Cách viết câu hỏi trắc nghiệm khách quan từ câu hỏi truyền thống - Chủ đề: Phương trình đường thẳng trong không gian

 ĐẠI HỌC HUẾ 
 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM 
 KHOA TOÁN 
   
 CÁCH VIẾT CÂU HỎI 
 TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN 
 TỪ CÂU HỎI TRUYỀN THỐNG 
Chủ đề: Phương trình đường thẳng trong không gian 
 Sinh viên : Nguyễn Khoa Minh 
 Giáo viên : Nguyễn Đăng Minh Phúc 
 Lớp : Toán 4T 
 Huế, 4/2017 
Sinh viên: Nguyễn Khoa Minh 
 CÁCH VIẾT CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN 
 TỪ CÂU HỎI TRUYỀN THỐNG 
 Chủ đề: Phương trình đường thẳng trong không gian 
 Bài 1: Lập phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm A0;1;1 vuông 
 xy12 z
góc với đường thẳng d :  và cắt đường thẳng 
 1 311
 xyz20
d2  :  
  x 10
 Bài giải: 
 Nhiệm vụ đầu tiên của học sinh là sử dụng các thông tin được biết thể hiện thành 
hình vẽ. Bước này liên qua đến các kiến thức cơ bản về hình học không gian tọa độ 
và hiển thị đầy đủ về bài toán một cách trực tiếp bằng hình vẽ giúp học sinh từ đó 
có thể suy nghĩ ra hướng đi của bài toán. Giả sử rằng học sinh có kiến thức này và 
khả năng sẽ vẽ một hình như sau: 
 d
 A 
 (d1)
 (d2)
 P
 Q
 1 
Sinh viên: Nguyễn Khoa Minh 
 Gọi d  là đường thẳng cần tìm. Do d  đi qua A và vuông góc với d1  nên 
d  nằm trong mặt phẳng P qua A và vuông góc với d1  . 
 d  qua A và cắt d2  nên d  nằm trong mặt phẳng Q xác định bởi A và 
d2 . 
 Do đó d là giao tuyến của hai mặt phẳng P và Q. 
 Dựa theo hình vẽ thì ta có được đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng 
P và Q nên muốn lập phương trình chính tắc của đường thẳng d, học sinh cần 
tìm phương trình của mặt phẳng P và Q. 
 xy12 z
 Học sinh dựa vào giả thuyết Pd  : suy ra được phương 
 1 311
trình mặt phẳng P có dạng: 30xyzd. Và nhờ mặt phẳng P đi qua điểm 
A0;1;1 nên ta tìm được số d: 011dd  0   2. Vậy ta được phương trình 
mặt phẳng P là 320xyz. 
 Như vậy, ta đã có được phương trình mặt phẳng P nên việc còn lại là cần tìm 
 xyz20
phương trình mặt phẳng Q. Do Q qua d2  :  nên mặt phẳng 
  x 10
Q thuộc chùm mặt phẳng xyz210  x  . Vì vậy, ta có: 
 xyz20
 Q qua d2  :  nên phương trình mặt phẳng Q có dạng: 
  x 10
xyz210 mx  . 
 Q qua A0;1;1 nên 0112 mm  0   2. 
 Suy ra phương trình mặt phẳng Q là 
xyz22 x  1  0 xyz 0. 
 Và do d là giao tuyến của hai mặt phẳng P và Q nên phương trình đường 
 320xyz
thẳng d là  . Mà yêu cầu bài toán là viết phương trình chính tắc 
  xyz  0
 2 
Sinh viên: Nguyễn Khoa Minh 
của đường thẳng d nên ta cần tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng d. Ta có vectơ 
chỉ phương của đường thẳng d bằng tích có hướng của hai vectơ pháp tuyến của mặt 
phẳng P và Q vì d là giao tuyến của hai mặt phẳng P và Q. 
 Vậy d  có vectơ chỉ phương 1;1; 2  qua A0;1;1 nên d  có phương trình 
 xy11 z
chính tắc: . 
 11 2
 Rõ ràng nếu học sinh thất bại ngay ở bước đầu tiên là không biết cách biểu diễn 
bài toán thành hình vẽ thì không giải quyết được bài toán trên. Và câu hỏi tự luận 
không thể cho ta biết điều gì về khả năng của học sinh về các khía cạnh khác của 
câu hỏi, do đó chúng ta sẽ sử dụng các câu hỏi trắc nghiệm có liên quan như sau: 
 xy12 z
 Câu 1: Cho đường thẳng d vuông góc với đường thẳng d :  và 
 1 311
 xyz20
cắt đường thẳng d2  :  . Nhận xét nào sau đây là đúng? 
  x 10
 A. Đường thẳng dd, 1 cùng nằm trong một mặt phẳng. 
 B. Đường thẳng dd, 2 cùng nằm trong một mặt phẳng. 
 C. Đường thẳng dd,,12 d cùng nằm trong một mặt phẳng. 
 D. Cả A, B đều đúng. 
 *Phương án nhiễu: Nếu học sinh chưa nắm kỹ kiến thức cơ bản dẫn đến biểu diễn 
bài toán bằng hình vẽ bị sai hoặc sau khi vẽ hình mà không quan sát cẩn thận thì khi 
đó học sinh sẽ nhầm lẫn là dd, 1 cùng nằm trong mặt phẳng P và dd, 2 cùng nằm 
trong mặt phẳng Q nên học sinh sẽ chọn câu D. 
 Trong khi đó, mặt phẳng P chỉ chứa đường thẳng d và vuông góc với đường 
thẳng d1 nên câu A là một đáp án sai. Vì vậy, đáp án đúng là B. 
 Bước thứ hai của bài toán là cần định hướng đi của bài toán, ở phần này học sinh 
phải nắm được các dạng phương trình của một đường thẳng trong không gian, từ đó 
dựa trên hình vẽ mà xác định dạng phương trình cần viết và đi tìm những dữ kiện 
cần thiết. Ta có thể xây dựng một câu hỏi để kiểm tra khả năng đó: 
 3 
Sinh viên: Nguyễn Khoa Minh 
 Câu 2: Phương trình nào sau đây không phải là phương trình đường thẳng trong 
không gian? 
 xyz32 350xy
 A.  B.  
 251  yz20
  xt1
 
