Bài giảng Giải tích II - Chương 7: Phương trình vi phân - Nguyễn Văn Quang

 học Công nghệ - ĐHQGHN 
Nghiệm tổng quát - Nghiệm riêng của PTVP 
 • Nghiệm tổng quát của PTVP cấp 2 là hàm số = Φ( , 1, 2), trong 
 đó 1, 2 = 표푛푠푡. 
 • Từ nghiệm tổng quát = Φ( , 1, 2) ta cho các giá trị cụ thể 
 ′ ′
 1 = ′1, 2 = ′2 ta có nghiệm riêng = Φ( , 1, 2). 
 Chú ý: Nếu nghiệm tổng quát tìm được ở dạng hàm ẩn: 
 Φ , , 1, 2 = 0, 
 ′ ′
 thì nghiệm riêng cũng ở dạng hàm ẩn Φ , , 1, 2 = 0 khi ta cho 
 các giá trị cụ thể 1 = ′1, 2 = ′2. 
 25-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 64 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Phương trình tuyến tính 
 Dạng tổng quát: 
 ′′ + . ′ + 푞 . = ( ) (1) 
 trong đó , 푞 , ( ) là các hàm liên tục. 
 ( ) ≠ 0 thì (1) gọi là PTVP tuyến tính cấp 2 không thuần nhất. 
 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 thuần nhất tương ứng với (1) có 
 dạng: 
 ′′ + . ′ + 푞 . = 0 (2) 
 Nếu , 푞( ) là hằng số thì (1) gọi là PTVP tuyến tính cấp 2 hệ số 
 hằng số. 
 25-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 65 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Định lý về cấu trúc nghiệm của PTVP tuyến tính cấp 2 
 Nếu 1 , 2 là 2 nghiệm riêng của phương trình (2) thì 
 = 1 1 + 2 2 là nghiệm riêng của phương trình (2), 
 trong đó 1, 2 = 표푛푠푡. 
 Nếu 1 , 2 là 2 nghiệm riêng độc lập tuyến tính của PTVP (2) 
 thì = 1 1 + 2 2 là nghiệm tổng quát của phương trình 
 (2), trong đó 1, 2 = 표푛푠푡. 
 25-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 66 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Định lý về cấu trúc nghiệm của PTVP tuyến tính cấp 2 
 Chú ý: giả sử 1 , 2 là các nghiệm riêng của PTVP (2). Khi đó 
 chúng độc lập tuyến tính với nhau khi và chỉ khi: 
 1 2 ≠ 0. 
 ′1 ′2 
 Nhận xét: Đối với PTVP tuyến tính cấp 2 thuần nhất (2), không có 
 phương pháp chung để tìm 2 riêng nghiệm độc lập tuyến tính. Tuy 
 nhiên ta có thể tìm được nghiệm riêng thứ 2 độc lập tuyến tính với 1 
 nghiệm riêng khác (không đồng nhất 0) cho trước. 
 25-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 67 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Định lý về cấu trúc nghiệm của PTVP tuyến tính cấp 2 
 Giả sử biết 1 nghiệm riêng 1( ) của (2), trong đó 1( ) không đồng 
 nhất 0, thì ta có thể tìm được nghiệm riêng thứ hai 2( ) của (2) độc 
 lập tuyến tính với 1( ) bằng cách đặt: 
 2 = 1 . . 
 Chú ý: 1 , 2 là độc lập tuyến tính trên ( , ) khi và chỉ khi 
 1 ≠ 표푛푠푡 trên ( , ). 
 2 
 25-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 68 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Ví dụ 
 Tìm nghiệm tổng quát của phương trình: ′′ − 2 ′ + = 0, biết rằng 
 phương trình trên có 1 nghiệm riêng 1( ) = 푒 . 
 Tìm nghiệm riêng thứ 2 độc lập tuyến tính với 1( ) dưới dạng: 
 2 = . 푒 . 
 Suy ra: ′2 = 푒 + ′푒 , ′′2 = 푒 + 2 ′푒 + ′′푒 . 
 Thay vào pt đã cho ta có: 
 푒 ′′ + 2 ′ + − 2푒 ′ + + 푒 = 0. 
 ′′
 → = 0 → = 1 + 2; 1 ≠ 0, 2 là hằng số. 
 Vậy nghiệm tổng quát của pt đã cho có dạng: 
 = ℂ1푒 + ℂ2 푒 . 
 25-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 69 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Định lý về cấu trúc nghiệm của PTVP tuyến tính cấp 2 
 Nghiệm tổng quát của phương trình (1) bằng tổng của nghiệm tổng 
 quát của phương trình (2) và một nghiệm riêng của phương trình (1). 
