Bài giảng Xác suất thống kê - Chương 3: Biến ngẫu nhiên nhiều chiều - Nguyễn Thị Thu Thủy

) = =
 fX x fX,Y x, y dy 0
 −  0, trái lại,
 ∞  0, trái lại,
  1
 Z
 +∞  3 3
 Z  3xdx, 0 < y < 1,  − y2, 0 < y < 1,
 2 2
 fY(y) = fX,Y(x, y)dx = y =
 −∞   0, trái lại.
  0, trái lại,
 (c) Vì fX,Y(x, y) ̸= fX(x) × fY(y) với (x, y) ∈ 풟 nên X, Y không độc lập.
3.4.3 Hàm mật độ xác suất có điều kiện
Định lý 3.3. Hàm mật độ có điều kiện của thành phần X biết Y = y là:
 f (x, y) f (x, y)
 f (x|y) = XY = XY (3.11)
 X f (y) Z +∞
 Y f (x, y)dx
 −∞
Hàm mật độ có điều kiện của thành phần Y biết X = x là:
 f (x, y) f (x, y)
 f (y|x) = XY = XY (3.12)
 Y f (x) Z +∞
 X f (x, y)dy
 −∞
Ví dụ 3.9. Cho biến ngẫu nhiên hai chiều (X, Y) có hàm mật độ đồng thời là
 1
  , nếu 0 < y < x < 1,
 f (x, y) = x
 0, nếu trái lại.
 (a) Tìm hàm mật độ xác suất biên của X và Y.
 (b) Tìm hàm mật độ xác suất có điều kiện fX(x|y); fY(y|x).
Lời giải:
3.4. Hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên hai chiều liên tục 79
MI2020-KỲ 20192–TÓM TẮT BÀI GIẢNG Nguyễn Thị Thu Thủy–SAMI-HUST
 (a) Các hàm mật độ biên của X, Y là:
  x
 Z
 +∞  1 
 Z  dy, 0 < x < 1, 1, 0 < x < 1,
 ( ) = ( ) = x =
 fX x fX,Y x, y dy 0
 −  0, trái lại,
 ∞  0, trái lại,
  1
 Z
 +∞  1 
 Z  dx, 0 < y < 1, − y < y <
 x ln , 0 1,
 fY(y) = fX,Y(x, y)dx = y =
 −∞   0, trái lại.
  0, trái lại,
 (b) Các hàm mật độ có điều kiện là:
  1
 f (x, y) − , 0 < y < x < 1,
 f (x|y) = X,Y = x ln y
 X f (y)
 Y  0, trái lại.
 1
 f (x, y)  , 0 < y < x < 1,
 f (y|x) = X,Y = x
 Y ( )
 fX x 0, trái lại.
3.5 Tính độc lập của các biến ngẫu nhiên
Một số dấu hiệu nhận biết tính độc lập của hai biến ngẫu nhiên X và Y dựa trên tính chất của
hàm phân phối xác suất đồng thời, hàm khối lượng xác suất đồng thời, hàm mật độ xác suất
đồng thời như trong Định nghĩa 3.3, 3.5 và 3.7 với các công thức (3.3), (3.7) và (3.10) tương
ứng.
TUẦN 10
3.6 Đặc trưng của biến ngẫu nhiên hai chiều
3.6.1 Kỳ vọng, phương sai của biến ngẫu nhiên thành phần
Định nghĩa 3.8 (Kỳ vọng. Phương sai). (a) Nếu (X, Y) là biến ngẫu nhiên hai chiều rời rạc
 có bảng phân phối xác suất đồng thời như trong Định nghĩa 3.2 thì
 E(X) = ∑ xiP(X = xi) = ∑ ∑ xi pij; E(Y) = ∑ yjP(Y = yj) = ∑ ∑ yj pij (3.13)
 i i j j j i
 2 2 2 2
 V(X) = ∑ ∑ xi pij − (E(X)) ; V(Y) = ∑ ∑ yj pij − (E(Y)) . (3.14)
 i j j i
3.5. Tính độc lập của các biến ngẫu nhiên 80
MI2020-KỲ 20192–TÓM TẮT BÀI GIẢNG Nguyễn Thị Thu Thủy–SAMI-HUST
 (b) Nếu (X, Y) là biến ngẫu nhiên hai chiều liên tục có hàm mật độ xác suất đồng thời
 fXY(x, y) thì
 +∞ +∞ +∞ +∞
 Z Z Z Z
 E(X) = x fXY(x, y)dxdy; E(Y) = y fXY(x, y)dxdy (3.15)
 −∞ −∞ −∞ −∞
 +∞ +∞ +∞ +∞
 Z Z Z Z
 2 2 2 2
 V(X) = x fXY(x, y)dxdy − (E(X)) ; V(Y) = y fXY(x, y)dxdy − (E(Y)) .
 −∞ −∞ −∞ −∞
 (3.16)
3.6.2 Hiệp phương sai
Định nghĩa 3.9 (Hiệp phương sai). Cho biến ngẫu nhiên hai chiều (X, Y), hiệp phương sai
của hai thành phần X và Y, ký hiệu là cov(X, Y) được xác định bởi
 cov(X, Y) = E [(X − E(X))(Y − E(Y))] (3.17)
Từ tính chất của kỳ vọng ta nhận được
 cov(X, Y) = E(XY) − E(X).E(Y) (3.18)
trong đó E(XY) được xác định theo công thức
 