 C. 2340xy D. yt3 
 
  z  4 
 Bước thứ cuối cùng của bài toán là tìm các dữ kiện cần thiết và viết phương trình 
đường thẳng d. Từ đó, ta có phương trình chính tắc của đường thẳng d. Như vậy. 
chúng ta có thể viết những câu hỏi trắc nghiệm khách quan đến kỹ năng của học 
sinh. 
 Câu 3: Phương trình của mặt phẳng P đi qua điểm A0;1;1 và vuông góc với 
 xy12 z
đường thẳng d :  là 
 1 311
 A. 320.xyz B. 320.xyz 
 C. xyz20. D. xyz20. 
 Câu 4: Xác định tham số mn, để mặt phẳng 540xmyzn thuộc chùm mặt 
phẳng 38xyz 3  xyz  8250. 
 A. mn2; 1. B. mn5; 4. 
 C. mn5;  11. D. mn1; 4. 
 Bài 2: Tìm phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng:
xyz221
  lên mặt phẳng xyz2340. 
 341
 Bài giải: 
 Tương tự Bài 1, nhiệm vụ đầu tiên của học sinh là sử dụng các thông tin được biết 
thể hiện thành hình vẽ. Bước này liên qua đến các kiến thức cơ bản về hình học 
không gian tọa độ và hiển thị đầy đủ về bài toán một cách trực tiếp bằng hình vẽ và 
 4 
Sinh viên: Nguyễn Khoa Minh 
ở qua hình vẽ để giải quyết bài toán này thì học sinh cần vẽ thêm. Giả sử rằng học 
sinh có kiến thức này và khả năng sẽ vẽ một hình như sau: 
 (d)
 A
 (d')
 H
 P
 Q
 xyz221
 Gọi đường thẳng d : . 
 341
 Gọi mặt phẳng Px:2340 y z . 
 xyz221
 Từ điểm A đường thẳng d :  hạ AH  P . 
 341
 Gọi Q là mặt phẳng hợp bởi hai đường thẳng d  và AH. 
 Như vậy, ở đây chúng ta viết phương trình đường thẳng d là hợp của hai mặt 
phẳng P và Q nên học sinh cần tìm phương trình của mặt phẳng P và Q. 
Phương trình mặt phẳng P thì theo giả thuyết đã có nên việc cần làm là tìm phương 
trình mặt phẳng Q. Để tìm được phương trình mặt phẳng Q thì cần biết vectơ 
pháp tuyến và một điểm nằm trong mặt phẳng đó. Ta có điểm AQ  nên chỉ cần 
tìm vectơ pháp tuyến của Q. Vì vậy, ta kẻ AH  P , do đó Q có cặp vectơ chỉ 
phương của AH và d  3; 4;1 và suy ra được phương trình tham số, phương trình 
tổng quát của mặt phẳng Q. 
 AH P AH nhận vectơ pháp tuyến chỉ phương n  1; 2; 3 của P làm 
vectơ chỉ phương. 
 5 
Sinh viên: Nguyễn Khoa Minh 
 Điểm A trên d  có tọa độ A2; 2;1 
 Q là mặt phẳng qua A2; 2;1 nhận cặp vectơ chỉ phương d  3; 4;1 và 
n  1; 2; 3 
 Phương trình tham số của mặt phẳng Q là: 
  xtt2312  1
 