 Nguyên lý chồng chất nghiệm: Nếu vế phải của (1) có dạng: 
 = 1( ) + 2( ), khi đó: 
 ′′ ′
 + . + 푞 . = 1( ) + 2( ). 
 ′′ ′
 Giả sử 1( ) là nghiệm riêng của: + . + 푞 . = 1( ) 
 ′′ ′
 và 2( ) là nghiệm riêng của: + . + 푞 . = 2 , 
 thì 1( ) + 2( ) là nghiệm riêng của phương trình (1). 
 25-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 70 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Định lý về cấu trúc nghiệm của PTVP tuyến tính cấp 2 
 Phương pháp biến thiên hằng số Lagrange 
 Nếu 1 , 2( ) là 2 nghiệm riêng độc lập tuyến tính của phương 
 trình (2) thì nghiệm riêng của phương trình (1) có dạng: 
 = 1 . 1 + 2 . 2 
 trong đó 1 , 2 là nghiệm của hệ phương trình: 
 C1  y 1 C 2  y 2 0
 C1 y 1 C 2  y 2 f x 
 25-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 71 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Ví dụ 
 Giải phương trình: 2 ′′ + ′ − = 2 , biết rằng phương trình 
 thuần nhất tương ứng có 1 nghiệm riêng 1( ) = . 
 = 0 không phải là nghiệm của PTVP trên nên ta có: 
 1 1
 ′′ + ′ − = 1. 
 2
 Phương trình thuần nhất tương ứng có dạng: 
 1 1
 ′′ + ′ − = 0. 
 2
 Vì 1( ) = là một nghiệm riêng của pt thuần nhất, nên ta tìm nghiệm 
 riêng 2( ) độc lập tuyến tính với 1( ) dưới dạng: 
 2 = . 
 25-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 72 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Ví dụ 
 ′ ′′
 → ′2 = + ; ′′2 = 2 ′ + . Thay vào pt thuần nhất ta có: 
 1 1
 2 ′′ + ′ + + ′ − = 0. 
 2
 → ′′ + 3 ′ = 0: đây là PTVP cấp 2 hạ cấp được. Đặt ′ = : 
 3
 ′ + 3 = 0 → ′ + = 0. 
 3 
 − 2
 Suy ra: = 푒 = . Do đó: ′ = → = . 
 3 3 2
 1
 Vậy = 2 , ≠ 0 là hằng số. Cho = 1 thì = . 
 2 2 2 2 
 Vậy nghiệm tổng quát của pt thuần nhất có dạng: 
 ∗ = + 2 . 
 1 
 25-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 73 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Ví dụ 
 Tìm nghiệm riêng của pt không thuần nhất bằng phương pháp biến 
 ( )
 thiên hằng số Lagrange, dạng: = . + 2 . 
 1 
 Với 1 , 2( ) thỏa mãn hệ pt sau: 
 1 1
 ′. + ′ = 0 ′ =
 1 2 1 2
 → 
 1 2
 ′ − ′ = 1 ′ = −
 1 2 2 2 2
 3
 Do đó: = + , = − + 
 1 2 1 2 6 2
 1, 2 là các hằng số. Vì chỉ cần tìm 1 nghiệm riêng của pt không thuần 
 nhất nên ta chọn 1 = 2 = 0. 
 25-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 74 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Ví dụ 
 Vậy nghiệm riêng của pt không thuần nhất là: 
 2 2 2
 = − = . 
 2 6 3
 Do đó nghiệm tổng quát của phương trình ban đầu là: 
 2 
 = + ∗ = + + 2 . 
 3 1 
 1, 2 là các hằng số. 
 25-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 75 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 với hệ số hằng số 
 Phương trình thuần nhất 
 ′′ + ′ + 푞 = 0 (3) 
 trong đó , 푞 = 표푛푠푡. 
 Theo định lý về cấu trúc nghiệm, ta sẽ tìm 2 nghiệm riêng độc lập tuyến 
 tính của pt (3), từ đó sẽ tìm được nghiệm tổng quát của pt (3). Ta tìm 
 nghiệm riêng dưới dạng: 
 = 푒 , 
 trong đó = 표푛푠푡 cần xác định. 
 Thay vào (3) ta có: 2 + + 푞 . 푒 = 0. 
 → 2 + + 푞 = 0 (phương trình đặc trưng). 
 25-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 76 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 với hệ số hằng số 
 Nghiệm của phương trình đặc trưng có 3 trường hợp: 
 • Có 2 nghiệm thực phân biệt: 1 ≠ 2. 
