Giáo trình Lý thuyết cơ bản về quy hoạch tuyến tính (Phần 2)

x≥0) ⎣⎢không xác đinh khi c − y A < 0 
 Vậy ta nhận được : 
 g(y) = yTb với cT - yTA ≥ 0 
 Suy ra bài tóan đối ngẫu có dạng : 
 max g(y) = y Tb
 T T
 ⎪⎧y A ≤ c 
 ⎨
 m
 ⎩⎪y ∈ R tùy ý 
 Hay là : 
 72 
 BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU 
 max g(y) = bT y
 T
 ⎪⎧A y ≤ c 
 ⎨
 m
 ⎩⎪y ∈ R tùy ý 
 2- Định nghĩa đối ngẫu trong trường hợp quy hoạch tổng quát 
 Trong trường hợp quy hoạch tuyến tính tổng quát, những quy tắc sau đây được 
áp dụng để xây dựng bài toán đối ngẫu : 
 - Hàm mục tiêu đối ngẫu : 
 . max ↔ min 
 - Biến đối ngẫu : 
 . Mỗi ràng buộc ↔ một biến đối ngẫu 
 - Chi phí đối ngẫu và giới hạn ràng buộc : 
 . Chi phí đối ngẫu ↔ giới hạn ràng buộc 
 - Ma trận ràng buộc đối ngẫu : 
 . Ma trận chuyển vị 
 - Chiều của ràng buộc và dấu của biến : 
 . Ràng buộc trong bài toán max có dấu ≤ thì biến đối ngẫu 
 trong bài toán min có dấu ≥ 0 ( trái chiều ) 
 . Ràng buộc trong bài toán max có dấu = thì biến đối ngẫu 
 trong bài toán min có dấu tùy ý. 
 . Ràng buộc trong bài toán max có dấu ≥ thì biến đối ngẫu 
 trong bài toán min có dấu ≤ 0 ( trái chiều ) 
 . Biến của bài toán max có dấu ≥ 0 thì ràng buộc đối ngẫu 
 trong bài toán min có dấu ≥ ( cùng chiều ) 
 . Biến của bài toán max có dấu tùy ý thì ràng buộc đối ngẫu 
 trong bài toán min có dấu = . 
 . Biến của bài toán max có dấu ≤ 0 thì ràng buộc trong bài toán 
 đối ngẫu min có dấu ≤ ( cùng chiều ) 
 Xét các ràng buộc dạng ma trận của một bài toán quy hoạch tuyến tính tổng 
quát như sau : 
 73 
 BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU 
 ⎡x1 ⎤
 ⎡a11 a12 ... a1j ... a1n ⎤ ⎢ ⎥ ⎡b1 ⎤
 ⎢ ⎥ x 2
 ... ... ... ... ... ... ⎢ ⎥ = ⎢ ... ⎥
 ⎢ ⎥ ⎢...⎥ ⎢ ⎥
 T ⎢ ⎥
 ai → ai1 ai2 ... aij ... ain ⎢ ⎥ ≤ ⎢ bi ⎥
 ⎢ ⎥ x ⎢ ⎥ 
 ... ... ... ... ... ... ⎢ j ⎥ ≥ ...
