Giáo trình Toán cao cấp (Phần 1) - Nguyễn Huy Hoàng

Ta có: 
 /
 fx 0 dfx 0 fx 0 xfx 0 fx 0 x 
 Vậy 
 /
 f x0 x f x 0 f x 0 x. (4.18) 
Ví dụ 42. Tính gần đúng biểu thức sau: 
 A ln 1,005 
Giải 
Đặt : 
 1
 f(x) lnx f(x)/ 
 x
Với x0 1, x 0,005 
Ta có : 
 /
 f(x) f(x)0 f(x) 0 x 
Suy ra 
 1
 A ln 1,005 ln(1)  0,005 0,005 . 
 1
4.9.3. Khảo sát tính tăng, giảm và cực trị của hàm số 
Cho hàm số : y f(x) 
 +) Bước 1. Tìm tập xác định 
 +) Bước 2. Tính đạo hàm và tìm điểm dừng 
 +) Bước 3. Tính giới hạn tại các đầu mút 
 +) Bước 4. Kẻ bảng biến thiên 
 +) Bước 5. Kết luận 
Ví dụ 43. Khảo sát tính tăng, giảm và cực trị của hàm số sau : 
 f(x) xln x 
 Bước 1. Tập xác định : D 0, 
 Bước 2. Đạo hàm : f/ (x) ln x 1 
 115 
 Cho f(x)0/ lnx10 x e 1 D 
 Bước 3. Giới hạn 
 limxlnx ;limxlnx 0 
 x x 0 
 Bước 4. Bảng biến thiên 
 x 0 e 1 
 y/ _ 0 
 y 0 
 0 
 CT 
 Bước 5. Kết luận 
 +) Hàm số giảm (nghịch biến) : 0, e 1 
 +) Hàm số tăng (đồng biến) : e 1 , 
 1 1
 +) Hàm số đạt cực tiểu tại x e với fmin e . 
4.9.4. Khai triển Taylor – Maclaurin 
 Cho hàm số f : a,b khả vi đến cấp n 1. Khi ấy với x0 , x (a,b) ta có 
công thức khai triển Taylor tại x0 của hàm số f (x) cóa dạng như sau : 
 f/ (x ) f (n) (x )
 f(x)f(x) 0 (xx)  0 (xx) n R (x) (4.19) 
 01! 0 n! 0 n 1
với 
 f/ (x ) f (n) (x )
 P(x)f(x) 0 (xx)  0 (xx) n gọi là đa thức Taylor. 
 01! 0 n! 0
 f(n 1) (c)
 R (x) (x x )n 1 , c x  (x x ), 0  1 gọi là phần dư. 
 n 1(n 1)! 0 0 0
 Tại x0 0 thì công thức khai triển Taylor được gọi là công thức khai triển 
Maclaurin: 
 f/ (0) f // (0) f (n) (0)
 f (x) f (0) x x2  x n R (x) (4.20) 
 1! 2! n! n 1
với phần dư 
 116 
 f(n 1) (c)
 R(x) x,cn 1  x,0  1. 
 n 1 (n 1)!
Một số công thức khai triển Maclaurin cơ bản 
 x2 x n e x x n 1
 a) ex 1 x  
 2! n! (n 1)!
 x2 x 3 x n x n 1
 b)ln(1x)x  (1) n 1 (1) n 
 2 3 n (n 1)(1  x)n 1
 x3 x 5 x 2n 1 x 2n 1
 c) sin x x  ( 1)n 1 ( 1) n cos  x 
 3! 5! (2n 1)! (2n 1)!
 x2 x 4 x 2n x 2n 2
 d) cos x 1  ( 1)n ( 1) n 1 sin  x 
 2! 4! (2n)! (2n 2)!
 ( 1) ( 1) ( n 1)
 e) 1 x 1 x x2  x n 
 2! n!
 ( 1) ( n) n 1
 xn 1 1  x 
 (n 1)!
Ví dụ 44. Khai triển Taylor của hàm số sau tới lũy thừa bậc 3 
 f (x) arctan x tại x0 1 
Giải 
 1 2x 2(12x3x) 2 4
Ta có : f(x)////// ;f(x) ;f(x) 
 1 x2 (1 x 2 ) 2 (1 x 2 ) 4
 1 1 1
Với x 1, ta có f////// (1) ; f (1) ; f (1) 
 0 2 2 2
Áp dụng công thức khai triển Taylor tại x0 1, ta có 
 f/ (1) f // (1) f (3) (1)
 f(x) f(1) (x1) (x1) 2 (x1) 3 R(x) 
 1! 2! 3! 4
Vậy: 
 1 1 1
 arctan x (x 1) (x 1)2 (x 1) 3 R (x). 
