Đa thức Tutte của một số đồ thị

TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, Trường Đại học Khoa học, ĐH Huế Tập 18, Số 1 (2021) 
 ĐA THỨC TUTTE CỦA MỘT SỐ ĐỒ THỊ 
 Lê Mạnh Hà1*, Hoàng Ngọc Phú2 
 1Trường Đại học Sư phạm, Đại học Huế 
 2 Học viên cao học, Trường Đại học Khoa học, Đại học Huế 
 *Email: lemanhhavn@gmail.com 
 Ngày nhận bài: 14/9/2020; ngày hoàn thành phản biện: 21/9/2020; ngày duyệt đăng: 22/10/2020 
 TÓM TẮT 
 Trong bài báo này, chúng tôi sẽ tính toán đa thức Tutte của một số đồ thị đơn giản. 
 Sử dụng đa thức Tutte để tính số cây bao trùm của một đồ thị. Qua đó, chúng tôi 
 sẽ chỉ ra mối liên hệ giữa số cây bao trùm và định thức của ma trận Laplace thu 
 gọn của đồ thị. 
 Từ khóa: cây bao trùm, đồ thị vòng, đa thức Tutte, định lý ma trận cây, ma trận 
 Laplace. 
1. MỞ ĐẦU 
 Trong các lĩnh vực của toán học thì lý thuyết đồ thị là một nội dung không thể 
thiếu của nhiều nghiên cứu, trong đó một trong những hướng nghiên cứu quan trọng 
là đa thức Tutte của đồ thị và ứng dụng. Đa thức Tutte, còn được gọi là đa thức nhị 
phân hay đa thức Tutte-Whitney [7], là một đa thức được định nghĩa trên đồ thị. Đây 
là một đa thức trong hai biến đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết đồ thị. Đa thức 
Tutte là một bất biến cơ bản của đồ thị, được xác định cho mọi đồ thị và chứa thông tin 
về cách biểu đồ được kết nối. Đa thức Tutte của đồ thị ban đầu được xác định bởi W.T. 
Tutte [6, 7] vào năm 1954 như một phần mở rộng của đa thức màu. Việc tính toán đa 
thức Tutte của đồ thị được biết là khó khăn, do đó có nhiều mối quan tâm để tìm các 
biểu thức rõ ràng của chúng cho các họ đồ thị. Đa thức Tutte là đa thức hai biến có 
thuộc tính phổ quát quan trọng, được định nghĩa đệ quy thông qua hai phép toán co 
và xoá cạnh của đồ thị. Các phép toán co và xoá này xuất hiện một cách tự nhiên trong 
nhiều mô hình mạng ở nhiều lĩnh vực khác nhau như khoa học máy tính, tối ưu, vật lý 
và sinh học. Một trong nhiều ý nghĩa của đa thức Tutte là dùng để đo các chỉ số quan 
trọng của một đồ thị như số cây bao trùm hay số rừng bao trùm của một đồ thị. Hiện 
nay, việc nghiên cứu về đa thức Tutte của đồ thị và ứng dụng của nó vẫn được các nhà 
toán học trong nước và trên thế giới tiếp tục nghiên cứu, tìm hiểu. Một trong những 
nghiên cứu mới nhất về đa thức Tutte cho đồ thị có hướng vừa được đăng trên tạp chí 
 23 
Đa thức Tutte của một số đồ thị 
rất nổi tiếng Journal of Combinatorial Theory, Series B [1]. Bài báo này đã xây dựng đa 
thức Tutte ba biến cho đồ thị có hướng dựa trên các phép xoá cạnh, co cạnh và phép 
đổi hướng nhằm xác định các tính chất của một đồ thị có hướng như số thành phần 
liên thông mạnh, độ dài của đường đi có hướng,... Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn 
về đa thức Tutte của đồ thị, bài viết này sẽ giúp chúng ta tính toán đa thức Tutte của 
một số đồ thị vô hướng. 
 Định nghĩa 1. Cho là một tập khác rỗng, ⊆ × , khi đó = ( , ) gọi là 
một đồ thị. 
i) Mỗi phần tử 푣 ∈ được gọi là một đỉnh của đồ thị. 
ii) Mỗi phần tử 푒 = ( , ) ∈ với ≠ được gọi là một cạnh của đồ thị. 
iii) Mỗi phần tử 푒 = ( , ) ∈ được gọi là một khuyên của đồ thị. 
iv) = ( ) được gọi là tập các đỉnh, = ( ) được gọi là tập các cạnh, | |, | | lần 
lượt là số các đỉnh và số các cạnh của đồ thị. 
