Bài giảng Xác suất thống kê - Chương 2: Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất - Nguyễn Thị Thu Thủy

Ví dụ 2.28. Một ga ra cho thuê ôtô thấy rằng số người đến thuê ôtô vào thứ bảy cuối tuần là
một biến ngẫu nhiên tuân theo luật phân phối Poát-xông với tham số λ = 2. Giả sử gara có 4
chiếc ôtô.
 (a) Tìm xác suất để tất cả 4 ôtô đều được thuê vào thứ 7.
 (b) Tìm xác suất gara không đáp ứng được yêu cầu (thiếu xe cho thuê) vào thứ 7.
 (c) Trung bình có bao nhiêu ôtô được thuê vào ngày thứ 7?
Lời giải: Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ "số người đến thuê ôtô vào thứ bảy". Theo giả thiết X
là biến ngẫu nhiên phân phối tuân theo quy luật Poát-xông 풫(λ). Gọi Y là biến ngẫu nhiên
chỉ "số xe được thuê vào thứ bảy".
 (a) Áp dụng công thức (2.31),
 P(Y = 4) = P(X ≥ 4) = 1 − P(X < 4)
 = 1 − P(X = 0) − P(X = 1) − P(X = 2) − P(X = 3)
 20 21 22 23 
 = 1 − e−2 + + + = 0, 1429.
 0! 1! 2! 3!
 24
 (b) P(X > 4) = P(X ≥ 4) − P(X = 4) = 0, 1429 − e−2 = 0, 0527.
 4!
 (c) Y có thể nhận các giá trị 0, 1, 2, 3, 4, với
 P(Y = 0) = P(X = 0) = 0, 1353, P(Y = 1) = P(X = 1) = 0, 2707,
 P(Y = 2) = P(X = 2) = 0, 2707, P(Y = 3) = P(X = 3) = 0, 1804,
 P(Y = 4) = P(X ≥ 4) = 0, 1429.
 Bảng phân phối xác suất của Y là:
 X 0 1 2 3 4
 p 0, 1353 0, 2707 0, 2707 0, 1804 0, 1429
 Khi đó, trung bình số ôtô được thuê trong ngày thứ bảy là E(Y) = 1, 9249, tức là khoảng
 2 chiếc.
Ví dụ 2.29 (Đề thi MI2020 kỳ 20191). Số khách hàng đến một cửa hàng bán lẻ là một biến
ngẫu nhiên có phân phối Poisson với trung bình 6 khách hàng đến trong vòng một giờ. Nếu
có đúng 5 khách hàng đến trong khoảng thời gian từ 10:00 đến 11:00 thì xác suất để có ít nhất
8 khách hàng đến trong khoảng thời gian từ 10:00 đến 11:30 là bao nhiêu?
2.4. Một số phân phối xác suất thông dụng 59
MI2020-KỲ 20192–TÓM TẮT BÀI GIẢNG Nguyễn Thị Thu Thủy–SAMI-HUST
Lời giải: Gọi X là "số khách hàng đến cửa hàng bán lẻ trong vòng 30 phút". X ∼ 풫(λ). Xác
suất cần tìm p = P(X ≥ 3) với λ = 3. Vậy,
 p = 1 − P(X < 3) = 1 − P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)
 h30 31 32 i
 = 1 − e−3 + +
 0! 1! 2!
 = 1 − 0, 42319 = 0, 57681.
Chú ý 2.3. Giá trị xác suất của phân phối Poa–xông được tính sẵn trong bảng giá trị khối
lượng xác suất Poa–xông (Phụ lục 5).
TUẦN 8
2.4.4 Phân phối chuẩn
2.4.4a Phân phối chuẩn
Định nghĩa 2.16 (Phân phối chuẩn). Biến ngẫu nhiên liên tục X được gọi là tuân theo luật
phân phối chuẩn với tham số µ, σ2, ký hiệu là X ∼ 풩 (µ, σ2), nếu hàm mật độ xác suất của X
có dạng
 (x − µ)2
 −
 1 2
 fX(x) = √ e 2σ , x ∈ R (2.32)
 σ 2π
ở đây e và π được lấy xấp xỉ lần lượt là 2.71828 và 3.14159.