 4 2 4 12 4
 4
Ví dụ 45. Tính gần đúng số e với sai số không vượt quá 10 . 
Giải 
Đặt : f (x) ex 
Ta có : f(x)/ e;f x // (x) e;...;f x (n) (x) e x 
 117 
Suy ra 
 f(n) (0) 1, n 
Vậy 
 x2 x n e x x n 1
 ex 1 x  
 2! n! (n 1)!
 1 1 e
Với x 1, ta có e 1 1  
 2! n! (n 1)!
Ta có sai số 
 e e 3
 10 4 
 (n 1)! (n 1)! (n 1)!
Suy ra (n 1)! 30000 n 7 
Do đó 
 1 1 1 1 1 1
 e 1 1 2,718253968. 
 2! 3! 4! 5! 6! 7!
Ví dụ 46. Dùng công thức khai triển Maclorent tính giới hạn sau 
 2 2cos x x2 2x 4
 a) lim 
 x 0 x(x tan x)
 6ex x 3 3x 2 6x 6
 b) lim 
 x 0 x sin x
 3x 3arctan x x3 x 4
 c) lim 
 x 0 x(x tan x)
Giải 
 2 4
 x x 2 4
 2 2 1 x 2x
 2 2cos x x2 2x 4 2! 4! 23 23
a) lim lim lim . 
 x 0x(x tan x) x 0 x3 x 0 4 4
 x x x 
 3 
 2 3
 x x 3 2
 6 1 x x 3x 6x 6
 6ex x 3 3x 2 6x 6 2! 3!
b) lim lim 12. 
 x 0x sin x x 0 x3 
 x x 
 3! 
 118 
 3
 x 3 4
 3x 3 x x x
 3x 3arctan x x3 x 4 3
c) lim lim lim( 3) 3. 
 x 0x(x tan x) x 0 x3 x 0
 x x x 
 3 
4.9.5. Ứng dụng trong bài toán kinh tế 
4.9.5.1. Hàm cận biên 
 Hàm cận biên của đại lượng y f(x) theo đại lượng x tại x0 , ký hiệu là Mf x0 , 
là độ biến đổi của đại lượng y khi đại lượng x tăng lên 1 đơn vị tại x0 . 
Biểu thức toán học của hàm cận biên 
 f (x0 x) f (x 0 ) y /
 Mf (x0 ) lim lim f (x 0 ) . (4.21) 
 x 0 x x 0 x
Tổng quát ta có, hàm cận biên của đại lượng y f(x) theo đại lượng x , là 
 Mf (x) f/ (x). (4.22) 
Chú ý : Trong thực tế, lượng cận biên Mf() x0 của y f() x theo x tại x0 xấp xỉ bằng độ 
biến đổi của y khi x tăng 1 một đơn vị từ trạng thái x x0 . 
4.9.5.2. Hệ số co dãn 
 Hệ số co dãn của đại lượng y f(x) theo đại lượng x tại x0 , ký hiệu Ey x , là độ 
biến đổi của y khi x tăng lên một đơn vị (1%). 
Biểu thức của hệ số co dãn 
 x
 E f/ (x)  (%) . (4.23) 
 y x y
4.9.5.3. Bài toán tối ưu trong kinh tế 
 Bài toán : Giả sử một xí nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm. Biết hàm 
cầu là QD D(P) (P là đơn giá) và hàm tổng chi phí là TC TC(Q) (Q là sản lượng). 
Hãy xác định mức sản lượng Q để xí nghiệp đạt lợi nhuận tối đa. 
 Giải quyết bài toán : Với một mức sản lượng Q, để bán hết sản phẩm, thì xí nghiệp 
cần phải bán theo một đơn giá P sao cho QQD . Do đó, ta có 
 D(P) Q P D 1 (Q), mặt khác doanh thu của xí nghiệp là 
 TR(Q) P Q D 1 (Q) Q và lợi nhuận thu được của xí nghiệp là 
 119 
 (Q) TR(Q) TC(Q) D 1 (Q) Q TC(Q) . 
