Bài giảng Kiến trúc máy tính - Chương 10: Số học máy tính - Nguyễn Hằng Phương

 1 
+ Chương 10 
 Số học máy tính 
+ 2 
 NỘI DUNG 
 10.1 Đơn vị Số học & Logic (ALU) 
 10.2 Biểu diễn số nguyên 
 Biểu diễn Dấu-độ lớn 
 Biểu diễn bù 2 
 Mở rộng phạm vi 
 Biểu diễn dấu chấm tĩnh 
 10.3 Số học số nguyên 
 phép đảo/ Cộng và trừ / Phép nhân / Phép chia 
 10.4 Biểu diễn dấu chấm động 
 10.5 Số học dấu chấm động 
+ 3 
 1. Đơn vị logic & số học (ALU) 
  Phần của máy tính thực hiện phép toán số học và lôgíc 
 trên dữ liệu 
  Tất cả các bộ phận khác trong hệ thống máy tính đưa dữ 
 liệu tới ALU để ALU xử lý rồi sau đó nhận lại kết quả 
  Sử dụng các linh kiện logic số đơn giản để lưu trữ các 
 chữ số nhị phân và thực hiện các phép toán logic Boolean 
 đơn giản 
Đầu vào và đầu ra ALU 4 
 5 
Mã hóa dữ liệu trong máy tính 
. Mọi dữ liệu đưa vào máy tính đều phải được mã hóa thành 
 số nhị phân 
. Mã hóa theo các chuẩn qui ước 
. Dữ liệu số: 
 . „Số nguyên: mã hóa theo một số chuẩn 
 . Số thực: mã hóa bằng số dấu chấm động 
. Dữ liệu ký tự: mã hóa theo bộ mã ký tự 
 6 
Thứ tự lưu trữ byte trong bộ nhớ chính 
. Bộ nhớ chính thường tổ chức theo byte 
. „ Hai cách lưu trữ dữ liệu nhiều byte: 
 . Little-endian: 
 . Byte có ý nghĩa thấp được lưu trữ ở ngăn nhớ có địa 
 chỉ nhỏ, byte có ý nghĩa cao được lưu trữ ở ngăn nhớ 
 có địa chỉ lớn. 
 . Nền tảng sử dụng: Intel 
 . Big-endian: 
 . Byte có ý nghĩa cao được lưu trữ ở ngăn nhớ có địa chỉ 
 nhỏ, byte có ý nghĩa thấp được lưu trữ ở ngăn nhớ có 
 địa chỉ lớn. 
 . Nền tảng sử dụng: IBM zSeries, Motorola 680x0 
 7 
Ví dụ lưu trữ dữ liệu 32-bit 
+ 8 
 2. Biểu diễn số nguyên 
  Số nguyên không dấu (Unsigned Integer) 
  „Số nguyên có dấu (Signed Integer) 
  Trong hệ nhị phân, có thể biểu diễn các số bất kì bằng: 
  Các chữ số 0 và 1 
  Dấu âm (với số âm) 
  dấu chấm (với số có phần phân số) 
  Đối với mục đích lưu trữ và xử lý, sẽ không có lợi khi 
 dùng các ký hiệu đặc biệt cho dấu trừ và dấu chấm 
  Chỉ sử dụng các chữ số nhị phân (0,1) để biểu diễn số? 
 9 
 a. Biểu diễn số nguyên không dấu 
 Nguyên tắc tổng quát: Dùng n bit biểu diễn số nguyên 
 không dấu A: 
 Dải biểu diễn của A: từ 0 đến 2n –1 
 Với n = 8 bit: Biểu diễn được các giá trị từ 0 đến 255 
 0000 0000 = 0 
 0000 0001 = 1 
 0000 0010 = 2 
 ... 