 ⎢ ⎥ ⎢...⎥ ⎢ ⎥
 ⎢a a ... a ... a ⎥ ⎢ ⎥
 ⎣ m1 m2 mj mn ⎦ ⎢ ⎥ ⎣bm ⎦
 ⎣⎢x n ⎦⎥
 ↑ A j
Ký hiệu : 
 T
 ai là dòng thứ i (i=1,2,...,m) 
 Aj là cột thứ j (j=1,2,...,n) 
 Khi đó, mối liên hệ giữa hai bài toán đối ngẫu có thể được trình bày như sau : 
 z(x) = cTx → min w(y) = yTb → max Ràng buộc / Dấu 
 T
 ai x = bi yi tự do 
 T
 ai x ≤ bi yi ≤ 0 Cùng chiều 
 T
 ai x ≥ bi yi ≥ 0 
 T
 xj ≥ 0 y Aj ≤ cj
 T
 xj ≤ 0 y Aj ≥ cj Trái chiều 
 T
 xj tự do y Aj = cj
 Ví dụ 
 a- Hai bài toán sau đây là đối ngẫu : 
 max z(x) = 30x1 + 10x 2
 ⎧2x1 + x 2 ≤ 4
 ⎨ (P) 
 ⎩2x1 + 2x 2 ≤ 6
 x1 , x 2 ≥ 0
 min w(y) = 4y1 + 6y 2
 ⎧2y1 + 2y 2 ≥ 30
 ⎨ (D) 
 ⎩y1 + 2y 2 ≥ 10
 y1 , y 2 ≥ 0
 b- Hai bài toán sau đây là đối ngẫu : 
 74 
 BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU 
 min w(x) = x1 − x 2 + x 3 + 2x 4
 ⎧x1 + 2x 2 − x 3 + 5x 4 ≤ 6
 ⎪
 ⎪2x1 − 3x 2 + 3x 3 − 4x 4 ≥ 7
 ⎨ (D) 
 ⎪3x1 − 2x 2 + 5x 3 = 9
 ⎪
 ⎩7x1 + x 3 − 2x 4 ≥ 5
 x1 , x 2 ≥ 0, x 3 tuy y , x 4 ≤ 0
 max z(y) = 6y1 + 7y 2 + 9y 3 + 5y 4
 ⎧y1 + 2y 2 + 3y 3 + 7y 4 ≤ 1
 ⎪
 ⎪2y1 − 3y 2 − 2y 3 ≤ −1
 ⎨ (P) 
 ⎪- y1 + 3y 2 + 5y 3 + y 4 = 1
 ⎪
 ⎩5y1 − 4y 2 − 2y 4 ≥ 2
 y1 ≤ 0, y 2 ≥ 0, y 3 tuy y, y 4 ≥ 0
 Ðối với cặp bài toán đối ngẫu (P) và (D) chỉ xảy ra một trong ba trường hợp 
 sau : 
 - Cả hai bài toán đều không có phương án tối ưu . 
 - Cả hai bài toán đều có phương án, lúc đó chúng đều có phương án tối ưu và 
 giá trị hàm mục tiêu đối với hai phương án tối ưu là bằng nhau. 
 - Một trong hai bài toán không có phương án, còn bài toán kia thì có phương 
 án, khi đó bài toán có phương án không có phương án tối ưu. 
 3- Các định lý về sự đối ngẫu 
 a- Định lý 1 ( đối ngẫu yếu ) 
 Xét hai bài toán đối ngẫu : 
 T
 ⎧max z(x) = c T x ⎧min w(y) = b y 
 ⎪ ⎪
 ⎪ ⎪ T
 (P) ⎨Ax = b (D) ⎨A y ≥ c 
 ⎪ ⎪
 x ≥ 0 y tùy ý 
 ⎩⎪ ⎩⎪
 Nếu x là phương án của bài toán (P) 
 y là phương án của bài toán (D) 
 thì z(x) ≤ w(y) 
nghĩa là giá trị hàm mục tiêu của bài toán max không vượt quá giá trị hàm mục tiêu 
 của bài toán đối ngẫu min trên các phương án bất kỳ của mỗi bài toán . 