Vậy theo yêu cầu bài toán, ta cần tìm Q sao cho đạt giá trị lớn nhất. 
Ví dụ 47. Cho hàm tổng chi phí TC(Q) 0,1Q2 0,3Q 100, (Q 0) 
 a) Tìm hàm chi phí biên MC(Q). 
 b) Tính chi phí biên tại mức sản lượng Q0 120 và giải thích ý nghĩa kết quả nhận 
được. 
Giải 
 a) Hàm chi phí biên: MC(Q) TC/ (Q) 0,2Q 0,3, (Q 0) . 
 b) Tại mức sản lượng Q0 120, ta có MC(120) 24,3. 
 Ý nghĩa: Tại mức sản lượng là 120 khi ta tăng Q lên một đơn vị thì chi phí tăng 
lên 24,3 đơn vị. 
Ví dụ 48. Cho hàm cầu của một loại sản phẩm là QD 1000 5P. Tính hệ số co dãn của 
cầu theo giá tại mức giá là 120 đơn vị và nêu ý nghĩa. 
Giải 
Đạo hàm của sản lượng Q theo mức giá P là Q/ P 5 
Áp dụng công thức hệ số co dãn của cầu theo giá, ta có 
 P 5P
 E Q/ (P)  
 D Q 1000 5P
 Tại mức giá P 120, ta có ED 1,5, nghĩa là khi đang bán với đơn giá P 120, 
nếu ta tăng giá lên 1%, thì lượng cầu sẽ giảm đi khoảng 1,5%. 
Ví dụ 49. Cho hàm sản xuất Q 120L2 L 3 , L 0. Hãy xác định mức sử dụng lao động 
để sản lượng tối đa. 
Giải 
Đạo hàm cấp 1: Q/ (L) 240L 3L2 . 
Giải phương trình: 
 Q/ (L) 240L 3L2 0 L 80 (nhận) hay L 0 (loại). 
Hàm số có điểm dừng: L 80 
Đạo hàm cấp 2 : Q// (L) 240 6L , tại L 80. 
Xét tại L 80, ta có Q// (80) 240 0 
 120 
Vậy khi lao động là L 80 thì sản lượng cực đại, với Qmax 256000. 
Ví dụ 50. Một xí nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm. Biết hàm cầu của xí nghiệp 
 1
là Q 656 P và hàm tổng chi phí TC(Q) Q3 77Q 2 1000Q 40000. Hãy xác 
 D 2
định mức sản lượng Q và giá bán tương ứng sao cho xí nghiệp đạt lợi nhuận tối đa. 
Giải 
Với một mức sản lượng Q, để bán hết sản phẩm, thì xí nghiệp cần phải bán theo một 
đơn giá P sao cho QQD . Do đó, ta có 
 1
 Q Q 656 P Q P 1312 2Q , 
 D 2
Mặt khác doanh thu của xí nghiệp là 
 TR(Q) P Q (1312 2Q) Q 2Q2 1312Q 
và lợi nhuận thu được của xí nghiệp là 
 Q TR Q TC Q 2Q2 1312Q (Q 3 77Q 2 1000Q 40000 
 Q3 75Q 2 312Q 40000 
Bây giờ ta tìm Q 0 sao cho đạt giá giạ lớn nhất. 
Đạo hàm cấp 1: /(Q) 3Q 2 150Q 2 312 
Suy ra 
 /(Q) 0 3Q 2 150Q 312 0 Q 2 (loaïi ) hay Q 52 
Mặt khác, // (Q) 6Q 150 
Xét tại Q 52 , ta có // (52) 162 0 . 
Vậy (Q) đạt cực đại tại Q 52. 
Khi đó, ta có các kết quả phù hợp sau : 
 Lợi nhuận : 38416, 
 Đơn giá : P 1208 , 
 Tổng chi phí : TC 24400. 
Kết luận: 
 Để đạt lợi nhuận cao nhất, xí nghiệp cần sản xuất với mức sản lượng Q 52. Khi 
đó lợi nhuận tương ứng là 38416. 
