Bài giảng Toán rời rạc 1 - Chương I: Cơ sở logic - Võ Văn Phúc

ớng (S) 
 - 2 là số nguyên tố và là số chẵn (Đ) 
 - An đang hát và uống nước (S) 
 Cơ sở Logic 
I. Mệnh đề 
c. Phép tuyển (nối rời , hợp): của hai mệnh đề P, Q được 
 kí hiệu bởi P  Q (đọc là “P hay Q”), là mệnh đề được 
 định bởi : P  Q sai khi và chỉ khi P và Q đồng thời sai. 
 P Q PQ 
 Bảng chân trị 0 0 0 
 0 1 1 
 1 0 1 
 1 1 1 
 Ví dụ: 
 - p >4 hay p >5 (S) 
 - 2 là số nguyên tố hay là số chẵn (Đ) 
 Cơ sở Logic 
I. Mệnh đề 
Ví dụ 
- “Hôm nay, An giúp mẹ lau nhà và rửa chén” 
- “Hôm nay, cô ấy đẹp và thông minh ” 
- “Ba đang đọc báo hay xem phim” 
 Cơ sở Logic 
I. Mệnh đề 
d. Phép kéo theo: Mệnh đề P kéo theo Q của hai mệnh đề 
 P và Q, kí hiệu bởi P Q (đọc là “P kéo theo Q” hay 
 “Nếu P thì Q” hay “P là điều kiện đủ của Q” hay “Q là 
 điều kiện cần của P”) là mệnh đề được định bởi: 
 P Q sai khi và chỉ khi P đúng mà Q sai. 
 P Q P Q 
 Bảng chân trị 0 0 1 
 0 1 1 
 1 0 0 
 1 1 1 
 Cơ sở Logic 
 I. Mệnh đề 
Ví dụ: 
- Nếu 1 = 2 thì Lenin là người Việt Nam (Đ) 
- Nếu trái đất quay quanh mặt trời thì 1 +3 =5 (S) 
- p >4 kéo theo 5>6 (Đ) 
- p < 4 thì trời mưa (S) 
- Nếu 2+1=0 thì tôi là chủ tịch nước (Đ) 
 Cơ sở Logic 
I. Mệnh đề 
e. Phép kéo theo hai chiều: Mệnh đề P kéo theo Q và 
 ngược lại của hai mệnh đề P và Q, ký hiệu bởi P  Q 
 (đọc là “P nếu và chỉ nếu Q” hay “P khi và chỉ khi Q” hay 
 “P là điều kiện cần và đủ của Q”), là mệnh đề xác định 
 bởi: 
 P  Q đúng khi và chỉ khi P và Q có cùng chân trị 
 Bảng chân trị 
 P Q PQ 
 0 0 1 
 0 1 0 
 1 0 0 
 1 1 1 
 Cơ sở Logic 
 I. Mệnh đề 
Ví dụ: 
- 2=4 khi và chỉ khi 2+1=0 (Đ) 
- 6 chia hết cho 3 khi và chi khi 6 chia hết cho 2 (Đ) 
- London là thành phố nước Anh nếu và chỉ nếu thành phố 
HCM là thủ đô của VN (S) 
- p >4 là điều kiện cần và đủ của 5 >6 (Đ) 
 Company Logo 
I. Mệnh đề 
e. Phép tuyển loại: 
Chúng ta xét hai mệnh đề sau đây: 
“Anh ấy đi xem phim”, “Anh ấy ở nhà học tập”. 
Khi đó, mệnh đề “Anh ấy đi xem phim hoặc ở nhà 
học tập”. 
Mệnh đề này xem nội dung chúng ta thấy có tính tương 
tự như mệnh đề, nhưng hai mệnh đề P và Q không cùng 
đúng được (anh ấy đi xem phim thì không thể ở nhà học 
tập được và ngược lại). 
 Company Logo 
Bảng chân trị phép tuyển loại 
 P Q PQ 
 0 0 0 
 0 1 1 
 1 0 1 
 1 1 0 
 Cơ sở Logic 
 II. Dạng mệnh đề 
 1. Định nghĩa: là một biểu thức được cấu tạo từ: 
 - Các mệnh đề (các hằng mệnh đề) 
 - Các biến mệnh đề p, q, r, , tức là các biến lấy giá trị là 
 các mệnh đề nào đó 
 - Các phép toán , , , ,   và dấu đóng mở ngoặc 
 (). 
Ví dụ: 
 E(p,q) = (p q) 
 F(p,q,r) = (p q)  (q r) 
 Cơ sở Logic 
 II. Dạng mệnh đề 
 Bảng chân trị của dạng mệnh đề E(p,q,r): là bảng ghi tất cả 
 các trường hợp chân trị có thể xảy ra đối với dạng mệnh đề 
 E theo chân trị của các biến mệnh đề p, q, r. Nếu có n biến, 
 bảng này sẽ có 2n dòng, chưa kể dòng tiêu đề. 
Ví dụ: 
 E(p,q,r) =(p q) r . Ta có bảng chân trị sau 
 Cơ sở Logic 
II. Dạng mệnh đề 
 Company Logo 
Độ ưu tiên phép toán 
- Trong dấu () 
- Từ trái qua phải 
- phép Phủ, hội, tuyển, tuyển loại 
- Kéo theo, kéo theo 2 chiều 
 Cơ sở Logic 
II. Dạng mệnh đề 
Bài tập: Lập bảng chân trị của những dạng mệnh đề sau 
E(p,q,r) = p (q r)  q 
F(p,q) = (p q) p 
 Cơ sở Logic 
 II. Dạng mệnh đề 
2. Tương đương logic: Hai dạng mệnh đề E và F được gọi là 
tương đương logic nếu chúng có cùng bảng chân trị. 
Ký hiệu E F. 
Ví dụ (p  q) p   q 
Dạng mệnh đề được gọi là hằng đúng nếu nó luôn lấy giá trị 1 
Dạng mệnh đề gọi là hằng sai (hay mâu thuẩn nếu nó luôn lấy 
giá trị 0. 
Định lý: Hai dạng mệnh đề E và F tương đương với nhau khi 
và chỉ khi EF là hằng đúng. 
 Cơ sở Logic 
 II. Dạng mệnh đề 
Hệ quả logic: F được gọi là hệ quả logic của E nếu E F là 
hằng đúng. 
 Ký hiệu E=>F 
Ví dụ: (p  q) =>  p 
 Trong phép tính mệnh đề người ta không phân biệt những 
 mệnh đề tương đương logic với nhau. Do đó đối với những 
 dạng mệnh đề có công thức phức tạp, ta thường biến đổi để 
 nó tương đương với những mệnh đề đơn giản hơn 
 Cơ sở Logic 
 II. Dạng mệnh đề 
Các qui tắc thay thế 
 Qui tắc thay thế 1. Trong dạng mệnh đề E, nếu ta thay thế 
biểu thức con F bởi một dạng mệnh đề tương đương logic thì 
dạng mệnh đề thu được vẫn còn tương đương logic với E. 
 Qui tắc thay thế 2 Giả sử dạng mệnh đề E(p,q,r) là một 
hằng đúng. Nếu ta thay thế những nơi p xuất hiện trong E bởi 
một F(p’,q’,r’) thì dạng mệnh đề nhận được theo các biến 
q,r,p’,q’,r’, vẫn còn là một hằng đúng. 
 Cơ sở Logic 
 II. Dạng mệnh đề 
Các qui tắc 
1. Phủ định của phủ định 
   p p 
2. Qui tắc De Morgan 
  (p  q)  p   q 
  (p  q)  p   q 
3. Luật giao hoán p  q q  p 
 p  q q  p 
4. Luật kết hợp (p  q)  r p  (q  r) 
 (p  q)  r p  (q  r) 
 Cơ sở Logic 
 II. Dạng mệnh đề 
5. Luật phân phối 
 p  (q  r) (p  q)  (p  r) 
 p  (q  r) (p  q)  (p  r) 
6. Luật lũy đẳng p  p p 
 p  p p 
7. Luật trung hòa p  0 p 
 p  1 p 
 Cơ sở Logic 
 II. Dạng mệnh đề 
8. Luật về phần tử bù 
 p   p 0 
 p   p 1 
9. Luật thống trị p  0 0 
 p  1 1 
10. Luật hấp thu p  (p  q) p 
 p  (p  q) p 
 Cơ sở Logic 
 II. Dạng mệnh đề 
11. Luật về phép kéo theo: 
 p q p  q 
 q  p 
 Ví dụ: Nếu trời mưa thì đường trơn nếu đường 
 không trơn thì trời không mưa 
 Bài tập: 
 Cho p, q, r là các biến mệnh đề. Chứng minh rằng: 
 (p r)  (q r) (p q) r 
 Cơ sở Logic 
II. Dạng mệnh đề 
 (p r)  (q r) 
 ( p  r )  ( q  r) (luật kéo theo, luật phủ định) 
 ( p  q )  r (luật phân phối) 
 ( p  q )  r (luật DeMogan) 
 ( p q )  r (luật kéo theo) 
 ( p q ) r (luật kéo theo) 
 Company Logo 
 Ví dụ 
 Ví dụ1.7 : Hãy rút gọn biểu thức logic sau đây: 
 (A B)  A B
 Giải: Ta có: 
 (A B)  A B  (A B)  A  B (Luật kéo theo) 
  (A  B)  A  B (Luật De Morgan) 
 (Luật phân phối) 
  (A  A)  (B  A)  B
  (B  A)  B (Hằng đúng) 
 A B  B  A  (B  B) (Luật kết hợp) 
  A 11(Luật phần tử bù) 
 Vậy, (A B)  A B  1(Hằng đúng) 
 Cơ sở Logic 
 III. qui tắc suy diễn 
 Trong các chứng minh toán học, xuất phát từ một số khẳng 
định đúng p, q, r(tiền đề), ta áp dụng các qui tắc suy diễn 
để suy ra chân lí của một mệnh đề h mà ta gọi là kết luận. 
 Nói cách khác, dùng các qui tắc suy diễn để chứng minh: 
 (pqr ) có hệ quả logic là h 
 Ta thường mô hình hóa phép suy luận đó dưới dạng: 
 p 
 q 
 r 
 h 
 Cơ sở Logic 
III. Qui tắc suy diễn 
Các qui tắc suy diễn 
1. Qui tắc khẳng định (Modus Ponens) 
 Qui tắc này được thể hiện bằng hằng đúng: 
 ( p q  p q
 Hoặc dưới dạng sơ đồ 
 pq 
 p
 q
 Cơ sở Logic 
III. Qui tắc suy diễn 
 • Nếu An học chăm thì An học tốt. 
 • Mà An học chăm 
 Suy ra An học tốt. 
• Trời mưa thì đường ướt. 
• Mà chiều nay trời mưa. 
Suy ra Chiều nay đường ướt. 
 Cơ sở Logic 
III. Qui tắc suy diễn 
2. Qui tắc tam đoạn luận 
 Qui tắc này được thể hiện bằng hằng đúng: 
 p q  q r p r
 ( ( ( 
 Hoặc dưới dạng sơ đồ 
 pq 
 qr 
  ( pr 
 Cơ sở Logic 
 III. Qui tắc suy diễn 
• Nếu trời mưa thì đường ướt. 
• Nếu đường ướt thì đường trơn 
Suy ra nếu trời mưa thì đường trơn. 
• Một con ngựa rẻ là một con ngựa hiếm 
• Cái gì hiếm thì đắt 
Suy ra một con ngựa rẻ thì đắt () 
 Cơ sở Logic 
III. Qui tắc suy diễn 
3. Phương pháp phủ định 
 Qui tắc này được thể hiện bằng hằng đúng: 
 ( p q  q  p
 Hoặc dưới dạng sơ đồ 
 pq 
 q
 p
 Cơ sở Logic 
 III. Qui tắc suy diễn 
Nếu An đi học đầy đủ thì An đậu toán rời rạc. 
An không đậu toán rời rạc. 
Suy ra: An không đi học đầy đủ 
 Cơ sở Logic 
 III. Qui tắc suy diễn 
4. Qui tắc tam đoạn luận rời rạc 
 Qui tắc này được thể hiện bằng hằng đúng: 
 ( p q  q p
 Hoặc dưới dạng sơ đồ 
 pq
 q
  p
 Ý nghĩa của qui tắc: nếu trong hai trường hợp có thể xảy ra, 
 chúng ta biết có một trường hợp sai thì chắc chắn trường 
 hợp còn lại sẽ đúng. 
 Cơ sở Logic 
 III. Qui tắc suy diễn 
Chủ nhật, An thường lên thư viện hoặc về quê 
Chủ nhật này, An không về quê 
Suy ra: An lên thư viện 
 Cơ sở Logic 
 III. Qui tắc suy diễn 
 5. Qui tắc mâu thuẫn (chứng minh bằng phản chứng) 
Ta có tương đương logic 
 ( p1 p 2... pnn q ( p 1  p 2 ... p q 0 
Để chứng minh vế trái g là một hằng đúng ta chứng minh nếu 
thêm phủ định của q vào các tiền đề thì được một mâu thuẫn. 
 Cho a, b, c là 3 đường thẳng phân biệt và a//c và b//c 
 chứng minh a//b. 
 Cơ sở Logic 
III. Qui tắc suy diễn 
 Hãy chứng minh: Cm bằng phản chứng. 
 pr 
 pr 
  pq
  pq
 qs 
 qs 
 r
 rs 
 s
 0
 Cơ sở Logic 
 III. Qui tắc suy diễn 
 6. Qui tắc chứng minh theo trường hợp 
 Dựa trên hằng đúng: 
 ( p r ( q r ( p  q r 
 Ý nghĩa: nếu p suy ra r và q suy ra r thì p hay q cũng có 
 thể suy ra r. 
• Chứng minh rằng: 
 (nn3 43 
 Cơ sở Logic 
 III. Qui tắc suy diễn 
7. Phản ví dụ 
 Để chứng minh một phép suy luận là sai hay 
 p12 p ...  pn q 
 không là một hằng đúng. Ta chỉ cần chỉ ra 
 một phản ví dụ. 
 Company Logo 
 Suy luận sau có đúng ko? 
Ông Minh nói rằng nếu không 
 được tăng lương thì ông ta p: ông Minh được tăng 
 sẽ nghỉ việc. Mặt khác, nếu lương. 
 ông ấy nghỉ việc và vợ ông q: ông Minh nghỉ việc. 
 ấy bị mất việc thì phải bán r: vợ ông Minh mất việc. 
 xe. Biết rằng nếu vợ ông s: gia đình phải bán xe. 
 Minh hay đi làm trễ thì 
 trước sau gì cũng sẽ bị mất t: vợ ông hay đi làm trể. 
 việc và cuối cùng ông Minh 
 đã được tăng lương.  pq
Suy ra nếu ông Minh không q r s s=0 
 bán xe thì vợ ông ta đã t=1 
 không đi làm trễ tr p=1 
 q=0 
 p r=1 
 st 
 Company Logo 
III. Qui tắc suy diễn 
8.Quy tắc phản đảo 
 pq 
  qp
 Company Logo 
III. Qui tắc suy diễn 
Quy tắc nối liền 
 p
 q
 pq
 Company Logo 
III. Qui tắc suy diễn 
Quy tắc đơn giản 
 p
 pq
 q
 Company Logo 
Một số phép suy diễn cơ bản 
 Cơ sở Logic 
III. Qui tắc suy diễn 
Kiểm tra suy luận sau: 
 p () q r
 ps
 tq 
 s
  rt
 Cơ sở Logic 
III. Qui tắc suy diễn 
III. Qui tắc suy diễn 
 52 
III. Qui Tắc Suy Diễn 
 53 
III. Qui Tắc Suy Diễn 
 54 
III. Qui Tắc Suy Diễn 
 55 
 à 
56 
 Cơ sở Logic 
 IV. Vị từ và lượng từ 
1. Định nghĩa Vị từ là một khẳng định p(x,y,..), trong đó x,y...là 
 các biến thuộc tập hợp A, B,.. Cho trước sao cho: 
 - Bản thân p(x,y,..) không phải là mệnh đề 
 - Nếu thay x,y,.. Thành giá trị cụ thể thì p(x,y,..) là mệnh đề. 
 Ví dụ. 
 - p(n) = “n +1 là số nguyên tố” 
 2
 - q(x,y) = “x + y = 1” 
 2 2 
 - r(x,y,z) = “x + y >z” 
 Cơ sở Logic 
 IV. Vị từ và lượng từ 
2. Các phép toán trên vị từ Cho trước các vị từ p(x), q(x) 
theo một biến x A. Khi ấy 
- Phủ định của vị từ p(x) kí hiệu là p(x) là vị từ mà khi thay 
x bởi 1 phần tử cố định của A thì ta được mệnh đề (p(a)) 
- Phép hội (tương ứng tuyển, kéo theo) của p(x) và q(x) 
được ký hiệu bởi p(x)q(x) (tương ứng là p(x)q(x), 
p(x) q(x)) là vị từ theo biến x mà khi thay x bởi phần tử cố 
định a của A ta được mệnh đề p(a)q(a) (tương ứng là p(a) 
q(a), p(a) q(a)) 
 Cơ sở Logic 
IV. Vị từ và lượng từ 
Khi xét một mệnh đề p(x) với x A. Ta có các trường hợp 
sau 
- TH1. Khi thay x bởi 1 phần tử a tùy ý A, ta có p(a) đúng. 
- TH2. Với một số giá trị a A, ta có p(a) đúng. 
- TH3. Khi thay x bởi 1 phần tử a tùy ý A, ta có p(a) sai. 
Ví dụ. Cho vị từ p(x) với x R 
 - p(x) = “x2 +1 >0” 
 - p(x) = “x2 -2x+1=0” 
 - p(x) = “x2 -2x+3=0” 
 Cơ sở Logic 
 IV. Vị từ và lượng từ 
 Định nghĩa. Cho p(x) là một vị từ theo một biến xác định trên 
 A. Ta định nghĩa các mệnh đề lượng từ hóa của p(x) như 
 sau: 
 - Mệnh đề “Với mọi x thuộc A, p(x) ”, kí hiệu bởi “x A, 
 p(x)”, là mệnh đề đúng khi và chỉ khi p(a) luôn đúng với mọi 
 giá trị a A. 
 - Mệnh đề “Tồn tại (ít nhất )hay có (ít nhất) một x thuộc A, 
 p(x))” kí hiệu bởi :“x A, p(x)” , là mệnh đề đúng khi và chỉ 
 khi có ít nhất một giá trị x = a0 nào đó sao cho mệnh đề p(a0) 
 đúng. 
: được gọi là lượng từ phổ dụng 
 : được gọi là lượng từ tồn tại 
 Cơ sở Logic 
 IV. Vị từ và lượng từ 
Ví dụ. Các mệnh đề sau đúng hay sai 
- “x R, x2 + 3x + 1 0” (S) 
- “x R, x2 + 3x + 1 0” (Đ) 
- “x R, x2 + 1 2x” (Đ) 
- “x R, x2 + 1 < 0” (S) 
 Cơ sở Logic 
 IV. Vị từ và lượng từ 
Định nghĩa. Cho p(x, y) là một vị từ theo hai biến x, y xác định 
trên A B. Ta định nghĩa các mệnh đề lượng từ hóa của p(x, y) 
như sau: 
 “x A,y B, p(x, y)” = “x A, (y B, p(x, y))” 
 “x A, y B, p(x, y)” = “x A, (y B, p(x, y))” 
 “x A, y B, p(x, y)” = “x A, (y B, p(x, y))” 
 “x A, y B, p(x, y)” = “x A, (y B, p(x, y))” 
 Cơ sở Logic 
 IV. Vị từ và lượng từ 
Ví dụ. 
- Mệnh đề “x R, y R, x + 2y < 1” đúng hay sai? 
Mệnh đề sai vì tồn tại x0 = 0, y0 = 1 R mà x0 + 2y0 1. 
- Mệnh đề “x R, y R, x + 2y < 1” đúng hay sai? 
Mệnh đề đúng vì với mỗi x = a R, tồn tại ya R như 
ya = –a/2, sao cho a + 2ya < 1. 
 Cơ sở Logic 
 IV. Vị từ và lượng từ 
Ví dụ. 
- Mệnh đề “x R, y R, x + 2y < 1” đúng hay sai? 
Mệnh đề sai vì tồn tại x0 = 0, y0 = 1 R mà x0 + 2y0 1. 
- Mệnh đề “x R, y R, x + 2y < 1” đúng hay sai? 
Mệnh đề đúng vì với mỗi x = a R, tồn tại ya R như 
ya = –a/2, sao cho a + 2ya < 1. 
 Cơ sở Logic 
 IV. Vị từ và lượng từ 
Ví dụ. 
- Mệnh đề “x R, y R, x + 2y < 1” đúng hay sai 
Mệnh đề sai vì không thể có x = a R để bất đẳng thức 
a + 2y < 1 được thỏa với mọi y R (chẳng hạn, y = –a/2 + 2 
không thể thỏa bất đẳng thức này). 
Mệnh đề “x R, y R, x + 2y < 1” đúng hay sai? 
Mệnh đề đúng vì tồn tại x0 = 0, y0 = 0 R chẳng hạn thỏa 
x0 + 2y0 < 1. 
 Cơ sở Logic 
 IV. Vị từ và lượng từ 
Định lý. Cho p(x, y) là một vị từ theo hai biến x, y xác định 
trên A B. Khi đó: 
1) “x A, y B, p(x, y)” “y B, x A, p(x, y)” 
2) “x A, y B, p(x, y)” “y B, x A, p(x, y)” 
3) “x A, y B, p(x, y)” “y B, x A, p(x, y)” 
Chiều đảo của 3) nói chung không đúng. 
 Cơ sở Logic 
 IV. Vị từ và lượng từ 
Phủ định của mệnh đề lượng từ hóa vị từ p(x,y,..) có được 
bằng các thay  thành , thay  thành  và vị từ p(x,y,..) 
thành  p(x,y,..). 
Với vị từ theo 1 biến ta có : 
 x A,, p( x  x A p( x 
 x A,, p( x  x A p( x 
 Cơ sở Logic 
IV. Vị từ và lượng từ 
Với vị từ theo 2 biến. 
 xAyBpxy ,,,,,,  (  xAyBpxy  ( 
 xAyBpxy ,,,,,,  (  xAyBpxy  ( 
 xAyBpxy ,,,,,,  (  xAyBpxy  ( 
 xAyBpxy ,,,,,,  (  xAyBpxy  ( 
 Cơ sở Logic 
IV. Vị từ và lượng từ 
Ví dụ phủ định các mệnh đề sau 
“x A, 2x + 1 0” 
“ > 0,  > 0, x R,  x – a <  f(x) – f(a) < ”. 
Trả lời : 
 “x A, 2x + 1 > 0” 
 “ > 0,  > 0, x R,  x – a <   (f(x) – f(a) )”. 
 Cơ sở Logic 
IV. Vị từ và lượng từ 
Qui tắc đặc biệt hóa phổ dụng: 
 Nếu một mệnh đề đúng có dạng lượng từ hóa trong đó 
một biến x A bị buộc bởi lượng từ phổ dụng , khi ấy nếu 
thay thế x bởi a A ta sẽ được một mệnh đề đúng 
 Ví dụ: 
  x A,() p x
 “Mọi người đều chết” 
 “Socrate là người” aA 
 Vậy “Socrate cũng chết”  pa()