Nhận xét 2.12. Phân phối liên tục quan trọng nhất trong lĩnh vực thống kê là phân phối
chuẩn. Đồ thị của hàm mật độ xác suất fX(x) của biến ngẫu nhiên tuân theo luật phân phối
chuẩn, được gọi là đường cong chuẩn, có dạng hình chuông (xem Hình 2.5), mô tả gần đúng
nhiều hiện tượng trong tự nhiên, công nghiệp và nghiên cứu.
 Hình 2.5: Đường cong chuẩn
2.4. Một số phân phối xác suất thông dụng 60
MI2020-KỲ 20192–TÓM TẮT BÀI GIẢNG Nguyễn Thị Thu Thủy–SAMI-HUST
 Hình 2.6 mô tả hai đường cong chuẩn có cùng độ lệch chuẩn nhưng kỳ vọng khác nhau.
Hai đường cong giống hệt nhau về hình thức nhưng được tập trung tại các vị trí khác nhau
dọc theo trục hoành.
 Hình 2.6: Đường cong chuẩn với µ1 < µ2 và σ1 = σ2
Hình 2.7 mô tả hai đường cong chuẩn có cùng kỳ vọng nhưng độ lệch chuẩn khác nhau. Hình
2.8 mô tả cho trường hợp kỳ vọng và độ lệch chuẩn khác nhau.
 Hình 2.7: Đường cong chuẩn với µ1 = µ2 và σ1 < σ2
Định lý 2.1. Kỳ vọng và phương sai của biến ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn
 E(X) = µ, V(X) = σ2 (2.33)
và độ lệch tiêu chuẩn là σ(X) = σ.
Chứng minh. Để xác định kỳ vọng, trước hết ta tính
 ∞ 2
 1 Z − (x−µ)
 E[X − µ] = √ (x − µ)e 2σ2 dx.
 σ 2π
 −∞
2.4. Một số phân phối xác suất thông dụng 61
MI2020-KỲ 20192–TÓM TẮT BÀI GIẢNG Nguyễn Thị Thu Thủy–SAMI-HUST
 Hình 2.8: Đường cong chuẩn với µ1 < µ2 và σ1 < σ2
Đặt z = (x − µ)/σ và dx = σdz, ta nhận được
 ∞
 Z 2
 1 − z
 E[X − µ] = √ ze 2 dz = 0,
 2π
 −∞
vì hàm số dưới dấu tích phân là hàm lẻ của z. Do đó,
 E[X] = µ.
Phương sai của biến ngẫu nhiên tuân theo luật phân phối chuẩn được cho bởi
 ∞
 Z (x−µ)2
 2 1 2 −
 E[(X − µ) ] = √ (x − µ) e 2σ2 dx.
 σ 2π
 −∞
Đặt z = (x − µ)/σ và dx = σdz, ta nhận được
 ∞
 2 Z 2
 2 σ 2 − z
 E[(X − µ) ] = √ z e 2 dz.
 2π
 −∞
 2 2
Tích phân từng phần với u = z và dv = ze−z /2dz suy ra du = dz và v = −e−z /2, ta tìm được
 ∞
 2 ∞ Z 2
 σ  − 2  − z 
 2 z /2 2 2 2
 E[(X − µ) ] = √ − ze  + e dz = σ (0 + 1) = σ .
 2π −∞
 −∞
Định lý 2.2. Nếu X là biến ngẫu nhiên tuân theo luật phân phối chuẩn 풩 (µ, σ2), thì biến
ngẫu nhiên Y = aX + b tuân theo luật phân phối chuẩn 풩 (aµ + b, a2σ2).
 2
Chú ý 2.4. (a) Nếu X1, X2 là hai biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối chuẩn X1 ∼ 풩 (µ1, σ1 ),
 2 2 2
 X2 ∼ 풩 (µ2, σ2 ) thì X1 + X2 cũng có phân phối chuẩn X1 + X2 ∼ 풩 (µ1 + µ2, σ1 + σ2 ).
