Bài giảng Giải tích II - Chương 5: Tích phân đường - Nguyễn Văn Quang

 điểm A đến điểm B dưới tác dụng của lực: 
 퐹 = 푃 . 푖 + 푄 . 푗 , ∈ . 
 Hãy tính công W của lực đó sinh ra. 
 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 22 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Bài toán 
 Chia cung một cách tùy ý ra n đường cung nhỏ bởi các điểm chia: 
 A0( x 0 , y 0 ), A 1 ( x 1 , y 1 ),..., An ( x n , y n ).
 Khi đó: Ai 1 A i x i  i y i  j
 Lấy M i (,). x i y i A i 1 A i
 Cung AA ii 1 nhỏ, nên có thể coi nó xấp xỉ dây cung AAii 1
 và FM () i không đổi (về chiều và độ lớn) trên cung đó. 
 Do đó, công của lực sinh ra khi chất điểm di chuyển 
 từ 푖−1 đến 푖 theo cung AA ii 1 sẽ xấp xỉ là: 
 F()()() Mi A i 1 A i P M i  x i Q M i  y i
 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 23 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Bài toán 
 Vậy công W của lực sinh ra sẽ xấp xỉ với: 
 n
 W P(,)(,) xi y i  x i Q x i y i  y i 
 i 1
 Do đó, giới hạn của tổng trên khi 푛 → ∞ chính là công của lực: 
 n
 W= limP ( xi , y i ) x i Q ( x i , y i )  y i 
 n i 1
 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 24 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Định nghĩa 
 P P( x , y ), Q Q ( x , y ) xác định trên đường cong C có hướng. 
 Chia C một cách tùy ý ra n đường cong nhỏ bởi các điểm: 
 A0( x 0 , y 0 ), A 1 ( x 1 , y 1 ),..., An ( x n , y n ).
 Trên mỗi cung AA ii 1 lấy tuỳ ý một điểm M i (,); x i y i A i 1 A i xi  i yi  j
 n
 Lập tổng Riemann: IPMQ n   ()() i  () xx i i 1 M i (yi yi 1)
 i 1
 II lim n , không phụ thuộc cách chia C, và cách lấy điểm Mi 
 n 
 I P(,)(,) x y dx Q x y dy
 C
 được gọi là tích phân đường loại hai của P(x,y) và Q(x,y) trên cung C. 
 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 25 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Tính chất 
 1) Tích phân đường loại hai phụ thuộc chiều lấy tích phân trên C: 
 Pdx Qdy Pdx Qdy
 AB BA
 2) Nếu C được chia làm hai cung C1 và C2 rời nhau: 
 Pdx Qdy Pdx Qdy Pdx Qdy
 C CC12
 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 26 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Cách tính tích phân đường loại hai: 
 1) C: x = x(t), y = y(t), t = a ứng với điểm đầu, t = b: điểm cuối cung. 
 P(,)(,)(,)(,) x y dx Q x y dy P x y dx Q x y dy
 CCC
 Chia [a,b] thành n đoạn: a t0 t 1 t 2 tn b
 ñònh lyù Lagrange
 *
 xi x i x i 11 x()() t i x t i x () tii  t
 **
 Chọn điểm trung gian M i x ( t i ), y ( t i ) , khi đó: 
 n
 **
 P(,) x y dx lim P ((),()) x ti y t i  x i
 C n i 1
 n b
 *** 
 P(,) x y dx lim P x (),() ti y t i  x () t i  t i P x( t ), y ( t )  x ( t )  dt
 C n i 1 a
 b
 P(,) x y dx Q (,) x y dy P x (),() t y t  x () t Q x (),() t y t  y () t dt
 Ca
 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 27 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Cách tính 
 Các hàm 푃( , ) và 푄( , ) liên tục trên tập mở D chứa cung trơn C. 