 1 2 
 1 = 푒 , 2 = 푒 là 2 nghiệm riêng độc lập tuyến tính của PTVP 
 (3). 
 Do đó nghiệm tổng quát của PTVP (3) có dạng: 
 1 2 
 = 1. 푒 + 2. 푒 , 1, 2 = 표푛푠푡. 
 • Có nghiệm thực kép: 1 = 2 = . 
 1 = 푒 , 2 = 푒 là 2 nghiệm riêng độc lập tuyến tính của PTVP (3). 
 Do đó nghiệm tổng quát của PTVP (3) có dạng: 
 = 1. 푒 + 2. . 푒 , 1, 2 = 표푛푠푡. 
 25-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 77 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 với hệ số hằng số 
 • Có 2 nghiệm phức liên hợp: 1 = 훼 + 푖훽, 2 = 훼 − 푖훽. 
 훼 훼 
 1 = 푒 . 표푠훽 , 2 = 푒 . 푠푖푛훽 là 2 nghiệm riêng độc lập tuyến tính 
 của PTVP (3). 
 Do đó nghiệm tổng quát của PTVP (3) có dạng: 
 훼 
 = 푒 1. 표푠훽 + 2. 푠푖푛훽 . 
 25-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 78 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Ví dụ 
 Giải phương trình: ′′ + 3 ′ − 4 = 0. 
 Phương trình đặc trưng: 
 2 + 3 − 4 = 0, 
 có nghiệm: 1 = 1, 2 = −4. 
 Vậy nghiệm tổng quát của pt thuần nhất là: 
 −4 
 = 1푒 + 2푒 . 
 25-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 79 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Ví dụ 
 Giải phương trình: ′′ − 4 ′ + 4 = 0. 
 Phương trình đặc trưng: 
 2 − 4 + 4 = 0, 
 có nghiệm: 1 = 2 = 2. 
 Vậy nghiệm tổng quát của pt thuần nhất là: 
 2 2 
 = 1푒 + 2 푒 . 
 25-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 80 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Ví dụ 
 Giải phương trình: ′′ + 6 ′ + 13 = 0. 
 Phương trình đặc trưng: 
 2 + 6 + 13 = 0, 
 có nghiệm: = −3 ± 2푖. 
 Vậy nghiệm tổng quát của pt thuần nhất là: 
 −3 
 = 푒 1 표푠2 + 2푠푖푛2 . 
 25-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 81 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 với hệ số hằng số 
 Phương trình không thuần nhất: 
 ′′ + ′ + 푞 = ( ) (4) 
 trong đó , 푞 = 표푛푠푡, 
 với phương trình thuần nhất tương ứng: 
 ′′ + ′ + 푞 = 0, 
 và phương trình đặc trưng: 
 2 + + 푞 = 0 (5) 
 Nhận xét: Ta đã có nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương 
 ứng, và dùng phương pháp biến thiên hằng số Lagrange ta có thể tìm 
 được nghiệm riêng của (4), do đó sẽ tìm được nghiệm tổng quát của 
 phương trình (4). 
 25-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 82 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Ví dụ 
 Giải phương trình: 
 푒 
 ′′ − = 
 푒 + 1
 Phương trình thuần nhất liên kết tương ứng: ′′ − = 0. 
 Phương trình đặc trưng: 2 − 1 = 0, có nghiệm: = ±1. 
 Do đó nghiệm tổng quát của pt thuần nhất có dạng: 
 − 
 = 1푒 + 2푒 . 
 Nghiệm riêng của pt không thuần nhất có dạng: 
 − 
 = 1 푒 + 2 푒 . 
 25-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 83 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Ví dụ 
 Trong đó 1 , 2( )là nghiệm của hệ: 
 ′ − ′
 푒 . 1 + 푒 . 2( ) = 0
 푒 
 푒 . ′ − 푒− . ′ =
 1 2 푒 + 1
 Giải hệ này ta thu được: 
 1
 ′ =
 1 2(푒 + 1)
 푒2 
 ′ = −
 2 2(푒 + 1)
 25-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 84 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Ví dụ 
 Suy ra: 
 1 ln 푒 + 1
 = = − 
 1 2 푒 + 1 2 2
 1 푒2 푒 ln 푒 + 1
 = − = − + 
 2 2 푒 + 1 2 2
 Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho có dạng: 
 1 1
 = − ln (푒 + 1) 푒 − 1 − 푒− ln 푒 + 1 + 
 2 2
 − 
 + 1푒 + 2푒 . 
 25-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 85 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Ví dụ 
 Giải phương trình: 
 2
 ′′ + = 
 푠푖푛2 
 Phương trình thuần nhất liên kết tương ứng: ′′ + = 0. 
 Phương trình đặc trưng: 2 + 1 = 0, có nghiệm: = ±푖. 
 Do đó nghiệm tổng quát của pt thuần nhất có dạng: 
 = 1 표푠 + 2푠푖푛 . 
 Nghiệm riêng của pt không thuần nhất có dạng: 
 = 1 표푠 + 2 푠푖푛 . 
 25-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 86 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Ví dụ 
 Trong đó 1 , 2( )là nghiệm của hệ: 
 ′ ′
 1 . 표푠 + 2 . 푠푖푛 = 0
 2 
 − ′ . 푠푖푛 + ′ . 표푠 =
 1 2 푠푖푛2 
 Giải hệ này ta thu được: 
 ′ 1
 1 = −
 표푠 
 1
 ′ =
 2 푠푖푛 
 25-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 87 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Ví dụ 
 Suy ra: 
 = − = 푙푛 푠푖푛 + 표푠 − 푙푛 푠푖푛 − 표푠 
 1 표푠 2 2 2 2
 = = 푙푛 푡 
 2 푠푖푛 2
 Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho có dạng: 
 = 푙푛 푠푖푛 + 표푠 − 푙푛 푠푖푛 − 표푠 + 표푠 + 
 2 2 2 2 1
 + 푙푛 푡 + 푠푖푛 . 
 2 2
 25-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 88 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 với hệ số hằng số 
 Phương trình không thuần nhất vế phải có dạng đặc biệt: 
 훼 
 = 푒 . 푃푛( ), 훼 là hằng số, 푃푛( ) là đa thức bậc 푛 
 Nếu 훼 là nghiệm bội 푠 của pt đặc trưng (5), thì ta tìm nghiệm riêng 
 của pt (4) dưới dạng: 
 푠 훼 
 = . 푒 . 푄푛 , 
 trong đó 푄푛( ) là đa thức bậc 푛 cùng bậc với đa thức 푃푛( ). 
 Các hệ số của 푄푛( ) được xác định bằng phương pháp hệ số bất định. 
 Chú ý: khi 훼 không là nghiệm của pt đặc trưng (5) thì 푠 = 0. 
 25-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 89 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 với hệ số hằng số 
 Phương trình không thuần nhất vế phải có dạng đặc biệt: 
 훼 
 = 푒 푃푛 . 표푠훽 + 푄 . 푠푖푛훽 ; 훼, 훽 là hằng số, 푃푛( ), 
 푄 ( ) là các đa thức bậc 푛, . 
 Nếu (훼 ± 푖훽) không là nghiệm của pt đặc trưng (5), thì ta tìm nghiệm 
 riêng của pt (4) dưới dạng: 
 훼 
 = 푒 푠 . 표푠훽 + 퐿푠 . 푠푖푛훽 , 
 trong đó 푠 , 퐿푠 là các đa thức có bậc 푠 = max ( , 푛), và có 
 các hệ số cần xác định bằng phương pháp đồng nhất thức. 
 25-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 90 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 với hệ số hằng số 
 Nếu (훼 ± 푖훽) là nghiệm của pt đặc trưng (5), thì ta tìm nghiệm riêng 
 của pt (4) dưới dạng: 
 훼 
 = . 푒 푠 . 표푠훽 + 퐿푠 . 푠푖푛훽 
 trong đó 푠 , 퐿푠 là các đa thức có bậc 푠 = max ( , 푛), và có 
 các hệ số cần xác định bằng phương pháp đồng nhất thức. 
 25-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 91 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Ví dụ 
 Giải phương trình: ′′ − 4 ′ + 3 = 3푒2 . 
 Phương trình thuần nhất tương ứng: 
 ′′ − 4 ′ + 3 = 0. 
 Phương trình đặc trưng: 
 2 − 4 + 3 = 0. 
 có nghiệm thực: 1 = 1, 2 =3. 
 Do đó nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng: 
 ∗ 3 
 = 1푒 + 2푒 . 
 Vì 훼 = 2 không là nghiệm của phương trình đặc trưng, và 푃푛 = 3 
 (đa thức bậc 0) nên tìm nghiệm riêng của pt không thuần nhất dưới 
 dạng: = . 푒2 . 
 25-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 92 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Ví dụ 
 Thay nghiệm riêng vào pt đã cho ta có: 
 4 푒2 − 8 푒2 + 3 푒2 = 3푒2 → = −3. 
 Do đó = −3푒2 . Vậy nghiệm tổng quát của PTVP tuyến tính cấp 
 2 không thuần nhất với hệ số hằng số là: 
 ∗ 3 2 
 = + = 1푒 + 2푒 − 3푒 . 
 25-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 93 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Ví dụ 
 Giải phương trình: ′′ + = 푒 + 2푒− . 
 Phương trình thuần nhất tương ứng: 
 ′′ + = 0. 
 Phương trình đặc trưng: 
 2 + 1 = 0. 
 có nghiệm phức: = ±푖. 
 Do đó nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng: 
 ∗
 = 1 표푠 + 2푠푖푛 . 
 − 
 Vì vế phải là tổng của 2 hàm 1 = 푒 , 2 = 2푒 , nên ta lần 
 lượt tìm nghiệm riêng của PTVP không thuần nhất ứng với vế phải là 
 1 , 2 . 
 25-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 94 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Ví dụ 
 Với 1 = 푒 , do 훼 = 1 không là nghiệm của pt đặc trưng, và 
 푃푛 = , nên ta tìm nghiệm riêng của PTVP không thuần nhất có vế 
 phải là 1 dưới dạng: 
 1 = + 푒 . 
 − 
 Với 2 = 2푒 , do 훼 = −1 không là nghiệm của pt đặc trưng, và 
 푃푛 =2, nên ta tìm nghiệm riêng của PTVP không thuần nhất có vế 
 phải là 2 dưới dạng: 
 − 
 2 = 푒 . 
 Vậy nghiệm riêng của pt đã cho có dạng: 
 − 
 = 1 + 2 = + 푒 + 푒 . 
 25-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 95 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Ví dụ 
 Thay nghiệm riêng vào pt đã cho và đồng nhất thức 2 vế ta có: 
 1 1
 = , = − , = 1. 
 2 2
 Vậy nghiệm tổng quát của pt đã cho có dạng: 
 1
 = ∗ + = 표푠 + 푠푖푛 + − 1 푒 + 푒− . 
 1 2 2
 25-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 96 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Ví dụ 
 Giải phương trình: ′′ + = 푠푖푛 . 
 Phương trình thuần nhất tương ứng: 
 ′′ + = 0. 
 Phương trình đặc trưng: 
 2 + 1 = 0, 
 có nghiệm phức: = ±푖. 
 Do đó nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng: 
 ∗
 = 1 표푠 + 2푠푖푛 . 
 Vì 훼 = 0, 훽 = 1 nên 훼 ± 푖훽 = ±푖 là nghiệm của pt đặc trưng. Mặt khác 
 푃푛 = 0, 푄 = 1, nên 푠 = 0. Vậy ta tìm nghiệm riêng của pt 
 không thuần nhất dưới dạng: = ( 표푠 + 푠푖푛 ). 
 25-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 97 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Ví dụ 
 Thay nghiệm riêng vào pt đã cho và đồng nhất thức 2 vế ta có: 
 1
 = − , = 0. 
 2
 Vậy nghiệm tổng quát của pt đã cho có dạng: 
 1
 = ∗ + = 표푠 + 푠푖푛 − 표푠 . 
 1 2 2
 25-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 98 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Ví dụ 
 Giải phương trình: ′′ − 6 ′ + 9 = 푒3 . 
 Phương trình thuần nhất tương ứng: 
 ′′ − 6 ′ + 9 = 0. 
 Phương trình đặc trưng: 
 2 − 6 + 9 = 0, 
 có nghiệm kép: = 3. 
 Do đó nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng: 
 ∗ 3 3 
 = 1푒 + 2 푒 . 
 Ta tìm nghiệm riêng của pt không thuần nhất dưới dạng: 
 = 2푒3 + . 
 25-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 99 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Ví dụ 
 Ta có: ′ = 3푒3 3 + 2 + 푒3 3 2 + 2 . 
 ′′ = 9푒3 3 + 2 + 6푒3 3 2 + 2 + 푒3 6 + 2 . 
 Thế vào phương trình đã cho ta được: 
 푒3 6 − 10 + 2 = 푒3 . 
 6 − 10 = 1 = 1/6
 Suy ra: → 
 = 0 = 0
 Do đó nghiệm riêng của pt không thuần nhất là: 
 1
 = 3푒3 . 
 6
 Vậy nghiệm tổng quát của pt đã cho có dạng: 
 1
 = ∗ + = 푒3 + 푒3 + 3푒3 . 
 1 2 6
 25-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 100 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN