Bài tập lớn Xây dựng câu hỏi trắc nghiệm khách quan từ bài toán tự luận - Chủ đề: Câu hỏi phụ khảo sát hàm số

 ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HUẾ 
 KHOA TOÁN 
 BÀI TẬP LỚN 
XÂY DỰNG CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN 
 TỪ BÀI TOÁN TỰ LUẬN 
 CHỦ ĐỀ: CẦU HỎI PHỤ KHẢO SÁT HÀM SỐ 
 Họ tên sinh viên : NGUYỄN THỊ KIM THOA 
 Giảng viên hướng dẫn: THẦY NGUYỄN ĐĂNG MINH PHÚC 
 Lớp : Toán 4T 
 Mã sinh viên : 13S1011145 
 Huế, 04/2017 
 NGUYỄN THỊ KIM THOA TOÁN 4T 
 CHỦ ĐỀ: CẦU HỎI PHỤ KHẢO SÁT HÀM SỐ 
Bài toán 1: Cho hàm số � = �� + ���� + �� + � có đồ thị là (��). Với những giá 
trị nào của � thì đồ thị (��) có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị đó lập 
thành một tam giác có một góc bằng ����? 
 Bài giải: 
 Ta có �′ = 4� + 4��; 
 � = 0
� = 0 ⇔ 4�(� + �) = 0 ⇔  
 � = −�
 Hàm số đã cho có ba cực trị ⇔ � = 0 có ba nghiệm phân biệt 
 ⇔ � = −� có hai nghiệm phân biệt khác 0 
 ⇔ � < 0. 
 Khi đó các điểm cực trị của (��) là: 
�(0; � + �), �√−�; �, �(−√−�; �). 
��⃗ = √−�; −�, ��⃗ = (−√−�; −�). 
 Tam giác ABC cân tại A nên góc 120 chính là góc A. 
 """#"""#
 1.AB AC 1--- m . m+ m4 1
 !AcosA=1200 Û=-Û"""# """# =-Û =- 
 22AB. AC mm4 - 2
  � = 0 (��ạ�)
 � + � 1   
 ⇔ = − ⇒ 2� + 2� = � − � ⇔ 3� + � = 0 ⇔  1 
 � − � 2 � = −
 !√3
 1
 Vậy giá trị � thoả yêu cầu bài toán là m =- . 
 3 3
 2 
 NGUYỄN THỊ KIM THOA TOÁN 4T 
Phân tích: 
 Nhiệm vụ đầu tiên của học sinh là phải hiểu được cực trị của hàm số trùng phương, từ 
đó tìm được �, bước này liên quan đến kiến thức về cực trị của hàm số trùng phương. 
 Sau đó học sinh nhận ra rằng các em có đủ thông tin để tìm được giá trị của � sao cho 
đồ thị (��) có ba điểm cực trị, nghĩa là phương trình � = 0 có ba nghiệm phân biệt. 
 Tiếp theo, học sinh cần phải tìm được toạ độ của các điểm cực trị. 
 Tiếp theo, học sinh nhận ra rằng tam giác ABC cân tại A nên góc 120 chính là góc A, 
nhiệm vụ bây giờ của học sinh là phải tìm � để � = 120, học sinh phải nhận ra rằng em 
có đủ thông tin để tìm � và thông tin có được là công thức tính cosin góc giữa hai vectơ 
��⃗, ��⃗ là công cụ phù hợp để sử dụng. Cuối cùng là tiến hành quá trình tính toán 
 Được phân tích theo cách này, ta thấy rõ ràng rằng câu hỏi đang cố gắng để làm nhiều 
thứ cùng một lúc. 
 Nếu các em thất bại ở bước đầu, là học sinh không biết được muốn tìm m để hàm số có 
ba cực trị thì đầu tiên ta phải tính �, thì câu hỏi tự luận không thể cho ta biết điều gì về 
khả năng của học sinh về các khía cạnh khác của câu hỏi như: tính � để tìm m sao cho 
hàm số có ba cực trị, tìm toạ độ các điểm cực trị, công thức tính cosin góc giữa hai vectơ,.... 
Trắc nghiệm khách quan cho chúng ta cơ hội để tìm ra những phần nào của câu hỏi thì học 
sinh có thể trả lời được. 
 Sau đây là các câu hỏi trắc nghiệm để kiểm tra một số khía cạnh xuất hiện trong bài 
toán trên: 
 Với khái niệm cực trị, một câu hỏi phù hợp có thể được sử dụng để kiểm tra kiến thức 
như sau: 
Câu 1: Cho hàm số � = −� + 2� + 3. Hoành độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số đã 
cho là nghiệm của phương trình nào sau đây? 
A. −4� + � = 0 B. 4� + � = 0 
C. � − � = 0 D. � + � = 0 
 Muốn làm được câu này, học sinh phải biết được rằng hoành độ các điểm cực trị của 
hàm số trùng phương là nghiệm của phương trình � = 0 ⇔ −4� + 4� = 0 
⇔ � − � = 0. 
Đáp án là C. 
 3 
 NGUYỄN THỊ KIM THOA TOÁN 4T 
 Các đáp án nhiễu là A, B rất dễ gây nhầm lẫn cho học sinh vì học sinh thường đạo hàm 
ra biểu thức có chứa −4�. 
 Bước thứ hai của bài toán là tìm � để đồ thị (��) có ba điểm cực trị, một câu hỏi để 
kiểm tra kiến thức đó là: 
Câu 2: Cho hàm số � = � + 2�� + 2. Giá trị của � để hàm số đã cho có ba cực trị là: 
A. � 0 D. � ≠ 0 
 é x = 0
 Đầu tiên ta tính: �′ = 4� + 4��; ¢ 2 
 yxxm=04Û( +) = 0Ûê 2 
 ëxm=-
 Ở câu hỏi 1, ta đã biết rằng hoành độ các điểm cực trị của hàm số trùng phương là 
nghiệm của phương trình � = 0, nên ở câu hỏi 2, học sinh phải hiểu được rằng: Hàm số 
đã cho có ba cực trị ⇔ � = 0 có ba nghiệm phân biệt 
 ⇔ � = −� có hai nghiệm phân biệt khác 0 
 ⇔ � < 0. 
Đáp án là A. 
 Bước tiếp theo của bài toán là tìm toạ độ các điểm cực trị, câu hỏi để kiểm tra khả năng 
đó là: 
Câu 3: Cho hàm số � = � − 2� + 5. Toạ độ ba điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho 
là: 
A. (0; 5), (1; −4), (−1; 4) B. (0; −5), (1; 4), (−1; −4) 
C. (0; −5), (1; −4), (−1; 4) D. (0; 5), (1; 4), (−1; 4) 
 Ta cần tìm nghiệm của phương trình � = 0, rồi thay các giá trị x tìm được vào � =
� − 2� + 5 ta tìm được y. 
Đáp án là D. 
 Việc nhận ra dạng của tam giác tạo bởi ba điểm cực trị trong trường hợp này rất quan 
trọng, giúp ta biết được góc 120 là góc nào. Lúc này bài toán trở nên dễ dàng hơn. Một 
cầu hỏi để kiểm tra khía cạnh này là: 
Câu 4: Cho hàm số � = �� + �� + � (� ≠ 0) có ba cực trị. Tam giác tạo bởi ba điểm 
cực trị M, N, P của đồ thị hàm số đã cho có đặc điểm gì? 
A. MNP là tam giác vuông. B. MNP là tam giác đều. 
C. MNP là tam giác cân. D. MNP là tam giác có một góc tù. 
 4 
 NGUYỄN THỊ KIM THOA TOÁN 4T 
 Đối với học sinh có lực học trung bình, đây là một câu hỏi khó. Học sinh có thể nhận ra 
đặc điểm của tam giác dựa vào toạ độ các đỉnh, cụ thể ở đây là có một đỉnh thuộc trục tung, 
hai đỉnh còn lại đối xứng nhau qua trục tung. Hoặc có thể nhận ra rằng tam giác đó là tam 
giác cân dựa vào các bài toán khảo sát hàm số của hàm số trùng phương (nếu học sinh đã 
được học). 
Đáp án là C. 
 Bước cuối cùng của bài toán là xác định góc nào bằng 120, từ đó áp dụng công thức 
tính cosin góc giữa hai vectơ để tìm �. 
Câu 5: Cho tam giác ABC cân tại � với �(0; � + �), �(�; �), �(−�; �) với � ≠ 0. 
Giá trị � để tam giác ABC có một góc bằng 120 là: 
 
A. � = ±√3; � = ± √ 
 
 
B. � = ± √ 
 
C. � = √3 
D. � = ±√3 
 Tam giác ABC cân tại � nên góc 120 chính là góc �. 
��⃗ = (�; −�), ��⃗ = (−�; −�). 
 !!!"!!!"
 1.AB AC 1- m24+ m 1
 AcosAˆ =1200 Û=-Û!!!" !!!" =-Û =- 
 22AB. AC mm24+ 2
 � = 0 (��ạ�)
      
 ⇒ −2� + 2� = −� − � ⇔ 3� − � = 0 ⇔  √3 
 � = ± 3
Đáp án là B. 
 � �
Bài toán 2: Cho hàm số � = � − �� + � có đồ thị (�). Gọi �� là đường thẳng đi qua 
điểm �(−�; �) với hệ số góc k. Tìm k để đường thẳng �� cắt đồ thị (�) tại ba điểm 
phân biệt A, B, C và hai giao điểm B, C cùng với gốc toạ độ O tạo thành một tam giác 
có diện tích bằng 1. 
 Bài giải: 
 Ta có: �: � = �� + � ⇔ �� − � + � = 0. 
 5 
 NGUYỄN THỊ KIM THOA TOÁN 4T 
 Phương trình hoành độ giao điểm của (�) và � là: 
   ( )[( ) ] 
� − 3� + 4 = �� + � ⇔ � + 1 � − 2 − � = 0 ⇔ ()". 
 
 � cắt (�) tại ba điểm phân biệt ⇔ (� − 2) = � có hai nghiệm phân biệt 
 � > 0 � > 0
khác −1 ⇔  ⇔  (∗) 
 (−1 − 2) ≠ � � ≠ 9
 Khi đó các giao điểm (�) và � là: 
�(−1; 0), �(2 − √�; 3� − �√�), �(2 + √�; 3� + �√�). 
��⃗ = 2√�; 2�√�, �� = 2√� + � = 2√�√1 + � (vì � > 0, � ≠ 9) 
 k k
 dOBC( , ) === dOd( , k ) (vì � > 0, � ≠ 9) 
 kk22++11
 1 k
 Diện tích tam giác OBC là: Skk=+. 2 12 . = kk 
 2 k 2 +1
 Theo giả thiết: � = 1 ⇔ �√� = 1 ⇔ (√�) = 1 ⇔ � = 1 (thoả (∗)) 
 Vậy giá trị � cần tìm là � = 1. 
Phân tích: 
 Nhiệm vụ đầu tiên của học sinh phải xác định được vấn đề mà bải toán đặt ra, cụ thể ở 
đây là sự tương giao giữa đồ thị hàm số bậc ba và một đường thẳng. Để có thể làm được 
bài toán tương giao thì trước hết học sinh phải lập được phương trình hoành độ giao điểm 
của hai đồ thị, mà ta chưa có phương trình đường thẳng nên đầu tiên các em phải lập 
phương trình đường thẳng � đi qua điểm �(−1; 0) với hệ số góc k. 
 Sau đó, học sinh lập phương trình hoành độ giao điểm của (�) và �. Từ đó các em tìm 
được giá trị k để (�) và � cắt nhau tại ba điểm phân biệt, nghĩa là phương trình hoành độ 
giao điểm của (�) và � có ba nghiệm phân biệt. 
 Tiếp theo, học sinh suy ra được toạ độ các giao điểm của (�) và � gồm �(−1; 0), �, �. 
 Sau đó, học sinh tính được diện tích tam giác ��� (đường thẳng �� chính là � nên 
việc chọn cạnh đáy của tam giác ��� là �� giúp cho việc tính toán dễ dàng hơn) . 
 6 
 NGUYỄN THỊ KIM THOA TOÁN 4T 
 Cuối cùng là tiến hành quá trình tính toán để tìm � khi diện tích tam giác ��� bằng 1 
và đối chiếu điều kiện của k ở trên rồi kết luận. 
 Để kiểm kra kiến thức về phương trình đường thẳng đi qua một điểm và có hệ số góc k, 
có thể sử dụng câu hỏi sau đây: 
Câu 1: Phương trình đường thẳng đi qua điểm �(1; −2) và có hệ số góc a là: 
A. �� − � − � − 2 = 0. B. �� − � − � + 2 = 0. 
C. −�� + � − � − 2 = 0. D. −�� + � + � − 2 = 0. 
 Phương trình đường thẳng có hệ số góc a có dạng: � = �� + �. 
 Đường thẳng trên đi qua điểm �(1; −2) nên: −2 = �. 1 + � ⇔ � = −� − 2 
Đáp án là A. 
Câu 2: Cho hàm số � = � − 3� + 1 có đồ thị (�) và đường thẳng � có phương trình 
� = (2� − 1)� − 4� − 1. Giá trị � để (�) cắt � tại ba điểm phân biệt là: 
  
 � > − � <
  
A.   B.   
 � ≠ � ≠ −
  
  
 � > − � <
  
C.   D.   
 � ≠ � ≠ −
  
 Phương trình hoành độ giao điểm của (�) và � là: 
� − 3� − (2� − 1)� + 4� + 2 = 0 (1) 
 Û-(xxxm2)( 2 --- 2 1) = 0 
 é x = 2
 Û ê 2 
 ë fx( ) = x--- x210 m = (2)
(�) cắt � tại ba điểm phân biệt ⇔ Phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt 
 ⇔Phương trình (2) có ba nghiệm phân biệt khác 2 
 ì D=850m + >
 Û í 
 î fm(212) =- ¹ 0
 7 
 NGUYỄN THỊ KIM THOA TOÁN 4T 
 ì 5
 m >-
 ï 8
 Û í 
 1
 ï m ¹
 îï 2
Đáp án là A. 
 Bước tiếp theo của bài toán là tính diện tích tam giác 
 OBC theo �, để tính được diện tích tam giác OBC học 
 sinh cần tính độ dài đoạn BC và khoảng cách từ O đến 
 đường thẳng ��, các câu hỏi để kiểm tra các khả năng 
 đó là Câu 3 và Câu 4: 
Câu 3: Cho �(1; 2), �(−3; 0). Độ dài đoạn �� bằng: 
A. 2√3 B. 2√5 
C. 4√3 D. 4√5 
��⃗ = (−4; −2) ⇒ �� = (−4) + (−2) = 2√5. 
Đáp án là B. 
Câu 4: Cho �(1; 2), �(−3; 0). Khoảng cách từ gốc toạ độ O đến đường thẳng �� bằng: 
 3 6 2 4
A. B. C. D. 
 5 5 5 5
 ��⃗ = (−4; −2). Phương trình đường thẳng �� là: (� + 3) − 2(� − 0) = 0 
⇔ � − 2� + 3 = 0 
 |0 − 2.0 + 3| 3
�(�, ��) = = 
 1 + (−2) √5
Đáp án là A. 
Việc tính độ dài đường cao của tam giác ��� bằng công thức tính khoảng cách rất ngắn 
gọn, bằng việc nhận thấy đường thẳng �� chính là �. Một câu hỏi để kiểm tra kỹ năng đó 
là: 
 8 
 NGUYỄN THỊ KIM THOA TOÁN 4T 
  
Câu 5: Cho hàm số � = � − 3� + 4 có đồ thị (�) và đường thẳng �: � = �� + �. Giá 
trị k để (�) và � cắt nhau tại ba điểm phân biệt M, N sao cho khoảng cách từ gốc toạ độ 
 
O đến đường thẳng MN bằng là: 
 √
A. � = −1 B. � = 1 C. � = ±1 D. � ≠ ±1 
Phương trình hoành độ giao điểm của (�) và � là: 
 2 é x =-1
 xx32-34+=+ kxkxÛ+ 1éù x-- 2 k= 0Û . 
 ( )ëû( ) ê 2
 ëê(xk-2) =
 