 2) C: y = y(x), x = x1 là hoành độ điểm đầu, x = x2: điểm cuối cung. 
 x2
 P(,) x y dx Q (,) x y dy  P (,()) x y x Q (,()) x y x  y () x dx
 Cx1
 3) C: x = x(y), y = y1 là tung độ điểm đầu, y = y2: điểm cuối cung. 
 y2
 P(,) x y dx Q (,) x y dy  P ((),) x y y  x () y Q ((),) x y y dy
 Cy1
 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 28 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Tích phân đường loại 2 trong không gian 
 Các hàm P(x,y,z), Q(x,y,z) và R(x,y,z) liên tục trên tập mở D chứa cung 
 trơn AB. 
 n
 Pdx Qdy Rdz lim P ( Mi ) x i Q ( M i ) y i R ( M i ) z i 
 AB n i 1
 Cung AB có phương trình tham số: xxtyytzzt ( ), ( ), ( ); atb 
 Pdx Qdy Rdz 
 AB
 b
 P((),(),()) x t y t z t  x () t dt Q ((),(),()) x t y t z t  y () t dt R ((),(),()) x t y t z t  z () t dt
 a
 b
 P  x ()()() t Q  y t R  z t dt
 a
 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 29 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Tích phân đường loại 2 trong không gian 
 Giả sử: 퐅( , , ) = 푃 , , 퐢 + 푄 , , 퐣 + 푅 , , 퐤 
 là một trường vector xác định trên cung AB. 
 Nếu cung AB được cho bởi phương trình vector: 
 r()()()()t x t i y t j z t k
 Tích phân đường của F trên cung AB là (công của lực F sinh ra khi di 
 chuyển một vật trên đường cong AB): 
 Fd r F( r ( t ))  r '( t ) dt
 AB AB
 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 30 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Ví dụ 
 2
 Tính I ( x 3 y ) dx 2 ydy , trong đó C là biên tam giác OAB 
 C
 với O(0,0); A(1,1); B(0,2), ngược chiều kim đồng hồ. 
 I 
 C OA AB BO
 Phương trình OA: y = x B 
 Hoành độ điểm đầu: x = 0 
 Hoành độ điểm cuối: x = 1 A
 1
 2
 I1 ( x 3 x ) dx 2 xdx
 OA 0 O 
 1
 2 17
 I1 ( x 5 x ) dx 
 OA 0 6
 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 31 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Phương trình AB: y = 2 – x 
 B 
Hoành độ điểm đầu: x = 1 
 A
Hoành độ điểm cuối: x = 0 
 0 11
 2 O 
I2 ( x 3(2 x )) dx 2(  2  x ) ( 1) dx 
 AB 1 6
Phương trình BO: x = 0 Tung độ điểm đầu: y = 2 
 0
 2 4
Tung độ điểm cuối: y = 0 I3 (0 3 y )  0  dy 2  y  dy
 BO 2
 17 11
IIII 1 2 3 43 
 66
23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 32 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
 22
 Tính I ydx xdy , trong đó C là cung x y 2, x từ O(0,0) 
 C
 đến A(1,1), chiều kim đồng hồ. 
 x rcos t
Sử dụng tọa độ cực 
 y rsin t
 x22 y 2 x r 2cos t
Phương trình tham số cung C: 
 x 2cos t  cos t 1 cos2 t
 y 2cos t  sin t sin 2 t
 tt ;
 1224
 /4
 I sin 2 t  ( 2sin 2 t ) (1 cos2 t )  (2cos2 t ) dt 1
 /2
 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 33 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
 Tính I ydx zdy xdz với C là đường cong có phương trình tham số: 
 C
 x a cos t , y a sin t , z bt ,0 t 2 theo hướng tăng dần của biến t. 
 2 
I asin t  ( a sin tdt ) bt  ( a cos tdt ) a cos t  ( bdt )
 0
 2 
 22 2
I asin t abt cos t ab cos t dt a
 0
23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 34 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
 2 2 2
 I ()()() y z dx z x dy x y dz với C là giao của mặt: x y z 4,
 C
 yx  tan ;0 , ngược chiều kim đồng hồ nhìn theo hướng trục Ox. 
Từ phương trình của đường cong C, ta có: 
 x2 x 2tan 2 z 2 4
 xz22
 1
 4cos2 4
Tham số đường cong C qua hệ tọa độ trụ: 
 x 2cos  cos t ; y 2sin  cos t ; z 2sin t
 (0 t 2 )
 2 
I (2sin cos t 2sin t )( 2cos sin t ) (2sin t 2cos cos t )(-2sin sin t ) dt
 0
 2 
 (2cos  cost 2sin  cos t )  (2cos t ) dt 8 2 sin 
 0 4
 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 35 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Công thức Green 
 C là biên của miền D. 
