Đề tài Đánh giá trong giáo dục Toán

 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM – ĐẠI HỌC HUẾ 
 KHOA TOÁN 
 -------- 
 Sinh viên thực hiện: Trần Mỹ Kỳ Duyên 
 MÔN HỌC: ĐÁNH GIÁ 
TRONG GIÁO DỤC TOÁN 
 Giảng viên hướng dẫn: Nguyễn Đăng Minh Phúc 
 Lớp: Toán 4T 
 Huế, tháng 04 năm 2017 
 1 
 §2. CÁCH VIẾT CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 
 KHÁCH QUAN 
 ĐỀ TÀI. BÀI TOÁN THỰC TẾ LIÊN QUAN ĐẾN CÁC MẶT TRÒN XOAY 
Câu 1. Một lọ nước hoa thương hiệu Chloé được thiết kế như sau: vỏ là dạng hình nón 
có đỉnh 푆 và đáy là hình tròn tâm , bán kính 푅, chiều cao của hình nón là ℎ; phần 
chứa dung dịch nước hoa lại là hình trụ nội tiếp hình nón trên. Hỏi các nhà thiết kế 
nên thiết kế như thế nào để vỏ nước hoa vẫn là hình nón như trên mà lọ nước hoa có 
thể chứa được nhiều dung dịch nước hoa nhất? 
Giải. 
Giả sử ta có hình trụ nội tiếp hình nón như hình vẽ. 
Đặt = là chiều cao của hình trụ (0 < < ℎ) 
Gọi là bán kính đường tròn đáy của hình trụ, là thể tích khối trụ. 
 2 
Xét tam giác 푆 vuông tại , ta có: 
 푆 푆 − ℎ− 
 = = = 
 푅 푆 푆 ℎ
 푅(ℎ− )
Suy ra: = 
 ℎ
Thể tích của khối trụ được tính bởi công thức 
 2
 푅(ℎ− ) 2 푅
 = 2ℎ′ = ( ) . = (ℎ − )2. 
 ℎ ℎ2
Đưa bài toán đã cho trở thành bài toán: Tìm mối liên hệ giữa ℎ và để thể tích khối 
trụ là lớn nhất? 
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số không âm ℎ − , ℎ − , 2 ta có: 
 ℎ − + ℎ − + 2 
 ≥ 3 ℎ − ℎ − . 2 
 3
 (2ℎ)3 4ℎ3
Suy ra: (ℎ − )2. 2 ≤ ⟹ (ℎ − )2. ≤ 
 27 27
 푅2 4ℎ3 4 푅2ℎ
Do đó, ta có: ≤ . = 
 ℎ2 27 27
 4 푅2ℎ ℎ
Vậy đạt giá trị lớn nhất là bằng khi và chỉ khi ℎ − = 2 ⟺ = . 
 27 3
Vậy các nhà thiết kế phải thiết kế hình trụ nội tiếp hình nón đã cho với tỉ lệ chiều cao 
 1
hình trụ và chiều cao hình nón là bằng . 
 3
  Phân tích 
 Nhiệm vụ đầu tiên của học sinh là sử dụng các thông tin mà bài toán cho để 
thành lập một mô hình toán. Bước này liên quan đến khả năng tưởng tượng của các 
em học sinh, liên quan đến kiến thức cũng như hiểu biết của các em về hình dạng của 
hình nón, hình trụ cũng như hình trụ nội tiếp hình nón. Ở bước này tối thiểu các em 
phải tưởng tượng được hình dạng mô hình toán mà bài toán đặt ra. Giả sử rằng học 
sinh có đủ kiến thức và khả năng này thì em đó sẽ vẽ một mô hình như sau. 
 3 
 Sau đó, học sinh phải nhận ra rằng em phải đưa bài toán đã cho về bài toán liên 
quan đến các mặt tròn xoay, cụ thể ở đây là chỉ ra được hình trụ nội tiếp hình nón có 
đỉnh 푆 và đáy là hình tròn tâm , bán kính 푅, chiều cao của hình nón là ℎ sao cho khối 
trụ có thể tích lớn nhất. 
