Giáo trình Đồ họa máy tính (Phần 1)

 sau đó phóng to lên gấp rƣỡi thì thu đƣợc A‘ và B‘ là: 
 [a]--A‘(4.5 , -1.5) và B‘(-9 , 9) 
 [b]--A‘(1.5 , -4.5) và B‘(-3 , 27) 
 [c]--A‘(3 , -1.5) và B‘(-6 , 9) 
 [d]--A‘(1.5 , - 3) và B‘(-3, 9) 
13. Trong mặt phẳng cho tam giác ABC có toạ độ các đỉnh là A(-3.6, 4), B(12,-1) và 
C(-9,- 5). Thu hẹp tam giác đi 3 lần (theo trục ox), kéo dài tam giác lên gấp 3 lần (theo 
trục oy) sau đó đối xứng tam giác qua trục oy. Tam giác A‘B‘C‘ cuối cùng thu đƣợc sẽ 
có toạ độ là: 
 [a]--A‘(1.2, 12), B‘(-4,-3) và C‘(3,-15) 
 [b]--A‘(-1.2, -12), B‘(4,3) và C‘(-3,15) 
 [c]--A‘(-10.8, -4/3), B‘(36,1/3) và C‘(-27,5/3) 
 [d]--A‘(10.8, 4/3), B‘(-36,-1/3) và C‘(27,-5/3) 
14. Trong mặt phẳng cho đoạn thẳng AB có các toạ độ là A(1.5,-3) và B(6,2). Phóng 
lớn đoạn thẳng lên gấp 1.8 lần sau đó lấy đối xứng qua trục ox. Đoạn thẳng A‘B‘ cuối 
cùng thu đƣợc có toạ độ là: 
 [a]--A‘(-2.7, -5.4) và B‘(-10.8,3.9) 
 [b]--A‘(-2.7, 5.4) và B‘(-10.8,-3.9) 
 110 
 Đồ họa máy tính 
 [c]--A‘(2.7, 5.4) và B‘(10.8,-3.9) 
 [d]--A‘(3.3,-1.2) và B‘(7.8,3.8) 
15. Trong mặt phẳng có điểm A(-2,6), quay A quanh gốc toạ độ 1 góc -60o ta đƣợc 
điểm A‘ là: 
 [a]--(-1 + √3; √3 + 3) 
 [b]--(-3 + √3; √3 + 1) 
 [c]--(-√3 + 1; -√3 + 3) 
 [d]--(√3 + 1; √3 + 3) 
16. Trong mặt phẳng cho đoạn thẳng MN có các toạ độ là M(-12,-4) và N(16,2). Quay 
đoạn thẳng này quanh O một góc 60o sau đó lấy đối xứng qua trục ox. Đoạn thẳng 
M‘N‘ cuối cùng thu đƣợc có toạ độ là: 
 [a]--M'( - 6 +2√3; -6√3 + 2) và N'(8 - √3; 8√3 -1 ) 
 [b]--M'( - 6 -2√3; 6√3 + 2) và N'(8 + √3; -8√3 -1 ) 
 [c]--M'( 6 - 2√3; 2√3 + 3) và N'(4 - √3; 4√3 -1 ) 
 [d]--M'( 6 + 2√3; 2√3 - 3) và N'(4 + √3; -4√3 -1 ) 
17. Trong mặt phẳng có đoạn thẳng CD có toạ độ là C(2,-6) và D(18,8), quay đoạn 
thẳng một góc -90o sau đó phóng to lên gấp 2 lần. Toạ độ C‘ và D‘ cuối cùng thu đƣợc 
là: 
 [a]--C‘(12,4) và D‘(-16,36) 
 [b]--C‘(-12,-4) và D‘(16,-36) 
 [c]--C‘(4,-12) và D‘(36,16) 
 [d]--C‘(-4,12) và D‘(36,-16) 
Bài tập 
 1. Xây dựng công thức biến đổi đối tƣợng khi thực hiện các phép biến đổi: 
 a. Đối xứng qua điểm có tọa độ (x0, y0) 
 b. Đối xứng qua đƣờng thẳng song song với trục tung, cách trục tung một 
khoảng x = x0 
 c. Đối xứng qua đƣờng thẳng song song với trục hoành, cách trục hoành một 
khoảng y = y0 
 111 
 Đồ họa máy tính 
 d. Đối xứng qua đƣờng phân giác góc phần tử thứ nhất (đƣờng thẳng y = x+a) 
 e. Đối xứng qua đƣờng phân giác góc phần tƣ thứ 2 ( đƣờng thẳng y = -x+a) 
 2.Xây dựng công thức biến đổi đối tƣợng khi thực hiện các phép biến đổi: 
 a. Thực hiện phép tỉ lệ với hệ số (Sx, Sy), sau đó quay đối tƣợng một góc α 
quanh gốc tọa độ 
 b. Thực hiện phép tỉ lệ với hệ số (Sx, Sy) giữ nguyên điểm chốt (x0, y0), sau đó 
quay một góc α quanh (x0, y0) 
 3. Xây dựng công thức biến đổi đối tƣợng trong mặt phẳng sau khi thực hiện 
phép tỉ lệ với hệ số (Sx, Sy) với điểm chốt (x0, y0) và phép quay một góc α quanh điểm 
(x0, y0). 
 4. Cho tam giác ABC với các tọa độ A(20, 10), B(10, 30), C(30,20). Hãy xác 
định tọa độ mới của tam giác sau khi thực hiện thu nhỏ kích thƣớc tam giác bằng ½ 
kích thƣớc tam giác ban đầu sao cho tọa độ trọng tâm tam giác không đổi, sau đó quay 
tam giác 450 quanh điểm trọng tâm 
 5. Xây dựng công thức biến đổi đối tƣợng trong mặt phẳng sau khi quay đối 
tƣợng một góc α ngƣợc chiều kim đồng hồ quanh điểm có tọa độ (x0, y0) rồi thực hiện 
phép tỉ lệ với hệ số (Sx, Sy) với điểm chốt (x0, y0). 
 6. Cho tam giác ABC với các tọa độ A(5,0), B(10,10), C(30,20). Hãy xác định 
tọa độ mới của tam giác sau khi thực hiện quay tam giác 300 ngƣợc chiều kim đồng hồ 
quanh trọng tâm giác sau đó phóng to kích thƣớc tam giác bằng 2 lần kích thƣớc tam 
giác ban đầu sao cho tọa độ trọng tâm không đổi. 
 7. Xây dựng công thức biến đổi đối tƣợng trong mặt phẳng sau khi thực hiện 
phép tỉ lệ với hệ số tỉ lệ (Sx, Sy) với điểm chốt (x0, y0) không đổi sau đó lấy đối xứng 
qua điểm (x0, y0). 
 8. Cho tam giác ABC với các tọa độ A(0,10), B(5, 5), C(10,30). Hãy xác định 
tọa độ mới của tam giác sau khi thực hiện phóng to kích thƣớc tam giác bằng 2 kích 
thƣớc tam giác ban đầu sao cho tọa độ điểm A không đổi sau đó lấy đối xứng qua 
điểm A 
 9. Xây dựng công thức biến đổi đối tƣợng trong mặt phẳng sau khi thực hiện 
lấy đối xứng qua đƣờng thẳng y = x + a sau đó thực hiện phép tỉ lệ với hệ số (Sx, Sy) 
 112 
 Đồ họa máy tính 
 10. Cho tam giác ABC với các tọa độ A(0,0), B(10, 5), C(5, 20). Hãy xác định 
tọa độ mới của tam giác sau khi thực hiện lấy đối xứng qua đƣờng thẳng y = x + 5 và 
phóng to kích thƣớc tam giác bằng 2 kích thƣớc tam giác ban đầu. 
 11. Xây dựng công thức biến đổi đối tƣợng trong mặt phẳng sau khi thực hiện 
phép quay một góc α quanh gốc điểm (x0, y0) rồi lấy đối xứng qua đƣờng thẳng song 
song với trục hoành và đi qua điểm (x0, y0). 
 12. Cho tam giác ABC với các tọa độ A(0, 0), B(10, 10), C(5, 20). Hãy xác 
định tọa độ mới của tam giác sau khi thực hiện quay một góc 600 quanh điểm (5, 5) rồi 
lấy đối xứng qua đƣờng thẳng y = 5 
 13. Xây dựng công thức biến đổi đối tƣợng trong mặt phẳng sau khi thực hiện 
lấy đối xứng qua đƣờng thẳng y = -x + a, và thực hiện phép tỉ lệ với hệ số (Sx, Sy) 
 14. Cho tam giác ABC với các tọa độ A(0,0), B(10, 5), C(5, 20). Hãy xác định 
tọa độ mới của tam giác sau khi thực hiện lấy đối xứng qua đƣờng thẳng y = -x + 5 và 
phóng to kích thƣớc tam giác bằng 3 lần kích thƣớc tam giác ban đầu 
 Hƣớng dẫn giải bài tập 
1.a. Xây dựng công thức biến đổi khi thực hiện đối xứng qua điểm có tọa độ (x0, y0) 
 Bƣớc 1: Tịnh tiến điểm (x0, y0) đối xứng về gốc tọa độ: 
 1 0 0
 Ma trận biến đổi: T1= 0 1 0 
 − 0 − 0 1
 Bƣớc 2: Thực hiện phép đối xứng qua gốc tọa độ 
 −1 0 0
 Ma trận biến đổi: T2= 0 −1 0 
 0 0 1
 Bƣớc 3: Tịnh tiến điểm (x0, y0) về vị trí ban đầu 
 1 0 0
 Ma trận biến đổi: T3= 0 1 0 
 0 0 1
 Bƣớc 4: Ma trận của phép đối xứng qua điểm (x0, y0) đƣợc thực hiện bởi tích 
của 3 phép biến đổi sau: 
 T=T1*T2*T3 
 1 0 0 −1 0 0 1 0 0
 = 0 1 0 ∗ 0 −1 0 ∗ 0 1 0 
 − 0 − 0 1 0 0 1 0 0 1
 113 
 Đồ họa máy tính 
 −1 0 0
 = 0 −1 0 
 2 ∗ 0 2 ∗ 0 1
b.Xây dựng công thức biến đổi khi thực hiện phép đối xứng qua đƣờng thẳng x = x0 
 Bƣớc 1: Thực hiện phép tịnh tiến sao cho đƣờng thẳng x = x0 trùng với trục 
tung 
 1 0 0
 Ma trận biến đổi: T1= 0 1 0 
 − 0 0 1
 Bƣớc 2: Thực hiện đối xứng qua trục tung 
 −1 0 0
 Ma trận biến đổi: T2= 0 1 0 
 0 0 1
 Bƣớc 3: Tịnh tiến đƣờng thẳng x = x0 về vị trí ban đầu 
 1 0 0
 Ma trận biến đổi: T3= 0 1 0 
 0 0 1
 Bƣớc 4: Ma trận của phép đối xứng qua điểm (x0, y0) đƣợc thực hiện bởi tích 