 Chiều dương qui ước trên C là chiều mà đi theo chiều này ta thấy miền D 
 ở phía bên tay trái. 
 Miền D được gọi là miền đơn liên nếu nó bị giới hạn bởi một đường 
 cong kín. Ngược lại D được gọi là miền đa liên nếu nó bị giới hạn bởi 
 nhiều đường cong kín. 
 Trong đa số trường hợp, chiều dương qui ước là ngược chiều kim đồng hồ. 
 Trong trường hợp tổng quát điều này không đúng. 
 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 36 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Công thức Green 
 Miền đơn liên Miền đa liên 
 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 37 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Công thức Green 
 D là miền (đơn liên hoặc đa liên) đóng, giới nội trong mặt phẳng với biên 
 C (kín) liên tục, trơn từng khúc. 
 푃( , ), 푄( , ) và các đạo hàm riêng cấp 1 liên tục trên miền D. 
 QP
 P(,)(,) x y dx Q x y dy dxdy
 CD xy
 Dấu + nếu chiều lấy tích phân trùng chiều dương qui ước 
 (đi theo chiều lấy tích phân, miền D nằm ở bên tay trái) 
 Điều kiện để sử dụng công thức Green: 
 1) C là cung kín. 
 2) P(x,y), Q(x,y) và các đạo hàm riêng cấp 1 liên tục trên miền D có biên C. 
 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 38 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
 2
Tính I ( x 3 y ) dx 2 ydy , trong đó C là biên tam giác OAB 
 C
 với O(0,0); A(1,1); B(0,2), ngược chiều kim đồng hồ. 
 Cung C kín. 
 B 
P( x , y ) x2 3 y ; Q ( x , y ) 2 y
 A
 P(x,y), Q(x,y) và các đạo hàm riêng cấp 1 
 liên tục trên miền D có biên C. 
 O 
 2 QP
 I ( x 3 y ) dx 2 ydy dxdy
 CD xy
 12 x
 03 dxdy dx( 3) dy 3
 D 0 x
23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 39 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
 22
 Tính I ()() x y dx x y dy , trong đó C nửa trên đường tròn: 
 C
 x 22 y 2 x cùng chiều kim đồng hồ. 
 Cung C không kín. 
 III 12 
 C C AO AO
 QP
 I1 dxdy
 C AO D xy
 /2 2cos 
 2(x y ) 2( x y ) dxdy d 4 r cos  r  dr 2 
 D 00
 0
 228 8
 I2 ( x 0) dx ( x 0) 0 dx III 12 2 
 2 3 3
 Có thể giải bằng cách viết phương trình tham số cung C. 
23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 40 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
 ()()x y dx x y dy
 Tính I 22 , trong đó C đường tròn: 
 C xy 
 xy 22 4 ngược chiều kim đồng hồ. 
 Cách 1: Cung C kín, nhưng P, Q và các ĐHR cấp 1 
 không liên tục trên D, không sử dụng 
 công thức Green được !!! 
 Viết phương trình tham số cung C: 
 xt 2cos
 tt12 0; 2 
 yt 2sin
 2 (2cost 2sin t )  ( 2sin t ) dt (2cos t 2sin t )  2cos tdt
 I 2 
 0 4
23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 41 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Cách 2: Tích phân trên đường tròn: 2 + 2 = 4, nên thay vào mẫu số ta có: 
 ()()x y dx x y dy
 I 
 C 4
Có thể sử dụng công thức Green trong 
trường hợp này. 
 1
 I ()() x y dx x y dy
 4 C
 1 2
 ( 1 1)dxdy  SD 2 
 4 xy22 4 4
23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 42 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Ví dụ 
 Tính I (4 y ) dx xdy , trong đó C là cung Cicloid: 
 C
 x 2( t sin t ), y 2(1 cos t ),0 t 2 (cùng chiều kim đồng hồ). 
 Cung C không kín. 