 1111 1111 = 255 
 b. Biểu diễn dấu-độ lớn 10 
. Quy ước về biểu diễn số nguyên âm và dương: dùng bit 
 quan trọng nhất (MSB) trong từ làm bit dấu 
 • bit dấu là 0 số dương 
 • bit dấu là 1 số âm 
. Ví dụ: + 18 = 00010010 - 18 = 10010010 
. Biểu diễn dấu-độ lớn: cách sử dụng bit dấu đơn giản nhất 
. Nhược điểm: 
 • Để thực hiện phép cộng và phép trừ, đòi hỏi phải xem 
 xét cả dấu và độ lớn của các số 
 • Có hai biểu diễn của số 0 (+0 và -0) 
. Biểu diễn dấu-độ lớn hiếm khi được sử dụng trong việc 
 xử lý phần số nguyên của ALU 
 11 
c. Biểu diễn bù 2 
 Nguyên tắc tổng quát: Dùng n bit biểu diễn số nguyên có 
 dấu A: 
  Với A là số dương: bit an-1 = 0, các bit còn lại biểu diễn độ lớn 
 như số không dấu 
  Với A là số âm: được biểu diễn bằng số bù hai của số dương 
 tương ứng, bit an-1 = 1 
 Quy tắc tìm số bù hai 
  Số bù một của A = đảo giá trị các bit của A 
  (Số bù hai của A) = (Số bù một của A) + 1 
  Ví dụ: +3 = 0000 0011 -3 = 1111 1101 
 12 
+ c. Biểu diễn bù 2 
  Sử dụng bit quan trọng nhất làm bit dấu 
  Có 1 biểu diễn cho số 0 
  Phạm vi biểu diễn: (– 2n-1) (2n-1 -1) 
  Dải biểu diễn cho số dương: 0 đến 2n-1 -1 
  Dải biểu diễn cho số âm: -1 đến - 2n-1 
  Thực hiện phép toán số học dễ dàng 
  Để tính A – B, lấy bù 2 của B rồi cộng với A 
  Khi cộng 2 số cùng dấu, nếu kết quả có dấu ngược lại sẽ gây 
 tràn (overflow) 
  được sử dụng trong việc xử lý phần số nguyên của ALU 
 13 
Biểu diễn 
số nguyên 
 4-Bit 
+ 14 
 d. Mở rộng phạm vi 
  Mở rộng phạm vi biểu diễn số nguyên bằng cách tăng độ 
 dài chuỗi bit 
  Mở rộng phạm vi trong biểu diễn dấu-độ lớn: di chuyển bit 
 dấu tới vị trí mới ngoài cùng bên trái và điền thêm các bit 0 
  Mở rộng phạm vi trong biểu diễn số âm bù 2: di chuyển bit 
 dấu tới vị trí ngoài cùng bên trái và điền vào các bit giống 
 bit dấu 
  Đối với số dương thì điền 0, và số âm thì điền số 1 
  Đây được gọi là phần mở rộng dấu 
 15 
+ Phạm vi biểu diễn số co dấu bù 2: (– 2n-1) (2n-1 -1) 
  Bù 2 8 bit 
  +127 = 01111111 = 27 -1 
  -128 = 10000000 = -27 
  Bù 2 16 bit 
  +32767 = 011111111 11111111 = 215 - 1 
  -32768 = 100000000 00000000 = -215 
 Ví dụ Mở rộng phạm vi 
  Số dương được điền các bit 0 
  +18 = 00010010 
  +18 = 00000000 00010010 
  Số âm được điền các bit 1 
  -18 = 10010010 
  -18 = 11111111 10010010 
+ 
 3. Số học số nguyên 
 16 
 17 
+ a. Phép đảo dấu 
 Phép đảo dấu = lấy bù 2: 
  Đảo các bit của số nguyên (cả bit dấu) 
  Kết quả coi như số nguyên nhị phân không dấu, cộng thêm 1 
 +18 = 00010010 (bù 2) 
 đảo bit = 11101101 
 + 1 
 11101110 = -18 
  Đảo của đảo của một số là chính nó: 
 -18 = 11101110 (bù 2) 
 đảo bit = 00010001 
 + 1 
 00010010 = +18 
+ 18 
 Phép đảo - Trường hợp đặc biệt 
 . 0 = 0000 0000 (bù 2) 
 Đảo bit 1111 1111 
 Cộng 1 +1 
 Kết quả 1 0000 0000 
 Bỏ qua bit tràn: - 0 = 0  
 . -128 = 10000000 (bù 2) 
 Đảo bit 01111111 
 Cộng 1 +1 
 Kết quả 10000000 
 Vậy: -(-128) = -128 X 
 19 
 b. Phép cộng 
 Cộng 
 như số 
nguyên 
 không 
 dấu 
 20 
 Nguyên tắc 
 NGUYÊN TẮC TRÀN: 
 Nếu hai số cộng với nhau, mà 
 cả hai đều dương hoặc đều Tràn 
 âm, thì sẽ xảy ra tràn nếu kết 
 quả có dấu ngược lại. 
+ 
 21 
 b. 
