiệu = { | m ; n ;n 0 }. 
 n
 241 
 Tập hợp các số thực, ký hiệu {x | x   x I}; tập hợp các số thực khác 0, ký 
hiệu * ; tập hợp các số thực không âm, ký hiệu là ; tập các số thực không dương ký 
hiệu , 
 Tập hợp các số phức, ký hiệu {a bi | a,b ;i2 1}. 
1.2. Các phép toán trên tập hợp 
1.2.1. Phép lấy phần bù. 
 Phần bù của A trong X, ký hiệu CAX (hay A ), là tập con của X gồm những phần tử 
không thuộc về A, nghĩa là : A x X x A . 
1.2.2. Phép lấy phần hợp. 
 Phần hợp của A với B, ký hiệu AB , là tập con của X gồm những phần tử thuộc về 
A hay thuộc về B, nghĩa là : A B x X x A  x B. 
1.2.3. Phép lấy phần giao. 
 Phần giao của A với B, ký hiệu AB , là tập con của X gồm những phần tử nằm 
trong A và nằm trong B, nghĩa là : A B x X x A  x B 
1.2.4. Phép lấy phần hiệu. 
 Phần hiệu của A với B , ký hiệu A\B , là tập con của X gồm những phần tử nằm 
trong A và không nằm trong B, nghĩa là : A \ B x X x A  x B. 
 242 
Chú ý:A\BAB  . 
Ví dụ 3. Cho tập X = 0,1,2,3,...,8,9 và hai tập hợp A = 0,2,4,6,8 ;B = 0,2,4 ta 
tìm được A = 1,3,5,7,9 ; A B = 0,1,2,3,4,6,8; A B = 0,2,4; A\B = 6,8 . 
1.3. Các tính chất tập hợp 
 Với mọi tập hợp A,B,C X. Ta có : 
 i) AA 
 ii) ABBA  ; ABBA  
 iii) ABCABC    ; ABCABC    
 iv) ABCABAC     ; ABCABAC     
 v) ABAB  ; ABAB  
 vi) AAA ; AAA 
 vii) AA ; AXA 
 viii) AXX ; A    
 ix) AAX ; AA  
 x) AABA  ; A A  B A. 
2. Ánh xạ 
2.1. Định nghĩa 
 Với hai tập hợp không rỗng X, Y, một ánh xạ f từ X vào Y là một sự liên kết giữa 
các phần tử của X và Y sao cho mỗi phần tử x X đều được liên kết với duy nhất một 
phần tử y Y, ký hiệu y f x , gọi là ảnh của x qua ánh xạ f. Ta còn viết 
 f : X Y
 x y f x 
 Tập X được gọi là miền xác định của f, tập Y được gọi là miền ảnh của f. Người ta 
có thể dùng giản đồ Venn để mô tả ánh xạ. 
 243 
Ví dụ 4. Để mô tả ánh xạ f : X Y , với X = 1,2,3 , Y = a,b và f 1 = a ; 
f 2 = f 3 = b ta có thể mô tả như hình vẽ sau : 
 Ảnh của A  X qua f , ký hiệu f A , là tập hợp các phần tử y Y sao cho nó là 
ảnh của một phần tử x A, nghĩa là : 
 f A y Y  x A, y f x . 
 Đặc biệt, f X được gọi là ảnh của f, ký hiệu Im f . 
 Ảnh ngược của B  Y qua f , ký hiệu f 1 B , là tập hợp gồm các phần tử x sao cho 
f x B , nghĩa là : 
 f 1 B x X f x B 
 Đặc biệt, với y Y , ta ký hiệu f 1 y thay cho f 1 y . 