 2 
 I 4 2(1 cos t )  2(1 cos t ) dt 2( t sin t )(2sin t ) dt
 0
 2 
 I 4 t sin tdt 8 
 0
 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 43 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Ví dụ 
 xy22
 Tính I e cos2 xydx sin 2 xydy , trong đó C là đường tròn: 
 C
 xy22 4, ngược chiều kim đồng hồ. 
 22 22
 P( x , y ) e xy cos(2 xy ) ; Q( x , y ) e xy sin(2 xy )
 P 22
 2e xy y cos(2 xy ) x sin(2 xy )
 y
 Q 22
 2e xy y cos(2 xy ) x sin(2 xy )
 x
 QP
 I dxdy 0
 xy22 4 xy
 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 44 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
 ydx xdy
 Tính I 22 , trong đó C là đường cong kín tùy ý, 
 C xy 
 không đi qua gốc O, ngược chiều kim đồng hồ. 
Trường hợp 1: C không bao quanh gốc O. 
Sử dụng công thức Green. 
 y
P(,) x y 
 xy22 
 Py122
 2 2 2
y xy xy22 
 x
Q(,) x y 
 xy22 
Qx122
 2 2 2 QP
x xy xy22 I dxdy 0
 D xy
23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 45 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Trường hợp 2: C bao quanh gốc 0. 
Không sử dụng công thức Green được 
vì P, Q và các ĐHR cấp 1 không 
liên tục trên miền D, có biên là C. 
Kẻ thêm đường tròn C1 có bán kính a đủ nhỏ để 
C1 nằm lọt trong C, chọn chiều kim đồng hồ. 
 Green QP
III 12 I1 = dxdy 0
 CCCC 11 CCD 1 xy
 2 2 2
Tính tích phân I2 trên cung tròn: + = 
Phương trình tham số của cung C1: x acos t , y a sin t , t12 2 , t 0
 0 acos t a cos t  dt a sin t  a sin t  dt
I2 2 2 III 12 2 
 2 a
 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 46 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Tích phân không phụ thuộc đường lấy tích phân 
 Định lý: (không phát biểu cho miền đa liên) 
 Giả sử tồn tại miền mở đơn liên D chứa cung AB, sao cho P(x,y), Q(x,y) và 
 các ĐHR cấp 1 của chúng liên tục trong D. Các mệnh đề sau tương đương: 
 QP
 1. ,(,) x y D
 xy
 2. Tích phân I Pdx Qdy không phụ thuộc đường cong (trơn từng khúc) 
 AB
 nối điểm A, B nằm trong D. 
 3. Tồn tại hàm U(x,y) trên D là vi phân toàn phần của Pdx + Qdy, tức là: 
 dU(,) x y Pdx Qdy
 4. Tích phân trên mọi đường cong kín C, trơn từng khúc trong D bằng 0: 
 I Pdx Qdy 0
 C
 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 47 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Tích phân không phụ thuộc đường lấy tích phân 
 QP
 Tích phân không phụ thuộc đường đi 
 xy
 III 12 B
 AB AC CB
 I1 Pxydx(,)(,) Qxydy xx B
 AC
 yy,
 xB AB
 P( x , yAA ) dx Q ( x , y )  0 dx
 x yy A
 A A C
 xxAB,
 I2 Pxydx(,)(,) Qxydy
 CB
 yB
 P( x , y )  0 dy Q ( x , y ) dy
 AB xyBB
 yA
 I P(,)(,) x yAB dx Q x y dy
 xyAA
 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 48 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
 (2,3)
 Tính I ydx xdy 
 ( 1,2)
 QP
 1 suy ra, tích phân không phụ thuộc đường đi. 
 xy B(2,3)
Cách 1: 
 A( 1,2) C
 23
 I 22dx dy 8
 AC CB 12
Cách 2: Tồn tại hàm U(x,y) là vi phân toàn phần của Pdx + Qdy 
 Ux P(,) x y
 tìm được hàm U(,) x y xy C
 U Q(,) x y
 y (2,3)
 I ydx xdy U(,) x y (2,3) UU(2,3) ( 1,2) 8
 ( 1,2)
 ( 1,2)
 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 49 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
 (6,8) xdx ydy
 Tính I , với đường cong không bao quanh gốc tọa độ. 