 Chứng minh 
 75 
 BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU 
 x là phương án của (P) nên : Ax = b 
 T T
 ⇒ y Ax = y b = b T y = w(y) 
 y là phương án của (D) nên : A T y ≥ c 
 T
 ⇒ y A ≥ c T 
 T
 ⇒ y Ax ≥ c T x = z(x) 
 Vậy z(x) ≤ w(y) 
 Định lý này được phát biểu và chứng minh cho hai bài toán đối ngẫu trong 
 trường hợp tổng quát . 
 b- Định lý 2 
 Xét hai bài toán đối ngẫu : 
 T
 ⎧max z(x) = c T x ⎧min w(y) = b y
 ⎪ ⎪
 ⎪ ⎪ T
 (P) ⎨Ax = b (D) ⎨A y ≥ c 
 ⎪ ⎪
 x ≥ 0 y tùy ý 
 ⎩⎪ ⎩⎪
 x là phương án khả thi của bài toán (P) 
 y là phương án khả thi của bài toán (D) 
 Nếu z(x) = w(y) thì x , y lần lượt là phương án tối ưu tương ứng của (P và 
(D). 
 Chúng minh 
 - Nếu x không là phương án tối ưu của bài toán (P) thì tồn tại một phương án 
x sao cho : 
 z(x) < z(x) 
 ⇒ w(y) < z(x) : điều này mâu thuẩn với định lý 1. 
 - Nếu y không là phương án tối ưu của bài toán (D) thì tồn tại một phương án 
y sao cho : 
 w(y) < w(y) 
 ⇒ w(y) < z(x) : điều này mâu thuẩn với định lý 1. 
 Vậy x và y lần lượt là phương án tối ưu của (P) và (D). 
 76 
 BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU 
 c- Định lý 3 
 Xét hai bài toán đối ngẫu : 
 T
 ⎧max z(x) = c T x ⎧min w(y) = b y
 ⎪ ⎪
 ⎪ ⎪ T
 (P) ⎨Ax = b (D) ⎨A y ≥ c 
 ⎪ ⎪
 x ≥ 0 y tùy ý 
 ⎩⎪ ⎩⎪
 Nếu x* là phương án tối ưu của bài toán (P) đối với cơ sở B thì phương án tối 
ưu y* của bài toán (D) được tính bởi công thức : 
 T T −1
 ()y * = cB B 
 Chứng minh 
 Do x* là phương án tối ưu của (P) với cơ sở B nên thoả dấu hiệu tối ưu 
 T T −1
 c − cB .B A ≤ 0 
 T −1 T
 ⇒ cB .B A ≥ c 
 ⇒ ()y * T A ≥ c T 
 ⇒ y* là một phương án của (D) 
 Mặt khác x* được tính bởi công thức : 
 * −1
 ⎡x B = B b⎤
 x * = ⎢ ⎥ 
 ⎢ * ⎥
 ⎣x N = 0 ⎦
 và giá trị mục tiêu tối ưu của (P) là : 
 T T *
 z(x*) = c x* = cB xB 
 Ta có : 
 w(y * ) = b T y* = b T (c TB −1 ) T = (c TB −1 )b
 B B 
 T -1 T * T * *
 = c B (B b) = c B x B = c B x B = z(x )
 Theo định lý 2 thì y* là phương án tối ưu của (D). 
 Định lý này cho phép tìm phương án tối ưu của bài toán quy hoạch tuyến tính 
đối ngẫu từ bài toán gốc. Trong đó : 
 T
 - cB được xác định trong bảng đơn hình tối ưu của (P). 
 - B-1 gồm m cột tương ứng với m cột của ma trận cơ sở ban đầu lấy từ 
bảng đơn hình tối ưu của bài toán gốc. 
 77 
 BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU 
 d- Định lý 4 ( sự đối ngẫu) 
 Xét hai bài toán đối ngẫu 
 T
 ⎧max z(x) = c T x ⎧min w(y) = b y
 ⎪ ⎪
 ⎪ ⎪ T
 (P) ⎨Ax = b (D) ⎨A y ≥ c 
 ⎪ ⎪
 ⎪x ≥ 0 ⎪y tùy ý 
 ⎩ ⎩
 - Nếu (P) và (D) đều có phương án khả thi thì chúng có phương án tối ưu và 
giá trị của hàm mục tiêu tương ứng là bằng nhau. 
 - Nếu một trong hai bài toán có phương án tối ưu không giới nội thì bài toán 
còn lại không có phương án khả thi. 
