Giáo trình Toán cao cấp

22 () xy x 
 dy
 154 
 Giáo trình Toán cao cấp 
 dx dx
 4) x 23 y x 
 dy dy
 dxcos( xy ) 1
 5) 
 dy xy
 6) (x22 y ) dy 2 xydx 0 
 dy y 6 x
 7) ; y(0) 1 
 dx2 x y
3.8. Giải các phƣơng trình Bernoully: 
 dy
 1) xy xy22 
 dx
 dy 1
 2) xy 
 dx y2
 dy
 3) y(xy3 1) 
 dx
 dy 1
 4) x24 2 xy 3 y ; y (1) 
 dx 2
 4
 5) y' y xy 
 6) x22 y' y xy 
 155 
Giáo trình Toán cao cấp 
 HƢỚNG DẪN GIẢI VÀ ĐÁP SỐ BÀI TẬP CHƢƠNG 3 
 dy dy
1) 22xy xdx 
 dx y
 2
Đáp số : y kex 
 dy
2) 33x22 e yy e dy x dx 
 dx 
Đáp số : y ln( x32 e ) 
 dy dy
3) 2x ( y2 1) 2 xdx
 2
 dx y 1 
Đáp số : yC tg(x2 ) 
 dy dx
4) (1 x)dy ydx 0 
 yx 1
Đáp số : y C(1 x ) 
 dy x
5) ydy xdx
 dx y 
Đáp số : x22 y C 
 dy
6) 4y y ( e tt 4) ydy e dt
 dt 
 t
Đáp số : y ce (e ) 
 dx dx
7) r2(1 x 2 ) r 2 dr
 2
 dr1 x 
 r3
Đáp số : x tg() C 
 3
 dy
8) e32xy e 23yx dy e dx 
 dx 
Đáp số : 32e 23yx e C 
3.2. Giải các phƣơng trình đẳng cấp cấp 1 sau: 
 y
1) Đặt u= . Thay vào phƣơng trình ta đƣợc : 
 x
 u2 1
 u' x = 
 2u
Biến đổi về phƣơng trình với biến số phân ly: 
 156 
 Giáo trình Toán cao cấp 
 2udu dx
 ux2 1
Giải phƣơng trình với biến số phân ly ta đƣợc: 
 ln |u2 1| ln | x | C 0 
 y
Thay u = ta đƣợc nghiệm tổng quát của phƣơng trình là : 
 x
 y
 ln|()2 1| ln|xC | 0 
 x
 y
2) Đặt u= . Thay vào phƣơng trình ta đƣợc : 
 x
 u2
 u' x = 
 12 u
Biến đổi về phƣơng trình với biến số phân ly: 
 (1 2u ) du dx
 ux2
Giải phƣơng trình với biến số phân ly ta đƣợc: 
 1
 2ln |u | ln | x | C 0 
 u
Thay ta đƣợc nghiệm tổng quát của phƣơng trình là : 
 xy
 2ln | | ln |xC | 0 
 yx
3) Đặt . Thay vào phƣơng trình ta đƣợc : 
 u' x = - u2 
Biến đổi về phƣơng trình với biến số phân ly: 
 du dx
 ux2
Giải phƣơng trình với biến số phân ly ta đƣợc: 
 1
 ln |xC | 0 
 u
Thay ta đƣợc nghiệm tổng quát của phƣơng trình là : 
 157 
Giáo trình Toán cao cấp 
 x
 ln |xC | 0
 y 
 y
 4) Đặt u= . Thay vào phƣơng trình ta đƣợc : 
 x
 12 u2
 ux' 
 4u
Biến đổi về phƣơng trình với biến số phân ly: 
 dx4 udu
 xu12 2
Giải phƣơng trình với biến số phân ly ta đƣợc: 
 ln||ln|12x u2 | C 0 
 y
Thay u = ta đƣợc nghiệm tổng quát của phƣơng trình là : 
 x
 y
 ln|xC | ln|1 2()|2 0 
 x
5) Đặt . Thay vào phƣơng trình ta đƣợc : 
 3
 ux' 
 uu2 
Biến đổi về phƣơng trình với biến số phân ly: 
 dx3 du 1 1
 3 ( )du 
 x u2 u u1 u
Giải phƣơng trình với biến số phân ly ta đƣợc: 
 u
 ln |xC | ln | | 0 
 1 u
Thay ta đƣợc nghiệm tổng quát của phƣơng trình là : 
 y
 ln |xC | ln | | 0 
 xy 
 y
6)Đặt u = . Thay vào phƣơng trình ta đƣợc : 
 x
 u' x = 1- 4u 
Biến đổi về phƣơng trình với biến số phân ly: 
 158 
 Giáo trình Toán cao cấp 
 du dx
 14 ux
Giải phƣơng trình với biến số phân ly ta đƣợc: 
 1
 ln|14| u ln| x | C 0 
 4
 y
Thay u= ta đƣợc nghiệm tổng quát của phƣơng trình là : 
 x
 1 y
 ln|14 |ln|| xC 0 
 4 x
7) Đặt . Thay vào phƣơng trình ta đƣợc : 
 u' x = - (1+ 5u) 
Biến đổi về phƣơng trình với biến số phân ly: 
 du dx
 15 ux
Giải phƣơng trình với biến số phân ly ta đƣợc: 
 1
 ln|15| u ln| x | C 0 
 5
 y
Thay u = ta đƣợc nghiệm tổng quát của phƣơng trình là : 
 x
 1 y
 ln|15 |ln|| xC 0 
 5 x
3.3. Giải các phƣơng trình tuyến tính cấp 1 sau: 
 y
 1) Giải phƣơng trình: y '0 ta đƣợc y = Cx 
 x
Coi C là C(x) thay vào phƣơng trình thu đƣợc: 
 lnxx ln2
 CCK'(x) (x) 
 x 2
Vậy nghiệm tổng quát của phƣơng trình là ln 2 x 
 y () K x
 2
 y
 2) Giải phƣơng trình: y '0 ta đƣợc y = C (x+ 1) 
 x 1
 x2
Coi C là C(x) thay vào phƣơng trình thu đƣợc: C'(x) x C (x) K 
 2
 159 
Giáo trình Toán cao cấp 
Vậy nghiệm tổng quát của phƣơng trình là x2 
 yK ( )(x 1)
 2
 3) Giải phƣơng trình: yy'0 ta đƣợc y Cex 
 2x3
Coi C là C(x) thay vào phƣơng trình thu đƣợc: C'(x) 2 x2 C (x) K 
 3
Vậy nghiệm tổng quát của phƣơng trình là 2x3 
 y () K ex
 3
 4) Giải phƣơng trình: yy' 2 0 ta đƣợc y Ce2x 
 x3
Coi C là C(x) thay vào phƣơng trình thu đƣợc: C'(x) x2 1 C (x) x K 
 3
Vậy nghiệm tổng quát của phƣơng trình là x3 
 y () x K e2x
 3
5) Giải phƣơng trình: yy'0 ta đƣợc y Ce x 
 e2x
Coi C là C(x) thay vào phƣơng trình thu đƣợc: C'( x ) 5 e2x C ( x ) 5 K 
 2
Vậy nghiệm tổng quát của phƣơng trình là 5e2x 
 y () K e x
 2
 6) Giải phƣơng trình: yy' 2 0 ta đƣợc y Ce 2x 
Coi C là C(x) thay vào phƣơng trình thu đƣợc: C'( x ) 2x 1 C ( x ) x2 x K 
Vậy nghiệm tổng quát của phƣơng trình là y () x2 x K e 2x 
 2y 2
 7) Giải phƣơng trình: y '0 ta đƣợc yC x 
 x
Coi C là C(x) thay vào phƣơng trình thu đƣợc 
 x2 x 1 1
 C'( x ) C ( x ) x ln | x | K 
 x2 x
Vậy nghiệm tổng quát của phƣơng trình là 
 1 
 y ( x ln | x | K ) x2
 x
 2y 2
8) Giải phƣơng trình: y '0 ta đƣợc yC (x-1) 
 x 1
Coi C là C(x) thay vào phƣơng trình thu đƣợc 
 160 
 Giáo trình Toán cao cấp 
 x2 2x 3 3
 C'( x ) C ( x ) x K 
 (x-1)2 x 1
Vậy nghiệm tổng quát của phƣơng trình là 
 3 
 y ( x 1)2 ( x K )
 x 1
 y C
 9) Giải phƣơng trình: y '0 ta đƣợc y = 
 x 2 x 2
Coi C là C(x) thay vào phƣơng trình thu đƣợc: 
 xx32
 C'(x) ( x 1)( x 2) C (x) 2x K 
 32
 xx32
Vậy nghiệm tổng quát của phƣơng trình là 2x K 
 y 32
 x 2
 y C
10) Giải phƣơng trình: y '0 ta đƣợc y = 
 x 4 x 4
Coi C là C(x) thay vào phƣơng trình thu đƣợc: 
 xx327
 C'(x) ( x 3)( x 4) C (x) 12x K 
 32
 xx327
Vậy nghiệm tổng quát của phƣơng trình là 12x K 
 y 32
 x 4
 2y C
11) Giải phƣơng trình: y '0 ta đƣợc y 
 x x
Coi C là C(x) thay vào phƣơng trình thu đƣợc 
 53
 42xx
 C'( x ) (2x 1) x C ( x ) K 
 53
Vậy nghiệm tổng quát của phƣơng trình là 
 53
 42xx 
 K
 y 53
 x
12) Giải phƣơng trình: y ta đƣợc yC (x 3) 
 y '0 
 x 3
 161 
Giáo trình Toán cao cấp 
 x
Coi C là C(x) thay vào phƣơng trình thu đƣợc: Cx'( ) 
 x 3 C( x ) x 3ln | x 3| C
Vậy nghiệm tổng quát của phƣơng trình là 
 y (x 3)( x 3ln | x 3| C )
 y C
13) Giải phƣơng trình: y '0 ta đƣợc y 
 2(x 1) x 1
Coi C là C(x) thay vào phƣơng trình thu đƣợc 
 53
 2xx 1 2 1
 C'( x ) x x 1 C ( x ) K 
 53
Vậy nghiệm tổng quát của phƣơng trình là 
 53
 2xx 1 2 1 
 K
 y 53
 x 1
 21y
14) (xy ' 1)ln x 2 y y ' 
 xxln x
 2y
Giải phƣơng trình: y '0 ta đƣợc yC (ln x)2 
 xln x
 11
Coi C là C(x) thay vào phƣơng trình thu đƣợc C'( x ) C ( x ) K 
 x(ln x)2 ln x
 1
Vậy nghiệm tổng quát của phƣơng trình là yK ( )(ln x)2 
 ln x
 15) xy' ( x 1) y 3x2 e x
 e x
Giải phƣơng trình: xy' ( x 1) y 0 ta đƣợc yC 
 x
Coi C là C(x) thay vào phƣơng trình thu đƣợc C'(x) 3 x23 C (x) x K 
Vậy nghiệm tổng quát của phƣơng trình là e x 
 y () x3 K
 x
 22
16) (1 x )y ' 2 xy 1 x 
Giải phƣơng trình: (1 x2 )y ' 2 xy 0 ta đƣợc yC (1 x2 ) 
Coi C là C(x) thay vào phƣơng trình thu đƣợc C'(x) 1 C (x) x K 
Vậy nghiệm tổng quát của phƣơng trình là y ( K x )(1 x2 ) 
17) x22y ' (2 x 1) y x 
 162 
 Giáo trình Toán cao cấp 
 1
Giải phƣơng trình: x2 y ' (2 x 1) y 0 ta đƣợc y Kx2 e x 
 11
 1 
Coi C là C(x) thay vào phƣơng trình thu đƣợc C'( x ) exx C ( x ) e K 
 x2
 11
Vậy nghiệm tổng quát của phƣơng trình là 2 
 y ( exx K )x e
3.4. Tìm nghiệm của các phƣơng trình vi phân thỏa mãn điều kiện cho trƣớc: 
 dy
1) (e2 yy y)cosx e sin 2 x , y (0) 0 
 dx
Đáp số : ey ye y e y 4 2cos x 
 dy 2 sinx
2) ;y (0) 2 
 dx3( y 1)2
 1
Đáp số : y 1 (2 x cos x 2)3 
 x3 y y
3) yy' ; (0) 1 
 yy42 1
Đáp số : y4 2 y 2 4ln y x 4 4 x 1
 y
4) Giải phƣơng trình: y '0 ta đƣợc y= C lnx 
 xln x
 x2
Coi C là C(x) thay vào phƣơng trình thu đƣợc C() x C 
 2
Vậy nghiệm tổng quát của phƣơng trình là x2 
 yC ( )ln x
 2
 e2 e 2 e 2
Kết hợp với điều kiện yxe ( C )ln e C 0 
 2 2 2
 x2
Vậy y ln x 
 2
 dy
 x22 y 0; y (1) 3
5) dx 
 3x
Đáp số : y 
 4x 3 
 2
6) y' y x ; y (0) 1 
 163 
Giáo trình Toán cao cấp 
Đáp số yx 3ex2 2x 2 
3.5. Giải các phƣơng trình vi phân cấp 2 với hệ số hằng sau: 
 xx2
1) Nghiệm của phƣơng trình thuần nhất : y C12 e C e 
Dạng tổng quát của nghiệm riêng : y* axe 2x 
Thay y* vào phƣơng trình ta tìm đƣợc : a = 4 
 xx2 2x
Nghiệm tổng quát của phƣơng trình là: y C12 e C e + 4xe 
 x
2) Nghiệm của phƣơng trình thuần nhất y e ( C12 sinx C cosx) 
Dạng tổng quát của nghiệm riêng : y* ae 3x 
 5
Thay vào phƣơng trình ta tìm đƣợc : a 
 2
 5
Nghiệm tổng quát của phƣơng trình là: y ex ( C sinx C cosx) e 3x 
 122
 4x
3) Nghiệm của phƣơng trình thuần nhất : y C12 C e 
Dạng tổng quát của nghiệm riêng : y*x ae 
 5
Thay vào phƣơng trình ta tìm đƣợc : a 
 3
 5
Nghiệm tổng quát của phƣơng trình là: y C C e4x ex 
 12 3
 7x
4) Nghiệm của phƣơng trình thuần nhất : y C12 C e 
Dạng tổng quát của nghiệm riêng y* x(ax b ) 
 2 25
Thay vào phƣơng trình ta tìm đƣợc yx* ( x - ) 
 7 49
 2 25
Nghiệm tổng quát của phƣơng trình là y C C e 7x + x( x - ) 
 12 7 49
 xx3
5) Nghiệm của phƣơng trình thuần nhất : y C12 e C e 
Dạng tổng quát của nghiệm riêng y* x(ax b ) ex 
 11
Thay vào phƣơng trình ta tìm đƣợc y* x( x- ) ex 
 44
 11
Nghiệm tổng quát của phƣơng trình là y C exx C e3 + xe( x- ) x 
 12 44
 164 
 Giáo trình Toán cao cấp 
 23xx
6) Nghiệm của phƣơng trình thuần nhất : y C12 e C e 
Dạng tổng quát của nghiệm riêng y* (ax b ) ex 
 17
Thay y* vào phƣơng trình ta tìm đƣợc ye* ( x ) x 
 24
 17
Nghiệm tổng quát của phƣơng trình là y C e23xx C e + ( x )ex 
 1224
 22xx
7) Nghiệm của phƣơng trình thuần nhất : y C12 e C xe 
Dạng tổng quát của nghiệm riêng 
Thay vào phƣơng trình ta tìm đƣợc ye* x x 
 22xxx
Nghiệm tổng quát của phƣơng trình là y C12 e C xe + xe 
 22xx
8) Nghiệm của phƣơng trình thuần nhất : y C12 e C xe 
Dạng tổng quát của nghiệm riêng 
 27
Thay vào phƣơng trình ta tìm đƣợc y* () x ex 
 9 27
 27
Nghiệm tổng quát của phƣơng trình là y C e 22xx C xe + ()xe x 
 12 9 27
9) Nghiệm của phƣơng trình thuần nhất 33xx 
 y C12 e C xe
Dạng tổng quát của nghiệm riêng 
 31
Thay vào phƣơng trình ta tìm đƣợc ye* ( x - ) x 
 16 32
 31
Nghiệm tổng quát của phƣơng trình là y C e 33xx C xe + ( x - )ex 
 12 16 32
10) Nghiệm của phƣơng trình thuần nhất : 4x
 y C12 C e
Dạng tổng quát của nghiệm riêng y*2 x(ax bx c ) 
 1 1 9
Thay vào phƣơng trình ta tìm đƣợc y*2 x( x x ) 
 12 16 32
 1 1 9
Nghiệm tổng quát của phƣơng trình là y C C e4x + xx( x2 ) 
 12 12 16 32
11) Nghiệm của phƣơng trình thuần nhất : 3x 
 y C12 C e
 165 
Giáo trình Toán cao cấp 
Dạng tổng quát của nghiệm riêng : y*2 x(ax bx c ) 
 1 4 8
Thay y* vào phƣơng trình ta tìm đƣợc y*2 x( x x ) 
 9 9 27
 1 4 8
Nghiệm tổng quát của phƣơng trình là y C C e 3x + xx( x2 ) 
 12 9 9 27
12) Phƣơng trình đặc trƣng : kk2 20 
 xx2
Nghiệm của phƣơng trình thuần nhất : y C12 e C e 
Dạng tổng quát của nghiệm riêng y*2 ax bx c 
Thay vào phƣơng trình ta tìm đƣợc yx*2 2x 4 1 
 xx2 2
Vậy phƣơng trình có nghiệm là y C12 e C e + 2x 4x 1 
 xx2
13)Nghiệm của phƣơng trình thuần nhất : y C12 e C e 
Dạng tổng quát của nghiệm riêng 
 1 3 13
Thay vào phƣơng trình ta tìm đƣợc yx*2 x 
 2 2 4
Vậy phƣơng trình có nghiệm là xx2 + 
 y C e C e 12 3 13
 12 x x
 2 2 4
 33xx
14) Nghiệm của phƣơng trình thuần nhất : y C12 e C xe 
Dạng tổng quát của nghiệm riêng yb* ax 
 27
Thay vào phƣơng trình ta tìm đƣợc y* x 
 9 27
 27
Nghiệm tổng quát của phƣơng trình là y C e33xx C xe + x 
 12 9 27
 xx
15) Nghiệm của phƣơng trình thuần nhất : y C12 e C xe 
Dạng tổng quát của nghiệm riêng yb* ax 
Thay vào phƣơng trình ta tìm đƣợc y* 2x 3 
Vậy phƣơng trình có nghiệm là xx+ 2x 3 
 y C12 e C xe
 1
 x
 3 x
16) Nghiệm của phƣơng trình thuần nhất : y C12 e C e 
Dạng tổng quát của nghiệm riêng ye* ax x 
 166 
 Giáo trình Toán cao cấp 
 5
Thay y* vào phƣơng trình ta tìm đƣợc y* xex 
 4
 1
Vậy phƣơng trình có nghiệm là x + 
 3 x 5 x
 y C12 e C e xe
 4
 1
 x
 x 4
17) Nghiệm của phƣơng trình thuần nhất : y C12 e C e 
Dạng tổng quát của nghiệm riêng ye* ax x 
 7
Thay vào phƣơng trình ta tìm đƣợc y* xex 
 5
 1
Vậy phƣơng trình có nghiệm là x + 
 4 x 7 x
 y C12 e C e xe
 5
 6x
18) Nghiệm của phƣơng trình thuần nhất : y C12 C e 
Dạng tổng quát của nghiệm riêng y* x(ax b ) 
 15
Thay vào phƣơng trình ta tìm đƣợc yx* ( x - ) 
 4 12
 6x 15
Nghiệm tổng quát của phƣơng trình là y C12 C e + x( x - )
 4 12 
19) Nghiệm của phƣơng trình thuần nhất : 
Dạng tổng quát của nghiệm riêng 
Thay vào phƣơng trình ta tìm đƣợc 
Nghiệm tổng quát của phƣơng trình là + 
20) Nghiệm của phƣơng trình thuần nhất : 
Dạng tổng quát của nghiệm riêng 
Thay vào phƣơng trình ta tìm đƣợc 
Nghiệm tổng quát của phƣơng trình là + 
3.6. Hãy đƣa về dạng phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp 1 và tìm nghiệm: 
1) y’( x + siny) = 1 
 167 
Giáo trình Toán cao cấp 
 dx
Phƣơng trình đã cho tƣơng đƣơng với x sin y x ' x sin y , đây là phƣơng 
 dy
trình tuyến tính. 
Xét phƣơng trình thuần nhất tƣơng ứng x'0 x x Cey 
 e y (sin y cos y )
Coi C là hàm số biến y ta đƣợc C() x C 
 2
 (sinyy cos )
Vậy nghiệm của phƣơng trình đã cho là x Cey 
 2
 C
2) Xét phƣơng trình thuần nhất tƣơng ứng (x32 x ) y ' 3x y 0 ta đƣợc y 
 (x25 1)
 x2
Coi C là hàm số biến y ta đƣợc C( x ) ln | x | C 
 2
 x2
 ln |xC |
Vậy nghiệm của phƣơng trình đã cho là y 2 
 (x25 1)
3) y' y x2 ; y (0) 1 
Đáp án: y 3 ex ( x2 2 x 2) 
 dy
4) yx 2 2 
 dx
Đáp án: y Cex x2 24 x 
 dy
5) x 4 y x4 ex 
 dx
Đáp án: y x5 exx x 4 e cx 4 
 dy
6) (x2 9) xy 0 
 dx
 C
Đáp án: y 
 x2 9
8) x2 y'1 xy 
Đáp án: y x 11ln x c ; x 0 
 dy
9) x y x2 sinx 
 dx
Đáp án: y cx xcos x ; x 0 
 168 
 Giáo trình Toán cao cấp 
10) x2 y' x(x 2) y ex 
 1 C
Đáp án: yx exx e ; 0 
 2xx22
11) ydx 4( x y6 ) dy 0 
Đáp án: x 2 y22 cy ; y 0 
13) xy' y ex ; y (1) 2 
 eex 2 
Đáp án: yx ;0 
 xx
14) 
 dx
Phƣơng trình đã cho tƣơng đƣơng với y22 2x x ' 2x y , đây là phƣơng trình 
 dy
tuyến tính. 
Xét phƣơng trình thuần nhất tƣơng ứng x' 2 x 0 x Ce 2y 
 yy2 1
Coi C là hàm số biến y ta đƣợc C()() x e2 y C 
 2 2 4
 yy2 1
Vậy nghiệm của phƣơng trình đã cho là x Ce 2 y 
 2 2 4
3.7. Hãy tìm nghiệm của phƣơng trình vi phân sau nếu có dạng phƣơng trình vi phân 
đẳng cấp: 
1) Đáp án: x22 2 xy y C 
 1
 yx 1
2) Đáp án: 
 lnx 1
 y
3) Đáp án: ln yC 
 x
4) Đáp án: Không có dạng đẳng cấp 
5) Đáp án: Không có dạng đẳng cấp 
6) Đáp án: y32 3 yx C 
 14
7) Đáp án: (yx 3 )55 (y 2x) 1 
3.8. Giải các phƣơng trình Bernoully: 
 1
1) Đáp án: y 
 x2 cx
 169 
Giáo trình Toán cao cấp 
2) Đáp án: y33 1 cx 
 1
3) Đáp án: y 33 x ce x 
 3
 9 49
4) Đáp án: y 36 xy x 
 55
 1
5) Đáp án: x Cex y 3 
 3
 x
6) Đáp án: Cex y 
 170 
 Giáo trình Toán cao cấp 
 TÀI LIỆU THAM KHẢO 
1. NguyÔn §×nh TrÝ (chñ biªn), To¸n häc cao cÊp (ba tËp), NXB Gi¸o dôc, 2010. 
2. NguyÔn §×nh TrÝ (chñ biªn), Bµi tËp to¸n cao cÊp (ba tËp), NXB Gi¸o dôc, 2010. 
3. NguyÔn ThÕ Hoµn - Ph¹m Phu, C¬ së ph•¬ng tr×nh vi ph©n vµ lý thuyÕt æn ®Þnh, 
NXB §¹i häc Quèc gia Hµ Néi, 1995. 
4. TrÇn Träng HuÖ, §¹i sè tuyÕn tÝnh vµ h×nh häc gi¶i tÝch (tËp mét), NXB §¹i häc 
Quèc gia Hµ Néi, 2002. 
5. TrÇn §øc Long- NguyÔn §×nh Sang- Hoµng Quèc Toµn, Gi¸o tr×nh gi¶i tÝch (tËp 
hai), NXB §¹i häc Quèc gia Hµ Néi, 2004. 
 171