 (1,0) xy22 
 QP
 suy ra, tích phân không phụ thuộc đường đi. 
 xy
Tồn tại hàm U(x,y) là vi phân toàn phần của Pdx + Qdy 
 x (1) U (,) x y P (,) x y dx g () y
 Ux P(,) x y (1) 
 22
 xy 22
 U(,)() x y x y g y
 y
 Uy Q(,) x y (2) (2) gy ( ) 0 g() y C
 22
 xy 
 U(,) x y x22 y C
 I U(,) x y (6,8) UU(6,8) (1,0) 9
 (1,0)
23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 50 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
 xdx ydy
 Tính I 22 theo đường cong AB tùy ý từ A(1,0) đến B(2,0): 
 AB xy 
 a) Không bao quanh gốc tọa độ. 
 b) Bao quanh gốc tọa độ. 
 QP
a) , tích phân I không phụ thuộc đường đi từ A đến B. 
 xy
 2 dx 2
 Nên ta tính tích phân theo trục hoành: Ix ln ln 2
 1
 1 x
 QP
b) , tích phân I không phụ thuộc đường đi từ A đến B. 
 xy
Tuy nhiên I không thể tính như câu a (theo đường thẳng từ A đến B theo trục 
hoành), vì không tồn tại miền đơn liên D nào chứa đường thẳng AB và đường 
cong kín bao quanh gốc O để cho P, Q và các ĐHR cấp 1 liên tục trên D. 
 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 51 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Cách 1: Tính theo các đoạn thẳng: AC, CD, DE, EF, FB. 
trong đó: A(1,0), C(1,1), D(-1,1), E(-1,-1), F(2,-1), B(2,0). 
Cách 2: Tìm hàm U(x,y) là vi phân toàn phần của P(x,y)dx+Q(x,y)dy 
 x
 U P(,) x y (1) (1) U (,) x y P (,) x y dx g () y
 x 22
 xy 
 22
 y ln(xy )
 U(,)() x y g y
 Uy Q(,) x y 22 (2) 2
 xy 
 (2) gy ( ) 0 g() y C
 ln(xy22 )
 U(,) x y C
 2
 (2,0) ln 4 ln1
 I U(,) x y UU(2,0) (1,0) ln 2
 (1,0) 2
Cách 3: Bổ sung thêm đoạn thẳng từ B đến A, đưa vào đường tròn (đủ nhỏ) bao 
quanh gốc O. Sử dụng công thức Green đối với miền đa liên này. 
 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 52 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
 xy x xy x
 I (2 ye e cos y ) dx (2 xe e sin y ) dy
 C
 a) Tìm hằng số để tích phân I không phụ thuộc đường đi. 
 b) Với ở câu a), tính I biết C là cung tùy ý nối A (0, ) và B (1,0). 
 a) Điều kiện cần để tích phân không phụ thuộc đường đi: 
 QP
 xy
 2exy 2 xye xy e x sin y 2 e xy 2 xye xy e x sin y
 1
Đây cũng là điều kiện đủ vì với mọi cung C luôn tìm được miền đơn liên D 
chứa cung C sao cho P, Q và các ĐHR cấp 1 liên tục trên miền D. 
 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 53 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
b) Với 1 ta có tích phân: 
 (1,0)
 xy x xy x
 I (2 ye e cos y ) dx (2 xe e sin y ) dy
 (0, )
 A(0, )
 x 0
Chú ý: tích phân I không phụ thuộc đường đi. 
 yy12 ,0
 O B(1,0)
 I 
 AO OB
 01 y 0
 I sin ydy ex dx
 xx 1, 0
 0 12
 Ie 1
 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 54 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 
Tích phân không phụ thuộc đường lấy tích phân 
 a) Cho P ( x , y ) y , Q ( x , y ) 2 x ye y . Tìm hàm h(y) thỏa h(1) = 1 sao cho 
 tích phân I h ()(,)()(,) y P x y dx h y Q x y dy không phụ thuộc đường đi. 
 C
 b) Với h(y) ở câu a), tính I biết C là phần đường cong có phương trình: 
 4 xy 22 9 36 , ngược kim đồng hồ từ A(3,0) đến B(0,2). 
 a) Điều kiện cần để tích phân không phụ thuộc đường đi: 
 QP
 xy
 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 55 
 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN