Đề thi học kỳ I môn Đại số tuyến tính - Ca 1 - Năm học 2010-2011 (Có đáp án)

 ĐỀ THI HỌC KỲ I NĂM HỌC 2010-2011
 Môn học: Đại số tuyến tính.
 Thời gian làm bài: 90 phút. Đề thi gồm 8 câu.
 Sinh viên không được sử dụng tài liệu.
 HÌNH THỨC THI: TỰ LUẬN. CA 1
 1 + 2 i 2 i
Câu 1 : Cho ma trận A = − . Đặt z =det( A) . Tính √5 z.
  1 + 2 i 3 + 2 i 
 1 1 0 2 3 6
 − −
Câu 2 : Cho hai ma trận A =  1 2 1  và B =  1 2 5  .
 −3 3 1 3− 1 7
  −   
 Tìm ma trận X thỏa 2 I + AX = BT .  
 x1 + x2 x3 2 x4 = 0
 − −
 2 x1 + x2 3 x3 5 x4 = 0
Câu 3 : Giải hệ phương trình  − −
  3 x1 + x2 5 x3 8 x4 = 0
  − −
 5 x1 + 3 x2 7 x3 1 2 x4 = 0
 − −
 3 
Câu 4 : Trong IR , cho tích vô hướng
 ( x, y) = ( ( x1, x2, x3) , ( y1, y2, y3) ) = 3 x1y1 + 2 x1y2 + 2 x2y1 + 5 x2y2 + x3y3.
 Tìm độ dài của vécto u = ( 1 , 2 , 1 ) .
 −
Câu 5 : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR3 IR3, biết
 −→
 f( 1 , 1 , 1 ) = ( 6 , 3 , 3 ) , f( 1 , 1 , 0 ) = ( 6 , 5 , 2 ) , f( 1 , 0 , 1 ) = ( 6 , 2 , 5 ) .
 − − −
 Tìm tất cả các vécto riêng của f ứng với trị riêng λ1 = 3 .
Câu 6 : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR3 IR3, biết
 −→
 f( x) = f( x1, x2, x3) = ( 2 x1 + x2 3 x3, x1 + 2 x2 + x3, x1 2 x3) .
 Tìm ma trận của f trong cơ sở E−= ( 1 , 1 , 1 ) , ( 1 , 1 , 0 ) ; ( 1 ,−0 , 0 )
 {2 2 }
Câu 7 : Đưa dạng toàn phương f( x1, x2) = 5 x1 4 x1x2 +8 x2 về dạng chính tắc bằng biến đổi TRỰC
 GIAO. Nêu rõ phép đổi biến. −
Câu 8 : Cho ma trận vuông thực A cấp 3, X1,X2,X3 IR3 là 3 vécto cột, độc lập tuyến tính. Biết
 ∈ 3
 A X1 = X2,A X2 = X3,A X3 = X1. Tìm tất cả trị riêng và vécto riêng của A .
   
 CHỦ NHIỆM BỘ MÔN
 1
 Đáp án đề thi Đại số tuyến tính, năm 2010-2011, ca 1
 Thang điểm: câu 1, 2, 5, 6: 1.5 điểm. Các câu còn lại 1 điểm.
Nếu cách làm đúng mà đáp án sai, thì vẫn cho điểm tùy theo mức độ.
 Câu 1. det ( A) = 5 + 5 i = 5 √2 ( c o s ( 3 π/4 + i s in 3 π/4 ) .
 −
5 10 3 π/4 + k2 π 3 π/4 + k2 π
√z = zk = √5 0 c o s + i s in , k = 0 , 1 , ..., 4 .
  5 5 
 5 1 1 2 3 4 1 1
 1 T 1 − − −
 Câu 2. X = A− B 2 I , A− = 4 1 1 Suy ra X = 1 9 5 8
 −  −   − − 
   3 0 1 1 8 2 4
  −   − 
 Câu 3. Đưa về bậc thang, giải ra được nghiệm tổng quát X = ( 2 α+ 3 β, α β, α, β) .
 − −
 Câu 4. Độ dài vécto u = ( u, u) = √3 +4 +4 +20 +1 = √3 2
 || ||
 Câu 5. Có nhiều cách làm. Tìm f( 1 , 0 , 0 ) = ( 1 8 , 1 0 , 1 0 ) , f( 0 , 1 , 0 ) = ( 1 2 , 5 , 8 ) , f( 0 , 0 , 1 ) =
 1 8 1 2 −1 2 − −
 − −
 ( 1 2 , 8 , 5 ) , suy ra ma trận của f trong chính tắc là A = 1 0 5 8
  − − 
 − − − 1 0 8 5
  
 − − T
 Ứng với trị riêng λ1 = 3 , giải hệ ( A 3 I) X = 0 , ta có nghiệm X = ( 4 α, 5 α β, β) . Suy ra tất cả
 − −
 các vécto riêng của f ứng với trị riêng λ1 = 3 là X = ( 4 α, 5 α β, β)
 −
Câu 6. f( 1 , 1 , 1 ) = ( 0 , 4 , 1 ) , suy ra [f( 1 , 1 , 1 ) ] = ( 1 , 5 , 4 ) T ;
 E − −
 T
f( 1 , 1 , 0 ) = ( 3 , 3 , 1 ) , suy ra [f( 1 , 1 , 0 ) ]E = ( 1 , 2 , 0 )
 1 1 1
 T −
 f( 1 , 0 , 0 ) = ( 2 , 1 , 1 ) , suy ra [f( 1 , 0 , 0 ) ]E = ( 1 , 0 , 1 ) . Ma trận cần tìm: A =  5 2 0 
 4 0 1
  − 
 5 2  
 Câu 7. Ma trận của dạng toàn phương: A = − . Chéo hóa trực giao A = P DP T , trong
  2 8 
 1 2 −
 9 0
 đó D = , P =  √5 √5 .
  0 4  2 1
  − 
  √5 √5 
   2 2
 Dạng chính tắc cần tìm:f( y1, y2) = 9 y1 + 4 y2. Phép đổi biến X = PY .
 3 3
 Câu 8. Ta có A ( X1) = A( A( AX1) ) = A( AX2) = AX3 = X1. Suy ra X1 là vécto riêng của A ứng
 với trị riêng λ1 = 1 .
 3
 Tương tự 2 vécto X2,X3 đều là vécto riêng của A ứng với trị riêng λ1 = 1 .
 3
 Vì X1,X2,X3 độc lập tuyến tính nên Bội hình học của λ1 bằng 3. Suy ra A chỉ có một trị riêng
và A3 = I.
 1