Bài giảng Đồ họa máy tính - Bài: Đường cong và bề mặt I - Mai Thị Châu

2/17/171
Đồ họa máy tính
Đường cong và bề mặt I
2/17/172
Biểu diễn các đối tượng cong
• Bằng tham số
• Qua ẩn của phương trình
2/17/173
Tại sao lại dùng tham số?
l Các đường cong tham số rất linh hoạt.
l Chúng không cần phải là hàm
– Đường cong có thể có nhiều giá trị ứng với một tọa độ x.
l Số lượng tham số thường cho 
thấy chiều của vật thể
(x(u,v), y(u,v), z(u,v))
2/17/174
Mô tả một đường cong và bề mặt
l Mô hình hóa đối tượng một cách chính 
xác với một sai số cho phép
l Mô hình theo kiểu phác thảo gần đúng
2/17/175
Bài toán xấp xỉ tổng quát
l Hàm g là một xấp xỉ tốt với các tính chất sau:
1. Hàm g rất gần f theo một tính chất nào đó
2. Các hệ số ci là duy nhất
2/17/176
Bài toán xấp xỉ tổng quát
l Cho một tập cố định các hàm φ1, φ2, , φk, 
tìm các hệ số ci sao cho:
là một phép tính xấp xỉ đối với một hàm f(x) 
nào đó. Hàm φi thường được gọi là các 
hàm cơ sở (basic function)
å
=
=
k
i
ii xcxg
1
)()( j
2/17/177
Xấp xỉ bình phương tối thiểu
l Hàm g(x, c1, c2, , ck) mà tối thiểu
được gọi là xấp xỉ bình phương tối thiểu
(least squares approximation) của hàm f(x)
( ) ( )å
=
-=
s
j
kjjk cccxgxfcccE
1
2
2121 ),...,,;()(,...,,
2/17/178
Một số ràng buộc
1. Những ràng buộc nội suy:
g(xj) = f(xj) với một số điểm xj cố định.
2. Kết hợp điều kiện (1) với những điều kiện 
về độ trơn, ví dụ như điều kiện về đạo hàm của 
g và f đồng nhất tại điểm xj. 
3. Các ràng buộc về tính trực giao
(f - g) • φi = 0 với mọi i.
4. Những ràng buộc về hình dạng trực quan, 
ví dụ như độ cong của đường cong và bề mặt.
2/17/179
Đường cong tham số
với các hàm thành phần pi của p là các 
hàm giá trị thực thông thường với một 
biến thực. 
))(),...,(),(()(,],[: 21 upupupupRbap m
m =®
2/17/1710
Mô tả một đường cong
l Điểm điều khiển:
– Là tập các điểm ảnh hưởng đến hình dạng 
của đường cong.
l Knots:
– Các điểm nằm trên đường cong.
l Đường cong nội suy (Interpolating 
spline):
– Các đoạn cong đi qua điểm điều khiển.
l Đường cong xấp xỉ (Approximating 
spline):
– Các điểm điều khiển ảnh hưởng đến hình 
dáng của đoạn
2/17/1711
Phép nội suy Lagrange
l Bài toán:cho các điểm (x0, y0), (x1, y1), , và (xn, yn), 
tìm một đa thức p(x), để p(xi) = yi với i = 0, 1, , n.
l Đa thức Lagrange:
( ) ( )
ji
jn
ijjnnini xx
xx
xxxxLxL
-
-
P==
¹= ,010,,
,...,,;
( ) ( )å
=
=
n
i
nii xLyxp
0
,
2/17/1712
Phép nội suy Lagrange
l Hạn chế
- Bậc lớn nếu n lớn
- Tạo vết gợn không mong muốn
2/17/1713
Các đoạn cong
Chúng ta có thể biểu diễn một đường cong với độ dài bất kỳ 
bằng một chuỗi các đoạn cong nối với nhau.
Chúng ta quan tâm đến các đoạn này nối với nhau như thế nào 
2/17/1714
Đường cong tham số bậc 3 (Parametric 
Cubic Curves)
l Để đảm bảo tính liên tục C2 các hàm của chúng ta phải có bậc 
ít nhất là 3.
l Đường cong cubic có 4 bậc tự do và thay đổi 4 thứ.
l Sử dụng thức: x(t) có bậc n là một hàm của t. - y(t) và z(t) cũng 
tương tự và được xử lý độc lập.
l Có nghĩa là: 
i
n
i
i xatx å
=
=
0
)(
2/17/1715
Đường cong Hermite
l 4 bậc tự do, 2 để điều khiển tính liên tục C0
và C1 tại mỗi đầu.
l Sử dụng đa thức để biểu diễn đường cong.
l Xác định: x = X(t) theo các giá trị x0, x0/, x1, 
x1/
Bây giờ:
X(t) = a3t3 + a2t2 + a1t + a0
và X/(t) = 3a3t2 + 2a2t + a1
2/17/1716
Tìm các hệ số Hermite
Thay t vào hai đầu:
x0 = X(0) = a0 x0/ = X/(0) = a1
x1 = X(1) = a3 + a2 + a1 + a0 x1/ = X/(1) = 3a3 + 2a2+ a1
Và lời giải là:
a0 = x0 a1 = x0/ 
a2 = -3x0 – 2x0/ + 3x1 – x1/ a3 = 2x0 + x0/ - 2x1 + x1/
2/17/1717
Ma trận Hermite: MH
Đa thức kết quả có thể được biểu diễn qua dạng ma trận:
X(t) = tTMHq ( q là véc-tơ điều khiển)
[ ]
ú
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ë
é
ú
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ë
é
---
-
=
/
1
1
/
0
0
23
0001
0010
1323
1212
1)(
x
x
x
x
ttttX
Bây giờ chúng ta có thể định nghĩa đa giác tham số cho các 
tọa độ một cách độc lập X(t), Y(t) và Z(t)
2/17/1718
Các hàm Hermite cơ bản
)1()(
)1()(
)23()(
)12()1()(
2
4
2
3
2
2
2
1
-=
-=
-=
+-=
xxxF
xxxF
xxxF
xxxF
2/17/1719
Các hàm Hermite cơ bản
x0 x1
x0/
x1/
Đồ thị cho thấy hình dạng của bốn 
hàm cơ bản (hay còn gọi là 
blending functions).
Chúng được gán nhãn với thành 
phần trọng số của nó.
2/17/1720
Bài toán nội suy ghép đoạn Hermite
Cho các bộ ba (x0, y0, m0), (x1, y1, m1), ..., và (xn, yn, 
mn), tìm các đa thức bậc ba pi(x), i = 0, 1, ..., n-1, để
pi(xi) = yi,
pi’(xi) = mi,
pi(xi+1) = yi+1, và
pi’(xi+1) = mi+1