Đại số của tích đan và các dạng tương đương

an K⟨Y ⟩ ⊗ K⟨Y ⟩ được xác định với mọi u1, u2, v1, v2 ∈ Y , (u1 ⊗
v1)(u2 ⊗ v2) = u1u2 ⊗ v1v2.
 4
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, Trường Đại học Khoa học, ĐH Huế Tập 13, Số 1 (2018)
 ∗
Ta chứng minh công thức truy hồi với mọi yi, yj ∈ Y và u, v ∈ Y và sử dụng giả thiết quy nạp
(để gọn hơn, ta ký hiệu 1 thay vì 1Y ∗ ở công thức dưới đây),
 ∑ ∑
 ⊗ ⟨ ⊗ | ⟩ ⟨ ⊗ | ⊗ ⟩ ⟨ ⊗ | ⟩
µ∆1 (yiu yjv) = yiu yjv ∆1(w) w = yiu yjv 1 1 + yiu yjv ∆1(w) w
 ∈ ∗ ∈ ∗
 w Y ∑ w Y
 = 0 + ⟨yiu ⊗ yjv | ∆1(ykw1)⟩ ykw1
 ∈ ∈ ∗
 ∑yk Y, w1 Y ∑
 ⟨ ⊗ | ⊗ ⊗ ⊗ ⟩
 = yiu yjv (yk 1 + 1 yk + q yk1 yk2 )∆1(w1) ykw1
 ∈ ∈ ∗
 yk Y,∑ w1 Y k1+k2=k
 = ⟨yiu ⊗ yjv | (yk ⊗ 1)∆1(w1)⟩ ykw1
 ∈ ∈ ∗
 yk Y,∑ w1 Y
 + ⟨yiu ⊗ yjv | (1 ⊗ yk)∆1(w1)⟩ ykw1
 ∈ ∈ ∗
 yk Y,∑ w1 Y ∑
 ⟨ ⊗ | ⊗ ⟩
 + yiu yjv (q yk1 yk2 )∆1(w1) ykw1
 ∗
 yk∈Y, w1∈Y k1+k2=k
 = ⟨u ⊗ yjv | ∆1(w1)⟩ yiw1 + ⟨yiu ⊗ v | ∆1(w1)⟩ yjw1 + q⟨u ⊗ v | ∆1(w1)⟩ yi+jw1
 ⊗ ⊗ ⊗
 = yiµ∆1 (u yjv) + yjµ∆1 (yiu v) + qyi+jµ∆1 (u v)
Điều này chứng tỏ rằng ∆ q = ∆1.
Ví dụ 2.
 ⊗ ∗ ∗ ⊗ ⊗ ∗ ∗ ⊗ ⊗
 ∆ q (y1) = y1 1Y + 1Y y1, ∆ q (y2) = y2 1Y + 1Y y2 + qy1 y1,
 ⊗ ∗ ∗ ⊗ ⊗ ⊗
 ∆ q (y3) = y3 1Y + 1Y y3 + q(y1 y2 + y2 y1).
 Như ta đã thấy ở trên rằng (K⟨Y ⟩, ∆conc, ε) là một đối đại số. Hơn thế nữa, đối tích ∆conc
và đối đơn vị ε còn tương thích với tích q-stuffle hay nói khác hơn, chúng là những đồng cấu đối
với tích này qua khẳng định sau đây.
 B K⟨ ⟩ ∗
Mệnh đề 3. q := ( Y , q, 1Y , ∆conc, ε) là một song đại số.
 ∗
Proof. Với mọi u, v ∈ Y , dễ thấy rằng ε(u qv) = ε(u) qε(v) nhờ tính bảo toàn bậc của tích
q-stuffle. Tiếp theo, dựa vào tính đối ngẫu, ta chứng minh ∆conc là đồng cấu đối với tích q-stuffle,
 ∗
tức là ( q ⊗ q) ◦ τ2,3 ◦ (∆conc ⊗ ∆conc) = ∆conc ◦ q. Thật vậy, với mọi u1, v1, u2, v2 ∈ Y , ta
có
 ⟨∆conc ◦ q(u1 ⊗ v1) | u2 ⊗ v2⟩ = ⟨∆conc(u1 qv1) | u2 ⊗ v2⟩
 ⟨ | ⊗ ⟩ ⟨ ⊗ | ◦ ⊗ ⟩
 = u1 qv1 conc(u2 v2) = u1 v1 (∆ q conc)(u2 v2) .
