Giáo trình Kỹ thuật số (Phần 1)

 Một số N trong hệ b: 
 N = (anan-1an-2. . .ai . . .a0 , a-1a-2 . . .a-m)b với ai ∈ Sb
 Có giá trị tương đương trong hệ 10 là: 
 n n-1 i 0 -1 -2 -m
 N = an b + an-1b +. . .+ aib +. . . + a0b + a-1 b + a-2 b +. . .+ a-mb . 
 Thí dụ: 
 * Đổi số 10110,112 sang hệ 10 
 4 2 -1 -2
 10110,112 = 1x2 + 0 + 1x2 + 1x2 + 0 + 1x2 + 1x2 = 22,7510
 * Đổi số 4BE,ADH sang hệ 10 
 2 1 0 -1 -2
 4BE,ADH=4x16 +11x16 +14x16 +10x16 +13x16 = 1214,67510
 1.3.2 Đổi một số từ hệ 10 sang hệ b 
 Đây là bài toán tìm một dãy ký hiệu cho số N viết trong hệ b. 
 Tổng quát, một số N cho ở hệ 10, viết sang hệ b có dạng: 
 N = (anan-1 . . .a0 , a-1a-2 . . .a-m)b = (anan-1 . . .a0)b + (0,a-1a-2 . . .a-m)b
 Trong đó 
 (anan-1 . . .a0)b = PE(N) là phần nguyên của N 
 và (0,a-1a-2 . . .a-m)b = PF(N) là phần lẻ của N 
 Phần nguyên và phần lẻ được biến đổi theo hai cách khác nhau: 
______________________________________________________________
______________________Nguyễn Trung Lập__________________________ 
KĨ THUẬT SỐ 
________________________________________Chương I : Các Hệ Thống Số I-1 
 Š Phần nguyên: 
 Giá trị của phần nguyên xác định nhờ triển khai: 
 n n-1 1 0
 PE(N) = anb + an-1b + . . .+ a1b + a0b
 Hay có thể viết lại 
 n-1 n-2
 PE(N) = (anb + an-1b + . . .+ a1)b + a0
 n-
 Với cách viết này ta thấy nếu chia PE(N) cho b, ta được thương số là PE’(N) = (anb
1 n-2
 + an-1b + . . .+ a1) và số dư là a0. 
 Vậy số dư của lần chia thứ nhất này chính là số mã có trọng số nhỏ nhất (a0) của 
phần nguyên. 
 Lặp lại bài toán chia PE’(N) cho b: 
 n-1 n-2 n-2 n-3
 PE’(N) = anb + an-1b + . . .+ a1= (anb + an-1b + . . .+ a2)b+ a1
 Ta được số dư thứ hai, chính là số mã có trọng số lớn hơn kế tiếp (a1) và thương số 
 n-2 n-3
là PE”(N)= anb + an-1b + . . .+ a2. 
 Tiếp tục bài toán chia thương số có được với b, cho đến khi được số dư của phép chia 
cuối cùng, đó chính là số mã có trọng số lớn nhất (an) 
 Š Phần lẻ: 
 Giá trị của phần lẻ xác định bởi: 
 -1 -2 -m 
 PF(N) = a-1 b + a-2 b +. . .+ a-mb
 Hay viết lại 
 -1 -1 -m+1 
 PF(N) = b (a-1 + a-2 b +. . .+ a-mb ) 
 -1 -m+1 
 Nhân PF(N) với b, ta được : bPF(N) = a-1 + (a-2 b +. . .+ a-mb ) = a-1+ PF’(N). 
 Vậy lần nhân thứ nhất này ta được phần nguyên của phép nhân, chính là số mã có 
trọng số lớn nhất của phần lẻ (a-1) (số a-1 này có thể vẫn là số 0). 
 PF’(N) là phần lẻ xuất hiện trong phép nhân. 