 Định nghĩa 2. Cho = ( , ) là một đồ thị, 푒 = ( , ) ∈ . Khi đó ta định 
nghĩa: 
i) \푒 = ( , \푒) là phép xóa cạnh 푒 trên . 
ii) /푒 = ( \{ , } ∪ { }, ′) là phép co cạnh trên , với ′ được xác định như sau: với 
mọi ( , ) ∈ mà 
+) ( , ) ≠ ( , ) thì ( , ) ∈ ′. 
+) ( , ) ≠ ( , ) thì ′ = \( , ). 
+) = thì ( , ) → ( , ). 
+) = thì ( , ) → ( , ). 
 Từ định nghĩa ta dễ dàng kiểm tra các phép toán co và xoá có tính chất giao 
hoán. Do đó, với mọi tập con ⊆ , các đồ thị \ và / hoàn toàn được xác định. 
Ngoài ra, với mọi 푒1, 푒2 ∈ mà 푒1 ≠ 푒2 thì \푒1/푒2 và /푒2\푒1đẳng cấu với nhau. Đặc 
biệt, nếu 푒 là một khuyên thì \푒 = /푒. 
 24 
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, Trường Đại học Khoa học, ĐH Huế Tập 18, Số 1 (2021) 
 Hình 1. Phép co và xóa cạnh trên đồ thị 
 Định nghĩa 3. (Đa thức Tutte của đồ thị) Cho đồ thị = ( , ), ⊆ . 
 = ( , ) là đồ thị con bao trùm của . ( ) = ( ) = | ( )| − ( ) là hạng của , 
với ( ) là số thành phần liên thông của . Khi đó, đa thức Tutte của được cho bởi: 
 ( ; , ) = ∑( − 1) ( )− ( )( − 1)| |− ( ) (1) 
 ⊆ 
Đa thức Tutte của một đồ thị vô hướng là một hàm sinh hai biến, dùng để đếm các cấu 
trúc của đồ thị như số thành phần liên thông hay số đồ thị con bao trùm (Định lý 2). 
Tuy nhiên, việc tính đa thức Tutte của một đồ thị dựa vào định nghĩa trên là khá phức 
tạp. Trong bài này, chúng tôi sẽ tính đa thức Tutte của đồ thị theo định nghĩa đệ quy 
sau đây. Sự tương đương của hai định nghĩa này đọc giả có thể xem chứng minh trong 
[2]. 
 Định nghĩa 4. Cho = ( , ) là một đồ thị, 푒 = ( , ) ∈ . Xét hàm ( ; , ) 
của với hai biến độc lập , như sau: 
i) ( ; , ) = 1 nếu | | = 0; 
ii) ( ; , ) = . ( /푒; , ) nếu 푒 là cầu; 
iii) ( ; , ) = . ( \푒; , ) nếu 푒 là khuyên; 
iv) ( ; , ) = ( \푒; , ) + ( /푒; , ) trong các trường hợp còn lại. 
Hàm hai biến ( ; , ) này được chứng minh cũng chính là đa thức Tutte của đồ thị 
[2]. 
 Định nghĩa 5. Cho = ( , ) là một đa đồ thị vô hướng, liên thông và không 
có khuyên, trong đó = {푣1,  , 푣푛}, = {푒1,  , 푒 }. Khi đó: 
i) Ma trận liên thuộc 퐿 của , 퐿 = (푙 ) với 
 푖푗 푛 × 
 1 푛ế 푣푖 푙à đỉ푛ℎ đầ ủ ạ푛ℎ 푒푗
 푙푖푗 = {−1 푛ế 푣푖 푙à đỉ푛ℎ ố푖 ủ ạ푛ℎ 푒푗 
 0 푛ế 푣푖 ℎô푛𝑔 푙푖ê푛 푡ℎ ộ 푣ớ푖 푒푗
 25 
Đa thức Tutte của một số đồ thị 
ii) Ma trận kề = ( ) của , với = 푒(푣 , 푣 ), trong đó 푒(푣 , 푣 ) là số cạnh nối 푣 
 푖푗 푛 × 푛 푖푗 푖 푗 푖 푗 푖
với 푣푗. 
iii) Ma trận Laplace Δ = (Δ ) của , với 
 푖푗 푛 × 푛
 푒𝑔(푣푖 ) 푛ế 푖 = 푗
 Δ푖푗 = { 
 −푒(푣푖, 푣푗) 푛ế 푖 ≠ 푗
iv) Ma trận Laplace thu gọn Δ′ của ứng với đỉnh 푠 có được từ ma trận Laplace Δ của 
bằng cách xóa hàng và cột của ma trận Laplace Δ ứng với đỉnh 푠. 
Mối quan hệ giữa số cây bao trùm của một đồ thị và ma trận Laplace được thể hiện 
trong Định lý sau. 
 Định lý 1. [4] (Định lí Matrix-Tree) Số cây bao trùm của bằng định thức của 
ma trận Laplace thu gọn Δ′ của . 
Đồ thị con bao trùm hay nói riêng, cây bao trùm của đồ thị đóng vai trò quan trọng 
trong nghiên cứu lý thuyết đồ thị. Định lý say đây cho thấy đa thức Tutte có thể dùng 
để đo các chỉ số quan trọng của một đồ thị như số cây bao trùm hay số rừng bao trùm. 
Chúng ta có thể xem chứng minh trong [4]. 
 Định lý 2. [5] Cho = ( , ) là một đồ thị liên thông. ( ; , ) là đa thức Tutte 
của . Khi đó: 
i) ( ; 1,1) chính là số cây bao trùm của đồ thị . 
ii) ( ; 2,1) chính là số rừng bao trùm của đồ thị . 
iii) ( ; 1,2) chính là số đồ thị con liên thông bao trùm của đồ thị . 
iv) ( ; 2,2) = 2| |. 
2. ĐA THỨC TUTTE CỦA MỘT SỐ ĐỒ THỊ 
2.1 Đồ thị 푮 = 푲 , 푮 = 푲ퟒ 
 Định nghĩa 6. Đồ thị đầy đủ 푛 đỉnh, ký hiệu là 퐾푛, là đơn đồ thị mà hai đỉnh 
phân biệt bất kì của nó luôn liền kề. 
 푛(푛−1)
 Từ định nghĩa, ta thấy ngay đồ thị 퐾 có cạnh và mỗi đỉnh của 퐾 có bậc 
 푛 2 푛
là 푛 − 1. 
Ví dụ 1. Tính đa thức Tutte của đồ thị đồ thị = 퐾3. 
 Hình 2 dưới đây là cách khai triển đồ thị trong việc tìm đa thức Tutte của nó. 
 26 
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, Trường Đại học Khoa học, ĐH Huế Tập 18, Số 1 (2021) 
 Hình 2. Cách khai triển đồ thị = 퐾3 trong việc tìm đa thức Tutte. 
 2
Từ khai triển này ta có đa thức Tutte của đồ thị = 퐾3 là (퐾3; , ) = + + . 
 2
Theo Định lí 2 thì số cây bao trùm của 퐾3 là (퐾3; 1,1) = 1 + 1 + 1 = 3. 
Bây giờ, chúng ta sẽ tính toán để thấy được số cây bao trùm của 퐾3 của chính bằng giá 
trị của định thức Laplace thu gọn (Định lí 1) và chính là giá trị của đa thức Tutte khi 
 = = 1. Ta có ma trận kề , ma trận Laplace Δ và ma trận Laplace thu gọn Δ′ của 
 = 퐾3 là: 
 0 1 1 2 −1 −1
 2 −1
 = [1 0 1] ; Δ = [−1 2 −1] ; Δ′ = [ ] 
 푣3 −1 2
 1 1 1 −1 −1 2
Suy ra |Δ′| = 2.2 − (−1). (−1) = 3. 
Do đó, số cây bao trùm của đồ thị 퐾3 chính bằng (퐾3; 1,1) và bằng giá trị định thức 
của ma trận Laplace thu gọn Δ′ của . 
Ví dụ 2. Cho đồ thị = 퐾4 như hình dưới đây 
 Hình 3. Đồ thị = 퐾4. 
Hình 4 dưới đây là cách khai triển đồ thị trong việc tìm đa thức Tutte của nó. 