 Qy:242   tt12  2 54190 xyz     
 
 ztt1312  3 
 d ' là giao tuyến của hai mặt phẳng P và Q nên phương trình tổng quát của 
 5xyz 4 19 0
d ' là:  
  xyz2340
 Ngoài cách 1 ở trên, chúng ta còn cách 2 viết phương trình mặt phẳng Q. Từ 
đó, học sinh suy ra được phương trình hình chiếu d ' của d . 
 Q nhận cặp vectơ d  3; 4;1 và n  1; 2; 3 làm cặp vectơ chỉ phương nên Q 
có pháp vectơ: 
 411334
 qq,, 10;8;25;4;1   
 233112
 Phương trình mặt phẳng Q qua điểm A2; 2;1 và có pháp vectơ q 5; 4;1 
là: 
 524211054xyz     xyz  190. 
 Ở bài toán này, như Bài 1 nếu học sinh thất bại ngay ở bước đầu tiên là không biết 
cách biểu diễn bài toán thành hình vẽ thì không giải quyết được bài toán, và học sinh 
cần nắm được các dạng phương trình của đường thẳng, mặt phẳng và kết hợp với 
giả thuyết của bài toán để giải quyết vấn đề. Tương tự Bài 1, chúng ta có thể viết 
những câu hỏi trắc nghiệm trắc nghiệm khách quan liên quan đến những khía cạnh 
được kiểm tra trong bài toán. 
 6 
Sinh viên: Nguyễn Khoa Minh 
 Câu 1: Để viết phương trình tham số hay phương trình chính tắc của đường thẳng, 
chúng ta cần xác định 
 A. 1 điểm M bất kỳ thuộc đường thẳng và 1 vectơ pháp tuyến của đường thẳng 
đó. 
 B. 1 điểm M bất kỳ thuộc đường thẳng và 1 vectơ chỉ phương. 
 C. 2 điểm M và N bất kỳ thuộc đường thẳng. 
 D. 1 điểm M bất kỳ thuộc đường thẳng và phương trình của một đường thẳng 
song song với đường thẳng đó. 
 *Phương án nhiễu: Ở đây, học sinh thường biết để viết phương trình tham số hay 
phương trình chính tắc của đường thẳng, chúng ta cần xác định 1 điểm M bất kỳ 
thuộc đường thẳng và 1 vectơ chỉ phương của đường thẳng nên khi đó đa số học sinh 
sau khi đọc xong đề thì sẽ chọn ngay câu C nhưng không chú ý rằng đáp án ở câu C 
bị thiếu “1 điểm M bất kỳ thuộc đường thẳng và 1 vectơ chỉ phương” – thiếu 1 
vectơ chỉ phương của đường thẳng. 
 Vì vậy, đáp án đúng của câu này sẽ là câu D. 
 Câu 2: Trong các nhận xét sau đây thì nhận xét nào đúng? 
 A. 1 đường thẳng có 1 phương trình tổng quát và 1 phương trình tham số. 
 B. 1 đường thẳng có vô số phương trình tổng quát và 1 phương trình chính tắc. 
 C. 1 đường thẳng có vô số phương trình tham số và 1 phương trình chính tắc. 
 D. 1 đường thẳng có vô số phương trình tổng quát và chính tắc. 
 Câu 3: Phương trình nào sau đây không phải là phương trình mặt phẳng? 
 xtt2312  4
 