Một số ánh xạ đặc biệt : 
 i) Với tập X bất kỳ, ánh xạ f : X X xác định bởi f x = x , với mọi x X, được 
gọi là ánh xạ đồng nhất của X, ký hiệu idX . 
 ii) Với mỗi tập con không rỗng A của một tập hợp X, hàm chỉ tiêu của A, ký hiệu 
A , là ánh xạ f : X xác định bởi : 
 1 khi x A
 f x = , với mọi x X 
 0 khi x A
2.2. Phân loại ánh xạ 
 Xét ánh xạ f : X Y. Ta nói : 
 i) f là một toàn ánh khi Im f Y , nghĩa là khi mọi phần tử y Y đều là ảnh của ít 
nhất một phần tử x X. Nói khác đi, khi f 1 y có ít nhất một phần tử, với mọi y Y . 
 ii) f là một đơn ánh khi f 1 y có nhiều nhất một phần tử, với mọi y Y , nghĩa là 
với mọi x,x X ta có f x f x thì x x . 
 244 
 iii) f là một song ánh khi nó vừa là một đơn ánh và là một toàn ánh. Nói khác đi, f là 
một song ánh khi f 1 y luôn luôn có đúng một phần tử, với mọi y Y. 
Ví dụ 5. Ánh xạ f : xác định bởi f x x2 không là đơn ánh, cũng không là toàn 
ánh. 
 Ánh xạ g : xác định bởi g x x2 không là toàn ánh nhưng là đơn ánh. 
 Ánh xạ h : xác định bởi h x x2 không là đơn ánh nhưng là toàn ánh. 
 Ánh xạ : xác định bởi x x2 vừa là toàn ánh, vừa là đơn ánh nên là 
song ánh. 
2.3. Ánh xạ ngược 
 Cho song ánh f : X Y, khi đó ánh xạ đi từ Y vào X, liên kết phần tử y Y với 
phần tử (duy nhất) x X sao cho f x y được gọi là ánh xạ ngược của f, ký hiệu f 1 . 
Ví dụ 6. Ánh xạ f cho bởi giản đồ Venn 
là một song ánh và có ánh xạ ngược là 
xác định bởi 
 f 1 a 2 (vì f 2 a ), 
 f 1 b 3 (vì f 3 b ), 
 f 1 c 1 (vì f 1 c). 
 245 
2.4. Ánh xạ hợp. 
 Xét hai ánh xạ f : X Y và g : Y Z. Ánh xạ có miền xác định X, miền ảnh Z, 
liên kết phần tử x X với phần tử z g f x Z được gọi là ánh xạ hợp của f với g, 
ký hiệu g f , 
 g f : X Z
 x g f x 
Ví dụ 7. 
 i) Với các ánh xạ f và g cho bởi giản đồ Venn 
ta được ánh xạ hợp g f 
 ii) Với các ánh xạ f ,g : xác định bởi f x x2 và g x x 1, ta có các 
ánh xạ hợp g f,f g,f f,g g: xác định bởi : 
 g f x g f x g x2 x 2 1;x 
 fgx fgx fx1 x1 2 ;x 
 2
 f f x f f x f x2 x 2 x 4 ;x 
 ggx ggx gx1 x11x2 ,x 
 1
Định lý. Với các ánh xạ f : X Y và g : Y X , ta có g f nếu và chỉ nếu f g idY 
và g f idX . 
 246 
 Phụ lục 3. Tính toán ma trận bằng máy tính cá nhân 
 Trong phần này chúng tôi chỉ hướng dẫn sử dụng máy tính cá nhân FX 570 ES Plus 
II loại VINACAL để tính toán một số phép tính của ma trận còn các phép tính khác các 
bạn đều đã được học dưới cấp 3. Các loại máy tính 570 khác cách làm tương tự. 
 Cụ thể cho hai ma trận 
 1 2 2 3 0 1 
 A 2 0 3 ; B 2 1 2 
 3 1 5 1 2 4 
 Sử dụng máy tính FX 570 ES Plus II. Tính 2A,3A 4B,AB,BA, A,B,A 1 ,B 1 . 
Bước 1. Vào chức năng ma trận 
 Nhấn Mode chọn MATRIX nhấn 6 (các máy tính khác có thể ký hiệu số khác)
 AC . 