 2
 (b) Nếu n biến ngẫu nhiên độc lập Xi cùng có phân phối chuẩn 풩 (µ, σ ), i = 1, . . . , n, thì
 biến ngẫu nhiên
 X + X + ··· + X  σ2 
 X = 1 2 n ∼ 풩 µ, .
 n n
2.4. Một số phân phối xác suất thông dụng 62
MI2020-KỲ 20192–TÓM TẮT BÀI GIẢNG Nguyễn Thị Thu Thủy–SAMI-HUST
2.4.4b Phân phối chuẩn tắc
Phân phối chuẩn 풩 (µ, σ2) với µ = 0 và σ = 1 gọi là phân phối chuẩn tắc 풩 (0, 1).
 Nếu X là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn 풩 (µ, σ2) thì
 X − µ
 U = (2.34)
 σ
là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn tắc 풩 (0, 1).
Hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn tắc là
 2
 1 − x
 ϕ(x) = √ e 2 , x ∈ R (2.35)
 2π
Đây là hàm Gau–xơ với các giá trị được tính sẵn trong Phụ lục 1.
 Hình 2.9: Hàm mật độ của biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn tắc 풩 (0, 1)
Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên U phân phối chuẩn tắc là
 x
 Z 2
 1 − t
 ΦU(x) = √ e 2 dt, x ∈ R (2.36)
 2π
 −∞
với các giá trị được tính sẵn trong Phụ lục 3.
Chú ý 2.5. (a) Mối liên hệ giữa hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên phân phối
 chuẩn tắc (2.36) và hàm Láp–la–xơ (1.24) là
 Φ(x) = 0, 5 + φ(x), x ≥ 0 (2.37)
 2
 (b) Nếu n biến ngẫu nhiên độc lập Xi cùng có phân phối chuẩn 풩 (µ, σ ), i = 1, . . . , n, và
 X + X + ··· + X X − µ√
 X = 1 2 n thì biến ngẫu nhiên U = n có phân phối chuẩn tắc
 n σ
 풩 (0, 1).
2.4. Một số phân phối xác suất thông dụng 63
MI2020-KỲ 20192–TÓM TẮT BÀI GIẢNG Nguyễn Thị Thu Thủy–SAMI-HUST
2.4.4c Xác suất để biến ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn 풩 (µ, σ2) nhận giá
trị trong khoảng (α, β)
  β − µ α − µ
 P(α < X < β) = φ − φ (2.38)
 σ σ
trong đó φ(x) là hàm số Láp–la–xơ xác định bởi (1.24).
 x − µ
 Thật vậy, sử dụng phép đổi biến t = ta nhận được
 σ
 2 β−µ
 β (x − µ) σ
 Z − Z 2
 1 1 − t
 P(α < X < β) = √ e 2σ2 dx = √ e 2 dt.
 σ 2π 2π
 α α−µ
 σ
Từ đây và (1.24) ta nhận được (2.38).
2.4.4d Quy tắc 3σ
Từ (2.38) suy ra P(|X − µ| < tσ) = 2φ(t), thay t = 1, 2, 3, tra bảng hàm số Láp–la–xơ (Phụ lục
2) ta nhận được
 P(|X − µ| < σ) = 2φ(1) = 0, 6827,
 P(|X − µ| < 2σ) = 2φ(2) = 0, 9545,
 P(|X − µ| < 3σ) = 2φ(3) = 0, 9973. (2.39)
Quy tắc 3σ được phát biểu như sau: Hầu chắc chắn rằng (với độ tin cậy 0,9973) X có phân phối
chuẩn 풩 (µ, σ2) lấy giá trị trong khoảng (µ − 3σ, µ + 3σ).
 Trong thực tế, quy tắc 3σ được áp dụng như sau: Nếu quy luật phân phối xác suất của
biến ngẫu nhiên được nghiên cứu chưa biết, song nó thỏa mãn điều kiện của Quy tắc 3σ thì
có thể xem như nó là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn.
Chú ý 2.6. (a) Phân phối chuẩn được Gao–xơ tìm ra năm 1809 nên nó còn được gọi là phân
 phối Gao–xơ.
