Bài giảng Toán rời rạc - Chương: Hàm sinh - Trần Vĩnh Đức

 Hàm sinh
 Trần Vĩnh Đức
 HUST
Ngày 26 tháng 4 năm 2016
 1 / 51
Nội dung
 Đếm và đa thức
 Định nghĩa hàm sinh
 Các phép toán trên hàm sinh
 Một bài toán đếm
Ký hiệu hình thức
 ▶ Có 2 quả táo, 3 quả mận, và 4 quả đào.
 ▶ Ta ký hiệu
 T := “lấy một quả táo”
 M := “lấy một quả mận”
 D := “lấy một quả đào”.
 ▶ Lấy 1 quả táo, 2 quả mận, và 3 quả đào:
 TMMDDD = TM2D3.
 ▶ Lấy 1 quả táo, 1 quả mận, và 1 quả đào hoặc lấy 1 quả táo, 1
 quả đào, và 2 quả mận”:
 TMD + TMD2.
 3 / 51
Câu hỏi
Xâu sau đây biểu diễn những lựa chọn gì?
 TMD + TMD2 + TM2D + T2MD + TM2D2 + ··· + T2M3D4
 = (T + T2)(M + M2 + M3)(D + D2 + D3 + D4).
Lời giải
Đây như một chuỗi hình thức mô tả mọi khả năng chọn trong số 2
quả táo, 3 quả mận, và 4 quả đào, mỗi loại ít nhất một quả.
 4 / 51
Bài tập
Có bao nhiêu cách chọn 6 quả trong số 2 quả táo, 3 quả mận, và 4
quả đào, mỗi loại ít nhất một quả?
Lời giải
 ▶ Ta chỉ cần thay thế mỗi T, M, D bằng biến hình thức x trong
 chuỗi
 (T + T2)(M + M2 + M3)(D + D2 + D3 + D4).
 ▶ Vậy mọi số hạng có số mũ 6 ứng với số lần x6 xuất hiện.
 ▶ Hệ số của x6 chính là số cách chọn 6 quả.
 5 / 51
Đa thức và đếm
 ▶ Khi thay thế T, M, D bằng x thì hệ số của xk chính là số cách
 chọn đúng k quả.
 ▶ Ta có
 (x + x2)(x + x2 + x3)(x + x2 + x3 + x4)
 = x3(1 + x)(1 + x + x2)(1 + x + x2 + x3)
 = x3(1 + 2x + 2x2 + x3)(1 + x + x2 + x3)
 = x3 + 3x4 + 5x5 + 6x6 + 5x7 + 3x8 + x9.
 ▶ Vậy có 6 cách lựa chọn 6 quả, 5 cách chọn 7 quả ... .
 6 / 51
Câu hỏi
 ▶ Giả sử một quả mận có 20 calo, một quả đào có 40 calo, và
 một quả táo có 60 calo.
 ▶ Nếu ta thay thế
 T → x60, M → x40 D → x20
 trong chuỗi hình thức
 (T + T2)(M + M2 + M3)(D + D2 + D3 + D4).
 thì hệ số của xn là gì?
 7 / 51
Lời giải
 ▶ Ta thay thế
 T → x60, M → x40 D → x20
 ▶ Vậy thì hệ số của xn của đa thức là số cách chọn quả để có n
 calo.
 ▶ Vì khi chọn TiMjDk ta được 60i + 40j + 20k calo.
 8 / 51
Ví dụ
 ▶ Từ đa thức
 (x60 + x120)(x40 + x80 + x120)(x20 + x40 + x60 + x80)
 = x120(1 + x20 + 2x40 + 3x60 + 3x80 + 4x100 + 3x120
 + 3x140 + 2x160 + x180 + x200)
 = x120 + x140 + 2x160 + 3x180 + 3x200 + 4x220 + 3x240
 + 3x260 + 2x280 + x300 + x320
 ▶ Ta thấy có 3 cách chọn quả để có 200 calo.
 9 / 51
Bài tập
 ▶ Biết rằng quả táo giá 60 đồng, quả mận giá 40 đồng, và đào
 giá 20 đồng.
 ▶ Có bao nhiêu cách chọn các quả giá 200 đồng, có thể có loại
 quả không được chọn?
 10 / 51
Bài tập
Hãy tìm đa thức có hệ số xk là số nghiệm nguyên không âm của
phương trình
 x1 + x2 + x3 = k.
 11 / 51
Câu hỏi
Ta có thể dùng kỹ thuật mô tả ở phần trước để lựa chọn các quả
táo, đào và mận nhưng không hạn chế bao nhiêu quả cần lấy.
T0M0D0 + TM0D0 + ··· + TMD + TMD2 + ··· + TiMjDk + ···
 12 / 51
Tính toán hình thức
 ▶ Việc chọn không, một,... tới một số bất kỳ táo (mận, đào )
 có thể biểu diễn một cách hình thức là
 T0 + T1 + T2 + ··· + Ti + ···
 M0 + M1 + M2 + ··· + Mj + ···
 D0 + D1 + D2 + ··· + Dk + ···
 ▶ Việc chọn táo, đào, mận với số lượng tùy ý có thể viết dưới
 dạng tích
 ( )( )( )
 T0 + T1 + ··· M0 + M1 + ··· D0 + D1 + ··· .
 13 / 51
Ví dụ
Nếu thay thế T, M, D bởi x thì hệ số của xn trong tích của ba
chuỗi vô hạn sau chính là số cách chọn đúng n quả.
 (1 + x + x2 + ··· + xi + ··· )3.
 14 / 51
Nội dung
 Đếm và đa thức
 Định nghĩa hàm sinh
 Các phép toán trên hàm sinh
 Một bài toán đếm
Định nghĩa
Hàm sinh của dãy số ⟨g0, g1, g2, ···⟩ là chuỗi vô hạn
 2
 G(x) = g0 + g1x + g2x + ··· .
Ta sử dụng ký hiệu mũi tên hai phía để chỉ tương ứng giữa một
dãy số và hàm sinh của nó như sau:
 2
 ⟨g0, g1, g2, · · · ⟩ ←→ g0 + g1x + g2x + ··· .
 16 / 51
Định nghĩa
Ta ký hiệu [xn]G(x) là hệ số của xn trong hàm sinh
 2
 G(x) = g0 + g1x + g2x + ··· .
 n
Có nghĩa rằng [x ]G(x) = gn.
 17 / 51
Ví dụ
Dưới đây là một vài dãy số và hàm sinh của chúng:
 ⟨0, 0, 0, 0, · · · ⟩ ←→ 0 + 0x + 0x2 + 0x3 + ··· = 0
 ⟨1, 0, 0, 0, · · · ⟩ ←→ 1 + 0x + 0x2 + 0x3 + ··· = 1
 ⟨3, 2, 1, 0, · · · ⟩ ←→ 3 + 2x + 1x2 + 0x3 + ··· = 3 + 2x + x2
 18 / 51
Ví dụ
 ▶ Hàm sinh cho dãy vô hạn ⟨1, 1, 1, ···⟩ là chuỗi hình học
 G(x) := 1 + x + x2 + x3 + ···
 Ta có
 G(x) = 1 + x + x2 + x3 + ··· + xn + ···
 −xG(x) = 1 − x − x2 − x3 − · · · − xn − · · ·
 G(x) − xG(x) = 1
 ▶ Vậy hàm sinh của dãy 1, 1,... là
 ∞
 1 ∑
 = G(x) := xn.
 1 − x
 n=0
 19 / 51
Bài tập
Hãy tìm công thức đóng cho hàm sinh của các dãy sau:
 1. ⟨ 0, 0, 0, 0, −6, 6, −6, 6, −6, 6, ···⟩
 2. ⟨1, 0, 1, 0, 1, 0, ···⟩
 3. ⟨1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, ···⟩
 20 / 51
Bài tập
Chứng minh rằng hàm sinh của dãy ⟨1, 2, 3, ···⟩ là
 1
 .
 (1 − x)2
 21 / 51
Đạo hàm của chuỗi
 Lời giải
 ▶ Lấy đạo hàm của chuỗi
 1
 1 + x + x2 + x3 + ··· =
 1 − x
 ta được
 1
 1 + 2x + 3x2 + 4x3 + ··· =
 (1 − x)2
 ▶ Đây chính là hàm sinh của dãy
 ⟨1, 2, 3, 4, ···⟩.
 22 / 51
Dịch phải bằng cách nhân với x
 Xét hàm sinh
 2
 G(x) = g0 + g1x + g2x + ··· .
 Vậy thì
 2 3
 xG(x) = 0 + g0x + g1x + g2x + ···
 Có nghĩa rằng
 [xn−1]G(x) = [xn]xG(x).
 23 / 51
Bài tập
Tìm hàm sinh của dãy
 ⟨0, 1, 2, 3,... ⟩
 24 / 51
Lời giải
 ▶ Hàm sinh của dãy số ⟨1, 2, 3, ···⟩ là
 1
 G(x) =
 (1 − x)2
 ▶ Vậy thì
 x
 xG(x) = = 0 + x + 2x2 + 3x3 + ··· .
 (1 − x)2
 là hàm sinh của dãy ⟨0, 1, 2, 3, ···⟩.
 25 / 51
Bài tập
 1
 ⟨1, −1, 1, −1, · · · ⟩ ←→ 1 − x + x2 − x3 + x4 − · · · =
 1 + x
 26 / 51
Bài tập
 1
 ⟨1, a, a2, a3, · · · ⟩ ←→ 1 + ax + a2x2 + a3x3 + ··· =
 1 − ax
 27 / 51
Bài tập
 1
 ⟨1, 0, 1, 0, 1, 0, · · · ⟩ ←→ 1+x2 +x4 +x6 +x8 +··· =
 1 − x2
 28 / 51
Nội dung
 Đếm và đa thức
 Định nghĩa hàm sinh
 Các phép toán trên hàm sinh
 Một bài toán đếm
Luật (nhân với hằng số)
Nếu
 ⟨f0, f1, f2, · · · ⟩ ←→ F(x),
thì
 ⟨cf0, cf1, cf2, · · · ⟩ ←→ c · F(x).
 30 / 51
Ví dụ
Ta biết rằng
 1
⟨1, 0, 1, 0, 1, 0, · · · ⟩ ←→ 1 + x2 + x4 + x6 + x8 + ··· =
 1 − x2
Nhân hàm sinh này với 2 ta được
 2
 = 2 + 2x2 + 2x4 + 2x6 + ···
 1 − x2
sinh dãy
 ⟨2, 0, 2, 0, 2, 0, ···⟩
 31 / 51
Luật (cộng)
Nếu
 ⟨f0, f1, f2, · · · ⟩ ←→ F(x),
 ⟨g0, g1, g2, · · · ⟩ ←→ G(x),
thì
 ⟨f0 + g0, f1 + g1, f2 + g2, · · · ⟩ ←→ F(x) + G(x).
 32 / 51
Ý tưởng của luật cộng
 ∑∞
 n
 ⟨f0 + g0, f1 + g1, f2 + g2, · · · ⟩ ←→ (fn + gn)x
 (n=0 ) ( )
 ∑∞ ∑∞
 n n
 = fnx + gnx
 n=0 n=0
 = F(x) + G(x)
 33 / 51
Ví dụ
Xét hai hàm sinh:
 1
 ⟨1, 1, 1, 1, · · · ⟩ ←→
 1 − x
 1
 + ⟨1, −1, 1, −1, · · · ⟩ ←→
 1 + x
 1 1 2
 ⟨2, 0, 2, 0, · · · ⟩ ←→ + =
 1 − x 1 + x 1 − x2
 34 / 51
Luật (dịch phải)
Nếu ⟨f0, f1, f2, · · · ⟩ ←→ F(x), vậy thì
 ⟨ ··· · · · ⟩ ←→ k ·
 |0, {z , 0}, f0, f1, f2, x F(x).
 k×
 35 / 51
Luật (đạo hàm)
Nếu
 ⟨f0, f1, f2, · · · ⟩ ←→ F(x)
vậy thì
 ′
 ⟨f1, 2f2, 3f3, · · · ⟩ ←→ F (x).
 36 / 51
Bài tập
Hãy tìm hàm sinh cho dãy số bình phương hoàn hảo
 ⟨0 · 0, 1 · 1, 2 · 2, 3 · 3, ···⟩ = ⟨0, 1, 4, 9, ···⟩.
 37 / 51
Luật (tích)
Nếu
 ⟨a0, a1, a2, · · · ⟩ ←→ A(x)
 ⟨b0, b1, b2, · · · ⟩ ←→ B(x),
vậy thì
 ⟨c0, c1, c2, · · · ⟩ ←→ A(x) · B(x),
trong đó
 cn := a0bn + a1bn−1 + a2bn−2 + ··· + anb0.
 38 / 51
Luật tích
 0 1 2 3
 b0x b1x b2x b3x ···
 0 0 1 2 3
 a0x a0b0x a0b1x a0b2x a0b3x ···
 1 1 2 3
 a1x a1b0x a1b1x a1b2x ···
 2 2 3
 a2x a2b0x a2b1x ···
 3 3
 a3x a3b0x ···
 .
 . ···
 39 / 51
Nội dung
 Đếm và đa thức
 Định nghĩa hàm sinh
 Các phép toán trên hàm sinh
 Một bài toán đếm
Bài tập
Có bao nhiêu cách để lấy n quả thỏa mãn ba yêu cầu sau đây?
 ▶ Nhiều nhất 2 quả cam.
 ▶ Số táo là tùy ý.
 ▶ Số chuối phải chia hết cho 3.
 41 / 51
Với n = 4 quả
 1. 0 quả cam, 1 quả táo, 3 quả chuối
 2. 0 quả cam, 4 quả táo, 0 quả chuối
 3. 1 quả cam, 0 quả táo, 3 quả chuối
 4. 1 quả cam, 3 quả táo, 0 quả chuối
 5. 2 quả cam, 2 quả táo, 0 quả chuối
 42 / 51
Nhiều nhất hai quả cam
 Hàm sinh cho dãy số ⟨ck⟩ là “Số cách chọn k quả cam trong đó có
 nhiều nhất hai quả cam”:
 ∑∞
 k 2
 C(x) = ckx = 1 + x + x
 k=0
 1 − x3
 = .
 1 − x
 43 / 51
Số táo tùy ý
 Hàm sinh cho dãy số ⟨tk⟩ là “Số cách chọn k quả táo”:
 ∑∞
 k 2
 T(x) = tkx = 1 + x + x + ···
 k=0
 1
 = .
 1 − x
 44 / 51
Thay thế x bởi xk
 1
 ←→ ⟨1, 1, 1, ···⟩
 1 − x
 1
 ←→ ⟨1, 0, 0, ··· 0, 1, 0, 0, ··· 0, 1, 0, ···⟩
 1 − xk | {z } | {z }
 k−1 k−1
 45 / 51
Số chuối chia hết cho 3
 Hàm sinh cho dãy số ⟨bk⟩ là “Số cách chọn k quả chuối thỏa mãn
 số chuối chia hết cho 3”.
 B(x) ←→ ⟨1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, ···⟩
 1
 B(x) = .
 1 − x3
 46 / 51
Câu hỏi
Liệu ta có thể dùng các hàm sinh riêng để giải bài toán ban đầu?
 1 − x3
 C(x) = (nhiều nhất hai cam)
 1 − x
 1
 T(x) = (số táo tùy ý)
 1 − x
 1
 B(x) = (số chuối chia hết cho 3)
 1 − x3
 47 / 51
Luật tích chập cho hàm sinh
 Hàm sinh cho số cách chọn từ hợp của các tập rời nhau là tích của
 các hàm sinh cho số cách chọn từ mỗi tập.
 48 / 51
Tích các hàm sinh
 ▶ Hàm sinh cho số cách chọn quả
 1 − x3 1 1
 C(x) · T(x) · B(x) = · ·
 1 − x 1 − x 1 − x3
 1
 =
 (1 − x)2
 ▶ Đây chính là hàm sinh cho dãy số
 ⟨1, 2, 3, ···⟩
 49 / 51
Bài tập
Có bao nhiêu cách để lấy n quả thỏa mãn ba yêu cầu sau đây?
 ▶ Nhiều nhất 2 quả cam.
 ▶ Số táo là tùy ý.
 ▶ Số chuối phải chia hết cho 3.
Lời giải
Số cách chọn n quả chính là hệ số của xn trong F(x):
 ( )
 1
 [xn] = n + 1.
 (1 − x)2
 50 / 51
Bài tập
Có bao nhiêu cách chọn tám thanh kẹo gồm các thanh kẹo sôcôla
hoặc kẹo cafe.
 51 / 51