 121 
4.10. Bài tập 
Bài số 1. Dùng định nghĩa để chứng minh rằng các dãy sau có giới hạn là 0 khi n 
 ( 1)n 1
 1. x 
 n n
 2n
 2. x 
 n n3 1
 n n
 3. xn ( 1) 0,999 
 1 2
 Hướng dẫn : 1) x  ; 2) x ; 3) x 0,999n  . 
 n n n n2 n
Bài số 2. Chứng minh rằng các dãy sau hội tụ 
 1 1 1 
 1. xn 1 1 .... 1 
 2 4 2n 
 2. x1 2, x 2 2 2 ,..., x n 2 2  2 ( n căn) 
 Hướng dẫn : Chương minh dãy tăng bị chặn trên. 
Bài số 3. Tính các giới hạn sau 
 (n 1)(n 2)(n 3) 1 1 1
 1. 1  
 lim 3 2 n
 n 3n 5. lim 2 2 2 
 n 1 1 1
 2 1  
 n2 1 2n 3 32 3 n
 2. lim 
 n 3 n6 2 1 1 1 
 6. lim  
 n 1 2 2  3 (n 1)n 
 2n 1 3 n 2
 3. lim 
 n 2n 3 n 1 1 1 1 
 7. lim 1 1 .... 1 
 n 22 3 2 n 2 
 1 2 n 1 
 4. lim  n
 n n2 n 2 n 2 8. lim aq , q 1 
 n 
 1 1 4 1
 Đáp số : 1) ; 2) 9; 3) 3; 4) ; 5) ; 6) 1; 7) ; 8) 0. 
 3 2 3 2
Bài số 4. Tính các giới hạn sau 
 1 2x 3 1 sin x 1 sin x
 1. lim 10. lim 
 x 4 x 2 x 0 x
 m ln cos x
 x 1 11. 
 2. lim lim 2
 x 1 n x 1 x 0 x
 122 
 3 xosx cosx
 3. lim x x x x 12. lim 
 x x 0 x2
 x
 1 x 1 3 x  1 n x 1 e 1 
 13. lim ln 
 4. lim x x x
 x 1 1 x n 1 
 2 2
 2 1 x x 7 2x x
 x 14. lim 
 5. lim 2
 5 x 2 x 2x
 x 0 1 5x 1 x 
 xx 1
 15. lim 
 6. lim x a1 x a 2 x 
 x x 1 xln x
 sin5x 5x 4 x
 7. lim 16. lim 
 x 0 t an8x x 0 x2 2x
 2
 1 17. limx cos x 
 8. lim cot x x 0
 x 0 sin x 
 18. limsin x cos x 
 1 cos x x 0
 9. lim 
 x 0 x2
 19. limx 1 sin 2x 
 x 0
 4 n 1 1 1 a a 5 1
 Đáp số : 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) 1 2 ; 7) ; 8) 0; 9) ; 10) 1; 11) 
 3 m 2 n! 2 2 8 4
 1 1 7 1 5 1 2
 ; 12) ; 13) 1; 14) ;15) 1; 16) ln ; 17) ; 18) 1; 19) e . 
 2 12 4 2 4 e
Bài số 5. Xét tính liên tục các hàm số sau 
 sin x
 khi x 0
 1. f (x) x 
 0 khi x 0
 1
 x2 sin khi x 0
 2. f (x) x 
 0 khi x 0
 Đáp số: 1) Liên tục bên phải tại 0; 2) Liên tục tại 0. 
Bài số 6. Định a để hàm số sau liên tục tại 0 
 ex e x
 , x 0,
 f (x) sin 2x 
 a, x 0.
 Đáp số : a 1. 
 123 
Bài số 7. Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số sau : f (x) x x 
 Đáp số : f/ (x) 2 x 
Bài số 8. Chứng minh hàm số : y x2 1 e x 2 thỏa mãn phương trình 
 2xy
 y/ e x x 2 1 
 x2 1 
 Hướng dẫn : Tính đạo hàm rồi thay vào đẳng thức ta có điều phải chứng minh. 
 2
 cos x / 
Bài số 9. Cho hàm số f (x) . Chứng minh f 3f 3 . 
 1 sin2 x 4 4 
 Hướng dẫn : Tính đạo hàm rồi thay vào đẳng thức ta có điều phải chứng minh. 
 x
 ( 1)n n(n 1)
Bài số 10. Cho hàm số f (x) x2 e 2 . Chứng minh f(n) (0) . 
 2n 2
 n
 (n) k (n k) (k)
 Hướng dẫn : Sử dụng công thức tính đạo hàm u v  Cn u v . 
 k 0
 1 x (2019)
Bài số 11. Cho hàm số f (x) ln . Tính f 0 . 