 8
Vì ∆ q là đồng cấu đối với tích ghép (xem Mệnh đề 2), tổng này là
 ⟨ ⊗ | ⊗ ◦ ◦ ⊗ ⊗ ⟩
 u1 v1 (conc conc) τ23 (∆ q ∆ q )(u2 v2)
 = ⟨( q ⊗ q) ◦ τ23 ◦ (∆conc ⊗ ∆conc)(u1 ⊗ v1) | u2 ⊗ v2⟩.
Ta có điều cần chứng minh.
 Lưu ý rằng, với định nghĩa trọng của từ w = yk1 . . . ykn là tổng các chỉ số tất cả các chữ cái
của từ, tức là (w) := k1 + ... + kn, ta thấy rằng tích q-stuffle và đối tích ∆conc đều có tính phân bậc
theo trọng của từ. Điều này dẫn đến hệ quả rằng chúng là một cấu trúc đại số Hopf [8]. Hơn thế
nữa, tính đối ngẫu của các tích và đối tích cho ta một cấu trúc đại số Hopf hình thành đồng thời
như sau.
 8 ∗
 τ2,3 ký hiệu một ánh xạ tuyến tính biến u ⊗ v thành v ⊗ u với mọi u, v ∈ Y .
 5
Đại số của tích đan và các dạng tương đương
 K⟨ ⟩ ∗
Mệnh đề 4. ( Y , conc, 1Y , ∆ q , ε) là một song đại số.
 K⟨ ⟩
Proof. Sử dụng kết quả của Mệnh đề 2. Ta chỉ cần chứng minh ( Y , ∆ q , ε) là một đối đại số.
Cũng nhờ mệnh đề này, ta chỉ cần chứng minh tính kết hợp của đối tích ∆ q trên các chữ cái.
 9
Với mỗi yk, ta có
 ⊗ ⊗
 (∆ q id)∆ q (yk) = (id ∆ q )∆ q (yk). (14)
Thật vậy,
 ( ∑ )
 ⊗ ⊗ ⊗ ∗ ∗ ⊗ ⊗
 (∆ q id)∆ q (yk) = (∆ q id) yk 1Y + 1Y yk + q yk1 yk2
 k1+k2=k
 = y ⊗ 1 ∗ ⊗ 1 ∗ + 1 ∗ ⊗ y ⊗ 1 ∗
 k ∑Y Y Y k Y
 ⊗ ⊗ ∗ ∗ ⊗ ∗ ⊗
 + q yk1 yk2 1Y + 1Y 1Y yk
 k +k =k
 1 ∑2 ( ∑ )
 ⊗ ∗ ∗ ⊗ ⊗ ⊗
 + q yk1 1Y + 1Y yk1 + q yk1,1 yk1,2 yk2
 k1+k2=k k1,1+k1,2=k1
 = y ⊗ 1 ∗ ⊗ 1 ∗ + 1 ∗ ⊗ y ⊗ 1 ∗ + 1 ∗ ⊗ 1 ∗ ⊗ y
 k ∑Y Y Y k Y Y Y k
 ⊗ ⊗ ∗ ⊗ ∗ ⊗ ∗ ⊗ ⊗
 + q (yk1 yk2 1Y + yk1 1Y yk2 + 1Y yk1 yk2 )
 k1+k2∑=k
 2 ⊗ ⊗
 + q (yk1 yk2 yk3 ) .
 k1+k2+k3=k
Tương tự, ta cũng có
 (id ⊗ ∆ )∆ (y ) = y ⊗ 1 ∗ ⊗ 1 ∗ + 1 ∗ ⊗ y ⊗ 1 ∗ + 1 ∗ ⊗ 1 ∗ ⊗ y
 q q k k ∑Y Y Y k Y Y Y k
 ⊗ ⊗ ∗ ⊗ ∗ ⊗ ∗ ⊗ ⊗
 + q (yk1 yk2 1Y + yk1 1Y yk2 + 1Y yk1 yk2 )
 k1+k2∑=k
 2 ⊗ ⊗
 + q (yk1 yk2 yk3 ) .
 k1+k2+k3=k
 Mặt khác, với mỗi chữ cái yk,
 ∑
 ⊗ ◦ ⊗ ⊗ ∗ ∗ ⊗ ⊗
 (id ε) ∆ q (yk) = (id ε)(yk 1Y + 1Y yk + q yk1 yk2 )
 k1+k2=k
 ⊗ ◦
 = yk = (ε id) ∆ q (yk).
 Hơn thế nữa, ta biết rằng nếu một song đại số (B, µ, 1B, ∆, ε) có tính phân bậc10, liên thông
(không nhất thiết giao hoán), ta có thể tính toán giải tích trên lân cận của 1 đối với tích chập11
 ⋆ e = 1B ◦ ε
(convolution product), ký hiệu bởi , theo cách sau. Với là phần tử trung( hòa⊕ của tích)
 +
chập. Bằng cách viết IdB = I = e + I , ta có hai phép chiếu của phân tích B = B ⊕ B .
 ∑ 0 n≥1 n
 n 12
Giả sử T (1 + z) = n≥0 an z , ta có thể thiết lập T (I) bởi
 ∑
 + ⋆n
 T (I) = a0 e + an (I ) . (15)
 n≥1
 9id ký⊕ hiệu ánh xạ đồng nhất trong K⟨Y ⟩.
 10B B B K
 = n∈N n, tất cả các phần tử (µ, 1B, ∆, ε) là phân bậc và 0 = .1B
 11Tích chập của S, T ∈ Hom(B, B) là∑S ⋆ T = µ ◦ (S ⊗ T ) ◦ ∆
 12 ∈ B + ⋆n
 Trên thực tế, với mọi b , tổng n≥1 an (I ) (b) là hữu hạn.
 6
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, Trường Đại học Khoa học, ĐH Huế Tập 13, Số 1 (2018)
Tính toán này rõ ràng tương thích với tích chập vì với mọi S, T ∈ K[[1∑ + z]], ta có S(I) ⋆ T (I) =
 −1 − n n
ST (I). Điều này cho phép ta tính được antipode với chuỗi (1 + X) = n≥0( 1) X và xa hơn
 ∑ n−1
 (−1) n
với chuỗi log(1 + X) = n≥1 n X .
 Đối với việc tồn tại antipode, biết rằng
 ∑
 − −
 S = I⋆ 1 = (e + I+)⋆ 1 = (−1)n (I+)⋆n (16)
 n≥0
Trong mọi trường hợp13, ta luôn có
 e = S ⋆ I = S ⋆ (e + I+) = S + S ⋆ I+ ⇒ S = e − S ⋆ I+ = e − µ ◦ (S ⊗ I+) ◦ ∆. (17)
Để ý rằng, công thức này cho ta một cách tính truy hồi để tìm antipode mỗi khi ∆+ lũy linh
[10]. Trong trường hợp khác, việc tính toán này có thể vẫn đưa đến một antipode như mong
muốn, chẳng hạn như khi một đại số Hopf chứa một phần tử kiểu-nhóm (group-like) g ≠ 1, ta có
S(g)g = 1 và gS(s) = 1 cho nên S(g) = g−1.
 − ⊗
 B B + ⋆1n n 1 ◦ + n ◦
 Do vậy, giả sử ⋆1 là tích chập trong Hom( q , q ), khi đó (I ) = q (I )
 n−1 B
∆conc, và song đại số q trở thành một đại số Hopf
 ∨
 H := (K⟨Y ⟩, , 1 ∗ , ∆ , ε, S q ),
 q q Y conc (18)
với antipode S q được xác định bởi
 ∑
 S q (w) := (−1)k(I+)⋆1k(w). (19)
 k≥0
 q q
Hơn nữa, antipode S còn được xác định bằng công thức truy hồi [2, 4, 8, 15] : S (1Y ∗ ) = 1Y ∗ ,
và với mọi từ w, (w) ≥ 1,
 q q q + ∗
 S (1Y ∗ ) = 1Y ∗ , S (w) = − q(S ⊗ I )∆conc(w), ∀w ∈ Y \{1Y ∗ }. (20)
Chúng ta sẽ trình bày một cách tường minh việc xác định công thức này. Trước hết, với mỗi số
nguyên dương m, ta gọi J = (i1, . . . , in) là một hợp thành của m nếu i1 +...+in = m (với ik ∈ N≥1).
Mỗi hợp thành này tác động lên từ có độ dài m như một ánh xạ từ KY m → KY n. Cụ thể, giả sử
w = yk1 . . . ykm , ta định nghĩa
 J[w] = qm−ny y . . . y .
 k1+...+ki1 ki1+1+...+ki2 kin−1+1+...+km (21)
Ta ký hiệu Cm là tập hợp tất cả các hợp thành của m. Khi đó antipode xác định bởi công thức dưới
đây.
 ∗
 ∈ S q
Mệnh đề 5. Với mọi w = yk1 . . . ykm Y , antipode được xác định bởi
 ∑
 S q − m
 (w) = ( 1) J[ykm . . . yk1 ]. (22)
 J∈Cm
Ví dụ 3. Với w = ys1 ys2 ys3 , ta có các hợp thành của m = 3 và các tác động tương ứng:
 → →
 J1 = (1, 1, 1) J1[ys1 ys2 ys3 ] = ys1 ys2 ys3 ,J3 = (1, 2) J3[ys1 ys2 ys3 ] = qys1 ys2+s3 ,
 → → 2
 J2 = (2, 1) J2[ys1 ys2 ys3 ] = qys1+s2 ys3 ,J4 = (3) J4[ys1 ys2 ys3 ] = q ys1+s2+s3 .
Do đó
 ∑
S q − 3 − − − 2
 (ys1 ys2 ys3 ) = ( 1) J[ys1 ys2 ys3 ] = ys1 ys2 ys3 q(ys1+s2 ys3 + ys1 ys2+s3 ) q ys1+s2+s3 .
 J∈C3
 13
 ∆+ là lũy linh địa phương hoặc không.
 7
Đại số của tích đan và các dạng tương đương
Proof. (Mệnh đề 5) Với từ w = yk1 . . . ykm , khai triển công thức (20), ta được
 m∑−1
 S q − S q
 (w) = (yk1 . . . ykj ) q(ykj+1 . . . ykm ). (23)
 j=0
Từ đây ta dễ dàng có được kết quả bằng cách sử dụng giả thiết quy nạp (xem [2, 4, 3]).
 Một cách tương tự, ta cũng xây đựng một cấu trúc đại số Hopf (xem [2, 4, 3])
 conc
 H K⟨ ⟩ ∗ S
 q := ( Y , conc, 1Y , ∆ q , ε, q ). (24)
 Sconc
Trong đó antipode q được xác định bởi công thức
 ∑
 Sconc − k + ⋆2k
 q (w) = ( 1) (I ) (w), (25)
 k≥0
 K⟨ ⟩ ∗
trong đó, ⋆2 ký hiệu tích chập của song đại số ( Y , conc, 1Y , ∆ q , ε). Hay rõ hơn
 Sconc − Sconc ⊗ +
 q (w) = conc( q I )∆ q (w). (26)
Ước lượng công thức này, chúng tôi thu được công thức tường minh sau (xem [2, 4, 3]).
Mệnh đề 6. Với mỗi từ w, ∑
 Sconc − |v|
 q (w) = ( 1) v,
 v∈J −1[w]
 −1 { | ∈ }
trong đó w = ykm . . . yk1 nếu w = yk1 . . . ykm và J [w] := v supp(J[v]) = w với mỗi J C|w| .
4. ĐẲNG CẤU GIỮA CÁC ĐẠI SỐ
 Cấu trúc đại số Hopf vừa thành lập ở trên biến dạng theo tham số q, nhưng chúng luôn
bảo toàn bậc trong mọi trường hợp. Hơn thế nữa, chúng còn đẳng cấu với nhau thông qua ánh
xạ mà ta sẽ xây dựng dưới đây.
 Xét ánh xạ tuyến tính φ : K⟨Y ⟩ −→ K⟨Y ⟩ với φ(1) = 1 và với mỗi từ khác rỗng w ∈ Y ∗,
 ∑ 1
 φ(w) = (i1, . . . , ik)[w] (27)
 i1! . . . ik!
 (i1,...,ik)∈C(|w|)
Ví dụ 4.
 q q2
 φ(y y y ) = y y y + (y y + y y ) + y .
 s1 s2 s3 s1 s2 s3 2 s1+s2 s3 s1 s2+s3 6 s1+s2+s3
Định lý 7. φ thành lập như trên là một đẳng cấu đại số từ (K⟨Y ⟩, ⊔⊔ ) vào (K⟨Y ⟩, q).
Proof. (Xem thêm [11]) Trước hết, ta chứng minh φ là một đồng cấu, tức là với mọi u, v, φ(u ⊔⊔ v) =
 ⊔⊔
φ(u) qφ(v). Giả sử u = ys1 . . . ysn , v = yt1 . . . ytm . Dễ thấy rằng φ(u v) và φ(u) qφ(v) là đa
thức của những từ có dạng14
 [u1v1] ... [ulvl], (28)
trong đó, u1 . . . ul = u và v1 . . . vl = v và với mỗi 1 ≤ i ≤ l, có nhiều nhất ui hoặc vi là từ rỗng.
Ta thấy rằng, thành phần (28) xuất hiện trong φ(u) qφ(v) với hệ số (không bao gồm tham số
 1
q) là . Mặt khác, (28) xuất hiện trong φ(u ⊔⊔ v) từ các thành phần của tích u ⊔⊔ v là
 |u1|!|v1|!...|ul|!|vl|!
 | | | |
 u1v1 !... ulvl ! sau đó áp dụng qua ánh xạ φ với hệ số 1 .
|u1|!...|ul|!|v1|!...|vl|! |u1v1|!...|ulvl|!
 14 n−1
 Với mỗi từ w = yk1 . . . ykn , ta ký hiệu [w] = [yk1 . . . ykn ] = q yk1+...+kn .
 8
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, Trường Đại học Khoa học, ĐH Huế Tập 13, Số 1 (2018)
 Để chứng minh tính đẳng cấu, ta viết lại
 ∑
 φ(w) = ai1 . . . aik (i1, . . . , ik)[w],
 (i1,...,ik)∈C(|w|)
 1 i
trong đó, ai = , ∀1 ≤ l ≤ k và để ý rằng ai chính là hệ số của t l trong khai triển Maclaurin của
 l il! l
hàm số f(t) = exp(t) − 1. Ta sẽ chứng minh nghịch đảo của φ là
 ∑
 ψ(w) = bj1 . . . bjk (j1, . . . , jk)[w],
 (j1,...,jk)∈C(|w|)
 j −1
 (−1) l j −1
trong đó bj = , ∀1 ≤ l ≤ k, chính là hệ số của t l trong khai triển Maclaurin của f (t) =
 l jl
log(t + 1) trên miền D = (0, ∞). Thật vậy, với mỗi K = (k1, . . . , kl) ∈ C(|w|), hệ số của K[w] trong
 15
ψφ(w) là ∑
 bj1 . . . bjl ai1 . . . ai|J| . (29)
 J◦I=K
Ta phải chứng minh rằng biểu thức (29) bằng 1 nếu K là dãy (1,..., 1) và bằng 0 cho các trường
hợp còn lại. Ta có thể thấy điều này bằng cách xem các biến t1, t2,... là giao hoán và (29) chính là
 k1 kl −1 −1
hệ số của t1 . . . tl trong khai triển t1 . . . tl = f (f(t1)) . . . f (f(tl)).
 Hơn thế nữa, đồng cấu đại số φ còn tương thích với đối tích và antipode (Xem thêm [11])
để thực sự là một đẳng cấu đại số Hopf giữa hai cấu trúc đại số này.
5. KẾT LUẬN
 Bằng cách đưa vào một tham số q biến dạng, chúng tôi đã định nghĩa một dạng tổng quát
của tích đan và tích stuffle, gọi tắt là tích q-stuffle ( q), có nhiều ý nghĩa toán học. Từ tích này,
một cặp đại số Hopf đối ngẫu đã hình thành và chúng luôn đẳng cấu với nhau trong mọi trường
hợp của tham số q. Những kết quả này làm nền tảng cho những nghiên cứu sâu hơn và chúng tôi
sẽ sử dụng chúng trong việc tìm cấu trúc của các hàm đặc biệt sẽ được trình bày ở các nghiên cứu
tiếp theo.
 TÀI LIỆU THAM KHẢO
 [1] Kuo-Tsai Chen. Iterated integrals and exponential homomorphisms. Proc. London Math. Soc.
 (3), 4:502--512, 1954.
 [2] Bui Van Chien. Hopf algebras of shuffle and quasi-shuffle & Construction of dual bases.
 Master's thesis, Laboratoire LIPN - Université Paris 13, 9 2012.
 [3] Bui Van Chien. Développement asymptotique des sommes harmoniques. PhD thesis, Laboratoire
 LIPN - Université Paris 13, 2016.