của 3 phép biến đổi sau: 
 T=T1*T2*T3 
 1 0 0 −1 0 0 1 0 0
 = 0 1 0 ∗ 0 1 0 ∗ 0 1 0 
 − 0 0 1 0 0 1 0 0 1
 −1 0 0
 = 0 1 0 
 2 ∗ 0 0 1
c. Xây dựng công thức biến đổi khi xây dựng phép đối xứng qua đƣờng thẳng y = y0 
 Bƣớc 1: Thực hiện phép tịnh tiến sao cho đƣờng thẳng y = y0 trùng với trục 
hoành 
 1 0 0
 Ma trận biến đổi: T1= 0 1 0 
 0 − 0 1
 Bƣớc 2: Thực hiện đối xứng qua trục hoành 
 1 0 0
 Ma trận biến đổi : T2= 0 −1 0 
 0 0 1
 Bƣớc 3: Tịnh tiến đƣờng thẳng y = y0 về vị trí ban đầu 
 114 
 Đồ họa máy tính 
 1 0 0
 Ma trận biến đổi : T3= 0 1 0 
 0 0 1
 Bƣớc 4: Ma trận của phép đối xứng qua điểm (x0, y0) đƣợc thực hiện bởi tích 
của 3 phép biến đổi sau: 
 T=T1*T2*T3 
 1 0 0 1 0 0 1 0 0
 = 0 1 0 ∗ 0 −1 0 ∗ 0 1 0 
 0 − 0 1 0 0 1 0 0 1
 1 0 0
 = 0 −1 0 
 0 2 ∗ 0 1
d. Đối xứng qua đƣờng thẳng y = x + a 
 Bƣớc 1: Tịnh tiến điểm (-a, 0) về gốc tọa độ 
 1 0 0
 Ma trận biến đổi T1= 0 1 0 
 0 1
 Bƣớc 2: Thực hiện phép đối xứng qua đƣờng phân giác 
 0 1 0
 Ma trận biến đổi :T2= 1 0 0 
 0 0 1
 Bƣớc 3: Phép tịnh tiến điểm (-a, 0) về vị trí ban đầu có ma trận là 
 1 0 0
 Ma trận biến đổi :T3= 0 1 0 
 − 0 1
 Bƣớc 4: Ma trận của phép đối xứng qua đƣờng thẳng y = x + a đƣợc thực hiện 
bởi tích của 3 phép biến đổi sau: 
 T=T1*T2*T3 
 1 0 0 0 1 0 1 0 0
 = 0 1 0 ∗ 1 0 0 ∗ 0 1 0 
 0 1 0 0 1 − 0 1
 0 1 0
 = 1 0 0 
 − 1
e. Đối xứng qua đƣờng thẳng y = -x + a 
 Bƣớc 1: Tịnh tiến điểm (0, -a) về gốc tọa độ 
 115 
 Đồ họa máy tính 
 1 0 0
 Ma trận biến đổi T1= 0 1 0 
 0 1
 Bƣớc 2: Thực hiện đối xứng qua đƣờng phân giác 
 0 1 0
 Ma trận biến đổi T2= 1 0 0 
 0 0 1
 Bƣớc 3: Tịnh tiến về vị trí ban đầu: 
 1 0 0
 Ma trận biến đổi T3= 0 1 0 
 0 − 1
 Bƣớc 4: Ma trận của phép đối xứng qua đƣờng thẳng y= -x + a đƣợc thực hiện 
bởi tích của 3 phép biến đổi sau: 
 T=T1*T2*T3 
 1 0 0 0 1 0 1 0 0
 = 0 1 0 ∗ 1 0 0 ∗ 0 1 0 
 0 1 0 0 1 0 − 1
 0 1 0
 = 1 0 0 
 − 1
 2. 
 a. Xây dựng công thức biến đổi khi kết hợp phép tỉ lệ với hệ số (Sx, Sy) và phép 
quay một góc α quanh gốc tọa độ 
 Bƣớc 1: Phép tỉ lệ với hệ số tỉ lệ (Sx, Sy) 
 푆 0 0
 Ma trận biến đổi T1= 0 푆 0 
 0 0 1
 Bƣớc 2: Phép quay với góc 훼 có ma trận là 
 cos 훼 sin 훼 0
 Ma trận biến đổi T2= − sin 훼 cos 훼 0 
 0 0 1
 Bƣớc 3: Ma trận của kết hợp phép tỉ lệ với hệ số (Sx, Sy) và phép quay một góc 
α quanh gốc tọa độ là 
 T=T1*T2 
 푆 0 0 cos 훼 sin 훼 0
 = 0 푆 0 ∗ − sin 훼 cos 훼 0 
 0 0 1 0 0 1
 116 
 Đồ họa máy tính 
 푆 ∗ cos 훼 푆 ∗ sin 훼 0
 = −푆 ∗ sin 훼 푆 ∗ cos 훼 0 
 0 0 1
 b. Xây dựng công thức biến đổi khi kết hợp phép tỉ lệ với hệ số (Sx, Sy) giữ 
nguyên điểm chốt (x0, y0) và phép quay một góc α quanh (x0, y0) 
 Bƣớc 1: Tịnh tiến điểm chốt (x0, y0) về gốc tọa độ 
 1 0 0
 Ma trận biến đổi :T1= 0 1 0 
 − 0 − 0 1
 Bƣớc 2: Phép tỉ lệ với hệ số tỉ lệ (Sx, Sy) 
 푆 0 0
 Ma trận biến đổi :T2= 0 푆 0 
 0 0 1
 Bƣớc 3: Phép quay với góc 훼 quanh gốc tọa độ 
 cos 훼 sin 훼 0
 Ma trận biến đổi T3= − sin 훼 cos 훼 0 
 0 0 1
 Bƣớc 4: Phép tịnh tiến điểm (x0, y0) về vị trí ban đầu 
 1 0 0
 Ma trận biến đổi T4= 0 1 0 
 0 0 1
 Bƣớc 5: Ma trận của phép tỉ lệ với hệ số tỉ lệ (Sx, Sy) và phép quay một góc α 
quanh gốc tọa độ đƣợc thực hiện bởi tích của 4 phép biến đổi sau: 
 T=T1*T2*T3*T4 
 1 0 0 푆 0 0 cos 훼 sin 훼 0 1 0 0
 = 0 1 0 ∗ 0 푆 0 ∗ − sin 훼 cos 훼 0 ∗ 0 1 0 
 − 0 − 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1
 = 
 푆 ∗ cos 훼 푆 ∗ sin 훼 0
 −푆 ∗ sin 훼 푆 ∗ cos 훼 0 
 0 ∗ (1 − 푆 ∗ cos 훼) + 0 ∗ 푆 ∗ sin 훼 0 ∗ (1 − 푆 ∗ cos 훼) − 0 ∗ 푆 ∗ sin 훼 1
 3.Xây dựng ma trận biến đổi 
 Tịnh tiến điểm (x0, y0) về gốc tọa độ : 
 1 0 0
 Ma trận biến đổi T1= 0 1 0 
 − 0 − 0 1
 Thực hiện phép tỉ lệ với hệ số (Sx, Sy): 
 117 
 Đồ họa máy tính 
 푆 0 0
 Ma trận biến đổi T2= 0 푆 0 
 0 0 1
 Thực hiện phép quay với góc 훼 : 
 cos 훼 sin 훼 0
 Ma trận biến đổi T3= − sin 훼 cos 훼 0 
 0 0 1
 Tịnh tiến về vị trí ban đầu: 
 1 0 0
 Ma trận biến đổi T4= 0 1 0 
 0 0 1
 Ma trận tổng hợp 
 T=T1*T2*T3*T4 
 1 0 0 푆 0 0 cos 훼 sin 훼 0 1 0 0
 = 0 1 0 ∗ 0 푆 0 ∗ − sin 훼 cos 훼 0 ∗ 0 1 0 
 − 0 − 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1
 Kết quả T = 
 푆 ∗ cos 훼 푆 ∗ sin 훼 0
 −푆 ∗ sin 훼 푆 ∗ cos 훼 0 
 0 ∗ (1 − 푆 ∗ cos 훼) + 0 ∗ 푆 ∗ sin 훼 0 ∗ (1 − 푆 ∗ cos 훼) − 0 ∗ 푆 ∗ sin 훼 1
 4. 
 2 2
 A(20, 10) => x‘ = 20+5 = 23.53553, y‘ = 20 - 5 = 16.46447 
 A 2 A 2
 B(10, 30) => x‘B = 20-5 2 = 12.92893, y‘B = 20 
 2 2
 C(30,20) => x‘C = 20+5 = 23.53553, y‘C = 20 + 5 = 23.53553 
 2 2
 5. Xây dựng ma trận biến đổi 
 - Tịnh tiến điểm (x0, y0) về gốc tọa độ: 
 1 0 0
 Ma trận biến đổi T1= 0 1 0 
 − 0 − 0 1
 Thực hiện phép quay với góc 훼 : 
 cos 훼 sin 훼 0
 Ma trận biến đổi T2= − sin 훼 cos 훼 0 
 0 0 1
 Thực hiện phép tỉ lệ với hệ số (Sx, Sy): 
 118 
 Đồ họa máy tính 
 푆 0 0
 Ma trận biến đổi T3= 0 푆 0 
 0 0 1
 Tịnh tiến về vị trí ban đầu: 
 1 0 0
 Ma trận biến đổi T4= 0 1 0 
 0 0 1
 Ma trận tổng hợp 
 T=T1*T2*T3*T4 
 1 0 0 cos 훼 sin 훼 0 푆 0 0 1 0 0
 = 0 1 0 ∗ − sin 훼 cos 훼 0 ∗ 0 푆 0 ∗ 0 1 0 
 − 0 − 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1
 Kết quả 
 푆 ∗ cos 훼 푆 ∗ sin 훼 0
 −푆 ∗ sin 훼 푆 ∗ cos 훼 0 
 0 ∗ (1 − 푆 ∗ cos 훼) + 0 ∗ 푆 ∗ sin 훼 0 ∗ (1 − 푆 ∗ cos 훼) − 0 ∗ 푆 ∗ sin 훼 1
 6. 
 A(5,0) => x‘A = 25 - 10 3 = 7.679491, y‘A = -5 - 10 3 = -17.32051 
 B(10, 10) => x‘B = 15 - 5 3 = 6.339745, y‘B = -5 
 C(30,20) => x‘C = 5 + 15 3 = 30.98076, y‘C = 25 + 10 3 = 42.32051 
 7. Xây dựng ma trận biến đổi 
 Tịnh tiến điểm (x0, y0) về gốc tọa độ : 
 1 0 0
 Ma trận biến đổi T1= 0 1 0 
 − 0 − 0 1
 Thực hiện phép tỉ lệ với hệ số (Sx, Sy): 
 푆 0 0
 Ma trận biến đổi T2= 0 푆 0 
 0 0 1
 Thực hiện lấy đối xứng qua gốc tọa độ 
 −1 0 0
 Ma trận biến đổi T3 = 0 −1 0 
 0 0 1
 Tịnh tiến về vị trí ban đầu: 
 119 
 Đồ họa máy tính 
 1 0 0
 Ma trận biến đổi T4= 0 1 0 
 0 0 1
 Ma trận tổng hợp 
 T=T1*T2*T3*T4 
 1 0 0 푆 0 0 −1 0 0 1 0 0
 = 0 1 0 ∗ 0 푆 0 ∗ 0 −1 0 ∗ 0 1 0 
 − 0 − 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1
 Kết quả 
 −푆 0 0
 T = 0 −푆 0 
 0 ∗ (1 + 푆 ) 0 ∗ (1 + 푆 ) 1
 8. Tọa độ điểm A không đổi sau khi thực hiện phép biến đổi 
 B(5, 5) => xB = -10, yB = 20 
 C(10,30) => xC = -20, yC = -30 
 9.Xây dựng ma trận biến đổi 
 Tịnh tiến sao cho đƣờng thẳng y = x+a trùng với đƣờng thẳng y = x (tịnh tiến 
điểm (-a, 0) về gốc tọa độ ): 
 1 0 0
 Ma trận biến đổi T1= 0 1 0 
 0 1
 Thực hiện lấy đối xứng qua đƣờng thẳng y = x 
