Đề thi học kỳ I môn Đại số tuyến tính - Ca 2 (Có đáp án)

 ĐỀ THI HỌC KỲ I NĂM HỌC 2009-2010
 Môn học: Đại số tuyến tính.
 Thời gian làm bài: 90 phút. Đề thi gồm 7 câu.
 Sinh viên không được sử dụng tài liệu.
 HÌNH THỨC THI: TỰ LUẬN
 CA 2
 7 3
Câu 1 : a/ Cho ma trận A = − .
  1 0 4 
 a/ Chéo hoá ma trận A. −
 b/ Áp dụng, tìm ma trận B sao cho B20 = A.
Câu 2 : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR3 IR3, biết ma trận của f trong cơ sở
 −→ 1 2 0
 E = ( 1 , 2 , 1 ) , ( 1 , 1 , 2 ) ; ( 1 , 1 , 1 ) là A = 2 1 1 .
  − 
 { } 3 0 2
  
 Tìm ma trận của f trong cơ sở chính tắc . 
 3 2 2
Câu 3 : Cho ma trận A =  3 2 3  . Tìm trị riêng, cơ sở của các không gian con riêng của
 −2− 2− 3
  
 ma trận A6.  
 5 3 3
 −
Câu 4 : Tìm m để vectơ X = ( 2 , 1 , m) T là véctơ riêng của ma trận A = 3 1 3 .
  − 
 3 3 1
  
  − 
 1 3 2
 −
Câu 5 : Tìm m để ma trận A = 3 m 4 có đúng hai trị riêng dương và một trị riêng âm.
  − 
 2 4 6
  
  − − 
Câu 6 : Cho ánh xạ tuyến tính f là phép quay trong hệ trục toạ độ Oxy quanh gốc tọa độ CÙNG chiều
 kim đồng hồ một góc 6 0 o. Tìm ánh xạ tuyến tính f. Giải thích rõ.
Câu 7 : Cho A là ma trận vuông cấp n. Chứng tỏ rằng A khả nghịch khi và chỉ khi λ = 0 KHÔNG là
 trị riêng của A.
 1
 Khi A khả nghịch chứng tỏ rằng nếu λ là trị riêng của A, thì là trị riêng của A 1.
 λ −
 Đáp án đề thi Đại số tuyến tính, năm 2009-2010, ca 2
 Thang điểm: Câu 1, 2, 3, 4, 5, 6: 1.5 điểm; câu 7: 1.0 điểm.
 1 3 1 2 0
 Câu 1(1.5đ). Chéo hóa ma trận ( 0.5đ) A = P DP − ; P = . D = .
  5 2   0 1 
 1 1 20 20 1
 Ta có A = P D P − . Giả sử B = Q D1 Q− , ta có B = Q D1 Q− = A. Chọn Q = P và
 20      
 √2 0 1
 D1 = 20 . Vậy ma trận B = P D1 P −
  0 √1   
 Câu 2 (1.5đ). Có nhiều cách làm. Gọi ma trận chuyển cơ sở từ E sang chính tắc làP . Khi đó ma
 1 1 1
 1
 trận chuyển cơ sở từ chính tắc sang E là : P − =  2 1 1  Ma trận của ánh xạ tuyến tính trong
 1 2 1
  
  
 1
 6 5 2
 1 −
cơ sở chính tắc là B = P − AP = 9 6 4 
 −1 2 8 4
  − 
Câu 3 (1.5đ). Giả sử λ0 là trị riêng của A x0 : A x0 = λ0 x0. Khi đó
 6 5 5 5 ⇔ ∃  6 
 A x0 = A A x0 = A λ0 x0 = λ0 A x0 = = λ0 x0.
           
Lập ptrình đặc trưng, tìm được TR của A: λ1 = 1 , λ2 = 2 ,
 T T T
Cơ sở của Eλ1 : ( 1 , 1 , 0 ) , ( 1 , 0 , 1 ) , của Eλ2 : ( 2 , 3 , 2 ) .
 6 { −6 6 − } { −T } T T
 TR của A : δ1 = 1 , δ2 = 2 , Cơ sở của: Eδ1 : ( 1 , 1 , 0 ) , ( 1 , 0 , 1 ) , của Eδ2 : ( 2 , 3 , 2 ) .
 { − 5− 3 3 }2 { 2 − }
 −
Câu 4 (1.5đ). x là VTR của A A x = λ x 3 1 3 1 = λ 1 m = 1
  −     
 ⇔   ⇔ 3 3 1 m  m ⇔
  −    2  2 2
Câu 5 (1.5đ). Ma trận đối xứng thực. Dạng toàn phương tương ứng f( x, x) = x1 + mx 2 + 6 x3 +
 2
 6 x1x2 4 x1x3 8 x2x3. Đưa về chính tắc bằng biến đổi Lagrange f( x, x) = ( x1 + 3 x2 2 x3) +
 − 2 − 2 −
 2 ( x3 + x2) + ( m 1 1 ) x3. Ma trận A có một TR dương, 1 TR âm m < 1 1 .
 − ⇔
 Câu 6 (1.5đ). f : IR2 IR2. f được xác định hoàn toàn nếu biết ảnh của một cơ sở của IR2.
 −→
Chọn cơ sở chính tắc E = ( 1 , 0 ) , ( 0 , 1 ) .
 1 √ 3 { √ 3 }1 x y√ 3 x√ 3 y
Khi đó f( 1 , 0 ) = ( 2 , −2 ) ,f( 0 , 1 ) = ( 2 , 2 ) . f( x, y) = ( 2 + 2 , − 2 + 2 )
Câu 7 (1.0đ). A khả nghịch det( A) = 0 λ = 0 không là TR của A. Giả sử λ0 là TR của A
 ⇔1  ⇔1 1 1
 x0 : A x0 = λ0 x0 A− A x0 = A− λ0 x0 A− x0 = x0 (vì λ0 = 0 ) đpcm.
⇔ ∃   ⇔     ⇔  λ0   →
 2