Bài giảng Giải tích các hàm nhiều biến - Chương 5: Tích phân phụ thuộc tham số

)xy > 0 và Iy ( ) không hội tụ đều. 
 b→∞ yU∈
 b
 ∞
Định lý. (Tiêu chuẩn Cauchy) Tích phân Iy()= ∫ fxydx (,) hội tụ đều trên 
 0
tập U khi và chỉ khi với mọi ε > 0 , tồn tại số b0 để 
 b2
 ∫ fxydx(, ) ≤ ε , với mọi bb12,,≥∈ b 0 y U. 
 b1
 ∞
Chứng minh. Điều kiện cần suy ra ngay từ định nghĩa vì nếu fxydx(, ) < ε 
 ∫ 2
 b
với mọi bb≥∈0 , yU thì 
 b2 ∞∞
 fxydx(, )≤ fxydx (, )+ fxydx (, ) ≤ εε+=ε 
 ∫∫∫22
 bbb112
với mọi bb12, ≥ b 0, yU∈ . 
Chương 5. Tích phân phụ thuộc tham số 191 
Điều kiện đủ. Với y cố định, điều kiện của định lý suy ra Iy ( ) hội tụ. Hơn nữa 
 ∞
cho b2 →∞ trong điều kiện đã nói thì ∫ fxydx(, ) ≤ ε với mọi bbyU12≥∈, . 
 b1
Theo định nghĩa, tích phân hội tụ đều trên U. 
Định lý. (Tiêu chuẩn Weierstrass) Giả thiết tồn tại hàm Fx()≥ 0 khả tích và 
một số ba≥ sao cho f (,xy )≤ Fx () với mọi yU∈ , x ≥ b , và tích phân 
 ∞ ∞
∫ F()xdx hội tụ. Khi ấy ∫ f (,xydx ) hội tụ đều trên M. 
 a a
Chứng minh. Theo tiêu chuẩn Cauchy đối với tích phân hội tụ, với mọi ε > 0 tồn 
tại b0 sao cho 
 b2
 ∫ Fxdx() < ε với mọi bb12, ≥ b 0. 
 b1
Chọn bbb00≥ max{ , } , ta có 
 bb22 b 2
 ∫∫fxydx(, )≤≤ fxydx (, ) ∫ Fxdx () < ε , 
 bb11 b 1
với mọi bb12,,≥∈ b 0 y U. Áp dụng định lý Cauchy ta kết luận tích phân Iy ( ) hội 
tụ đều trên U. 
 ∞
 −yx2
Thí dụ. Chứng minh rằng ∫ edx hội tụ đều trên tập Ut=[,0 ∞ ) với t0 > 0 
 0
bất kỳ. 
 2 2
Giải. Nhận xét rằng ee−yx ≤ −tx0 với mọi yUx∈≥, 0 . Hơn nữa tích phân 
 ∞ ∞
 2 2
∫ edx−tx0 hội tụ. Theo định lý Weierstrass, tích phân ∫ edx−yx hội tụ đều trên 
 0 0
U. 
 Để trình bày một số tiêu chuẩn hội tụ đều đối với tích phân của một tích chúng 
ta cần bổ đề sau, còn có tên gọi là định lý Bonnet và là một dạng của định lý giá trị 
trung bình. 
Bổ đề. (Định lý Bonnet) Nếu hàm số α()x đơn điệu và hàm số g()x khả tích 
trên [a, b] thì tồn tại điểm cab∈[ , ] sao cho 
192 Giải tích các hàm nhiều biến 
 bcb
 ∫∫∫g()xxdxagxdxbgxdxαα ()=+ () () α () () . 
 aac
Chứng minh. Xét trường hợp α()x không tăng và α()x ≥ 0. (Trường hợp α()x 
không giảm là tương tự). Giả sử P là một phân hoạch bất kỳ của [ab, ] cho bởi dãy 
điểm ax=<<<=12 x... xn b. Khi ấy 
 b n xi
∫∫g()xxdxαα ()==∑ gxxdx () () 
 i=2
 axi−1
 nnxxii
 =+∑∑ααα(xii−−11 )∫∫gxdx ()[] () x− ( x ) gxdx () . (*) 
 ii==22
 xxii−−11
Nhận xét rằng α()x đơn điệu và g()x khả tích nên bị chặn, tức là gx()< δ với 
mọi x ∈[ab, ] và với δ > 0 nào đó. Khi ấy thành phần thứ hai trong vế phải của (*) 
có thể đánh giá như sau 
 nnxxii
 ∑∑∫∫()αα()x −≤− (xgxdxii−−11 ) () δ() α ( x ) α () xdx 
 ii==22
 xxii−−11
 b n
 ≤−δα∫ ()xdx∑ α ( xiii−−11 )( x − x ). 