 27 
Đa thức Tutte của một số đồ thị 
 Hình 4. Cách khai triển đồ thị = 퐾4 trong việc tìm đa thức Tutte. 
Vậy đa thức Tutte của đồ thị = 퐾4 là: 
 3 2 2 3
 (퐾4; , ) = + 3 + 2 + 4 + 2 + 3 + 
Theo Định lí 2 thì số cây bao trùm của 퐾4 là: 
 3 2 2 3
 (퐾4; 1,1) = 1 + 3. 1 + 2.1 + 4.1.1 + 2.1 + 3. 1 + 1 = 16 
Bây giờ, chúng ta sẽ có một số tính toán để thấy rằng số cây bao trùm của = 퐾4 của 
định lí 2 và định lí 1 là bằng nhau. Ta có ma trận kề , ma trận Laplace Δ và ma trận 
Laplace thu gọn Δ′ của = 퐾4 là: 
 0 1 1 1 3 −1 −1 −1
 3 −1 −1
 1 0 1 1 −1 3 −1 −1
 = [ ] ; Δ = [ ] ; Δ′ = [−1 3 −1] 
 1 1 0 1 −1 −1 3 −1 푣4
 −1 −1 3
 1 1 1 0 −1 −1 −1 3
Suy ra |Δ′| = 16 
Do đó, số cây bao trùm của đồ thị 퐾4 bằng (퐾4; 1,1) và cũng chính là giá trị định thức 
của ma trận Laplace thu gọn Δ′ của 퐾4 . 
2.2 Đồ thị 푮 = 푪ퟒ, 푮 = 푪풏 
 Định nghĩa 7. Đồ thị vòng 푛 đỉnh, ký hiệu là 푛, là đơn đồ thị 푛 đỉnh 
푣1, 푣2,  , 푣푛(푛 ≥ 3) và 푛 cạnh (푣1, 푣2), (푣2, 푣3),  (푣푛−1, 푣푛), (푣푛, 푣1). Như vậy mỗi đỉnh 
của 푛 có bậc là 2. 
 28 
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, Trường Đại học Khoa học, ĐH Huế Tập 18, Số 1 (2021) 
 Hình 5. Đồ thị = 푛. 
2.2.1 Đồ thị 푮 = 푪ퟒ 
Cho đồ thị = 4 như hình dưới đây 
 Hình 6. Đồ thị = 4. 
Hình 7 dưới đây minh họa cho cách khai triển đồ thị = 4 trong việc tìm đa thức 
Tutte. 
 Hình 7. Cách khai triển đồ thị = 4 trong việc tìm đa thức Tutte. 
 3 2
Vậy đa thức Tutte của đồ thị = 4 là ( 4; , ) = + + + 
 3 2
Theo Định lí 2 số cây bao trùm của = 4 là ( 4; 1,1) = 1 + 1 + 1 + 1 = 4 
 29 
Đa thức Tutte của một số đồ thị 
Ta có ma trận kề , ma trận Laplace Δ và ma trận Laplace thu gọn Δ′ của = 4 là: 
 0 1 1 1 2 −1 −1 −1
 2 −1 −1
 1 0 1 1 −1 2 −1 −1
 = [ ] ; Δ = [ ] ; Δ′ = [−1 2 −1] 
 1 1 0 1 −1 −1 2 −1 푣4
 −1 −1 2
 1 1 1 0 −1 −1 −1 2
Suy ra |Δ′| = 4 
Do đó, số cây bao trùm của đồ thị 4 chính bằng ( 4; 1,1) và bằng giá trị định thức 
của ma trận Laplace thu gọn Δ′của . 
2.2.2 Đồ thị 푮 = 푪풏 
 Định lí 3. Đa thức Tutte của đồ thị 푛 là 
 푛−1 푛−2
 ( 푛; , ) = + + ⋯ + + 
Chứng minh. Ta có 
 푛−1
 ( 푛; , ) = + ( 푛−1; , ) với mọi 푛 ≥ 4. 
 푛−1 푛−2 3
Do đó ( 푛; , ) = + + ⋯ + + ( 3; , ) 
 2
Mà ( 3; , ) = + + 
 푛−1 푛−2
Suy ra ( 푛; , ) = + + ⋯ + + . 