 (b) Phân phối chuẩn thường được sử dụng trong các bài toán đo đạc các đại lượng vật lý,
 thiên văn . . .
 (c) Trong thực tế, nhiều biến ngẫu nhiên tuân theo phân phối chuẩn hoặc tiệm cận chuẩn.
 Chẳng hạn, trọng lượng, chiều cao của một nhóm người nào đó; điểm thi của thí sinh;
 năng suất cây trồng; mức lãi suất của một công ty; nhu cầu tiêu thụ của một mặt hàng
 nào đó; nhiễu trắng trên các kênh thông tin . . . là các biến ngẫu nhiên có phân phối
 chuẩn.
Ví dụ 2.30. Lãi suất (%) đầu tư vào một dự án trong năm 2018 được coi như một biến ngẫu
nhiên tuân theo quy luật chuẩn. Theo đánh giá của ủy ban đầu tư thì với xác suất 0,1587 cho
2.4. Một số phân phối xác suất thông dụng 64
MI2020-KỲ 20192–TÓM TẮT BÀI GIẢNG Nguyễn Thị Thu Thủy–SAMI-HUST
lãi suất lớn hơn 20% và với xác suất 0,0228 cho lãi suất lớn hơn 25%. Vậy khả năng đầu tư mà
không bị lỗ là bao nhiêu?
Lời giải: Gọi X là lãi suất (%) của dự án trong năm 2018. Khi đó X là biến ngẫu nhiên có phân
phối chuẩn 풩 (µ, σ2). Theo đầu bài ta có
 20 − µ
 P(X > 20) = P(20 < X < +∞) = 0, 5 − φ = 0, 1587
 σ
và
 25 − µ
 P(X > 25) = P(25 < X < +∞) = 0, 5 − φ = 0, 0228.
 σ
 20 − µ 25 − µ
Từ bảng giá trị hàm số Láp–la–xơ (Phụ lục 2) suy ra = 1 và = 2. Hay µ = 15,
 σ σ
σ = 5. Vậy khả năng đầu tư không bị lỗ là
 P(X ≥ 0) = 0, 5 + φ(3) = 0, 5 + 0, 49865 = 0, 99865.
2.4.4e Xấp xỉ phân phối nhị thức bởi phân phối chuẩn
Phân phối chuẩn có thể dùng xấp xỉ khá tốt cho một số phân phối rời rạc.
Định lý 2.3. Nếu X là biến ngẫu nhiên tuân theo luật phân phối chuẩn với kỳ vọng µ = np
và phương sai σ2 = npq, thì giới hạn của phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên
 X − np
 Z = √ ,
 npq
khi n → ∞ tuân theo luật phân phối chuẩn tắc 풩 (0, 1).
 Phân phối chuẩn với kỳ vọng µ = np và phương sai σ2 = npq không chỉ xấp xỉ khá tốt cho
phân phối nhị thức khi n khá lớn và xác suất p không quá gần 0 hoặc 1 mà còn cung cấp một
xấp xỉ khá tốt cho phân phối nhị thức ngay cả khi n nhỏ và p gần 1/2.
 Để minh họa việc xấp xỉ phân phối chuẩn cho phân phối nhị thức, ta vẽ biểu đồ của
ℬ(15; 0, 4) và vẽ đường cong chuẩn có cùng kỳ vọng µ = np = 15 × 0, 4 = 6 và phương sai
σ2 = npq = 15 × 0, 4 × 0, 6 = 3, 6 với biến ngẫu nhiên tuân theo luật phân phối nhị thức X
(xem Hình 2.10).
 Trong hình minh họa về xấp xỉ phân phối nhị thức bởi phân phối chuẩn, vì ta xấp xỉ một
phân phối rời rạc bằng một phân phối liên tục, nên cần một sự hiệu chỉnh để giảm sai số.