  x y p , (nếu (X, Y) rời rạc)
 ∑ ∑ i j ij
  i j
 +∞ +∞
 E(XY) = Z Z
 
  xy fXY(x, y)dxdy, (nếu (X, Y) liên tục).
 
 −∞ −∞
Tính chất 3.4. (a) cov(X, Y) = cov(Y, X).
 (b) V(X) = cov(X, X), V(Y) = cov(Y, Y).
 (c) Nếu X, Y độc lập thì cov(Y, X) = 0, điều ngược lại chưa chắc đã đúng.
 (d) cov(aX, Y) = acov(X, Y).
 (e) cov(X + Z, Y) = cov(X, Y) + cov(Z, Y).
  n 
 n
 (f) cov ∑i=1 Xi, Y = ∑i=1 cov(Xi, Y).
Nhận xét 3.4. Hiệp phương sai được dùng làm độ đo quan hệ giữa hai biến X và Y:
 (a) cov(X, Y) > 0 cho thấy xu thế Y tăng khi X tăng.
 (b) cov(X, Y) < 0 cho thấy xu thế Y giảm khi X tăng.
Ví dụ 3.10. Cho biến ngẫu nhiên hai chiều (X, Y) có bảng phân phối xác suất đồng thời là
3.6. Đặc trưng của biến ngẫu nhiên hai chiều 81
MI2020-KỲ 20192–TÓM TẮT BÀI GIẢNG Nguyễn Thị Thu Thủy–SAMI-HUST
 H
 HH Y
 H -1 0 1
 HH
 X HH
 -1 4/15 1/15 4/15
 0 1/15 2/15 1/15
 1 0 2/15 0
 (a) Tìm E(X), E(Y), cov(X, Y).
 (b) X và Y có độc lập không?
 (c) Tìm bảng phân phối xác suất của X và Y.
Lời giải:
 (a) Ta có
 9 4 2 7
 E(X) = (−1) × + 0 × + 1 × = − .
 15 15 15 15
 5 5 5
 E(Y) = (−1) × + 0 × + 1 × = 0.
 15 15 15
 4 4
 E(XY) = (−1) × (−1) × + (−1) × (1) × + 1 × (−1) × 0 + 1 × 1 × 0 = 0.
 15 15
 Suy ra cov(X, Y) = E(XY) − E(X) × E(Y) = 0.
 (b) Dễ kiểm tra được P(X = −1, Y = −1) ̸= P(X = −1) × P(Y = −1) nên X, Y không độc
 lập.
 (c) Bảng phân phối xác suất của X, Y:
 X -1 0 1 Y -1 0 1
 P 9/15 4/15 5/15 P 5/15 5/15 5/15
Định nghĩa 3.10 (Ma trận hiệp phương sai). Ma trận hiệp phương sai của biến ngẫu nhiên
hai chiều (X, Y) được xác định bởi
 " # " #
 cov(X, X) cov(X, Y) V(X) cov(X, Y)
 Γ = =
 cov(Y, X) cov(Y, Y) cov(X, Y) V(Y)
Tính chất 3.5. (a) Ma trận hiệp phương sai là ma trận đối xứng.
 (b) Ma trận hiệp phương sai là ma trận của dạng toàn phương không âm.
Nhận xét 3.5. Hiệp phương sai có hạn chế cơ bản là khó xác định được miền biến thiên, nó
thay đổi từ cặp biến thiên này sang cặp biến thiên khác. Chưa kể về mặt vật lý nó có đơn vị
đo bằng bình phương đơn vị đo của biến ngẫu nhiên X, Y (nếu chúng cùng đơn vị đo). Vì thế
cần đưa ra một số đặc trưng khác để khắc phục hạn chế này, đó là "hệ số tương quan".
3.6. Đặc trưng của biến ngẫu nhiên hai chiều 82
