Bài giảng Phương pháp tính - Chương 12: Các phương pháp Runge – Kutta hiện giải bài toán Cauchy cho phương trình vi phân thường - Hà Thị Ngọc Yến

 Các pp Runge – Kutta hiện
 giải bài toán Cauchy cho
phương trình vi phân thường
 Bài toán Cauchy
 yf'(,), x y xI xX0 ,,
 1 k
 yCIR ,
 yx() y
 00
 Phương trình tích phân
 x
yx yx ftyt, dt
 0 
 x0
 xk 1
yx yx ftyt, dt
 kk 1 
 xk
• Euler forward (hiện)
 yyhfxynn 1 (, nn )
• Euler backward (ẩn)
 yyhfxynn 111 nn, 
• Công thức hình thang
 h
 yynn 111 fxyfxy nnnn,, 
 2
 R-K làm gì?
• Tính tích phân trong phương trình tích
 phân qua s nấc trung gian
• Đảmbảoviệc tính thông qua các nấc
 trung gian có hiệuquả giống như khai
 triển Taylor hàm y(x) đếnbậccao
 Công thứcR-K tổng quát
 nn n 
yyrkrkrknn 11122 ... ss
 nnn 
khfxhykininiiii , 11 ...  1 k 1
 1 0,i  0,1
 R-K 1 nấc
s 1
 n
yyrknn 111 
 n
khfxy1 nn,
 2
yx nnn 1 yx hyx' Oh 
 r1 1
 R-K 2 nấc
s 2
 nn 
yyrkrknn 11122 
 n
khfxyhf1 nn, n
 nn 
khfxhyk22111 nn , 
 khfhfkfOh nn ''2 ()
 22,111, nxnyn
 2
 h '' 3
yx yx hf f f. f Oh
 nnnxnynn 1,,2 
 R-K 2 nấc
 11
rr 1; r  ; r 
 12 2222 211
 11
rr 0; 1;  ; 
 12 222 11
 1
rr ;1  
 122 2 11
 12 3
rr ;;  
 1233 211 4
.....
 R-K 3 nấc
 nnn 
yyrkrkrknn 1112233 
 n
khfxy1 nn,
 nn 
khfxhyk22111 nn , 
 nnn 
khfxhyk33211222 nn , k
 R-K 3 nấc
 ''
 fhfhffnxnnyn 2, 11, 
 n 
 22
kh2 
 hh2" 2 '' 2 2'' 3
 2,fhxn 221, ff n xy 11, ffOh n yn 
 22
 2
 ''2'' nn h
 fhfknxn 3, 211 222 kf ynxx , 3 f 
 n 2
kh3 
 2
 hk nn  kf ''  k nn  k fOh '' 3
 3 21 1 22 2xy 21 1 22 2 yy 
 h2
yx yx hf f'' f. f
 n 1 nn2 xnyn, n
 3
 h '' '' '' 2 ' ' '2 4
 fffffffffOhxx xy n yy n y x y n 
 6 
rrr123 1
 1
rr 
 22 33 2
 1
rr 
 2 11 3 21 22 2
 111
 rr 22 
 22622 33
 1
rr   
 2 2 21 3 3 21 22 6
 2221
rr2 11 3 21 22
 6
 1
 
 22 2 6
 1
 
 11 22 6
 R-K3 thường dùng
 121 1 1
rr ;;; r  ;1;; 1;2 
 123636 2 2 3112122 2
 1
 yy k nnn 4 kk 
 nn 11236 
 n
khfxy1 nn,
 nn 11 
khfxhyk21 nn,
 22
 nnn 
khfxhykk312 nn,2
 R-K3 thường dùng (Heun)
 1312
rrr ;0;;  ;  ;  0
1234433 21132221
 1
yy k nn 3 k 
 nn 1134 
 n
khfxy1 nn,
 nn 11 
khfxhyk21 nn,
 33
 nn 22 
khfxhyk32 nn,
 33
 R-K 4 thường dùng
 1
yy kkkk nnnn22 
 nn 112346 
 n
khfxy1 nn,
 nn 11 
khfxhyk21 nn,
 22
 nn 11 
khfxhyk32 nn,
 22
 nn 
khfxhyk43 nn,
 Bậc cao nhấtcủa các công thức
 R_K s nấc
s 1 2 3 4 5 6 7 8 9
p 1 2 3 4 4 5 6 6 7
Ví dụ mô hình hệ thú mồi
 n
 xrn'1 ap
 K
 p'  p anp