 a i=2
Do α()x khả tích nên số trừ trong biểu thức trên tiến tới số bị trừ khi bề rộng của 
phân hoạch dần tới 0. Đối với thành phần đầu trong vế phải của (*) chúng ta lưu ý 
 x
rằng Gx()= ∫ gxdx () liên tục trên [ab, ] và do đó đạt cực đại là M và cực tiểu là 
 a
m trên đoạn này. Hơn nữa ta có biến đổi sau 
 nnxi
 σαTi==∑∑()x−−−111∫ gxdx () α ()()() x iii() Gx− Gx 
 ii==22
 xi−1
 n−1
 = ∑((ααxiiin−−11 )− (xGx ))( )+ α ( x )() Gb. 
 i=2
Vì αα()()0xxii−1 −≥ và α (xn )≥ 0 cho nên đại lượng σT bị kẹp, cụ thể là 
maασ()≤≤T M α () a. Qua giới hạn khi bề rộng của phân hoạch dần tới 0 ta có 
 b
 maααα()≤≤∫ gxxdxM () () () a. 
 a
Vì G(x) là hàm liên tục, tồn tại cab∈[ , ] sao cho 
Chương 5. Tích phân phụ thuộc tham số 193 
 bc
 ∫∫g()xxdxagxdxαα ()= () () . (**) 
 aa
Bây giờ nếu α()x không nhất thiết là dương, với α()xb−≥α () 0, ta xét tích phân 
 b
∫ g()xx()αα ()− () bdx. Theo chứng minh trên, tìm được cab∈[ , ] để 
 a
 bc
 ∫∫g()xx()()αα ()− () bdxa= αα ()− () bgxdx () . 
 aa
 bcb
Suy ra ∫∫∫g ()xxdxagxdxbgxdxαα ()=+ () () α () () , chính là công thức cần 
 aac
tìm. 
Định lý. (Tiêu chuẩn Dirichlet) Giả thiết rằng: 
 b
 i) Tích phân ∫ f (,xydx ) bị chặn đều theo b và y tức là tồn tại c > 0 để 
 a
 b
 ∫ f (,xydx ) , ∈ ; 
 a
 ii) ϕ(,x y )hội tụ đều theo yU∈ đến 0 khi x →∞ và ϕ (x ,y ) đơn điệu theo x 
 với mỗi yU∈ cố định. 
 ∞
Khi đó tích phân ∫ f (,xy )(,ϕ xydx ) hội tụ đều trên U. 
 a
Chứng minh. Lấy ε > 0 bất kỳ. Từ ii) ta tìm được b0 để: 
 ϕε(,by ) 0 , yU∈ . 
Khi ấy với mọi bbb210≥≥ , kết hợp với định lý Bonnet ta có: 
 b2 ξ b2
 ∫ f (,xy )(,ϕ xydx ) = ϕϕ(,)(,)(,)(,)by12∫∫ fxydx+ by fxydx ≤ 
 b1 b1 ξ
 ξ b2
 ≤ ϕϕ(,)by12∫∫ fxydx (,)+ ( by ,) fxydx (,) ≤ 
 b1 ξ
 ξ b1 ξ b2
 ε   ε   ε
 ≤  fdx+ fdx +  fdx+ fdx  < (2cc+= 2 ) ε , 
 4c  ∫∫ 4c  ∫∫ 4c
  aa  aa
194 Giải tích các hàm nhiều biến 
trong đó ξ là một điểm trong đoạn [,bb12 ]. Theo định lý Cauchy, tích phân 
 ∞
∫ f (,xy )(,ϕ xydx ) là hội tụ đều. 
 a
Định lý. (Tiêu chuẩn Abel) Giả thiết rằng 
 ∞
 i) Tích phân ∫ f (,xydx ) hội tụ đều trên U; 
 a
 ii) ϕ(,x y ) bị chặn đều, tức là tồn tại c > 0 để ϕ(,x yc )≤ với mọi 
 x ≥∈ayU, , và với mỗi yU∈ cố định hàm ϕ(.,y ) đơn điệu theo x. 