MI2020-KỲ 20192–TÓM TẮT BÀI GIẢNG Nguyễn Thị Thu Thủy–SAMI-HUST
3.6.3 Hệ số tương quan
Định nghĩa 3.11 (Hệ số tương quan). Hệ số tương quan của hai biến ngẫu nhiên X và Y, ký
hiệu là ρXY, được xác định như sau:
 cov(X, Y) cov(X, Y)
 ρXY = p = (3.19)
 V(X).V(Y) σ(X)σ(Y)
Tính chất 3.6. (a) |ρXY| ≤ 1.
 (b) Nếu ρXY = ±1 ta nói hai biến ngẫu nhiên X và Y có quan hệ tuyến tính (tức là tồn tại a
 và b sao cho Y = aX + b).
 (c) Nếu ρXY = 0 ta nói hai biến ngẫu nhiên X và Y là không tương quan.
 Nói chung 0 < |ρXY| < 1, trong trường hợp này ta nói hai biến X và Y tương quan với
 nhau. Chú ý rằng, hai biến tương quan thì phụ thuộc (không độc lập), nhưng không
 tương quan thì chưa chắc độc lập.
Nhận xét 3.6. Hệ số tương quan đo mức độ phụ thuộc tuyến tính giữa X và Y. Khi |ρXY| càng
gần 1 thì tính chất tương quan tuyến tính càng chặt. Khi |ρXY| càng gần 0 thì sự phụ thuộc
tuyến tính càng ít, càng lỏng lẻo. Khi ρXY = 0 ta nói X và Y không tương quan. Như vậy hai
biến ngẫu nhiên độc lập thì không tương quan, nhưng ngược lại chưa chắc đúng.
Ví dụ 3.11. Cho biến ngẫu nhiên hai chiều rời rạc (X, Y) có bảng phân bố xác suất đồng thời
là
 HH
 H Y
 HH 1 2 3
 H
 X HH
 1 0,17 0,13 0,25
 2 0,10 0,30 0,05
 (a) Lập bảng phân phối xác suất của X, Y.
 (b) Lập ma trận Covarian của X, Y.
 (c) Tìm hệ số tương quan.
Lời giải:
 (a) Bảng phân phối xác suất của X và Y:
 X 1 2 Y 1 2 3
 P 0,55 0,45 P 0,27 0,43 0,3
3.6. Đặc trưng của biến ngẫu nhiên hai chiều 83
MI2020-KỲ 20192–TÓM TẮT BÀI GIẢNG Nguyễn Thị Thu Thủy–SAMI-HUST
 (b) Từ các bảng phân phối xác suất của X, Y ta có
 E(X) = 1 × 0, 55 + 2 × 0, 45 = 1, 45; V(X) = 1 × 0, 55 + 4 × 0, 45 − (1, 45)2 = 0, 2475.
 E(Y) = 2, 03; V(Y) = 0, 5691.
 E(XY) = 2, 88 =⇒ cov(X, Y) = E(XY) − E(X) × E(Y) = −0, 0635.
 Vậy ma trận hiệp phương sai
 ! !
 V(X) cov(X, Y) 0, 2475 −0, 0635
 Γ = =
 cov(Y, X) V(Y) −0, 0635 0, 5691
 cov(X, Y)
 (c) Hệ số tương quan ρXY = p = −0, 1692.
 V(X) × V(Y)
3.7 Hàm của hai biến ngẫu nhiên
Xét biến ngẫu nhiên Z = g(X, Y), trong đó (X, Y) là biến ngẫu nhiên hai chiều đã biết luật
phân phối.
Định nghĩa 3.12 (Kỳ vọng). Nếu biến ngẫu nhiên hai chiều (X, Y) có phân phối đã biết và ta
xác định một biến mới Z = g(X, Y) (g là hàm đo được) thì