 Tiếp tục nhân PF’(N) với b, ta tìm được a-2 và phần lẻ PF”(N). 
 Lặp lại bài toán nhân phần lẻ với b cho đến khi kết quả có phần lẻ bằng không, ta sẽ 
tìm được dãy số (a-1a-2 . . .a-m). 
 Chú ý: Phần lẻ của số N khi đổi sang hệ b có thể gồm vô số số hạng (do kết quả của 
phép nhân luôn khác 0), điều này có nghĩa là ta không tìm được một số trong hệ b có giá trị 
đúng bằng phần lẻ của số thập phân, vậy tùy theo yêu cầu về độ chính xác khi chuyển đổi mà 
người ta lấy một số số hạng nhất định. 
 Thí dụ: 
 * Đổi 25,310 sang hệ nhị phân 
 Phần nguyên: 25 : 2 = 12 dư 1 ⇒ a0 = 1 
 12 : 2 = 6 dư 0 ⇒ a1 = 0 
 6 : 2 = 3 dư 0 ⇒ a2 = 0 
 3 : 2 = 1 dư 1 ⇒ a3 = 1 
 thương số cuối cùng là 1 cũng chính là bit a4: 
 ⇒ a4 = 1 
 Vậy PE(N) = 11001 
 Phần lẻ: 0,3 * 2 = 0,6 ⇒ a-1 = 0 
 0,6 * 2 = 1,2 ⇒ a -2 = 1 
 0,2 * 2 = 0,4 ⇒ a-3 = 0 
 0,4 * 2 = 0,8 ⇒ a-4 = 0 
 0,8 * 2 = 1,6 ⇒ a-5 = 1 . . . 
______________________________________________________________
______________________Nguyễn Trung Lập__________________________ 
KĨ THUẬT SỐ 
________________________________________Chương I : Các Hệ Thống Số I-1 
 Nhận thấy kết quả của các bài toán nhân luôn khác không, do phần lẻ của lần nhân 
cuối cùng là 0,6, đã lặp lại kết quả của lần nhân thứ nhất, như vậy bài toán không thể kết thúc 
với kết quả đúng bằng 0,3 của hệ 10. 
 Giả sử bài toán yêu cầu lấy 5 số lẻ thì ta có thể dừng ở đây và 
 PF(N) = 0,01001. 
 Kết quả cuối cùng là: 
 25,310 = 11001,010012
 * Đổi 1376,8510 sang hệ thập lục phân 
 Phần nguyên: 1376 : 16 = 86 số dư = 0 ⇒ a0 = 0 
 86 : 16 = 5 số dư = 6 ⇒ a1 = 6 & ⇒ a2 = 5 
 137610 = 560H 
 Phần lẻ: 0,85 * 16 = 13,6 ⇒ a-1 = 1310=DH 
 0,6 * 16 = 9,6 ⇒ a -2 = 9 
 0,6 * 16 = 9,6 ⇒ a-3 = 9 
 Nếu chỉ cần lấy 3 số lẻ: 0,8510= 0,D99H 
 Và kết quả cuối cùng: 
 1376,8510 = 560,D99H 
 1.3.3 Đổi một số từ hệ b sang hệ bk và ngược lại 
 Từ cách triển khai đa thức của số N trong hệ b, ta có thể nhóm thành từng k số hạng từ 
dấu phẩy về hai phía và đặt thành thừa số chung 
 n 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -m
 N = anb +. . . +a5b + a4b +a3b +a2b +a1b +a0b +a-1 b +a-2 b +a-3 b . . .+a-mb
 Để dễ hiểu, chúng ta lấy thí dụ k = 3, N được viết lại bằng cách nhóm từng 3 số hạng, 
kể từ dấu phẩy về 2 phía 
 2 1 0 3 2 1 0 0 2 1 0 -3 
 N = ...+ (a5b + a4b + a3b )b + (a2b + a1b + a0b )b + (a-1 b + a-2 b + a-3b )b +... 
 Phần chứa trong mỗi dấu ngoặc luôn luôn nhỏ hơn b3 , vậy số này tạo nên một số 
trong hệ b3 và lúc đó được biểu diễn bởi ký hiệu tương ứng trong hệ này. 
 Thật vậy, số N có dạng: 
 2 1 0 -1
 N = ...+A2B +A1B +A0B + A-1B +... 
 Trong đó: 
 B=b3 (B0=b0; B1=b3; B2=b6, B-1=b-3 ....) 
 2 1 0 3 -1 -2 -3 3
 A2= a8b + a7b + a6b = b (a8b + a7b + a6b ) < B=b
 2 1 0 3 -1 -2 -3 3
 A1= a5b + a4b + a3b = b (a5b + a4b + a3b ) < B=b
 2 1 0 3 -1 -2 -3 3
 A0= a2b + a1b + a0b = b (a2b + a1b + a0b ) < B=b
 3 
 Các số Ai luôn luôn nhỏ hơn B=b như vậy nó chính là một phần tử của tập hợp số tạo 
nên hệ B=b3
 Ta có kết quả biến đổi tương tự cho các hệ số k khác. 
 Tóm lại, để đổi một số từ hệ b sang hệ bk, từ dấu phẩy đi về hai phía, ta nhóm từng k 
số hạng, giá trị của mỗi k số hạng này (tính theo hệ b) chính là số trong hệ bk . 
 Thí dụ: 
 3 
 * Đổi số N = 10111110101 , 011012 sang hệ 8 = 2
 Từ dấu phẩy, nhóm từng 3 số hạng về hai phía (nếu cần, thêm số 0 vào ở nhóm đầu và 
cuối để đủ 3 số hạng mà không làm thay đổi giá trị của số N): 
 N = 010 111 110 101 , 011 0102
 Ghi giá trị tương ứng của các số 3 bit, ta được số N trong hệ 8 
 N = 2 7 6 5 , 3 2 8 
 * Đổi số N trên sang hệ 16 = 24
______________________________________________________________
______________________Nguyễn Trung Lập__________________________ 
KĨ THUẬT SỐ 
________________________________________Chương I : Các Hệ Thống Số I-1 
 Cũng như trên nhưng nhóm từng 4 số hạng 
 N = 0101 1111 0101 , 0110 10002
 N = 5 F 5 , 6 8 16 
 Từ kết quả của phép đổi số từ hệ b sang hệ bk, ta có thể suy ra cách biến đổi ngược 
một cách dễ dàng: Thay mỗi số hạng của số trong hệ bk bằng một số gồm k số hạng trong hệ 
b. 
 4
 Thí dụ để đổi số N = 5 F5, 6816 (hệ 2 ) sang hệ nhị phân (2) ta dùng 4 bit để viết cho 
mỗi số hạng của số này: 
 N = 0101 1111 0101 , 0110 10002
 1.3.4 Đổi một số từ hệ bk sang hệ bp 
 Qua trung gian của hệ b, ta có thể đổi từ hệ bk sang hệ bp. Muốn đổi số N từ hệ bk 
sang hệ bp, trước nhất đổi số N sang hệ b rồi từ hệ b tiếp tục đổi sang hệ bp. 