Phép 
 trừ 
 22 
 Nguyên tắc 
 NGUYÊN TẮC TRỪ: 
 Để trừ một số (số bị trừ) từ 
 một số khác (số trừ), lấy bù 2 Trừ 
 (đảo) của số trừ và cộng nó 
 với số bị trừ. 
+ 
 VD: a - b = a + (-b) 
 23 
Mô tả hình học của số nguyên bù 2 
 endpoints are joined 
Phần cứng thực hiện cộng và trừ 24 
 25 
 d. Phép nhân 
. Phức tạp 
. Tính tích cho từng chữ số - tích riêng phần 
. Quan tâm đến vị trí giá trị (dóng cột) 
. Cộng tổng các tích tích toàn phần 
. Ví dụ nhân số nguyên không dấu: 
! Kết quả dài gấp đôi 
 26 
 Sơ đồ 
luồng của 
phép nhân 
nhị phân 
không dấu 
+ 
 Phần cứng thực 
 hiện nhân nhị 
 phân không dấu 
+ 28 
 Phép nhân bù 2 (nhân có dấu) 
 Nhân hai số nguyên 4 bit không dấu thu được kết quả 8 bit 
 Nhân 1 số nhị phân với 2n được thực hiện bằng cách dịch số đó sang trái n bit 
+ 29 
 So sánh 
 So sánh phép nhân số nguyên không dấu và số bù 2 
 30 
 Thuật 
 toán 
 Booth 
M 
Q 
 31 
Ví dụ thuật toán Booth 
 32 
Ví dụ thuật toán Booth 
 33 
 e. Phép chia 
. Phức tạp hơn phép nhân 
. Ví dụ: phép chia 2 số nguyên nhị phân không dấu 
Thuật toán chia restoring bù 2 
 Input: 
  M – số chia dương 
  Q – số bị chia dương 
 Output: 
  Q – thương 
  A – dư 
 Begin 
  A  0 
  Lặp n lần 
  Dịch trái A, Q 
  A  A – M 
  Bit dấu của A= 1 
  Q0  0 và A  A + M 
  Else 
  Q0  1 
 End 
+ 35 
 Ví dụ chia Restoring bù 2 (7/3) 
+ 36 
 4. Dấu chấm động 
  Biểu diễn dấu chấm tĩnh có thể biểu diễn một dải số 
 nguyên dương và nguyên âm xung quanh gốc 0 
  Biểu diễn số thực dùng dấu chấm tĩnh: 
  1001.1010 = 23 + 20 +2-1 + 2-3 = 9.625 
  Hạn chế: 
  Không thể biểu diễn số rất lớn hoặc phân số rất nhỏ 
  Phần phân số trong thương của một phép chia hai số lớn có 
 thể bị mất 
 37 
Biểu diễn dấu chấm động 
Một số thực bất kỳ được biểu diễn kiểu dấu chấm động 
như sau: 
Trong đó: 
  S : phần định trị 
  B: cơ số 
  E : số mũ 
 – Số mũ tương ứng với vị trí dấu chấm 
 38 
Chuẩn IEEE 754 
. Các quy ước quan trọng nhất về biểu diễn dấu chấm 
 động 
. Hỗ trợ khả năng di động chương trình từ bộ xử lý này 
 sang bộ xử lý khác và khuyến khích sự phát triển các 
 chương trình số học tinh vi hơn 
. Chuẩn được công nhận rộng rãi và được sử dụng trên 
 hầu hết các bộ xử lý hiện đại và bộ xử lý số học 
. IEEE 754-2008 bao trùm cả biểu diễn dấu chấm động 
 nhị phân và thập phân 
 39 
Định dạng 
IEEE 754 
 40 
 Biểu diễn bias 
 bias = (2n-1 - 1), với n là số bit biểu diễn 
 Dải biểu diễn: (0 – bias) (2n – 1 – bias) 
 Số A = Biểu diễn bias của A – bias 
 Ví dụ: 
 41 
 Định dạng dấu chấm động 32-bit 
 d e m 
• Bit dấu d = 0 dương; d = 1 âm 
• Cơ số B = 2 
• Bias = 127 cho trường mũ 8 bit 
• Số mũ E = e – 127 
• 23 bit định trị m chứa phần lẻ của S (S = 1.m) 
• Công thức xác định giá trị của số: X = (-1)d * 1.m * 2e-127 
+ Phần định trị 42 
  Phần phía sau của một từ 
  Một số dấu chấm động có thể biểu diễn dưới nhiều dạng 