 1 x 
 Hướng dẫn : Tính đạo hàm cấp 1,2,3,..,rồi dự đoán đạo hàm cấp n. 
Bài số 12. Cho hàm số f (x) 1 xm (x 1) n với m, n . Chứng minh rằng phương 
trình f/ (x) 0 có ít nhất một nghiệm nằm trong khoảng (0, 1). 
 Hướng dẫn : Sử dụng định lý Rolle 
Bài số 13. Ứng dụng đạo hàm chứng minh rằng với mọi x 0 ta có 
 x2
 x ln 1 x x 
 2
 Hướng dẫn : xét f(x) ln(1 x) x;g(x) ln(1 x) x x2 /2, tính đạo hàm. 
 1
 x2 sin khi x 0,
Bài số 14. Cho hàm số f (x) x 
 0 khi x 0.
 /
 Chứng minh rằng : f x xác định với mọi x . 
 Hướng dẫn : Dùng định nghĩa tính đạo hàm tại 0. 
Bài số 15. Tính đạo hàm y/ x của các hàm được xác định như sau 
 124 
 1. x ln 1 t2 , y t arctan t 
 2. x3 ln y x 2 e y 0 
 Hướng dẫn : 1) Dùng công thức đạo hàm theo tham số; 
 2) Dùng công thức đạo hàm hàm ẩn. 
 0 khi x 0,
 x /
Bài số 16. Cho hàm số f (x) khi x 0. . Tính f 0 
 1
 1 e x
 Hướng dẫn : Dùng định nghĩa đạo hàm. 
 ax b khi x 2,
Bài số 17. Cho hàm số f (x) 
 2
 x khi x 2.
 Tìm giá trị của a và b để hàm số f có đạo hàm tại mọi điểm. 
 Đáp số : a 4, b 8. 
 x2 2x 2 khi x 1,
Bài số 18. Cho hàm số f (x) 
 2 x khi x 1.
 Hàm số f có đạo hàm tại điểm 1 không? 
 Đáp số : Hàm số không có đạo hàm tại 1. 
 ex 1
 khi x 0
Bài số 19. Cho hàm số f x x . 
 mkhi x 0
Tìm m để hàm f liên tục tại x 0. Với m tìm được hãy tính f/ 0 . 
 1
 Đáp số: m 1; f/ (0) . 
 2
 32x 1
 , x 0,
Bài số 20. Cho hàm số : f (x) x 
 2ln m , x 0.
 1. Định m để hàm số sau liên tục tại 0 
 2. Với m vừa tìm được ở câu 1. Tính f/ 0 . 
 Đáp số : 1) m 3; 2) f/ 0 2ln 2 3. 
Bài số 21. Tính vi phân của các hàm số sau 
 125 
 a x
 1. y arctan 
 x a
 2. y x x2 a 2 
 3. y5 y x 2 1 
 4. x y ey 
 Hướng dẫn : Tính đạo hàm rồi thế vào biểu thức vi phân 
Bài số 22. Tính gần đúng 
 1. 4 17 2. arctan 0,97 3. tan 46 4. 5 32,002 
 Đáp số : 1) 2,03125; 2) 0,7704; 3) 1,0349; 4) 2,000025. 
Bài số 23. Tính đạo hàm cấp n của hàm số sau 
 1. f(x) sin x 
 1 x
 2. f (x) 
 1 x
 3. f(x) sin2x cos3x 
 1
 4. f (x) 
 x2 5x 6
 (n) (n) 2 n!
 Đáp số : 1) f (x) sin x n ; 2) f (x) 
 2 (1 x)n 1
 (n) n n 
 3) f (x) 2 sin 2x n 3 cos 3x n . 
 2 2 
 ( 1)n n! ( 1) n n!
 4) f(n) (x) . 
 (x 3)n 1 (x 2) n 1
Bài số 24. Khai triển Maclorent các hàm số sau tới lũy thừa bậc 5. 
 1
 1. f (x) 
 x 1
 2x
 2. f (x) 
 x2 1
 1
 3. f (x) 
 x2 3x 2
 4. f (x) x x 1 
 Đáp số : 1) 1 x x2 x 3 x 4 x 5 . 2) 2x 2x3 2x 5 . 
 126 
 1 3 7 15 31 63
 3) x x2 x 3 x 4 x 5 . 
 2 4 8 16 32 64
 3 1 1 5 7
 4) 1 x x2 x 3 x 4 x 5 . 
 2 8 16 128 256
Bài số 25. Khai triển Taylor của hàm số sau tại điểm x0 2 tới lũy thừa bậc 4. 
 x
 f (x) 
 x 1
 Đáp số : 2 (x 2) (x 2)2 (x 2) 3 (x 2) 4 . 
Bài số 26. Khảo sát tính tăng giảm và cực trị của hàm số sau 
 1. f (x) x 5 ex 
 2. f (x) (2x 1)3 x 2 
 ln x
 3. f (x) 
 x2
 4. f (x) x ln x 
Bài số 27. Giả sử giá thành để sản xuất x cặp quần jean được cho bởi hàm 
 C x 2000 3x 0,01x2 0,0002x 3 
 1. Xác định hàm chi phí biên. 
 2. Tìm C/ 100 và giải thích ý nghĩa. Giá trị này dự báo điều gì? 
 3. So sánh giá C 100 với giá thành để sản xuất sản phẩm thứ 101. 
 Đáp số: 1) C/ x 3 0,02x 0,0006x 2 ; 2) C/ 100 11; 
 3) C 101 C 100 11,0702 C/ 100 . 
Bài số 28. Cho hàm sản xuất ngắn hạn Q 30 L; L 0 
 1. Tìm hàm sản phẩm cận biên của lao động MPL. 
 2. Tại L0 144, nếu L tăng thêm một đơn vị thì Q sẽ thay đổi bao nhiêu đơn vị? 
 3. Tại mức sử dụng lao động nào đó, nếu L tăng thêm 1%, hỏi sản lượng sẽ thay đổi 
bao nhiêu %? 
 /
 Hướng dẫn: 1) Tính MPL QL ; 2) MPL(144) 1,25; 3) Q/L 0,5. 
 2
Bài số 29. Cho hàm cầu của một loại hàng hoá là QD 6P P . Tính hệ số co dãn tại 
P0 5 và giải thích ý nghĩa kết quả nhận được. 
 127 
 Đáp số : ED 4 . 
Bài số 30. Cho biết hàm sản xuất ngắn hạn Q 1005 L3 , L 0 và giá của sản phẩm là 
P 5 USD, giá thuê lao động là PL 3 USD . Hãy tìm mức sử dụng lao động để lợi nhuận 
tối đa. 
 Đáp số: L 100000 . 
Bài số 31. Cho biết hàm tổng chi phí là TC(Q) 4Q3 5Q 2 500;Q 0 và hàm cầu 
Q 11160 P . Hãy xác định mức sản lượng Q và giá bán tương ứng để lợi nhuận đạt cực 
đại. 
 Đáp số: Q 30, P 11130. 
Bài số 32. Cho biết hàm tổng chi phí là TC(Q)Q 3 8 Q 2 57Q 2; Q 0 và hàm cầu 
 1
đảo P 45 Q . Hãy xác định mức sản lượng Q và giá bán tương ứng để lợi nhuận đạt 
 2
cực đại. 
 Đáp số: Q 4, P 43. 
Bài số 33. Một công ty có hàm cầu về sản phẩm và hàm tổng chi phí là: 
 45 Q3
 P 2750 Q ; TC Q 15Q2 2500Q 
 8 30
trong đó P là giá và Q là sản lượng. 
 1. Tính sản lượng và giá bán để tối đa hóa lợi nhuận. 
 2. Tính và nêu ý nghĩa hệ số co dãn của cầu sản phẩm tại mức giá và sản lượng tối 
ưu? 
 3. Tìm giá bán để tối đa hóa sản lượng bán ra mà công ty không bị lỗ? 
 13
 Đáp số: 1) 200 158333; 2)  ; 3) 305,778. 
 max 9
Bài số 34. Cho biết hàm cầu ngược và hàm chi phí của một nhà độc quyền như sau: 
 P 200 Q, TC Q2 (trong đó P là giá, Q là sản lượng) 
 1. Tìm mức sản lượng và mức giá để lợi nhuận cực đại. 
 2. Tính hệ số co dãn của cầu tại mức tối đa hóa lợi nhuận. 
 Đáp số: 1) Q 50, P 150; 2) 3 . 
 128