 Học sinh phải nhận ra rằng em phải có những thông tin nào để tính thể tích của 
khối trụ và so sánh xem đề bài đã cho những gì. Nếu đề bài không cho thì chúng ta 
phải biết đặt ẩn phụ rồi tìm các mối liên hệ với các thông tin đề bài đã cho. Rồi học 
sinh phải gọi ra được công thức tính thể tích khối trụ là: = 2ℎ với ℎ là chiều cao 
của hình trụ, là bán kính đường tròn đáy của hình trụ. 
 Học sinh biến đổi công thức này về dạng thích hợp, cố gắng biến đổi để tất cả 
đều được biểu diễn theo các thông tin mà đề đã cho và cuối cùng là tiến hành làm bài 
toán bất đẳng thức: tìm giá trị lớn nhất của biểu thức . Ở đó khả năng giải các bài 
toán liên quan đến bất đẳng thức của học sinh sẽ được bộc lộ, mà cụ thể là kĩ thuật 
biến đổi tương đương, kĩ thuật phân tích hằng đẳng thức, kĩ thuật thêm bớt hằng số, 
  Những câu hỏi trắc nghiệm khách quan tương đương 
 Giả sử những bước cơ bản đầu tiên học sinh đều đã thực hiện được, những bước 
đầu tiên chỉ kiểm tra được khả năng tương tượng cũng như đọc hiểu đề của học sinh. 
Đồng thời cũng kiểm tra khả năng thể hiện câu hỏi bằng lời thành hình vẽ. 
 Tiếp theo, bài toán kiểm tra khả năng nhớ của học sinh về công thức tính thể tích 
của các mặt tròn xoay, cụ thể là thể tích của khối trụ. Ta có thể xây dựng một câu hỏi 
trắc nghiệm để kiểm tra khả năng đó như sau: 
 4 
Ví dụ 1. Cho hình trụ có hai đáy là hai đường tròn ( , 푅) và ( ′ , 푅), hình trụ có chiều 
cao là ℎ. Gọi là thể tích của khối trụ đã cho. Hãy viết công thức tính ? 
A. = 2 푅ℎ B. = 푅ℎ 
 1
C. = 푅2ℎ D. = 푅2ℎ 
 3
Câu hỏi này chỉ ở mức độ nhận biết, với câu hỏi này học sinh chỉ cần nhớ kiến 
thức liên quan đến thể tích của khối trụ thì có thể dễ dàng chọn được đáp án 
chính xác là đáp án C. Tuy nhiên vẫn sẽ có học sinh chọn các phương án nhiễu, 
đặc biệt là phương án D, vì khi nhắc đến thể tích các em thường hay làm là 
 1
 = 푆 . ℎ. 
 3 đá 
 Bước tiếp theo của bài toán là khả năng giải quyết các bài toán liên quan đến 
hình học phẳng, cụ thể là giải bài toán trong tam giác 푆 vuông tại . Tương tự, ở 
đây ta cũng có thể viết những câu hỏi trắc nghiệm khách quan liên quan đến khía cạnh 
này để kiểm tra khả năng đó của học sinh. 
Ví dụ 2. Cho các tam giác I, II, III, IV sau đây: 
 (I) (II) 
 (III) (IV) 
 5 
Cho mệnh đề sau: Trong các tam giác I, II, III, IV thì tam giác có đủ thông tin để tính 
độ dài đoạn là: 
(1) Chỉ có hai tam giác I, II. 
(2) Chỉ có ba tam giác I, II, III. 
(3) Chỉ có hai tam giác III, IV. 
(4) Cả bốn tam giác I, II, III, IV. 
Số mệnh đề đúng là: 
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 
Câu trả lời là cả bốn tam giác I, II, II, IV đều có đủ thông tin để tính độ dài đoạn . 
Vậy phương án trả lời chính xác là phương án A: chỉ có mệnh đề (4) là mệnh đề đúng. 
Ở câu hỏi này, học sinh chỉ cần chú ý trong tam giác 푆 vuông tại có // thì 
có thể trả lời được câu hỏi này. 
Tuy nhiên phương án nhiễu ở câu hỏi này sẽ làm cho học sinh dễ nhầm lẫn, đặc biệt là 
khi chỉ đọc qua loa câu hỏi, học sinh sẽ chọn sai phương án trả lời. 
 Bước tiếp theo là khả năng biểu diễn các thông tin đề cho về dạng kí hiệu và tìm 
ra mối liên hệ giữa các thông tin đề đã cho và những thông tin bài toán hỏi. Ta có thể 
xây dưng câu hỏi trắc nhiệm khách quan như sau: 
Ví dụ 3. Cho tam giác 푆 vuông tại có 푆 = ℎ, = 푅 (푅 > 0, ℎ > 0). Gọi điểm 
 , lần lượt thuộc cạnh 푆 , 푆 sao cho // . Đặt = (0 < < ℎ). Độ dài 
của đoạn được biểu diễn bởi biểu thức là: 
 푅(ℎ− ) 푅ℎ
A. = B. = 
 ℎ ℎ− 
 푅 
C. = D. = 
 푅(ℎ− ) ℎ
Phương án trả lời là phương án A. Ở câu hỏi này, học sinh cần áp dụng định lí Thales 
trong tam giác 푆 thì học sinh sẽ chỉ ra được biểu thức biểu diễn độ dài của đoạn 
 . 
Trong các phương án nhiễu của câu hỏi này thì phương án D học sinh sẽ dễ nhầm lẫn 
nhất, vì nếu học sinh không để ý 푆 = 푆 − thì sẽ chọn đáp án D là câu trả lời. 
Tuy nhiên, các phương án nhiễu còn lại là phương án B và C cũng sẽ làm cho học sinh 
nhầm lẫn, vì sẽ có học sinh biến đổi nhầm hoặc áp dụng định lý Thales trong tam giác 
sai dẫn đến chọn phương án sai. 
 6 
 푅(ℎ− )
Phương án đúng là phương án A. = 
 ℎ
 Xét tam giác 푆 vuông tại , ta có: 
 // . 
 Suy ra: 
 푆 푆 − ℎ− 
 = = = 
 푅 푆 푆 ℎ
 푅(ℎ− )
 Suy ra: = 
 ℎ
 Tiếp đến là khả năng về giải các bài toán liên quan đến bất đẳng thức của học 
sinh. Các bài toán liên quan đến bất đẳng thức thường sẽ gây ra rất nhiều khó khăn 
cho học sinh trong việc đi tìm cách giải quyết bài toán. Ta sẽ kiểm tra các kiến thức 
của học sinh về bất đẳng thức thông qua các câu hỏi trắc nghiệm khách quan sau: 
Ví dụ 3. Cho các số thực dương , , . Bất đẳng thức sai là: 
 3+ 3+ 3
A. ≥ B. + + ≥ 33 
 3
 ( + + )3 3+ 3+ 3
C. ≥ D. ≥ 
 27 27
Ở câu hỏi này đòi hỏi học sinh phải nắm rõ bất đẳng thức Cauchy cho ba số thực 
dương , , . Phương án trả lời của câu hỏi này là phương án D. 
Trong các phương án nhiễu thì phương án A sẽ được rất nhiều học sinh lựa chọn vì 
học sinh thường nhầm lẫn hoặc không chắc chắn phương án A có đúng hay không? 
Đa số học sinh sẽ nghĩ mẫu của phân số phải là 27 mới đúng nên học sinh thường 
chọn bất đẳng thức sai là phương án A, còn phương án D là bất đẳng thức đúng. 
 Bước cuối cùng là khả năng giải quyết bài toán tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
bằng việc áp dụng các bất đẳng thức đã học, phổ biến nhất là bất đẳng thức Cauchy 
hoặc bất đẳng thức Bunyakovsky. Ta có thể xây dựng câu hỏi trắc nghiệm để kiểm tra 
khả năng đó: 
 7 
Ví dụ 4. Cho các số thực dương ℎ, với 0 < < ℎ. Với giá trị nào của thì biểu thức 
푃 = (ℎ − )2. đạt giá trị lớn nhất? 
 2ℎ ℎ
A. = B. = 
 3 3
 ℎ 3ℎ
C. = D. = 
 2 2
Ở câu hỏi này đòi hỏi học sinh phải có kĩ năng giải các bài toán liên quan đến bất đẳng 
thức, cụ thể ở đây là dùng bất đẳng thức Cauchy cho ba số thực dương ℎ − , ℎ −
 , 2 . Ta sẽ có được phương án trả lời chính xác là phương án B. 
Phương án nhiễu: ở câu hỏi này, phương án mà học sinh lựa chọn nhiều nhất thường 
sẽ là phương án C. Rất nhiều học sinh khi gặp bài toán này thường chỉ nghĩ tới áp 
dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số thực dương ℎ − , . Vì vậy, dấu " = " xảy ra 
 ℎ
khi và chỉ khi ℎ − = ⟺ = . 
 2
Cách giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số không âm ℎ − , ℎ − , 2 ta có: 
 ℎ − + ℎ − + 2 
 ≥ 3 ℎ − ℎ − . 2 
 3
 (2ℎ)3 4ℎ3
Suy ra: (ℎ − )2. 2 ≤ ⟹ (ℎ − )2. ≤ 
 27 27
 4ℎ3
Do đó, ta có: 푃 ≤ 
 27
 4ℎ3 ℎ
Vậy 푃 đạt giá trị lớn nhất là bằng khi và chỉ khi ℎ − = 2 ⟺ = . 
 27 3
Câu 2. Một người có một dải ruy băng dài 130 , người đó cần bọc dải ruy băng đó 
quanh một hộp quà hình trụ. Khi bọc quà, người này dùng 10 của dải ruy băng để 
thắt nơ ở trên nắp hộp (như hình vẽ minh hoạ). Hỏi dải dây ruy băng có thể bọc được 
hộp quà có thể tích lớn nhất là bao nhiêu? 
 8 
Giải. 
Gọi , lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của hình trụ ( , > 0; <
30). 
Theo đề ra, ta có: độ dài dải ruy băng còn lại khi đã thắt nơ là 120 . 
Ta có: 2 + . 4 = 120 ⇔ = 30 − 2 . 
Thể tích khổi của hộp quà là: = . 2. = . 2. (30 − 2 ) 
Yêu cầu bài toán là: tìm giá trị lớn nhất của biểu thức ? 
Xét hàm số = 2(30 − 2 ) với 0 < < 30. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số? 
Ta có: ′ = −6 2 + 60 
 = 0 (푙표ạ𝑖)
 ′ = 0 ⟺ −6 2 + 60 = 0 ⟺ 
 = 10 
Ta có bảng biến thiên sau: 
Hàm số = 2(30 − 2 ) đạt giá trị lớn nhất là 1000 tại = 10 hay 
 max = (10) = 1000 
(0;30)
Vậy dải dây ruy băng có thể bọc được hộp quà có thể tích lớn nhất là: 
 = 1000 3 . 
  Phân tích 
Ở bài toán thứ hai này, chúng ta cũng sẽ đi phân tích như ở bài toán thứ nhất. Giả sử 
học sinh đã có đủ khả năng để vẽ mô hình toán minh hoạ. Từ các thông tin đề cho, giả 
sử học sinh có thể diễn đạt bài toán bằng lời thành các biểu thức toán học cụ thể, có 
thể tìm ra các mối liên hệ giữa các thông tin đề cho và đề hỏi. Nếu đề bài không cho 
thì chúng ta phải biết đặt ẩn phụ rồi tìm các mối liên hệ với các thông tin đề bài đã 
cho. Rồi học sinh phải gọi ra được công thức tính thể tích khối trụ là: = 2ℎ với ℎ 
là chiều cao của hình trụ, là bán kính đường tròn đáy của hình trụ. Công việc hoàn 
toàn tương tự bài toán thứ nhất đã được phân tích ở trên khá rõ ràng. 
 9 
Tuy nhiên, ở bước cuối cùng trong bài toán thứ nhất, học sinh biến đổi công thức thể 
tích về dạng thích hợp, cố gắng biến đổi để tất cả đều được biểu diễn theo các thông 
tin mà đề đã cho và cuối cùng là tiến hành làm bài toán bất đẳng thức: tìm giá trị lớn 
nhất của biểu thức thì ở bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng một công cụ mạnh hơn rất 
nhiều, đó chính là khảo sát hàm số để tính giá trị lớn nhất của biểu thức . 
  Những câu hỏi trắc nghiệm khách quan tương đương 
Ở bài toán này, ta sẽ làm một số câu hỏi trắc nghiệm khách quan liên quan đến bước 
cuối cùng để giải quyết bài toán này. Bước cuối cùng là khả năng tính giá trị lớn nhất 
của một biểu thức bằng công cụ khảo sát hàm số. Ta có thể xây dựng những câu hỏi 
trắc nghiệm khách quan như sau: 
Ví dụ 1. Cho hàm số = 2(30 − 2 ) liên tục trên (0;30). Bảng biến thiên của hàm 
số là bảng nào trong các bảng biến thiên dưới đây? 
 A. B.
 C. D.
Câu hỏi này chỉ kiểm tra khả năng vẽ bảng biến thiên của hàm số đã cho, ở đây chỉ 
kiểm tra khả năng hiểu và vận dụng thấp của học sinh. Nếu học sinh bình thường vẫn 
có thể trả lời đúng câu hỏi này, phương án đúng là phương án D. 
Tuy nhiên với phương án nhiễu là phương án A, vẫn sẽ có học sinh chọn phương án A 
vì khi xét dấu của đạo hàm ′, học sinh đó quên để ý đến dấu của hệ số = −2 < 0. 
 10 
Ví dụ 2. Cho hàm số = liên tục trên (0;30) và có bảng biến thiên như hình vẽ 
bên. Khẳng định nào sau đây là sai? 
 A. Hàm số đồng biến trên khoảng 
 −1; 1 . 
 B. Hàm số nghịch biến trên khoảng 
 15; 27 . 
 C. Hàm số đồng biến trên khoảng 
 (0;10). 
 D. Hàm số nghịch biến trên khoảng 
 (10;30). 
Phương án trả lời là phương án A. Học sinh chỉ cần dựa vào bảng biến thiên ở hình vẽ 
bên là có thể chọn được phương án trả lời đúng. Loại câu hỏi này chỉ ở mức độ nhận 
biết, do đó phương án nhiễu ở câu hỏi này không phát huy nhiều, câu hỏi này cũng sẽ 
không phân loại học sinh được. Tuy nhiên, câu hỏi này vẫn sẽ kiểm tra được khả năng 
hiểu và vẽ được bảng biến thiên của học sinh, hoặc từ bảng biến thiên suy ngược ra 
các thông tin. 
 Bước cuối cùng là khả năng giải quyết bài toán tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
bằng việc áp dụng công cụ khảo sát hàm số. Ta có thể xây dựng câu hỏi trắc nghiệm 
để kiểm tra khả năng đó: 
Ví dụ 3. Tính giá trị lớn nhất của hàm số = 2(30 − 2 ) trên (0;30)? 
A. C. 
 max = 0 max = 1000 
(0;30) (0;30)
B. D. 
 max = 648 max = 76 
(0;30) (0;30)
Câu hỏi này đòi hỏi học sinh phải nắm vững cách tìm giá trị lớn nhất của hàm số bằng 
cách khảo sát hàm số đã được học ở đầu chương trình lớp 12 phần Đại số và Giải tích. 
Loại câu hỏi này ở mức độ đánh giá được khả năng vận dụng của các em học sinh vào 
việc giải quyết vấn đề. 
Phương án trả lời là phương án C. 
Ta có: = 2(30 − 2 ), ∈ (0;30) 
 ′ = −6 2 + 60 
 = 0 (푙표ạ𝑖)
 ′ = 0 ⟺ −6 2 + 60 = 0 ⟺ 
 = 10 
 11 
Ta có bảng biến thiên sau: 
Hàm số = 2(30 − 2 ) đạt giá trị lớn nhất là 1000 tại = 10 hay 
 max = (10) = 1000 
 (0;30)
 12