 [4] Bui Van Chien, G. H. E. Duchamp, and V. Hoang Ngoc Minh. Schüenberger's factoriza-
 tion on the (completed) Hopf algebra of q-stuffle product. JP J. Algebra Number Theory Appl.,
 30(2):191--215, 2013.
 [5] Bui Van Chien, G. H. E. Duchamp, and V. Hoang Ngoc Minh. Structure of polyzetas and
 explicit representation on transcendence bases of shuffle and stuffle algebras. J. Symbolic
 Comput., 83:93--111, 2017.
 15
 Với J = (j1, . . . , jl),I = (i1, . . . , i|J|), trong đó |J| = j1 + ... + jl, ta định nghĩa J ◦ I =
(i1 + ... + ij1 , . . . , i|J|−jl+1 + ... + i|J|).
 9
Đại số của tích đan và các dạng tương đương
 [6] Bui Van Chien, Gérard H. E. Duchamp, and Hoang Ngoc Minh. Computation tool for the
 q-deformed quasi-shuffle algebras and representations of structure of MZVs. ACM Commun.
 Comput. Algebra, 49(4):117--120, 2015.
 [7] Bui Van Chien, Gérard H. E. Duchamp, Hoang Ngoc Minh, Ladji Kane, and Cristophe Tollu.
 Dual bases for noncommutative symmetric and quasi-symmetric functions via monoidal fac-
 torization. J. Symbolic Comput., 75:56--73, 2016.
 [8] Richard Ehrenborg. On posets and Hopf algebras. Adv. Math., 119(1):1--25, 1996.
 [9] Samuel Eilenberg and Saunders MacLane. On the groups H(Π, n). III. Ann. of Math. (2),
 60:513--557, 1954.
[10] M. Hazewinkel. Handbook of Algebra. Number vol. 6 in Handbook of Algebra.
[11] Michael E. Hoffman. Quasi-shuffle products. J. Algebraic Combin., 11(1):49--68, 2000.
[12] Donald Knutson. λ-rings and the representation theory of the symmetric group. Lecture Notes in
 Mathematics, Vol. 308. Springer-Verlag, Berlin-New York, 1973.
[13] Rimhak Ree. Lie elements and an algebra associated with shuffles. Ann. of Math. (2), 68:210-
 -220, 1958.
[14] Christophe Reutenauer. Free Lie algebras, volume 7 of London Mathematical Society Monographs.
 New Series. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 1993. Oxford Science
 Publications.
[15] William R. Schmi. Antipodes and incidence coalgebras. J. Combin. Theory Ser. A, 46(2):264-
 -290, 1987.
 ALGEBRA OF SHUFFLE PRODUCT AND
 ITS EQUIVALENCES
 Bui Van Chien, Bui Van Hieu
 Faculty of Mathematics, University of Sciences, Hue University
 Email: bvchien@hueuni.edu.vn
 ABSTRACT
 The goal of this paper is to explore a general form of the shuffle and stuffle
 products by giving a parameter q which belong to a field extension of the field
 of rational numbers. Such a parameter q gives rise to a Hopf algebra which
 is proved to be isomorphic to the shuffle Hopf algebra.
 Keywords: Hopf algebra; shuffle product; quasi-shuffle product; algebra in words.
 10
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, Trường Đại học Khoa học, ĐH Huế Tập 13, Số 1 (2018) 
 Bùi Văn Chiến sinh ngày 14/03/1986 tại Quảng Nam. Năm 2009 ông tốt 
 nghiệp cử nhân khoa học ngành Toán tại trường Đại học Khoa học – Đại 
 học Huế. Năm 2011 ông hoàn thành Master 1 chương trình cao học quốc 
 tế tại Viện Toán học Hà Nội và tốt nghiệp Master Toán học tại Học viện 
 Galile – trường Đại học Paris 13 năm 2012. Năm 2016 ông bảo vệ luận án 
 tiến sĩ chuyên ngành Đại số tổ hợp tại Học viện Galile – trường Đại học 
 Paris 13. Từ 2017 đến nay, ông là giảng viên tại Khoa Toán – trường Đại 
 học Khoa học – Đại học Huế. 
 Lĩnh vực nghiên cứu: đại số tổ hợp và khoa học máy tính. 
 11 
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, Trường Đại học Khoa học, ĐH Huế Tập 13, Số 1 (2019) 
 12