 E(Z) = E [g(X, Y)] = ∑ ∑ g(xi, yj)P(xi, yj) (nếu (X, Y) rời rạc) (3.20)
 i j
 +∞ +∞
 Z Z
 = g(x, y) fXY(x, y)dxdy (nếu (X, Y) liên tục). (3.21)
 −∞ −∞
 Đặc biệt, khi g = X thay vào các công thức trên ta sẽ có E(X).
 Bây giờ ta sẽ xét luật phân phối xác suất của Z trong một số trường hợp đơn giản theo cách
sau:
 FZ(z) = P(Z < z) = P (g(X, Y) < z) = P ((X, Y) ∈ 풟) (3.22)
trong đó 풟 = {(x, y)|g(x, y) < z}.
Ví dụ 3.12. Hai người bạn hẹn gặp nhau ở công viên trong khoảng thời gian từ 17h đến 18h.
Họ hẹn nhau nếu người nào đến trước thì sẽ đợi người kia trong vòng 10 phút. Sau 10 phút
đợi nếu không gặp sẽ về. Thời điểm đến của hai người là ngẫu nhiên và độc lập với nhau
trong khoảng thời gian trên. Tính xác suất hai người gặp được nhau.
Lời giải: Quy gốc thời gian về lúc 17h. Gọi X, Y là biến ngẫu nhiên chỉ thời điểm người A, B
đến, ta có X, Y ∼ 풰(0; 60). Do X, Y độc lập nên chúng có hàm mật độ đồng thời
  1
  , (x, y) ∈ [0, 60]2 ,
 fX,Y(x, y) = 3600
  0, ngược lại.
3.7. Hàm của hai biến ngẫu nhiên 84
MI2020-KỲ 20192–TÓM TẮT BÀI GIẢNG Nguyễn Thị Thu Thủy–SAMI-HUST
Gọi Z là biến ngẫu nhiên chỉ khoảng thời gian giữa thời điểm đến của hai người. Ta có Z =
|X − Y|. Khi đó, xác suất hai người gặp nhau là
 P(Z < 10) = P (|X − Y| < 10) = P ((X, Y) ∈ 풟) ,
trong đó 풟 là giao của miền |X − Y| < 10 và hình vuông [0, 60]2. Vậy
 S풟 1100 11
 P(Z < 10) = = = .
 3600 3600 36
Ví dụ 3.13. Cho X, Y là 2 biến ngẫu nhiên độc lập với nhau có cùng phân phối đều trên [0, 2].
 (a) Tìm hàm phân phối của các biến ngẫu nhiên Z = X + Y, T = XY, U = X − Y.
 (b) Tính P(−1 ≤ Y − X ≤ 1)
Lời giải: Vì X và Y độc lập nên ta có hàm mật độ đồng thời của (X, Y) là
 1
  , (x, y) ∈ 풟,
 fX,Y(x, y) = 4
 0, trái lại,
trong đó 풟 := {0 ≤ x ≤ 2; 0 ≤ y ≤ 2}.
 (a1) Vì Z = X + Y nên 0 ≤ Z ≤ 4. Hàm phân phối xác suất của Z:
 ZZ 1 ZZ
 F (z) = P (X + Y < z) = f (x, y)dxdy = dxdy.
 Z X,Y 4
 {x+y<z}∩풟 {x+y<z}∩풟
 Nếu z ≤ 0 thì FZ(z) = 0.
 Z z Z z−x 2 2
 1   1 z z
 Nếu 0 < z ≤ 2 thì FZ(z) = 4 dy dx = × = .
 0 0 4 2 8
 Nếu 2 < z ≤ 4 thì
 2 2 2
 1 Z  Z  1 Z 1  
 F(z) = dy dx = (2 − z + x)dx = z2 − 8z + 16 .
 4 4 8
 z−2 z−x z−2
 1 ZZ
 Nếu z > 4 thì F (z) = dxdy = 1. Vậy
 Z 4
 풟
 
 0, nếu z ≤ 0,
 
 z2
  , nếu 0 < z ≤ 2,
 F (z) = 8
 Z 1
  (z2 − 8z + 16), nếu 2 < z ≤ 4,
 8
 
 1, nếu z > 4.
3.7. Hàm của hai biến ngẫu nhiên 85
MI2020-KỲ 20192–TÓM TẮT BÀI GIẢNG Nguyễn Thị Thu Thủy–SAMI-HUST
 (a2) Do T = XY nên ta có 0 ≤ T ≤ 4. Hàm phân phối của T được xác định như sau:
 Nếu t ≤ 0, FT(t) = 0.
 1 Z t/2 Z 2 Z 2 Z t/x  1  t 
 Nếu 0 < t ≤ 4, FT(t) = dx dy + dx dy = t + t ln 2 − t ln .
 4 0 0 t/2 0 4 2
 Nếu t > 4, FT(t) = 1. Vậy
 
 0, nếu t ≤ 0,
 
 1 t 
 FT(t) = t + t ln 2 − t ln , nếu 0 < t ≤ 4,
 4 2
 
 1, nếu t > 4.
 (a3) Do U = X − Y nên ta có −2 ≤ U ≤ 2. Từ đó hàm phân phối của U được xác định như
 sau:
 Nếu u ≤ −2, FU(u) = 0.
 Z u+2 Z 2
 1 1 1 2 1 2
 Nếu −2 < u ≤ 0, FU(u) = dx dy = × (2 + u) = (2 + u) .
 4 0 x−u 4 2 8
 1  1  1  u2 
 Nếu 0 < u ≤ 2 thì F (u) = 4 − (2 − u)2 = − + 2u + 2 .
 U 4 2 4 2
 Nếu u > 2, FU(u) = 1. Vậy
 
 0, nếu u ≤ −2,
 
 1
  (2 + u)2, nếu − 2 < u ≤ 0,
 ( ) = 8
 FU u 1
  (−u2 + 4u + 4), nếu 0 < u ≤ 2,
 8
 