 Chứng minh 
 - Đây là kết quả của định lý 3 . 
 - Giả sử rằng phương án tối ưu của (D) không giới nội, tức là tồn tại một 
phương án khả thi y của (D) sao cho w(y)= bTy nhỏ tuỳ ý. Điều này cũng có nghĩa là : 
với mọi M>0 lớn tuỳ ý luôn tìm được một phương án khả thi y của (D) sao cho : 
 b T y ≤ − M 
Nếu (P) có phương án khả thi là x thì theo định lý 1 ta có : 
 z(x) = c T x ≤ w(y) = b T y < − M 
 Điều này dẫn đến mâu thuẩn 
 e- Định lý 5 (tính bổ sung ) 
 Xét hai bài toán đối ngẫu 
 T
 ⎧max z(x) = c T x ⎧min w(y) = b y
 ⎪ ⎪
 ⎪ ⎪ T
 (P) ⎨Ax = b (D) ⎨A y ≥ c 
 ⎪ ⎪
 ⎪x ≥ 0 ⎪y tùy ý 
 ⎩ ⎩
 x , y là phương án khả thi tương ứng của (P) và (D). 
 Điều kiện cần và đủ để x , y cũng là phương án tối ưu là : 
 T
 x (A T y − c T ) = 0 
 Chứng minh 
- Do x là phương án khả thi của (P) nên : 
 78 
 BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU 
 Ax = b
 ⇒ (Ax) T = b T
 T
 ⇒ x A T = b T 
 T 
 ⇒ x A T y = b T y
 T T
 ⇒ x A T y − x c = b T y - c T x ( x T c = c T x)
 T
 ⇒ x (A T y − c) = b T y - c T x (*) 
 - Theo kết quả (*) : 
 . Nếu x , y là phương án tối ưu của (P) và (D) thì theo định lý 4 
 c T x = b T y
 ⇒ c T x − b T y = 0 
 T
 ⇒ x (A T y − c) = 0 
 T
 . Nếu x (A T y − c) = 0 ⇒ b T y − c T x = 0 ⇒ b T y = c T x 
 Theo định lý 2 thì x , y là phương án tối ưu . 
II- GIẢI THUẬT ĐỐI NGẪU 
 Xét hai bài toán đối ngẫu : 
 max z(x) = c T x min w(y) = b T y
 (P) ⎧Ax = b và (D) ⎧A T y ≥ c 
 ⎨ ⎨
 ⎩x ≥ 0 ⎩y tuy y
 Chúng ta sẽ xét xem giải thuật đơn hình cơ bản đã biết trong chương trước 
được áp dụng như thế nào đối với bài toán đối ngẫu. 
 Giả sử rằng B là một cơ sở của bài toán (P) thoả : 
 T −1 T
 y = cB B và N y ≥ cN 
 Nếu B cũng là một cơ sở khả thi của bài toán gốc, tức là 
 ⎡x = B −1b = b ≥ 0⎤
x = ⎢ B ⎥ , thì (theo định lý đối ngẫu) y, x lần lượt là phương án tối 
 ⎣⎢x N = 0 ⎦⎥
 ⎡x B ⎤
ưu của bài toán đối ngẫu và bài toán gốc. Nếu không thì x = ⎢ ⎥ không là phương 
 ⎣x N ⎦
 −1
án của bài toán gốc vì xB = b = B b không thể ≥ 0. 
