Bài giảng Phương pháp tính - Chương 4: Phương pháp tiếp tuyến giải phương trình f(x)=0 - Hà Thị Ngọc Yến

PHƯƠNG PHÁP TIẾP TUYẾN
 GIẢI PT f(x)=0
 Hà Thị Ngọc Yến
 Hà nội, 9/2018
Ý tưởng phương pháp
 Ý tưởng phương pháp
• Thay thế đường cong y f x trên 
 [a,b] bằng TIẾP TUYẾN
• Tìm giao điểm của dây cung với trục
 hoành thay cho giao điểm đường cong với
 trục hoành
 Xây dựng công thức
Xét phương trình fx 0 và k.c.l nghiệm (a,b).
Gọi M x , f x là điểm Fourie nếu f x f" x 0.
Chọn điểm Fourie là điểm ban đầu, tức là 
Chọn x 0 : f x 0 f " x 0 0 và đặt M0 x 0,. f x 0 
Gọi d k là tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại M k .
 Xây dựng công thức
dOxxMxfx01111 ,0, 
dOxxMxfx12222 ,0, 
.........................
dOxxxxnnn 1  ,0* 
 Xây dựng công thức
• Phương trình đường thẳng dk :
 y f'* xk x x k f x k 
• Vì dkk Ox x 1,0 nên ta có
 fx k 
 xxkk 1 ** 
 fx' k 
 Sự hội tụ của phương pháp
Điều kiện hội tụ:
• (a,b) là khoảng cách ly nghiệm
• ff', '' liên tục, xác định dấu không đổi
 trên [a,b]
• Chọn đúng x0: f x 0 f " x 0 0.
Tại sao f '0 
 d0
y
 d1
 x1 x
 x
Tại sao f "0 
 Định lý về sự hội tụ
Với các điều kiện đã nêu trên dãy lặp (**) 
hội tụ đến nghiệm đúng của phương trình 
theo đánh giá sau
 fx n 
 xxn *1 
 m1
 M 2 2
 xn x*2 x n x n 1 
 2m1
m12 minx  a,, b f ' x ; M max x a b f " x 
 CM Định lý về sự hội tụ
• Các bước chứng minh:
 ➢ Dãy xn đơn điệu và bị chặn.
 ➢ Giới hạn của dãy là nghiệm của phương
 trình.
 ➢ Chứng minh các công thức sai số
 CM Định lý về sự hội tụ
• Dãy xn đơn điệu :
 Trường hợp 1:
 f' x 0; f " x 0  x  a ; b
 Xét điểm M t,,; f t t  a b bất kỳ. 
 Khi đó f x ht x 0  x  a ; b , x x0
 ht x :' f t x t f t 
 CM Định lý về sự hội tụ
• Ta có f" x 0  x  a ; b f x0 0
• Mặt khác 
 h x:' f x x x f x
 x0 0 0 0 
 h x 0 f x h x
 xx00 1 0 0 
 a x x,0 f x h x 
 1 0 1 x0 1 
• Lý luận tương tự 
 x1: f x 1 0 a x 2 x 1 , f x 2 0
 CM Định lý về sự hội tụ
• Giới hạn của dãy là nghiệm của phương trình
• Gọi 
 fx n 1 
 : limxxnn lim 1 
 nn fx' n 1 
 f 
 f 0.
 f ' 
 CT sai số mục tiêu
• Ta có
 f xn f x n f f' c x n 
 fx n fx n 
 xn 
 f' c m1
 CT sai số theo hai xấp xỉ liên tiếp
• Ta có: 
 fc" 2
 f x h x x x 
 n xn 1 n2! n n 1
 fc" 2
 f' c x x x 
 11n2! n n 
 M 2 2
 xn x n x n 1 
 2m1
 Thuật toán
• Input: f,,, a b 
• Bước 1: Kiểm tra điều kiện ff', " xác định
 dấu không đổi trên,  ab ;  gán biến dấu cho
 dấu của f ". (Có thể làm thủ tục riêng cho
 bước này)
• Bước 2: Chọn xa0 nếu f a .0 sign 
 trái lại chọn xb0 .
 Thuật toán
• Bước 3: Tính m1 (có thể làm gói riêng)
• Bước 4: Tính
 fx 0 
 xx10 
 fx' 0 
• Bước 5: Kiểm tra 
 fx 
 1 
 m1
 nếu thỏa mãn thì dừng, nếu không quay lại B4