Định nghĩa 2.17. Cho X là biến ngẫu nhiên tuân theo luật phân phối nhị thức ℬ(n; p). Phân
phối xác suất của X được xấp xỉ bởi phân phối chuẩn 풩 (µ, σ2) với µ = np và σ2 = np(1 − p)
và
 k + 0, 5 − µ k − 0, 5 − µ
 P(X = k) = Ck pk(1 − p)n−k ≃ φ − φ (2.40)
 n σ σ
2.4. Một số phân phối xác suất thông dụng 65
MI2020-KỲ 20192–TÓM TẮT BÀI GIẢNG Nguyễn Thị Thu Thủy–SAMI-HUST
 Hình 2.10: Xấp xỉ phân phối chuẩn cho phân phối nhị thức ℬ(15; 0, 4)
 k2 k + 0, 5 − µ k − 0, 5 − µ
 P(k ≤ X ≤ k ) = Ck pk(1 − p)n−k ≃ φ 2 − φ 1 (2.41)
 1 2 ∑ n σ σ
 k=k1
Xấp xỉ là khá tốt nếu np ≥ 5 và n(1 − p) ≥ 5.
Nhận xét 2.13. Hình 2.11 và 2.12 biểu thị biểu đồ xác suất nhị thức với n = 25 và p = 0.5,
p = 0.1 tương ứng. Phân phối trong Hình 2.11 là hoàn toàn đối xứng.
Hình 2.11: Phân phối nhị thức với n = 25 và p = 0, 5 xấp xỉ bởi phân phối chuẩn với µ = 12, 5
và σ = 2, 5
 Việc thêm +0, 5 và −0, 5 chính là yếu tố hiệu chỉnh và gọi là hiệu chỉnh liên tục.
Ví dụ 2.31. Sử dụng phân phối chuẩn xấp xỉ xác suất X = 8, 9, hoặc 10 cho biến ngẫu nhiên
X tuân theo luật phân phối nhị thức với n = 25 và p = 0, 5. So sánh với công thức tính chính
xác.
2.4. Một số phân phối xác suất thông dụng 66
MI2020-KỲ 20192–TÓM TẮT BÀI GIẢNG Nguyễn Thị Thu Thủy–SAMI-HUST
 Hình 2.12: Phân phối nhị thức và xấp xỉ phân phối chuẩn với n = 25 và p = 0, 1
Lời giải: Vì X là biến ngẫu nhiên tuân theo luật phân phối nhị thức với n = 25 và p = 0, 5,
  8 9 10
 25
P(8 ≤ X ≤ 10) = P(X = 8) + P(X = 9) + P(X = 10) = C25 + C25 + C25 × (0, 5) ≃ 0, 190535.
 √
 Sử dụng công thức xấp xỉ (2.41) với µ = np = 12, 5, σ = npq = 2, 5 ta nhận được
 P(8 ≤ X ≤ 10) ≃ φ(−0.8) − φ(−2) = 0, 18911.
Giá trị xấp xỉ 0,18911 với giá trị thực 0,190535 là khá gần nhau.
Ví dụ 2.32. Kiểm tra chất lượng 1000 sản phẩm với tỷ lệ chính phẩm 0,95. Tìm xác suất để số
chính phẩm trong lô kiểm tra từ 940 đến 960.
Lời giải: Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ số chính phẩm trong lô sản phẩm kiểm tra, ta có
X ∼ ℬ(1000; 0, 95). Với n = 1000, p = 0, 95, ta có np = 950 và np(1 − p) = 47, 5 đủ lớn nên ta
xấp xỉ bởi X ∼ 풩 (950; 47, 5):
 960 + 0, 5 − 950 940 − 0, 5 − 950
 P(940 ≤ X ≤ 960) = φ √ − φ √
 47, 5 47, 5
 = φ(1, 52) − φ(−1, 52) = 2φ(1, 52) = 0, 8716.