� cắt (�) tại ba điểm phân biệt ⇔ (� − 2) = � có hai nghiệm phân biệt khác −1 
 � > 0 � > 0
⇔  ⇔  (∗) 
 (−1 − 2) ≠ � � ≠ 9
 k k
 dOMN( ,(,)) === dOdk (vì � > 0, � ≠ 9) 
 kk22++11
 1 � 1
�(�, ��) = ⇔ = ⇔ � + 1 = �√2 ⇔ � = 1 ⇒ � = 1 
 √2 √� + 1 √2
(vì � > 0, � ≠ 9) 
Đáp án là B. 
 21x -
Bài toán 3: Cho hàm số yC= ( ). 
 x -1
Gọi I là giao điểm hai tiệm cận của (�). Tìm điểm M thuộc (�) sao cho tiếp tuyến của 
(�) tại M vuông góc với đường thẳng MI. 
 Bài giải: 
 Giao điểm của hai đường tiệm cận của (�) là �(1; 2). Gọi �(�; �) ∈ (�)
 21a -
 Þba= ( ¹1) 
 a -1
 æö21a -
 Phương trình tiếp tuyến d của (�) tại Maç÷; là:
 èøa -1
 121a -
 y =-+ . 
 (1)()axaa--2 - 1
 9 
 NGUYỄN THỊ KIM THOA TOÁN 4T 
 1
 Phương trình đường thẳng MI là: yx=( -12) + . 
 (a -1)2
 11 éa = 0
 d vuông góc với MI nên: 
 -22. =-Û 1 ê 
 (aa--11) ( ) ëa = 2
 Vậy có hai điểm thoả yêu cầu bài toán là: �(0; 1), �(2; 3). 
Phân tích: 
 Nhiệm vụ đầu tiên của học sinh là phải tìm được giao điểm I của hai tiệm cận của (�). 
 Sau đó học sinh viết phương trình tiếp tuyến d của (�) tại �(�; �) ∈ (�) (lưu ý biểu 
diễn � theo �). 
 Tiếp theo học sinh vết phương trình đường thẳng MI. 
 Từ giả thiết d vuông góc với MI học sinh tìm được m để tích hai hệ số góc của hai đường 
thẳng đó bằng −1, hoặc tích vô hướng của hai vectơ pháp tuyến của hai đường thẳng đó 
bằng 0 
 Từ bài toán tự luận như trên, để kiếm tra được các khía cạnh của bài toán như giao điểm 
hai đường tiệm cận, phương trình tiếp tuyến, phương trình đường thẳng đi qua hai điểm, 
hai đường thẳng vuông góc, ta có thể sử dụng các câu hỏi trắc nghiệm khách quan như 
sau: 
 Đầu tiên để kiểm tra về kiến thức toạ độ giao điểm của hai đường tiệm cận, một câu hỏi 
phù hợp có thể được sử dụng là: 
 23x +
Câu 1: Cho hàm số y = có đồ thị (�). Khẳng định nào sau đây là đúng? 
 x -1
 3
A. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng � = 1 và tiệm cận ngang y =- 
 2
 3
B. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng � = −1 và tiệm cận ngang y =- 
 2
 3
C. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x =- và tiệm cận ngang � = 2 
 2
 10 
 NGUYỄN THỊ KIM THOA TOÁN 4T 
D. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng � = 1 và tiệm cận ngang � = 2 
Đáp án là D. 
 Từ hai đường tiệm cận vừa tìm được học sinh dễ dàng suy ra toạ độ giao điểm hai đường 
tiệm cận ở bài toán tự luận. 
 Một kỹ thuật tuy đơn giản nhưng rất quan trọng trong bài toán 2 là gọi toạ độ điểm � 
một cách tổng quát, câu hỏi được sử dụng để kỹ thuật này là: 
 21x +
Câu 2: Cho hàm số yC= ( ). Gọi �(�; �) là điểm thuộc đồ thị (�) 
 x +1
(� ≠ 1). �, � thoả mãn đẳng thức nào sau đây? 
 3 2
A. yo +=1 B. yo +=1 
 xo -1 xo -1
 3 3
C. yo -1= D. yo -1= 
 xo -1 xo -1
 23x +
 �(�; �) ∈ (�) nên toạ độ điểm � thoả mãn y = . Suy ra 
 x -1
 2� + 3 3
� = ⇔ � − 1 = 
 � − 1 � − 1
Đáp án là C. 
 Bước tiếp theo của bài toán là viết phương trình tiếp tuyến của (�) tại �. Câu hỏi để 
kiểm tra khả năng đó là: 
 21x +
Câu 3: Cho hàm số yC= ( ) . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (�) tại điểm có 
 x +1
hoành độ � = 0 là: 
A. � + � + 1 = 0 B. � − � − 1 = 0 
C. � − � + 1 = 0 D. � + � − 1 = 0 
 Phương trình tiếp tuyến tại �(�; �) của (�) có dạng: 
 2.0+ 1 1
 yy-ooo= yxxx¢( )( -) Û- y =( x-Û-010) xy+= 
 01+ (01+ )2
 11 
 NGUYỄN THỊ KIM THOA TOÁN 4T 
Đáp án là C. 
 Câu hỏi để kiểm tra về hai đường thẳng vuông góc là: 
 m2 1
Câu 4: Cho hai đường thẳng �, � lần lượt có phương trình: yx=-+ , 
 33
 � − �� − 3 = 0. Giá trị m để �, � vuông góc với nhau là: 
A. � ∈ {−3; 0} B. � ∈ {−3; 1} C. � ∈ {−1; 3} D. � ∈ {0; 3} 
 m2 1
 dy: =- x+Û- mx2 - 3 y+ 1 = 0 
 1 33
 
 �, � vuông góc với nhau nên: −� . 1 + (−3). (−�) = 0 
 2 ém = 0
 Û-mm+30 =Ûê 
 ëm = 3
. 
Đáp án là D. 
 12