 Thí dụ: 
 - Đổi số 1234,678 sang hệ 16 
 1234,678 = 001 010 011 100,110 1112 = 0010 1001 1100,1101 11002 = 29C,DCH 
 - Đổi số ABCD,EFH sang hệ 8 
 ABCD,EFH = 1010 1011 1100 1101,1110 11112 = 1 010 101 111 001 101,111 011 
1102 = 125715,7368
 Dưới đây là bảng kê các số đầu tiên trong các hệ khác nhau: 
 Thập Nhị Bát Thập lục Thập Nhị Bát Thập lục 
 phân phân phân phân phân phân phân phân 
 0 0 0 0 13 1101 15 D 
 1 1 1 1 14 1110 16 E 
 2 10 2 2 15 1111 17 F 
 3 11 3 3 16 10000 20 10 
 4 100 4 4 17 10001 21 11 
 5 101 5 5 18 10010 22 12 
 6 110 6 6 19 10011 23 12 
 7 111 7 7 20 10100 24 14 
 8 1000 10 8 21 10101 25 15 
 9 1001 11 9 22 10110 26 16 
 10 1010 12 A 23 10111 17 17 
 11 1011 13 B 24 11000 30 18 
 12 1100 14 C 25 11001 31 19 
 Bảng 1.1 
1.4 Các phép tính trong hệ nhị phân 
 Các phép tính trong hệ nhị phân được thực hiện tương tự như trong hệ thập phân, tuy 
nhiên cũng có một số điểm cần lưu ý 
______________________________________________________________
______________________Nguyễn Trung Lập__________________________ 
KĨ THUẬT SỐ 
________________________________________Chương I : Các Hệ Thống Số I-1 
 1.4.1 Phép cộng 
 Là phép tính làm cơ sở cho các phép tính khác. 
 Khi thực hiện phép cộng cần lưu ý: 
 0 + 0 = 0 ; 
 0 + 1 = 1 ; 
 1 + 1 = 0 nhớ 1 (đem qua bít cao hơn). 
 Ngoài ra nếu cộng nhiều số nhị phân cùng một lúc ta nên nhớ : 
 - Nếu số bit 1 chẵn, kết quả là 0; 
 - Nếu số bit 1 lẻ kết quả là 1 
 - Và cứ 1 cặp số 1 cho 1 số nhớ (bỏ qua số 1 dư, thí dụ với 5 số 1 ta kể là 2 cặp) 
 Thí dụ: Tính 011 + 101 + 011 + 011 
 1 1 ← số nhớ 
 1 1 1 ← số nhớ 
 0 1 1 
 + 1 0 1 
 0 1 1 
 0 1 1 
 -------- 
 1 1 1 0 
 1.4.2 Phép trừ 
 Cần lưu ý: 
 0 - 0 = 0 ; 
 1 - 1 = 0 ; 
 1 - 0 = 1 ; 
 0 - 1 = 1 nhớ 1 cho bit cao hơn 
 Thí dụ: Tính 1011 - 0101 
 1 ← số nhớ 
 1 0 1 1 
 - 0 1 0 1 
 --------- 
 0 1 1 0 
 1.4.3 Phép nhân 
 Cần lưu ý: 
 0 x 0 = 0 ; 
 0 x 1 = 0 ; 
 1 x 1 = 1 
 Thí dụ: Tính 1101 x 101 
 1 1 0 1 
 x 1 0 1 
 --------- 
 1 1 0 1 
 0 0 0 0 
 1 1 0 1 
 --------------- 
______________________________________________________________
______________________Nguyễn Trung Lập__________________________ 
KĨ THUẬT SỐ 
________________________________________Chương I : Các Hệ Thống Số I-1 
 1 0 0 0 0 0 1 
 1.4.4 Phép chia 
 Thí dụ: Chia 1001100100 cho 11000 
 Lần chia đầu tiên, 5 bit của số bị chia nhỏ hơn số chia nên ta được kết quả là 0, sau đó 
ta lấy 6 bit của số bị chia để chia tiếp (tương ứng với việc dịch phải số chia 1 bit trước khi 
thực hiện phép trừ) 
 Kết quả : (11001.1) 2 = (25.5)10 
1.5 Mã hóa 
 1.5.1 Tổng quát 
 Mã hóa là gán một ký hiệu cho một đối tượng để thuận tiện cho việc thực hiện một 
yêu cầu cụ thể nào đó. 
 Một cách toán học, mã hóa là một phép áp một đối một từ một tập hợp nguồn vào 
một tập hợp khác gọi là tập hợp đích. 
 (H 1.1) 
 Tập hợp nguồn có thể là tập hợp các số, các ký tự, dấu, các lệnh dùng trong truyền dữ 
liệu . . . và tập hợp đích thường là tập hợp chứa các tổ hợp thứ tự của các số nhị phân. 
 Một tổ hợp các số nhị phân tương ứng với một số được gọi là từ mã. Tập hợp các từ 
mã được tạo ra theo một qui luật cho ta một bộ mã. Việc chọn một bộ mã tùy vào mục đích 
sử dụng. 
 Thí dụ để biểu diễn các chữ và số, người ta có mã ASCII (American Standard Code 
for Information Interchange), mã Baudot, EBCDIC . . .. Trong truyền dữ liệu ta có mã dò 
lỗi, dò và sửa lỗi, mật mã . . .. 
 Vấn đề ngược lại mã hóa gọi là giải mã. 
______________________________________________________________
______________________Nguyễn Trung Lập__________________________ 
KĨ THUẬT SỐ 
________________________________________Chương I : Các Hệ Thống Số I-1 
 Cách biểu diễn các số trong các hệ khác nhau cũng có thể được xem là một hình thức 
mã hóa, đó là các mã thập phân, nhị phân, thập lục phân . . . và việc chuyển từ mã này sang 
mã khác cũng thuộc loại bài toán mã hóa. 
 Trong kỹ thuật số ta thường dùng các mã sau đây: 
 1.5.2 Mã BCD (Binary Coded Decimal) 
 Mã BCD dùng số nhị phân 4 bit có giá trị tương đương thay thế cho từng số hạng 
trong số thập phân. 
 Thí dụ: 
 Số 62510 có mã BCD là 0110 0010 0101. 
 Mã BCD dùng rất thuận lợi : mạch điện tử đọc các số BCD và hiển thị ra bằng đèn 
bảy đoạn (led hoặc LCD) hoàn toàn giống như con người đọc và viết ra số thập phân. 
 1.5.3 Mã Gray 
 Mã Gray hay còn gọi là mã cách khoảng đơn vị. 
 Nếu quan sát thông tin ra từ một máy đếm đang đếm các sự kiện tăng dần từng đơn vị, 
ta sẽ được các số nhị phân dần dần thay đổi. Tại thời điểm đang quan sát có thể có những lỗi 
rất quan trọng. Thí dụ giữa số 7(0111) và 8 (1000), các phần tử nhị phân đều phải thay đổi 
trong quá trình đếm, nhưng sự giao hoán này không bắt buộc xảy ra đồng thời, ta có thể có 
các trạng thái liên tiếp sau: 
 0111 → 0110 → 0100 → 0000 → 1000 
 Trong một quan sát ngắn các kết quả thấy được khác nhau. Để tránh hiện tượng này, 
người ta cần mã hóa mỗi số hạng sao cho hai số liên tiếp chỉ khác nhau một phần tử nhị phân 
(1 bit) gọi là mã cách khoảng đơn vị hay mã Gray. 
 Tính kề nhau của các tổ hợp mã Gray (tức các mã liên tiếp chỉ khác nhau một bit) 
được dùng rất có hiệu quả để rút gọn hàm logic tới mức tối giản. 
 Ngoài ra, mã Gray còn được gọi là mã phản chiếu (do tính đối xứng của các số hạng 
trong tập hợp mã, giống như phản chiếu qua gương) 
 Người ta có thể thiết lập mã Gray bằng cách dựa vào tính đối xứng này: 
 - Giả sử ta đã có tập hợp 2n từ mã của số n bit thì có thể suy ra tập hợp 2n+1 từ mã của 
số (n+1) bit bằng cách: 
 - Viết ra 2n từ mã theo thứ tự từ nhỏ đến lớn 
 - Thêm số 0 vào trước tất cả các từ mã đã có để được một phần của tập hợp từ mã mới 
 - Phần thứ hai của tập hợp gồm các từ mã giống như phần thứ nhất nhưng trình bày 
theo thứ tự ngược lại (giống như phản chiếu qua gương) và phía trước thêm vào số 1 thay vì 
số 0 (H 1.2). 
______________________________________________________________
______________________Nguyễn Trung Lập__________________________ 
KĨ THUẬT SỐ 
________________________________________Chương I : Các Hệ Thống Số I-1 
 (H 1.2) 
 Để thiết lập mã Gray của số nhiều bit ta có thể thực hiện các bước liên tiếp từ tập hợp 
đầu tiên của số một bit (gồm hai bit 0, 1). 
 Dưới đây là các bước tạo mã Gray của số 4 bit. Cột bên phải của bảng mã 4 bit cho giá 
trị tương đương trong hệ thập phân của mã Gray tương ứng (H 1.3). 
 Trị thập 
 phân 
 tương 
 đương 
 0 0 0 0 0 00 0 0 → 0 
 1 0 1 ⎯⎯→ 0 0 0 0 0 1 → 1 
 ⎯→ 0 
 1 
 1 ⏐ 1 1 ⏐ 0 1 0 0 1 1 → 2 
 bit 1 0 ⏐ 0 1 ⎯⎯→ 0 0 1 0 → 3 
 ⎯→ 1 
 0 
 2 bi ⏐ 1 1 ⏐ 0 1 1 0 → 4 
 t ⎯⎯→ 1 0 ⏐ 0 1 1 1 → 5 
 1 
 1 
 10 ⏐ 0 1 0 1 → 6 
 1 1 ⏐ 0 1 0 0 → 7 
 0 
 0 
 3 bi ⏐ 1 1 0 0 → 8 
 t ⏐ 1 1 0 1 → 9 
 ⏐ 1 1 1 1 → 10 
 ⎯⎯→ 1 1 1 0 → 11 
 10 1 0 → 12 
 1 0 1 1 → 13 
 10 0 1 → 14 
 1 0 0 0 → 15 
 4 bit 
 (H 1.3) 
______________________________________________________________
______________________Nguyễn Trung Lập__________________________ 
KĨ THUẬT SỐ 
________________________________________Chương I : Các Hệ Thống Số I-1 
 Nhận xét các bảng mã của các số Gray (1 bit, 2 bit, 3 bit và 4 bit) ta thấy các số gần 
nhau luôn luôn khác nhau một bit, ngoài ra, trong từng bộ mã, các số đối xứng nhau qua 
gương cũng khác nhau một bit. 
 Bài Tập 
 1. Đổi các số thập phân dưới đây sang hệ nhị phân và hệ thập lục phân : 
 a/ 12 b/ 24 c/ 192 d/ 2079 e/ 15492 
 f/ 0,25 g/ 0,375 h/ 0,376 i/ 17,150 j/ 192,1875 
 2. Đổi sang hệ thập phân và mã BCD các số nhị phân sau đây: 
 a/ 1011 b/ 10110 c/ 101,1 d/ 0,1101 
 e/ 0,001 f/ 110,01 g/ 1011011 h/ 10101101011 
 3. Đổi các số thập lục phân dưới đây sang hệ 10 và hệ 8: 
 a/ FF b/ 1A c/ 789 d/ 0,13 e/ ABCD,EF 
 4. Đổi các số nhị phân dưới đây sang hệ 8 và hệ 16: 
 a/ 111001001,001110001 b/ 10101110001,00011010101 
 c/ 1010101011001100,1010110010101 d/ 1111011100001,01010111001 
 5. Mã hóa số thập phân dưới đây dùng mã BCD : 
 a/ 12 b/ 192 c/ 2079 d/15436 e/ 0,375 f/ 17,250 
______________________________________________________________
______________________Nguyễn Trung Lập__________________________ 
KĨ THUẬT SỐ