 Các cách viết sau đây là tương đương, trong đó phần định trị 
 được biểu diễn dưới dạng nhị phân: 
 0.110 * 25 
 110 * 22 
 0.0110 * 26 
  Số nhị phân chuẩn hoá 
  Bit có trọng số lớn nhất của phần định trị khác 0 
  Biểu diễn nhị phân chuẩn hoá: 
Ví dụ 1 43 
Xác định giá trị của số thực được biểu diễn bằng 32-bit sau: 
 1100 0001 0101 0110 0000 0000 0000 0000 
 „ d = 1 số âm 
 „ e = 1000 00102 = 13010 E = 130 -127 = 3 
 m = 101 0110 0000 0000 0000 0000 
Vậy 
 X = -1.101011 * 23 = -1101.011 = -13.375 
Ví dụ 2 44 
Biểu diễn số X= 83.75 về dạng số dấu phẩy động 32-bit 
Giải: 
 6 
„ X = 83.75(10) = 1010011.11(2) = 1.01001111 x 2
„ Ta có: 
 d = 0 vì đây là số dương 
 E = e – 127 = 6 e= 127 + 6 = 133(10) = 1000 0101(2) 
„ Vậy: 
 X = 0100 0010 1010 0111 1000 0000 0000 0000 
+ 45 
 Dải số biểu diễn được 
+ 47 
 Mật độ số dấu chấm động 
 Các số được biểu diễn trong dấu chấm động không cách 
 đều trên trục số. 
 Nhược điểm của dấu chấm động: biểu diễn nhiều số 
 không chính xác và phải làm tròn thành giá trị gần nhất có 
 thể biểu diễn được. 
+ 48 
 5. Số học dấu chấm động 
  Các trường hợp tràn: 
  Overflow mũ: số mũ dương vượt quá giá trị mũ lớn nhất 
 có thể biểu diễn. Coi là +∞ hoặc - ∞ 
  Underflow mũ: số mũ âm nhỏ hơn giá trị mũ nhỏ nhất có 
 thể biểu diễn. Coi là 0 
  Underflow định trị: khi dóng phần định trị, các chữ số có 
 thể bị vượt ra phía bên phải phần định trị 
  Overflow định trị: cộng 2 phần định trị cùng dấu có thể 
 ảnh hưởng bit quan trọng nhất 
 49 
Số và Phép tính dấu chấm động 
 50 
 Cộng và trừ dấu chấm động 
Bốn giai đoạn cơ bản của thuật toán cộng và trừ: 
1. Kiểm tra các số hạng có bằng 0 hay không 
2. Căn chỉnh phần định trị (thay đổi số mũ). 
3. Cộng hoặc trừ các định trị. 
4. Chuẩn hóa kết quả. 
Cộng và trừ dấu chấm động 51 
 52 
 Nhân và chia dấu chấm động 
1. Kiểm tra 0 
2. Cộng/trừ số mũ 
3. Nhân/chia các định trị (xem dấu) 
4. Chuẩn hóa 
5. Làm tròn 
6. Tất cả các kết quả được lưu trữ với độ dài gấp đôi 
+ 
 Phép nhân 
 dấu chấm 
 động 
+ 
 Phép chia 
 dấu chấm 
 động 
+ 55 
 Độ chính xác 
 Guard Bits 
+ 56 
 Độ chính xác 
 Làm tròn 
 4 phương pháp theo chuẩn IEEE: 
  Làm tròn gần nhất 
  Làm tròn về phía +∞ 
  Làm tròn về phía -∞ 
  Làm tròn về phía 0 
+ 57 
 Số học khoảng 
  phương pháp hiệu quả để kiểm soát 
 lỗi trong tính toán dấu chấm động 
 bằng cách tạo ra hai giá trị cho mỗi kết 
 quả Rút gọn 
  Hai giá trị đó tương ứng với điểm cuối 
 biên dưới và điểm cuối biên trên của  Làm tròn về phía 0 
 khoảng có chứa kết quả đúng  Bỏ qua extra bit 
  Độ rộng của khoảng cho biết độ chính  Kỹ thuật đơn giản nhất 
 xác của kết quả 
  a consistent bias toward zero 
  Nếu các điểm cuối không biểu diễn 
 in the operation 
 được thì điểm cuối của khoảng sẽ 
 được làm tròn xuống và lên tương ứng  serious bias because it affects 