 ∞
Khi ấy tích phân ∫ f (,xy )(,ϕ xydx ) hội tụ đều trên U. 
 a
Chứng minh. Tương tự định lý trên, áp dụng định lý Bonnet và định lý Cauchy. 
 ∞
 sin(yx )
Thí dụ. Khảo sát tính hội tụ đều của tích phân ∫ dx trên tập Ut,=[)0 ∞ , 
 0 x
với t0 > 0 . 
 Lấy ϕ(,xy )= 1 và f (xy , )= sin( yx ) ta thấy ngay rằng các điều kiện của 
 x
tiêu chuẩn Dirichlet thỏa mãn. Vì vậy tích phân này hội tụ đều trên U. 
5.2.3. Tính liên tục 
 Để khảo sát các tính chất của tích phân hội tụ đều với cận vô hạn chúng ta 
thiết lập mối liên hệ của những tích phân này với dãy hội tụ đều. 
 ∞
Bổ đề. Giả thiết rằng tích phân Iy()= ∫ fxydx (,) hội tụ đều trên tập U và 
 a
{}an là một dãy số dần tới +∞ với aan > . Khi ấy dãy hàm: 
 an
 ϕn ()yfxydx= ∫ (,) 
 a
hội tụ đều tới hàm số Iy () trên U. 
 ∞
Chứng minh. Với mỗi y∈U cố định, do tích phân ∫ f (xydx , ) hội tụ cho nên 
 a
dãy hàm {ϕn (y )} hội tụ tới Iy( ) . Ta sẽ chứng minh rằng dãy hội tụ đều. Cho 
ε > 0 bất kỳ. Vì Iy() hội tụ đều ta tìm được b0 sao cho: 
 ∞
 ∫ fxydx(, ) 0 , yU∈ . 
 b
Chương 5. Tích phân phụ thuộc tham số 195 
Khi ấy tồn tại n0 > 0 sao cho với mọi nn≥ 0 , ta có abn ≥ (vì {an } tiến tới ∞). 
Như vậy 
 an ∞ ∞
 ϕn ()yIy− () = ∫∫f (,xydx )− f (, xydx ) = ∫ fxydx(, ) < ε , 
 aa an
với mọi nnyU≥∈0 , . Chứng tỏ {()}ϕn y hội tụ đều tới I()y trên U. 
Định lý. Giả thiết rằng hàm f xác định và liên tục trên miền [,a ∞ )× [,]αβ và 
 ∞
tích phân Iy()= ∫ fxydx (,) hội tụ đều trên [,]αβ. Khi ấy hàm Iy() liên tục trên 
 a
[,]α β . 
Chứng minh. Lấy dãy {an } tiến dần ra +∞ , aan > , và xét dãy hàm 
 an
 ϕαβn ()yfxydxy= ∫ (,) ,∈ [,]. 
 a
Với mỗi n cố định, theo định lý về tính liên tục của tích phân phụ thuộc tham số 
với cận hữu hạn, hàm ϕn (y ) liên tục trên [αβ , ]. Áp dụng bổ để, {ϕn (y )}hội tụ 
đều tới Iy( ) . Theo định lý về tính liên tục của dãy hàm hội tụ đều, ta kết luận hàm 
giới hạn I()yy= limϕn () liên tục trên [,]α β . Định lý được chứng minh xong. 
 n→∞
Chú ý. Đối với trường hợp hàm dương ((,)fxy≥ 0), phần đảo của định lý trên 
vẫn đúng (như định lý Dini đối với dãy hàm). Cụ thể là, nếu f liên tục và dương 
 ∞
trên miền [a ,∞ )× [α ,β ], tích phân ∫ f (xydx , ) hội tụ tới một hàm liên tục Iy( ) 
 a
trên [,]αβ, thì khi ấy tích phân trên hội tụ đều. Để chứng minh điều này, xét dãy 
 an+
đơn điệu của các hàm liên tục ϕn ()yfxydx= ∫ (,) hội tụ tới hàm liên tục Iy() 
 a
trên [α ,β ]. Theo định lý Dini, dãy hàm này hội tụ đều, tức là với mọi ε > 0 , tồn 
tại n0 để: 
 ∞
 ϕεn ()yIy− ()=< ∫ fxydx (,) , với mọi nny≥∈0 ,[,]αβ. 
 an+
Khi ấy với mỗi bn≥ 0 + a, 
 ∞ ∞
 ∫ f (,xydx ) ≤ ∫ fxydx(, ) < ε , với mọi y ∈[,]α β . 
 b an+ 0
 ∞
Chứng tỏ tích phân ∫ f (xydx , ) hội tụ đều trên [αβ , ]. 
 a
196 Giải tích các hàm nhiều biến 
5.2.4. Tính khả vi 
Định lý. Giả thiết rằng 
 i) Hàm f liên tục và có đạo hàm riêng f y′ liên tục trên miền [,a ∞ )× [,]α β ; 
 ∞
 ii) Tích phân I()yfxydx= ∫ (,) hội tụ trên [,]αβ; 
 a
 ∞
 ′
 iii) Tích phân ∫ f y (,xydx ) hội tụ đều trên [,]αβ. 
 a
Khi ấy hàm Iy() khả vi trên [,]αβ và đaọ hàm được tính theo công thức: 
 ∞
 ′
 I '(yfxydx )= ∫ y ( , ) . 
 a
Chứng minh. Xét dãy hàm 
 an+
 ϕn ()yfxydx= ∫ (,) , y ∈[αβ , ] . 
 a
Với mỗi n cố định, theo định lý về tính khả vi của tích phân phụ thuộc tham số với 
cận hữu hạn, hàm ϕn (y ) khả vi trên [αβ , ] và 
 an+
 ′′
 ϕny()yfxydx= ∫ (,) , y ∈[,]α β . 
 a
Ta có Iy ( )= limϕn ( y ) và 
 n→∞
 ∞
 limϕn′ (y ) =(,)f y′ xydx. 
 n→∞ ∫
 a
Theo bổ đề trong mục trước, dãy {ϕn′ (y )} hội tụ đều trên tập [αβ , ]. Áp dụng định 
lý về tính khả vi của dãy hàm ta thu được tính khả vi của hàm Iy ( ) và 
 ∞
 I ′′()yy= [limϕn ()]= limϕn′ (y ) =(,)f y′ xydx. 
 n→∞ n→∞ ∫
 a
Định lý được chứng minh xong. 
5.2.5. Tính khả tích 
Định lý. Giả thiết rằng 
 i) Hàm f liên tục trên miền [,a ∞ )× [,]αβ ; 
Chương 5. Tích phân phụ thuộc tham số 197 
 ∞
 ii) Tích phân I()yfxydx= ∫ (,) hội tụ đều trên [,]αβ. 
 a
Khi ấy I()y khả tích trên [,]α β và 
 ββ∞∞
 ∫∫dy f(, x y ) dx= ∫∫ dx f (, x y ) dy . 
 ααaa
Chứng minh. Từ các điều kiện của định lý suy ra Iy ( ) là hàm liên tục trên [α ,β ], 
do đó khả tích. Để chứng mính công thức trên chỉ cần xét dãy hàm 
 an+
 ϕn ()yfxydx= ∫ (,) 
 a
rồi áp dụng định lý về tính khả tích của dãy hàm hội tụ đều ta sẽ thu được 
 βββan+
 I() y dy== limϕn dy lim dy f (,) x y dx = 
∫∫∫∫nn→∞ →∞
 αααa
 an+ ββ∞
 ==limdx f ( x , y ) dy dx f ( x , y ) dy , 
 n→∞ ∫∫ ∫∫
 aaαα
điều phải chứng minh. 
Chú ý. Kết quả trên có thể mở rộng cho trường hợp miền lấy tích phân của I()y 
vô hạn (thí dụ [,α ∞ )). Cụ thể là: Giả thiết hàm f liên tục và dương trên miền 
[,αα∞ )× [,∞ ) và các tích phân 
 β ∞
 Jy()= ∫ fxydy (,) , Iy ( )= ∫ fxydx ( , ) , 
 α a
 ∞∞
hội tụ tới các hàm liên tục. Khi ấy nếu một trong các tích phân ∫∫dx fdy , 
 a α
 ∞∞
∫∫dx fdx tồn tại thì tích phân còn lại cũng tồn tại và chúng bằng nhau. 
 α a
5.3. Một số tích phân đặc biệt 
 Trong mục này chúng ta sẽ sử dụng những kết quả ở mục trước để khảo sát 
một số tích phân dạng đặc biệt thường gặp trong một số lĩnh vực của toán học ứng 
dụng. 
198 Giải tích các hàm nhiều biến 
5.3.1. Tích phân Dirichlet 
 Tích phân Dirichlet là tích phân phụ thuộc tham số có dạng 
 ∞
 sin(yx )
 I()ydx= , y∈R . 
 ∫ x
 0
 sin(yx )
Hàm fxy(, )= xác định trên toàn bộ R×R nếu ta cho 
 x
 sin(yx )
 f (0,yy )== lim , y∈R . 
 x→0 x
Sau đây là một số tính chất đơn giản của tích phân Dirichlet. 
 • Tính hội tụ của I()y : Nếu y = 0 , ta có Iy()= 0. Nếu y ≠ 0 , áp dụng tiêu 
 chuẩn Dirichlet cho f và ϕ(,x yx )= 1/ trên miền [,a ∞ )× [,]α β với a > 0 , 
 ∞
 sin(yx )
 β ≥ α > 0 (hoặc0β ≤ α < ) ta thấy ngay tích phân dx hội tụ và khi 
 ∫ x
 a
 a → 0 nó hội tụ tới Iy( ) . Hơn nữa, tích phân Iy ( ) hội tụ đều trên miền [α ,β ] 
 với β ≥ α > 0 (hoặc0β ≤ α < ). Ngoài ra, từ bất đẳng thức 
 sin(yx ) sin2 ( yx ) cos(2 yx )
 ≥ = 1 − 
 x xxx22
 ∞ ∞
 sin(yx ) cos(2yx )
thấy ngay là dx phân kỳ (vì dx hội tụ). 
 ∫ x ∫ 2x
 0 0
 • Công thức tính: I()yy= π sgn . 
 2
 ∞
Thật vậy, bằng cách đổi biến yx= z , ta thấy Iy()= sgn(). ysin z dz. Để chứng 
 ∫ z
 0
minh I(1) = π , xét tích phân phụ trợ 
 2
 ∞
 Jy()= e−yx sin x dx, y∈[0,∞). 
 ∫ x
 0
Ta sẽ chỉ ra rằng 
 (1) Jy( ) liên tục trên [0,∞) ; 
 (2) Jy( ) khả vi và Jy'( ) = − 1 ; 
 1+ y2
Chương 5. Tích phân phụ thuộc tham số 199 
 (3) Jy( )= − arctan( y ) + π ; 
 2
 (4) IJ(1)== (0) lim Jy ( ) =π . 
 y→0 2
Thật vậy, để chứng minh (1) chỉ cần áp dụng định lý Dirichlet cho hàm đơn điệu 
 b
ϕ(,xy )= 1 và nhận xét rằng tích phân exdx−yx sin bị chặn đều. Như vậy, các 
 x ∫
 a
tích phân 
 ∞ ∞
 edx−yx sin x , edx−yx sin x 
 ∫ x ∫ x
 a 0
là hội tụ đều trên [0,ββ ],> 0 . Theo kết quả về tính liên tục của tích phân hội tụ 
đều suy ra Jy() liên tục trên [0,β ] với mọi β > 0 . 
 Muốn chứng minh (2) ta lưu ý rằng trên miền [0,∞ )× [αβ , ] , với β ≥ α > 0 
 ' −yx
bất kỳ, hàm f liên tục cùng với đạo hàm riêng f y = −exsin . Hơn nữa 
 ∞
 −−yxα x
∫ f 'y dx hội tụ đều (dùng tiêu chuẩn Weierstrass và lưu ý rằng exesin ≤ 
 0
với mọi y ∈[,]αβ ). Vậy Jy() là khả vi và 
 ∞
 Jy'( )= − e−yx sin xdx= − 1 . 
 ∫ + 2
 0 1 y
 Từ tính chất (2) suy ra 
 dy
 Jy( )= − += c− arctan y+> c , y 0 , 
 ∫ 1+ y2
 ∞
trong đó hằng số c được xác định từ limJy ( )= 0 , do Jy()≤ e−yx dx= 1 . Từ 
 y→∞ ∫ y
 0
đây c = π và suy ra công thức (3) được chứng minh. 