 1, nếu u > 2.
 1  1 3
 (b) P (−1 ≤ Y − X ≤ 1) = P (X − 1 ≤ Y ≤ X + 1) = 4 − 2 × = .
 4 2 4
Ví dụ 3.14 (Đề thi cuối kỳ 20191). Cho U và V là hai biến ngẫu nhiên liên tục, độc lập với
nhau và có cùng phân phối đều trên [10; 30].
 (a) Tìm hàm mật độ xác suất đồng thời fU,V(u, v) của biến ngẫu nhiên hai chiều (U, V).
 (b) Tính P(|U − V| < 10).
Lời giải:
3.7. Hàm của hai biến ngẫu nhiên 86
MI2020-KỲ 20192–TÓM TẮT BÀI GIẢNG Nguyễn Thị Thu Thủy–SAMI-HUST
 (a) Vì U, V là hai biến ngẫu nhiên liên tục, có phân phối đều trên [10; 30] nên
  1  1
  , u ∈ [10; 30],  , v ∈ [10; 30],
 fU(u) = 20 fV(v) = 20
 0, u ∈/ [10; 30], 0, v ∈/ [10; 30].
  1
  , (u, v) ∈ [10; 20]2,
 Mặt khác vì U và V độc lập nên fU,V(u, v) = 400
 0, (u, v) ∈/ [10; 20]2.
 ZZ
 2
 (b) P(|U − V| < 10) = fU,V(u, v)dudv với D = {(u, v) ∈ R : |u − v| < 10}. Sử
 D∩SU,V
 1 3
 dụng tính chất của tích phân hai lớp suy ra P(|U − V| < 10) = (202 − 102) = =
 400 4
 0, 75.
3.8 Luật số lớn và định lý giới hạn trung tâm
3.8.1 Luật số lớn
Bất đẳng thức Trê-bư-sep
Định lý 3.4. Cho Y là biến ngẫu nhiên không âm. Khi đó với e > 0 tùy ý cho trước ta có:
 E(Y2)
 P(Y ≥ e) < (3.23)
 e2
Chứng minh. Ta chứng minh cho trường hợp Y là biến ngẫu nhiên liên tục.
 +∞ +∞ +∞ +∞
 Z 1 Z 1 Z 1 Z E(Y2)
 P(Y ≥ ε) = f (y)dy = ε2 f (y)dy ≤ y2 f (y)dy ≤ y2 f (y)dy = .
 ε2 ε2 ε2 ε2
 ε ε ε 0
Dấu bằng không thể đồng thời xảy ra ở cả 2 dấu "=" và "≤" trong biểu thức trên.
Định lý 3.5. Cho X là biến ngẫu nhiên có E(X) = µ, V(X) = σ2 hữu hạn. Khi đó với e > 0
tùy ý cho trước ta có:
 σ2
 P(|X − µ| ≥ e) < (3.24)
 e2
hay tương đương
 σ2
 P(|X − µ| < e) ≥ 1 − (3.25)
 e2
Chứng minh. Ta chứng minh cho trường hợp X là biến ngẫu nhiên liên tục. Ta chỉ cần đặt
Y = |X − µ| và áp dụng Định lý 3.4.
3.8. Luật số lớn và định lý giới hạn trung tâm 87
MI2020-KỲ 20192–TÓM TẮT BÀI GIẢNG Nguyễn Thị Thu Thủy–SAMI-HUST
Luật số lớn Trê-bư-sep
 1 n
Áp dụng Định lý (3.5) với X = ∑ Xi ta có luật số lớn Trê-bư-sep.
 n i=1
Định lý 3.6. Nếu dãy các biến ngẫu nhiên X1, X2,..., Xn,... độc lập, có kỳ vọng hữu hạn và
phương sai bị chặn đều (V(Xi) ≤ C, ∀i = 1, 2, . . . , C là hằng số dương), khi đó với e > 0 tùy
ý cho trước ta có:
  1 n 1 n  
 lim P  Xi − E(Xi) < e = 1 (3.26)
 n→+∞  ∑ ∑ 
 n i=1 n i=1
Hệ quả 3.1. Nếu dãy các biến ngẫu nhiên X1, X2,..., Xn,... độc lập, có cùng kỳ vọng hữu
hạn (E(Xi) = µ, i = 1, 2, . . . ) và phương sai bị chặn đều (V(Xi) ≤ C ∀i = 1, 2, . . . , C là hằng
số dương), khi đó với e > 0 tùy ý cho trước ta có:
  1 n  
 lim P  Xi − µ < e = 1 (3.27)
 n→+∞  ∑ 
 n i=1
Nhận xét 3.7. Kết quả này cho phép ta ước lượng kỳ vọng bằng trung bình cộng các kết quả
đo đạc độc lập của biến ngẫu nhiên có kỳ vọng đó.
Luật số lớn Béc-nu-li
Áp dụng luật số lớn Trê-bư-sep với trường hợp Xi ∼ ℬ(1, p) chính là số lần xảy ra A trong
phép thử thứ i ta có luật số lớn Béc-nu-li.
Định lý 3.7. Giả sử ta có n phép thử Béc–nu–li với P(A) = p và m là số lần xảy ra A trong n
phép thử đó. Khi đó với ε > 0 tùy ý cho trước ta có:
 m  
 lim P  − p < e = 1 (3.28)
 n→+∞  n 
Nhận xét 3.8. Với luật số lớn Béc-nu-li ta đã chứng minh được điều thừa nhận trong phần
 m
Định nghĩa xác suất theo quan điểm thống kê ở Chương 1: Khi n → +∞ thì → p.
 n
3.8.2 Định lý giới hạn trung tâm
 2
Giả sử {Xn} là dãy biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối với E(Xn) = µ, V(Xn) = σ với
 1 n
mọi n. Đặt Xn = ∑ Xi. Khi đó với n đủ lớn ta có:
 n i=1
  σ2 
 X ∼ 풩 µ, (3.29)
 n n
hay
 X − µ√
 n n ∼ 풩 (0; 1) (3.30)
 σ
3.8. Luật số lớn và định lý giới hạn trung tâm 88
MI2020-KỲ 20192–TÓM TẮT BÀI GIẢNG Nguyễn Thị Thu Thủy–SAMI-HUST
Nhận xét 3.9. Ý nghĩa của Định lý giới hạn trung tâm là khi có nhiều nhân tố ngẫu nhiên tác
động (sao cho không có nhân tố nào vượt trội lấn át các nhân tố khác) thì kết quả của chúng
có dạng phân phối tiệm cận chuẩn.
3.8. Luật số lớn và định lý giới hạn trung tâm 89