 0 1 0
 Ma trận biến đổi T2 = 1 0 0 
 0 0 1
 Tịnh tiến về vị trí ban đầu: 
 1 0 0
 Ma trận biến đổi T3= 0 1 0 
 − 0 1
 Thực hiện phép tỉ lệ với hệ số (Sx, Sy): 
 푆 0 0
 Ma trận biến đổi T4= 0 푆 0 
 0 0 1
 Ma trận tổng hợp 
 T=T1*T2*T3*T4 
 120 
 Đồ họa máy tính 
 1 0 0 0 1 0 1 0 0 푆 0 0
 = 0 1 0 * 1 0 0 * 0 1 0 ∗ 0 푆 0 
 0 1 0 0 1 − 0 1 0 0 1
Kết quả 
 0 푆 0
 푆 0 0 
 − ∗ 푆 ∗ 푆 1
10.A(0,0) => xA = -10, yA = 10 
 B(10, 5) => xB = 0, yB = 30 
 C(5, 20) => xC = 30, yB = 20 
11.Xây dựng ma trận biến đổi 
Tịnh tiến điểm (x0, y0) về gốc tọa độ : 
 1 0 0
 Ma trận biến đổi T1= 0 1 0 
 − 0 − 0 1
 Thực hiện phép quay với góc 훼 : 
 cos 훼 sin 훼 0
 Ma trận biến đổi T2= − sin 훼 cos 훼 0 
 0 0 1
Thực hiện lấy đối xứng qua trục hoành 
 1 0 0
 Ma trận biến đổi T3= 0 −1 0 
 0 0 1
Tịnh tiến về vị trí ban đầu : 
 1 0 0
 Ma trận biến đổi T4= 0 1 0 
 0 0 1
Ma trận tổng hợp T=T1*T2*T3*T4 
 1 0 0 cos 훼 sin 훼 0 1 0 0 1 0 0
 = 0 1 0 ∗ − sin 훼 cos 훼 0 * 0 −1 0 * 0 1 0 
 − 0 − 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1
Kết quả 
 표푠훼 −푠푖푛훼 0
T = −푠푖푛훼 − 표푠훼 0 
 0 ∗ 푠푖푛훼 + 0(1 − 표푠훼) 0 ∗ 푠푖푛훼 + 0(1 + 표푠훼) 1
 121 
 Đồ họa máy tính 
12.A(0, 0) => A‘(5( 3 +1)/2, 5( 3 +3)/2) = (6.830127, 11.83013) 
 B(10, 10) => B‘((15 -5 3 )/2, (5 -5 3 )/2) = (3.169873, -1.830127) 
 C(5, 20) => C‘((10 -15 3 )/2, -5/2) = (-7.990381, -2.5) 
13. Xây dựng ma trận biến đổi 
 Tịnh tiến sao cho đƣờng thẳng y = -x+a trùng với đƣờng thẳng y = -x (tịnh tiến 
điểm (-a, 0) về gốc tọa độ ): 
 1 0 0
 Ma trận biến đổi T1= 0 1 0 
 − 0 1
 Thực hiện lấy đối xứng qua đƣờng thẳng y = -x 
 0 −1 0
 Ma trận biến đổi T2 = −1 0 0 
 0 0 1
 Tịnh tiến về vị trí ban đầu: 
 1 0 0
 Ma trận biến đổi T3= 0 1 0 
 0 1
 Thực hiện phép tỉ lệ với hệ số (Sx, Sy): 
 푆 0 0
 Ma trận biến đổi T4= 0 푆 0 
 0 0 1
 Ma trận tổng hợp 
 T=T1*T2*T3*T4 
 1 0 0 0 −1 0 1 0 0 푆 0 0
 = 0 1 0 * −1 0 0 * 0 1 0 ∗ 0 푆 0 
 − 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1
 Kết quả 
 0 −푆 0
 T = −푆 0 0 
 ∗ 푆 ∗ 푆 1
 14. A(0,0) => xA = 15, yA = 15 
 B(10, 5) => xB = 0, yB = -15 
 C(5, 20) => xC = -45, yB = 0 
 122