2.4.5 Phân phối khi bình phương
Định nghĩa 2.18 (Phân phối khi bình phương). Biến ngẫu nhiên liên tục X được gọi là tuân
 2
theo luật phân phối khi bình phương với n bậc tự do, ký hiệu là X ∼ χn, nếu hàm mật độ xác
2.4. Một số phân phối xác suất thông dụng 67
MI2020-KỲ 20192–TÓM TẮT BÀI GIẢNG Nguyễn Thị Thu Thủy–SAMI-HUST
suất của X có dạng
 n −1
  x  2
 1 − x 2
 f (x) = e 2 , x > 0 (2.42)
 2  n 
 Γ 2
ở đây
 +∞
 Z
 Γ(x) = tx−1e−tdt, x > 0
 0
là hàm Gamma.
 Định nghĩa sau cho cách nhận biết một biến ngẫu nhiên có phân phối khi bình phương
xuất phát từ n biến ngẫu nhiên độc lập có cùng phân phối chuẩn tắc.
Định nghĩa 2.19. Nếu X1, X2,..., Xn là các biến ngẫu nhiên độc lập có cùng phân phối chuẩn
tắc 풩 (0, 1) thì
 2 2 2 2
 Un = X1 + X2 + ··· + Xn ∼ χn (2.43)
 Kỳ vọng và phương sai của biến ngẫu nhiên Un có phân phối khi bình phương:
 E(Un) = n, V(Un) = 2n (2.44)
Tính chất 2.6. (a) Nếu X1 và X2 là hai biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối khi bình
 phương với n1, n2 bậc tự do thì biến ngẫu nhiên X1 + X2 có phân phối khi bình phương
 với n1 + n2 bậc tự do.
 U − n
 (b) Biến ngẫu nhiên √n có phân phối xấp xỉ phân phối chuẩn tắc 풩 (0, 1) khi n đủ lớn.
 2n
 (c) Một hệ quả quan trọng được dùng nhiều trong thống kê: Nếu X1, X2,..., Xn là các biến
 ngẫu nhiên độc lập có phân phối chuẩn 풩 (µ, σ2) và
 1  
 X = X + X + ··· + X
 n 1 2 n
 thì
 1 n  2
 − ∼ 2
 2 ∑ Xi X χ(n−1).
 σ i=1
2.4.6 Phân phối Student
Định nghĩa 2.20 (Phân phối Student). Biến ngẫu nhiên liên tục X được gọi là tuân theo luật
phân phối Student với n bậc tự do, ký hiệu là X ∼ 풯 n, nếu hàm mật độ xác suất của X có
dạng
 n+1  
 !− 2 n+1
 x2 Γ 2
 f (x) = 1 + √ , −∞ < x < +∞ (2.45)
 n  n 
 nπΓ 2
ở đây Γ(x) là hàm Gamma.
2.4. Một số phân phối xác suất thông dụng 68
MI2020-KỲ 20192–TÓM TẮT BÀI GIẢNG Nguyễn Thị Thu Thủy–SAMI-HUST
 Để nhận biết một biến ngẫu nhiên có phân phối Student ta sử dụng định nghĩa sau.
 2
Định nghĩa 2.21. Nếu X và Y là hai biến ngẫu nhiên độc lập tuân theo luật 풩 (0, 1) và χn
tương ứng thì
 X n
 Tn = ∼ 풯 (2.46)
 »Y
 n
Kỳ vọng và phương sai của biến ngẫu nhiên Tn có phân phối Student:
 n
 E(T ) = 0, n > 1, V(T ) = , n > 2 (2.47)
 n n n − 2
Tính chất 2.7. Biến ngẫu nhiên Tn có phân phối xấp xỉ phân phối chuẩn tắc 풩 (0, 1) khi n đủ
lớn.
Nhận xét 2.14. (a) Phân phối Student có cùng dạng và tính đối xứng như phân phối chuẩn
 nhưng nó phản ánh tính biến đổi của phân phối sâu sắc hơn. Phân phối chuẩn không
 thể dùng để xấp xỉ phân phối khi mẫu có kích thước nhỏ. Trong trường hợp này ta dùng
 phân phối Student.
 (b) Khi bậc tự do n tăng lên (n ≥ 30) thì phân phối Student tiến nhanh về phân phối chuẩn.
 Do đó khi n ≥ 30 ta có thể dùng phân phối chuẩn thay thế cho phân phối Student.
2.4. Một số phân phối xác suất thông dụng 69