 A.  ytt1412  2 B. 2350xy 
 
 zt12 t 
  xt2 
 
 C. xy410 z  D. yt1 2 
 
 zt35 
 7 
Sinh viên: Nguyễn Khoa Minh 
 xtt2 312  
 
 Câu 4: Phương trình tổng quát của mặt phẳng Qy:242   t12  t là 
 
  ztt112  3 
 A. 54xyz 190. B. 76570.xyz 
 C. 56xyz 10. D. 545230.xyz 
 53250xyz
 Bài 3: Chứng minh rằng đường thẳng d  :  nằm trong mặt 
 2xyz 1 0 
phẳng Pxyz:4 3 7 7 0. 
 Bài giải: 
 Bài toán này không giống hai toán ở trên, chúng ta không cần thiết phải vẽ hình 
mới giải quyết được bài toán. Ở đây, học sinh cần nắm vững các kiến thức về một 
đường thẳng nằm trong một mặt phẳng. Do đó, xác định điều kiện để đường thẳng 
nằm trong một mặt phẳng. Vậy để đường thẳng nằm trong một mặt phẳng thì ta cần 
chứng minh đường thẳng có hai điểm nằm trong mặt phẳng đó. 
 Đầu tiên, học sinh cần chuyển phương trình đường thẳng 
 53250xyz
d  :  về dạng tham số hoặc chính tắc. 
 2xyz 1 0 
 322553  
 Vectơ chỉ phương a của đường thẳng là a  ,, =5;9;1.  
 111221 
 53250xyz
 Trong phương trình đường thẳng d  :  . Nếu ta cho z  0 thì 
 2xyz 1 0 
 5350xy x  2
ta được phương trình  . 
 2105xy y 
 xt25 
 
 Do đó phương trình tham số của đường thẳng d là yt59  . 
 
  zt 
 8 
Sinh viên: Nguyễn Khoa Minh 
 xt25 
 
 Sau khi, học sinh đã có phương trình tham số của đường thẳng d là yt59  
 
  zt 
thì học sinh chọn 2 điểm AB, bất kỳ thuộc đường thẳng d và sau đó xét 2 điểm 
AB, thuộc mặt phẳng P hay không. 
 Với t  0 ta có điểm A2; 5;0 thuộc đường thẳng d . 
 Với t 1 ta có điểm B3; 4;1  thuộc đường thẳng d . 
 Thế A2; 5;0 và B3; 4;1  vào phương trình mặt phẳng P ta được: 
 42 35  7.070 AP 
 4.3 3.4 7.1 7 0 BP 
 Do đó đường thẳng d thuộc mặt phẳng P . 
 Như vậy, học sinh đã biết được cách làm, thực hiện theo đúng quy trình và đi đến 
được kết quả của bài toán. Tuy nhiên bài toán có một số kiến thức cơ bản yêu cầu 
học sinh cần chú ý mà chúng ta có thể viết thành các câu hỏi trắc nghiệm như sau: 
 Câu 1: Phương trình nào sau đây không phải là phương trình của đường thẳng 
 53250xyz
d  :  ? 
 2xyz 1 0 
 xt25 
  xxz25
 A. dy :59   t B. d :  
  591
  zt 
  xt35
  10xyz 6 4 10 0
 C. dy:49  t D. d :  
  6xyz 3 3 3 0 
  zt1 
 Câu 2: Nhận xét nào sau đây là nhận xét sai? 
 A. dP  d có hai điểm nằm trong mặt phẳng. 
 B. AP  Tọa độ điểm A thỏa phương trình mặt phẳng P . 
 9 
Sinh viên: Nguyễn Khoa Minh 
 C. Ad Tọa độ điểm A thỏa phương trình đường thẳng d . 
 D. AB,  P AB P. 
 10