 2
 Cuối cùng, do Jy ( ) liên tục ta có 
 IJ(1)== (0) lim Jy ( ) =π 
 y→0 2
và (4) đã được chứng minh. 
5.3.2. Tích phân Euler (loại I) 
Tích phân Euler loại 1 hay hàm Beta là tích phân phụ thuộc 2 tham số có dạng: 
200 Giải tích các hàm nhiều biến 
 1
 Bpq(,)= ∫ xpq−−11 (1)− x dx , p>> 0, q 0. 
 0
Một số tính chất của hàm Beta: 
1) Tính hội tụ. Với pq≥≥1, 1 hàm fxpq(, ,)= xpq−−11 (1− x ) liên tục trên [0,1] 
nên tích phân xác định bình thường. Với p ∈ (0,1),fxpq ( , , ) tương đương với 
 1 khi x → 0+ cho nên tích phân hội tụ. Với qfxpq∈ (0,1), ( , , ) tương đương 
 x1−p
với 1 khi x → 1− nên tích phân cũng hội tụ. Như vậy, hàm Beta xác định với 
 x1−q
mọi pq>> 0, 0 . Hàm Beta có đồ thị như trong Hình vẽ 5.1. 
 40 
 30 
 20 
 10 
 p
 0 0
 q 0.2 0.2
 0.4 0.4
 0.6 0.6
 0.8 0.8
 11
 Hình 5.1 
2) Tính hội tụ đều. Với mọi pp10>>0, qq 10 >> 0 cố định, tích phân hội tụ đều 
 + −
trên miền [,][,]p01pqq× 01 vì khi x → 0 và x → 1 ta có đánh giá: 
 xxxxpq−−11(1−≤ )pq00−−11 (1 − ) . 
3) Tính liên tục. Hàm Beta liên tục tại mọi điểm trên miền xác định vì tại mọi 
 pq>>0, 0 ta chọn p0011====pq2, qp 2, 2 pqq , 2 thì tích phân hội tụ đều 
trên miền [,][,]p01pqq× 01, do đó liên tục trên miền này. 
4) Tính đối xứng: Bpq( , )= Bq,p ( ) được suy trực tiếp từ định nghĩa với phép đổi 
biến x 61− x . 
5) Công thức truy hồi (bằng cách kiểm tra trực tiếp) 
 qq
 Bp(1,1)(1,)(,1)++= q Bp + q = Bpq +. 
 (1)(1)pq++ pq ++
Trường hợp riêng: 
Chương 5. Tích phân phụ thuộc tham số 201 
B(1,1)= 1 ; Bp(1,1)+=1 ; 
 p +1
Bp(1,)+= nnn!! Bp (1,1) += ; 
 (pnpn++ )(− 1)...( p+++ 2) ( pnpn )(− 1)...( p+ 1)
 (nm−− 1)!( 1)! ( nm −− 1)!( 1)!
Bmn(,)== B (1,1) . 
 (1)!(1)!mn+ − mn+ −
5.3.3. Tích phân Euler (loại II) 
Tích phân Euler loại II hay hàm Gamma là tích phân phụ thuộc một tham số có 
dạng: 
 ∞
 Γ()pxedxp=>∫ px−−1 , 0. 
 0
Một số tính chất của hàm Gamma: 
1) Tính hội tụ. Dễ thấy, tích phân hội tụ với mọi p > 0 , và hội tụ đều trên miền 
[,]p01p với pp10>>0 bất kỳ. 
2) Tính liên tục trên miền xác định p > 0 . Suy ra ngay từ tính hội tụ đều. 
3) Công thức truy hồi (lấy tích phân theo từng phần) 
 ΓΓ(np+=+ ) ( np− 1)( np+ − 2)... pp ( ) . 
Trường hợp riêng: 
 Γ(1)= 1 , Γ (nn+= 1) ! , 
 ∞∞
 −x 2
 Γπ(1 2)==∫∫e dx 2 e−z dz =. 
 00x
202 Giải tích các hàm nhiều biến 
Hàm Gamma có đồ thị như Hình vẽ 5.2. 
 40
 30
 20
 10
 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
 p
 Hình 5.2 
Bằng một số phép biến đổi không phức tạp, ta có công thức liên hệ giữa hàm Beta 
và hàm Gamma: 
 ΓΓ()()p q
 Bpq(,)= . 
 Γ()p + q