 Để tiện việc trình bày ta xét (m=3 , n=5) : 
 79 
 BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU 
 max z(x) = c1 x1 + c 2 x 2 + c 3 x 3 + c 4 x 4 + c 5 x 5
 ⎧a11 x1 + a12 x 2 + a13 x 3 + a14 x 4 + a15 x 5 = b1
 ⎪
 (P) ⎨a21 x1 + a22 x 2 + a23 x 3 + a24 x 4 + a25 x 5 = b2 
 ⎪
 ⎩a31 x1 + a32 x 2 + a33 x 3 + a34 x 4 + a35 x 5 = b3
 x1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 ≥ 0
 Các dữ liệu của (P) đuợc trình bày trong bảng sau : 
 x1 x2 x3 x4 x5 
 c1 c2 c3 c4 c5 
 a11 a12 a13 a14 a15 b1
 a21 a22 a23 a24 a25 b2
 a31 a32 a33 a34 a35 b3
 và bài toán đối ngẫu 
 min w(y) = b1 y1 + b2 y 2 + b3 y 3
 ⎧a11 y1 + a21 y 2 + a31 y 3 ≥ c1
 ⎪
 ⎪a12 y1 + a22 y 2 + a32 y 3 ≥ c 2
 ⎪
 ⎪
 (D) ⎨a13 y1 + a23 y 2 + a33 y 3 ≥ c 3 
 ⎪
 ⎪a14 y1 + a24 y 2 + a34 y 4 ≥ c 4
 ⎪
 ⎪
 ⎩a15 y1 + a25 y 2 + a35 y 3 ≥ c 5
 y1 , y 2 , y 3 tuy y
 Người ta đưa (D) về dạng chính tắc bằng cách thêm các biến phụ y4 y5, y6, y7, 
y8 ≥ 0. Chúng không ảnh hưởng đến hàm mục tiêu. 
 min w(y) = b1 y1 + b2 y 2 + b3 y 3 + 0.y 4 + 0.y 5 + 0.y 6 + 0.y 7 + 0.y 8
 ⎧a11 y1 + a21 y 2 + a31 y 3 − y 4 = c1
 ⎪
 ⎪a12 y1 + a22 y 2 + a32 y 3 − y 5 = c 2
 ⎪
 ⎪
 ⎨a13 y1 + a23 y 2 + a33 y 3 − y 6 = c 3
 ⎪
 ⎪a14 y1 + a24 y 2 + a34 y 4 − y 7 = c 4
 ⎪
 ⎪
 ⎩a15 y1 + a25 y 2 + a35 y 3 − y 8 = c 5
 y1 , y 2 , y 3 tuy y - y 4 , y 5 , y 6 , y 7 , y 8 ≥ 0 
 Các dữ liệu của (D) được trình bày trong bảng sau : 
 80 
 BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU 
 y1 y2 y3 y4 y5 y6 y7 y8 
 b1 b2 b3 0 0 0 0 0 
 a11 a21 a31 -1 0 0 0 0 c1
 a12 a22 a32 0 -1 0 0 0 c2
 a13 a23 a33 0 0 -1 0 0 c3
 a14 a24 a34 0 0 0 -1 0 c4
 a15 a25 a35 0 0 0 0 -1 c5
 Giả sử rằng m cột đầu tiên của A là một cơ sở B của (P) thì hai bảng trên được 
trình bày rút gọn như sau : 
 T T 
 xB xN 
 T T 
 cB cN 
 B N b 
 Bảng (P) 
 T
 y y4....y8 
 bT 0 
 T
 B -Im 0 cB
 T
 N 0 -In-m cN
 Bảng (D) 
 Để đưa bài toán đối ngẫu về dạng chuẩn người ta nhân (bên trái) bảng (D) với 
bảng sau đây : 
 T
 ( B −1 ) 0 
 −1 T
 ( B N) -In-m
 Khi đó người ta được bảng kết quả có dạng : 
 81 
 BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU 
 m m n-m 
 T
 y y4y5y6 y7y8 
 0 b = B −1b 0 
 −1 T T −1 T
 m Im − () B 0 (cB B ) 
 T
 n-m 0 −1 T I T T −1 T
 − ()N = −(B N) n-m − cN = −(cN − cB B N) 
 Bảng này cho ta một quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn với ma trận đơn vị (cơ 
 sở) tương ứng với các cột y1 y2 y3 y7 y8 . 
