Đề thi học kỳ I môn Đại số tuyến tính - Ca 3 (Có đáp án)

 ĐỀ THI HỌC KỲ I NĂM HỌC 2009-2010
 Môn học: Đại số tuyến tính.
 Thời gian làm bài: 90 phút. Đề thi gồm 7 câu.
 Sinh viên không được sử dụng tài liệu.
 HÌNH THỨC THI: TỰ LUẬN
 CA 3
Câu 1 : Trong không gian IR4 với tích vô hướng chính tắc, cho không gian con
 F = {( x1, x2, x3, x4) |x1 +x2 −x3 −2 x4 = 0 & 2 x1 +x2 −3 x3 −5 x4 = 0 & 3 x1 +x2 −5 x3 −8 x4 = 0 }
 Tìm chiều và một cơ sở TRỰC CHUẨN của F.
Câu 2 : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR3 −→ IR3, biết ma trận của f trong cơ sở
 −1 4 −2
  
 E = {( 1 , 2 , 1 ) , ( 1 , 1 , 2 ) ; ( 1 , 1 , 1 ) } là A = −3 4 0 .
  
  −3 1 3 
 Chéo hoá ánh xạ tuyến tính f.
Câu 3 : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR3 −→ IR3, biết ma trận của f trong cơ sở
 1 1 2
  
 E = {( 1 , 0 , 1 ) , ( 1 , 1 , 0 ) ; ( 1 , 1 , 1 ) } là A = 2 3 0 .
  
  3 5 −4 
 Tìm cơ sở và số chiều của Imf.
Câu 4 : Cho A và B là hai ma trận đồng dạng. Chứng tỏ rằng A chéo hoá được khi và chỉ khi B chéo
 hoá được.
 1 4 −1
  
Câu 5 : Tìm m để ma trận A = 4 m 2 có ít nhất một trị riêng âm.
  
  −1 2 4 
 3 3
Câu 6 : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR −→ IR , biết f( x) = f( x1, x2, x3) = ( −x2 + 2 x3, −2 x1 + x2 +
 2 x3, x1 − x2 + x3) . Tìm m để véctơ x = ( 2 , 2 , m) là véctơ riêng của f.
Câu 7 : Cho ánh xạ tuyến tính f là phép đối xứng trong hệ trục toạ độ Oxy qua đường thẳng 2 x−3 y = 0 .
 Tìm tất cả các trị riêng và cơ sở của các không gian con riêng của f. Giải thích rõ.
 Đáp án đề thi Đại số tuyến tính, năm 2009-2010, ca 3
 Thang điểm: Câu 1, 2, 3, 5, 6, 7: 1.5 điểm; câu 4: 1.0 điểm.
 Câu 1(1.5đ). Tìm một cơ sở tùy ý của F : E = {( 2 , −1 , 1 , 0 ) , ( 3 , −1 , 0 , 1 ) }
 Dùng quá trình Gram-Schmidt đưa về cơ sở trực giao: E1 = {( 2 , −1 , 1 , 0 ) , ( 4 , 1 , −7 , 6 ) }
 1 1
 2
 Chuẩn hóa, có cơ sở trực chuẩn: E = { √ 6 ( 2 , −1 , 1 , 0 ) , √ 67 ( 4 , 1 , −7 , 1 ) }
 2 1 1 2 0 0
 1    
 Câu 2(1.5đ). Chéo hóa ma trận (1.0 đ) A = P  D  P − , P = 3 1 3 . D = 0 1 0 .
    
  3 1 4   0 0 3 
 Cơ sở cần tìm là B = {( 8 , 1 0 , 1 1 ) , ( 3 , 4 , 4 ) , ( 8 , 9 , 1 1 ) }. Ma trận của f trong B là D. Các cột của P
 là các VTR của A, phải đổi sang cơ sở chính tắc!!
 Câu 3(1.5đ). Dim(Imf) = r( A) = 3 ; Im( f) ===
 1
=. Cơ sở của Im( f) là {( 6 , 5 , 4 ) , ( 9 , 8 , 6 ) ( −2 , −4 , −2 ) }. Cách
khác: Vì Dim(Imf) = r( A) = 3 , nên Im( f) là IR3 và cơ sở của Im( f) là cơ sở chính tắc của IR3.
 1 1
 Câu 4(1.0đ). A đồng dạng B ⇔ ∃Q : B = Q−  A  Q. Giả sử A chéo hóa được ⇔ A = P  D  P − .
 1 1 1 1 1 1
Khi đó B = Q−  P  D  P −  Q ⇔ B = ( P − Q) −  D  ( P − Q) ⇔ B = G−  D  G →đpcm.
 2 2 2
 Câu 5 (1.5đ). Ma trận đối xứng thực. Dạng toàn phương tương ứng f( x, x) = x1 + mx2 + 4 x3 +
 8 x1x2 − 2 x1x3 + 4 x2x3. Đưa về chính tắc bằng biến đổi Lagrange
 2 2 2
f( x, x) = ( x1 + 4 x2 − x3) + 3 ( x3 + 2 x2) + ( m − 2 8 ) x2. A có một TR âm ⇔ m < 2 8 .
Câu 6 (1.5đ). x là VTR của f ⇔ f( x) = λ  x ⇔ ( f( 2 , 2 , m) = λ  ( 2 , 2 , m)
⇔ ( −2 + 2 m, −2 + 2 m, m) = ( 2 λ, 2 λ, λm) ⇔ m = 0 ∨ m = 2
Câu 7 (1.5đ).f : IR2 −→ IR2. VTR là véctơ qua phép biến đổi có ảnh cùng phương với véctơ ban
đầu. Các véctơ cùng phương với véctơ chỉ phương a = ( 3 , 2 ) của đường thẳng là tất cả các VTR
tương ứng với TR λ1 = 1 ; các véctơ cùng phương với véctơ pháp tuyến n = ( 2 , −3 ) của đường
thẳng là tất cả các VTR tương ứng với λ2 = −1 . Vì f là axtt của không gian 2 chiều nên không
còn VTR khác. Kluận: Cơ sở của Eλ1 : ( 3 , 2 ) của Eλ2 : ( 2 , −3 ) .
 2