Nhận xét: ( 푛; 1,1) = 푛 chính bằng số cây bao trùm của đồ thị vòng 푛 và đó cũng 
 ′
chính là giá trị của định thức của ma trận Laplace thu gọn Δ của 푛. 
 Hình 8. Cách khai triển đồ thị = 푛 trong việc tìm đa thức Tutte. 
3. KẾT LUẬN 
 Trong bài báo này, chúng tôi đã tính toán đa thức Tutte của một số đồ thị vô 
hướng. Sử dụng đa thức Tutte để tính số cây bao trùm của đồ thị. Qua đó, chúng tôi đã 
 30 
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, Trường Đại học Khoa học, ĐH Huế Tập 18, Số 1 (2021) 
khẳng định được số cây bao trùm bằng định thức của ma trận Laplace thu gọn của một 
đồ thị. 
 TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[1]. Awan, Jordan and Bernardi, Oliver (2020), Tutte polynomials for directed graphs, J.Combin. 
 Theory Ser. B, Vol 140, pp 192-247. 
[2]. Brylawski, T., Oxley, J.(1992), The Tutte Polynomial and its Applications. In: White, N.(ed) 
 Matroid Applications, Encyclopedia of Mathematics and its Applications, Cambridge University 
 Press, Cambridge. 
[3]. Merino López, Criel (1997), Chip fring and the Tutte polynomial, Annals of Combinatorics, 
 (3) 1, pp 253-259. 
[4]. Stanley, Richard P. (1998), Enumerative combinatorics, Cambridge University Press (Vol.1). 
[5]. Ellis-Monaghan J.A., Merino C. (2011), Graph Polynomials and Their Applications I: The Tutte 
 Polynomial. In Dehmer M. (eds) Structural Analysis of Complex Networks. Birkauser 
 Boston, pp 219-255. https://doi/org/10.1007/978-0-8176-4789-6. 
[6]. Tutte, W. T. (1947), A ring in graph theory. Proc. Cambridge Phil. Soc., 43, pp 26-40. 
[7]. Tutte, W. T. (1954), A contribution to the theory of chromatic polynomials. Can. J. Math., 6, pp 
 80-91. 
 31 
Đa thức Tutte của một số đồ thị 
 THE TUTTE POLYNOMIAL OF SOME GRAPHS 
 Le Manh Ha1*, Hoang Ngoc Phu2 
 1University of Education, Hue University 
 2Graduate students, University of Sciences, Hue University 
 *Email: lemanhhavn@gmail.com 
 ABSTRACT 
 In this paper, we compute the Tutte polynomial of some graphs. We use the Tutte 
 polynomial to calculate the number of spanning trees of the graph. Thereby, we 
 can confirm that the number of spanning trees is equal to the determinant of 
 Laplace matrix of a graph. 
 Keyword: Cycle graph, Laplace matrix, Matrix-tree Theorem, Spanning tree, Tutte 
 polynomial. 
 Lê Mạnh Hà sinh ngày 25 tháng 02 năm 1979 tại Quảng Bình. Năm 2001, 
 ông tốt nghiệp Đại học ngành SP Toán tại Trường Đại học Sư phạm, Đại 
 học Huế. Ông nhận bằng thạc sỹ Toán Giải tích tại Trường Đại học Sư 
 phạm, Đại học Huế năm 2005 và nhận học vị Tiến sĩ ngành Đảm bảo toán 
 học cho máy tính và hệ thống tính toán tại Viện Toán học, Viện Hàn lâm 
 Khoa học và Công nghệ Việt Nam năm 2011. Hiện ông công tác tại 
 Trường Đại học Sư phạm, Đại học Huế. 
 Lĩnh vực nghiên cứu: Tính toán tổ hợp, Hệ động lực rời rạc, Lý thuyết đồ 
 thị, Thuật toán. 
 Hoàng Ngọc Phú sinh ngày 14 tháng 07 năm 1994 tại Phú Yên. Năm 2016, 
 ông tốt nghiệp Đại học ngành Toán học tại Trường Đại học Quy Nhơn. 
 Ông nhận bằng thạc sỹ Toán Ứng dụng tại Trường Đại học khoa học, Đại 
 học Huế năm 2020. Hiện ông công tác tại Trường Phổ thông Duy Tân, 
 Thành phố Tuy Hòa, Phú Yên. 
 Lĩnh vực nghiên cứu: Toán ứng dụng. 
 32