 Áp dụng giải thuật đơn hình cơ bản vào kết quả này cho ta quy tắc đổi cơ sở 
 như sau : 
 Tính : b = B −1b ≥ 0 
 a- Nếu b ≥ 0 thì giải thuật kết thúc, khi đó : 
 T −1
 y = cB B là phương án tối ưu của bài toán đối ngẫu . 
 ⎡x B ⎤ ⎡b⎤
 x = ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ là phương án tối ưu của bài toán gốc . 
 ⎣x N ⎦ ⎣0⎦
 b- Nếu tồn tại r sao cho br ∈ b , br < 0 thì xảy ra một trong hai trường hợp 
 sau : 
 - Nếu trong dòng r của N có thành phần < 0 thì người ta tính : 
 c s ⎧ c j ⎫
 = min ⎨ ⎬
 Nrs ⎩Nrj ⎭ 
 ∀j : Nij < 0
 Như vậy : đối với bài toán đối ngẫu thì biến yr đi vào cơ sở và biến ys ra khỏi 
cơ sở, trong khi đó đối với bài toán gốc thì biến xs đi vào cơ sở và biến xr ra khỏi cơ 
sở. 
 - Nếu mọi thành phần trong dòng r của N đều > 0 thì phương án 
tối ưu của bài toán đối ngẫu là không giới nội, điều này (theo định lý đối ngẫu) dẫn 
đến bài toán gốc không có phương án. 
 Ví dụ : Xét bài toán 
 82 
 BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU 
 min w(x) = x1 − x 3
 ⎧x1 − 2x 2 + x 3 = 1
 ⎨ (D) 
 ⎩x1 + 3x 2 + x 4 = 2
 x j ≥ 0 (j = 1,2,3,4)
 Bài toán đối ngẫu của (D) là : 
 max z(y) = y1 + 2y 2
 ⎧y1 + y 2 ≤ 1
 ⎪
 ⎪− 2y1 + 3y 2 ≤ 0 (P) 
 ⎨
 ⎪y1 ≤ −1
 ⎪
 ⎩y 2 ≤ 0
 y1, y2 là tùy ý 
Ta có thể chọn bài toán (D) hoặc (P) để giải tìm phương án tối ưu bằng phương pháp 
 đơn hình, từ đó suy ra phương án tối ưu của bài toán còn lại theo kết quả trên. Trong 
 ví dụ này ta chọn bài toán (D) để giải vì có chứa sẵn ma trận đơn vị. 
 Giải bài toán (D) bằng phương pháp đơn hình cải tiến ta được : 
 c i x
 B0 B0 x1 x 2 3 x 4 b0 
 -1 3 1 -2 1 0 1 
 0 4 1 3 0 1 2 
 c T 1 0 -1 0 w(x0) 
 T
 c 0 2 -2 0 0 -1 
 c i x 
 B1 B1 x1 x 2 3 x 4 b1 
 5 2 7
 -1 3 0 1 
 3 3 3
 1 1 2
 0 2 1 0 
 3 3 3
 c T 1 0 -1 0 w(x1) 
 T 8 2 7
 c1 0 0 − 
 3 3 3
 Giải thuật dừng vì thoả dấu hiệu tối ưu của bài toán min. 
 Phương án tối ưu của bài toán (D) là : 
 ⎧ 2 7
 x = 0 x = x = x = 0
 ⎪ 1 2 3 3 3 4
 ⎨ 
 7
 ⎪w(x) = w(x1 ) = −
 ⎩⎪ 3
 83 
 BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU 
Suy ra phương án tối ưu của (P) là : 
 ⎧ ⎡ 2⎤
 ⎪ ⎢1 ⎥
 T T −1 3 ⎡ 2⎤
 ⎪y = []y1 y 2 = c B B = [− 1 0] ⎢ ⎥ = ⎢− 1 − ⎥
 ⎪ 1 ⎣ 3⎦
 ⎪ ⎢0 ⎥
 ⎨ ⎣ 3⎦ 
 ⎪
 ⎡ − 1⎤
 ⎪ T 7
 ⎪z(y) = b y = []1 2 ⎢ 2⎥ = −
 ⎢− ⎥ 3
 ⎩⎪ ⎣ 3⎦
 84 
 BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU 
CÂU HỎI CHƯƠNG 3 
1- Bạn hiểu như thế nào về khái niệm đối ngẫu ? 
2- Quy hoạch tuyến tính đối ngẫu của một quy hoach tuyến tính chính tắc có dạng như 
thế nào ? 
3- Bạn hãy nêu ra các quy tắc đối ngẫu. Cho ví dụ . 
4- Giá trị hàm mục tiêu của hai quy hoạch tuyến tính đối ngẫu thì như thế nào ? . 
Chứng minh 
 85 
 BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU 
 BÀI TẬP CHƯƠNG 3 
 1- Xét bài toán quy hoạch tuyến tính 
 max z = 7x1 + 5x2 
 2x1 + 3x2 ≤ 19 
 (P) 2x1 + x2 ≤ 13 
 3x2 ≤ 15 
 3x1 ≤ 18 
 x1 , x2 ≥ 0 
 a- Tìm bài toán đối ngẫu (D) từ bài toán (P) 
 b- Tìm phương án tối ưu cho bài toán (P) 
 c- Từ bảng đơn hình tối ưu của (P). Hãy tìm phương án tối ưu cho bài toán (D) 
2- Xét bài toán quy hoạch tuyến tính 
 min w= x1 + x2 
 x1 - 2x3 + x4 = 2 
 (D) x2 - x3 + 2x4 = 1 
 x3 - x4 + x5 = 5 
 xi ≥ 0, ∀i = 1→5 
 a- Tìm bài toán đối ngẫu của bài toán (D) 
 b- Tìm phương án tối ưu của bài toán (D) 
 c- Từ bảng đơn hình tối ưu của bài toán (D). Hãy tìm phương án tối ưu cho bài 
 toán đối ngẫu ở câu a. 
 3- Xét bài toán quy hoạch tuyến tính 
 min w = -2x1 - x4
 x1 + x2 + 5x3 = 20 
 (D) x2 + 2x4 ≥ 5 
 x1 + x2 - x3 ≥ 8 
 xi tùy ý (i=1→ 4) 
 Tìm bài toán đối ngẫu (P) của bài toán (D). Từ bài toán (P) hãy chỉ ra rằng (P) 
 không tồn tại phương án tối ưu do đó (D) cũng tồn tại phương án tối ưu. 
 4- Cho bài toán quy hoạch tuyến tính 
 86 
 BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU 
 max z = 2x1 + 4x 2 + x 3 + x 4
 ⎧x1 + 3x 2 + x 4 ≤ 1
 ⎪
 ⎪− 5x − 2x ≤ 3
 (D) ⎪ 2 4 
 ⎨
 ⎪4x 2 + 4x 3 + x 4 ≤ 3
 ⎪
 ⎩⎪x j ≥ 0 (j = 1 → 4)
 1- Tìm bài toán đối ngẫu của bài toán đã cho. 
 2- Giải bài toán đã cho rồi suy ra kết quả của bài toán đối ngẫu. 
5- Cho bài toán quy hoạch tuyến tính 
 max z = 27x1 + 50x 2 + 18x 3
 ⎧x1 + 2x 2 + x 3 ≤ 2
 ⎪
 (D) ⎪ 2x x 2x 4 
 ⎪− 1 + 2 − 3 ≤
 ⎨
 ⎪x1 + 2x 2 − 4x 3 ≤ −2
 ⎪
 ⎩⎪x1, x 2 tuú ý, x 3 ≤ 0 
 a- Tìm bài toán đối ngẫu của bài toán đã cho. 
 b- Giải bài toán đối ngẫu rồi suy ra kết quả của bài toán đã cho. 
 87