Bước 2. Nhập ma trận 
 +) Nhấn Shift 4 chọn cấp ma trận (DIM) nhấn 1 chọn ma trận A nhấn 1
 Chọn cấp ma trận nếu chưa thấy cấp thì nhấn  di chuyển phím mũi tên xuống dưới 
tìm cấp ma trận nhấn 3 3 nhập ma trận A AC . 
 +) Nhấn Shift 4 chọn cấp ma trận (DIM) nhấn 1 chọn ma trận B nhấn 2
 Chọn cấp ma trận nếu chưa thấy cấp thì nhấn  di chuyển phím mũi tên xuống dưới 
tìm cấp ma trận nhấn 3 3 nhập ma trận B AC . 
Bước 3. Khai thác kết quả 
+) Tính 2A 
 Nhấn 2 Shift 3 ta được kết quả 
 2 4 4 
 2A 4 0 6 
 6 4 10 
+) Tính 3A 4B 
 Nhấn 3 Shift 3 4 Shift 4 ta được 
kết quả 
 247 
 15 6 10 
 3A 4B 14 4 17 
 13 11 31 
+) Tính AB 
 Nhấn Shift 3 Shift 4 ta được kết quả 
 9 6 13 
 AB 9 6 14 
 16 11 25 
+) Tính BA 
 Nhấn Shift 4 Shift 3 ta được kết quả 
 6 7 11 
 BA 10 6 17 
 17 6 28 
+) Tính A 
 Nhấn Shift 4 7 Shift 3 ta được kết quả A 1 
+) Tính B 
 Nhấn Shift 4 7 Shift 4 ta được kết quả B 3 
+) Tính A 1 
 Nhấn Shift 4 3 x 1 ta được kết quả 
 3 8 6 
 1 
 A 1 1 1 
 2 5 4 
+) Tính B 1 
 Nhấn Shift 4 4 x 1 ta được kết quả 
 2 1 
 0 
 3 3 
 11 4
 B 1 2 
 3 3 
 1 2 1
 248 
 TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[1] Nguyễn Huy Hoàng (chủ biên), Lê Thị Anh, Phùng Minh Đức, Bùi Quốc Hoàn, 
 Phạm Bảo Lâm, Nguyễn Mai Quyên, Đoàn Trọng Tuyến, Hoàng Văn Thắng – 
 Hướng dẫn giải bài tập Toán cao cấp cho các nhà kinh tế, NXB ĐHKTQD, 2006& 
 NXB Thống kê, 2007 
[2] Bộ môn toán cơ bản – Bài tập toán cao cấp, NXB Đại học Kinh tế Quốc dân, 2008. 
[3] Nguyễn Huy Hoàng – Toán cơ sở cho kinh tế, NXB Thông tin và Truyền thông, 
 2011& NXB GD, 2014. 
[4] Nguyễn Thị An, Nguyễn Huy Hoàng, Giới thiệu đề thi tuyển sinh Sau đại học 
 (2006 – 2012), Môn Toán Kinh tế (Phần Toán cơ sở cho Kinh tế), NXB Chính trị 
 – Hành chính, 2012. 
[5] Laurence D. Hoffmann, Gerald L. Bradley, Applied Calculus For Business, 
 Economics, and the Social and Life Sciences, The Mc. Graw - Hill Companies, Inc 
 (Expanded 10th ed), 2010. 
[6] Michael Hoy, John Livernois, Chris Mc Kenna, Ray Rees, Thanasis Stengos, 
 Mathematics for Economics, The MIT Press Cambrige, Massachusetts, London, 
 England (second edition), 2011. 
[7] Michael Hoy, John Livernois, Chris Mc Kenna, Ray Rees, Thanasis Stengos, 
 Solutions Manual Mathematics for Economics, The MIT Press Cambrige, 
 Massachusetts, London, England (second edition), 2011. 
[8] A. C. Chiang, Fundamental Methods of Mathematical Economics, Mc GrawHill, 
 Inc., 3rd edition, 1984. 
[9] A. C. Chiang, Instructor’s Manual to accompany Fundamental Methods of 
 Mathematical Economics, Mc GrawHill, Inc., 4rd edition, 2005. 
 249