  Nếu khoảng giữa giới hạn trên và dưới every operation for which there 
 đủ hẹp thì sẽ thu được một kết quả đủ are nonzero extra bits 
 chính xác 
  Làm tròn về phía dương vô cùng và 
 âm vô cùng 
+ 58 
Chuẩn IEEE cho số học dấu chấm động nhị phân 
 Vô cùng 
 Được coi là trường hợp đặc biệt của số học thực, với các 
 giá trị vô cùng được đưa ra như sau: 
 - ∞ < (mọi số hữu hạn) < + ∞ 
 Ví dụ: 
 5 + (+ ∞ ) = + ∞ 5÷ (+ ∞ ) = +0 
 5 - (+ ∞ ) = - ∞ (+ ∞ ) + (+ ∞ ) = + ∞ 
 5 + (- ∞ ) = - ∞ (- ∞ ) + (- ∞) = - ∞ 
 5 - (- ∞ ) = + ∞ (- ∞ ) - (+ ∞ ) = - ∞ 
 5 * (+ ∞ ) = + ∞ (+ ∞ ) - (- ∞ ) = + ∞ 
+ Tổng kết 59 
 Số học máy tính 
 Chương 10 
  Số học máy tính 
  ALU  phép đảo 
  Biểu diễn số nguyên  Cộng và trừ 
  Biểu diễn dấu-độ lớn  Nhân 
  Biểu diễn bù 2  Chia 
  Mở rộng phạm vi 
  Số học dấu chấm động 
  Biểu diễn dấu chấm tĩnh 
  Cộng và trừ 
  Biểu diễn dấu chấm động 
  Nhân và chia 
  Nguyên tắc 
  Độ chính xác 
  Chuẩn IEEE cho Biểu diễn 
  Chuẩn IEEE cho số học dấu 
 dấu chấm động nhị phân 
 chấm động nhị phân 
+ 60 
 Câu hỏi chương 10 
 1. Giải thích ngắn gọn về các biểu diễn: dấu-độ lớn, bù 2, biased. 
 2. Cách xác định một số là âm hay dương trong các biểu diễn: dấu-độ lớn, bù 2, 
 biased. 
 3. Nguyên tắc mở rộng phạm vi biểu diễn số cho biểu diễn bù 2 là gì? 
 4. Cách đảo một số nguyên trong biểu diễn bù 2? 
 5. Phân biệt biểu diễn bù 2 của một số và bù 2 của một số? 
 6. Nếu coi 2 số bù 2 như là số nguyên không dấu khi thực hiện cộng, kết quả hiểu 
 theo số bù 2 là chính xác. Điều này không đúng với phép nhân. Tại sao? 
 7. Bốn thành phần của một số trong biểu diễn dấu chấm động là gì? 
 8. Vì sao sử dụng biểu diễn bias cho số mũ của một số dấu chấm động? 
 9. Phân biệt tràn dương, tràn số mũ, và tràn định trị? 
 10. Các yếu tố cơ bản của phép cộng và trừ dấu chấm động là gì? 
 11. Lý do sử dụng guard bit? 
 12. Liệt kê bốn phương pháp làm tròn kết quả của phép toán dấu chấm động. 
+ 61 
 Bài tập (1) 
 1. Biểu diễn số thập phân sau sang biểu diễn dấu-độ lớn và bù 2 
 nhị phân sử dụng 16 bit: 
 a) +512 b) -29 c) -91 
 2. Biểu diễn các giá trị bù 2 sau ra dạng thập phân: 
 a) 1101011 b) 0101101 
 3. Giả sử dùng biểu diễn bù 2 8 bit. Thực hiện phép tính: 
 a) 6+13 b) -6+13 c) 6 – 13 d) -6 – 13 
 4. Thực hiện phép tính số học bù 2: 
+ 62 
 Bài tập (2) 
 5/ x = 0101 và y = 1010 theo biểu diễn bù 2. 
 Hãy tính tích p = x * y bằng thuật toán Booth. 
 6/ Tính 29*23 bằng thuật toán Booth, trong đó mỗi số biểu diễn bằng 6 
 bit. 
 7/ Biểu diễn các số sau theo định dạng IEEE 32-bit dấu chấm động: 
 a) -5 b) -6 c) -1.5 d) 384 e) 1/16 f) -1/32 
 8/ Các số sau biểu diễn theo định dạng IEEE 32-bit dấu chấm động. Xác 
 định giá trị hệ thập phân tương ứng? 
 a. 1 10000011 11000000000000000000000 
 b. 0 01111110 10100000000000000000000 
 c. 0 10000000 00000000000000000000000