Bài giảng Đồ họa hiện thực ảo - Bài 4b: Phép biến đổi trong không gian - Lê Tấn Hưng

Bài 4B:
Phép biến đổi trong không gian
 (c) SE/FIT/HUT 2002 1
Ma trận biến đổi 3 chiều 
3D Matrix Transformations
 „ Các phép biến đổi chuyển vị - translation, tỉ lệ-scaling và
 quay-rotation sử dụng trong không gian 2D đều co thể mở
 rộng trong không gian 3D
 „ Again, using homogeneous coordinates it is possible to 
 represent each type of transformation in a matrix form
 „ In 3D, each transformation is represented by a 4x4 matrix
 (c) SE/FIT/HUT 2002 2
Các phép biến đổihìnhhọc3 chiều
 „ Biểudiễn điểm trong không gian 3 chiều
 • [ x* y* z* h ] = [ x y z 1 ]. [ T ]
 • [x' y' z' 1 ]= [ x*/h y*/h z*/h 1 ][ T ]
 „ Ma trậnbiến đổi a b c p
 d e f q
 [T ] =  
 g i j r 
  
  l m n s
 (c) SE/FIT/HUT 2002 3
Phép tịnh tiến
 „ [X'] = [ X ] . [ T(dx,dy,dz) ]
 „ [ x' y' z' 1 ] = 
 „ [ x y z 1 ].[ T(dx,dy,dz) ]
 „ = [ x+dx y+dy z+dz 1 ]
 (c) SE/FIT/HUT 2002 4
Phép tỉ lệ
= [x .s1 y .s2 z .s3 1]
 • s1, s2, s3 là các hệ số tỉ lệ tương ứng
 trên các trụctoạđộ
 (c) SE/FIT/HUT 2002 5
Rotation
 y y y
 x x x
 z z z
 (c) SE/FIT/HUT 2002 6
Phép quay 3 chiều
 „ Quay quanh các trụctoạđộ
 • Quay quanh trụcx
 • Quay quanh trụcz 
 (c) SE/FIT/HUT 2002 7
Quay quanh trụcy
 cosθ 0 − sinθ 0
  0 1 0 0
 [Ty] =  
 sinθ 0 cosθ 0
  
  0 0 0 1
 (c) SE/FIT/HUT 2002 8
Phép biếndạng
(secondary translation)
 1 b c 0
 d 1 f 0
 [x' y' z' 1] = [x y z 1]  
 g i 1 0
  
 0 0 0 1
 (c) SE/FIT/HUT 2002 9
Phép lấy đốixứng
(reflections-secondary translation)
 (c) SE/FIT/HUT 2002 10
 Quay quanh mộttrụcbấtkỳ song song vớicác
 trụctọa độ
  1 0 0 0  1 0 0 0
  
  0 1 0 0  0 cosφ sin φ 0
 [Tr ] =   [T (φ)] =  
  0 0 1 0  0 − sin φ cosφ 0
  
,   0 0 0 1
,  0 y z 1   
 1 0 0 0 1 0 0 0
    
 0 cosφ sinφ 0 0 1 0 0
 [Tth]= [Tr]−1 =  
 0 −sinφ cosφ 0 0 0 1 0
  
 0 y(1−cosφ)+zsinφ z(1−cosφ)−ysinφ 1  
   0 − y − z 1
 (c) SE/FIT/HUT 2002 11
Quay quanh mộttrụcbấtkỳ
 (c) SE/FIT/HUT 2002 12
Solution
„ Chuyển P1 về gốctọa độ.
„ Quay quanh trục y sao cho P1P2 nằmtrênmặtphẳng (y, z)
„ Quay quanh trục x sao cho P1P2 trùng vớitrụcz.
„ Quay quanh trục z sao cho P1P3 nằmtrênmặtphẳng (y, z)
Euler’s Theorem: Every rotation around the origin can be 
 decomposed into a rotation around the x-axis followed by a 
 rotation around the y-axis followed by a rotation around the 
 z-axis.
 (c) SE/FIT/HUT 2002 13
Bước1: ChuyểnP1 về gốctọa độ
  1 0 0 0
  0 1 0 0
[T (−x1,−y1,−z1)] =  
  0 0 1 0
  
 − x1 − y1 − z1 1
 y
 y
 P3
 P3
 P2
 P1
 P2 p P1
 z 
 z x
 x
 (c) SE/FIT/HUT 2002 14
 Bước 2: Quay quanh trụcy
„ cos( - 90 + φ) = sinφ = z'2/L = ( z2 - z1)/L
„ sin( - 90 + φ) = - cosφ = x'2/L = ( x2 - x1)/L
 y
 2 2 2 2
 L = (z'2 ) (x'2 ) = (z2 −z1) (x2 −x1)
 P3
„ [ P''2 ] = [ P'2 ][ T(φ-90) ]
 P'2(x'2,y'2,z'2)
„ = [ 0 y2-y1 L ]
 P'1
 L φ
 z(x'2,0,z'2)x
 (c) SE/FIT/HUT 2002 15
 Bước 3: Quay quanh trục x. 
„ cos ϕ = z''2/N, sin ϕ = y''2/N
 y
„ Với N = | P''1P''2| là độ dài của đoạn P''1P''2 
 P''2
 N
 P''1
 ''' ϕ
„ [P 2] = [P''2][T(ϕ)] = [P'2][T(φ-90)][T(ϕ)]
 x
„ = [P2 ][T(-x1,-y1,-z1 ][T(φ-90)][T(ϕ)] z
„ = [ 0 0 |P1P2| 1 ]
 (c) SE/FIT/HUT 2002 16
 Bước 4: Quay quanh trụcz
 '''
„ [P 3]= [P3 ][T(-x1,-y1,-z1 ][T(φ-90)][T(ϕ)]
„ Với góc quay dương ψ trên trụcz 
 ''' '''
„ cos ψ = y3 /M; sin ψ = x3 /M;
„ Ma trậntổng hợpcủa các phép biến đổi[ T ] có
 dạng sau đáp ứng toàn bộ quá trình biến đổiquay 
 đốitượng quanh mộttrụcbấtkỳ. y
 y'''
„ [ T ] = [T(-x1,-y1,-z1)][T(φ-90)][T(ϕ)][T(ψ)] 3
 P'''3
 ψ
 M
 x'''3
 P'''2P'''1
 x
 z
 (c) SE/FIT/HUT 2002 17
„ Kếtquả sau biến đổicầnphải đưavề vị trí ban đầu qua các phép biến đổi
 ngược. 
„ [Tth]= [T(-x1,-y1,-z1)]x[T(φ-0)]x[T(ϕ)]x [T(ψ)]x[T(ψ)]x[T(ϕ)]x
„ [T(φ-90)]x[T(-x1,-y1,-z1)]
 (c) SE/FIT/HUT 2002 18
Hệ toạ độ
Coordinate Frame
 y
 j
 φ i
 k
 z x
 „ Coordinate frame is given by origin φ and three mutually orthogonal unit vectors, 
 i, j, k.
 „ Mutually orthogonal (dot products): i•j = ?; i•k = ?; j•k = ?.
 „ Unit vectors (dot products): i•i = ?; j•j = ?; k•k = ?. 
 (c) SE/FIT/HUT 2002 19
 Orientation
 Right handed coordinate system: Left handed coordinate system:
 k
 y y
 j j
 φ i i
 φ
 k
z x z x
 Cross product: i x j = ? Cross product: i x j = ?
 (c) SE/FIT/HUT 2002 20
Coordinate Transformations
 y
 j
 i
 φ
 k
 z x
 Transform (x, y, z, 0) coordinate frame to (i, j, k, φ) coordinate frame.
 Affine transformation matrix: ix jx kx φx 
 i j k φ 
  y y y y .
 iz jz kz φz 
  
  0 0 0 1 
 Maps (i, j, k, φ) coordinates into (x, y, z, 0) coordinates!
 (c) SE/FIT/HUT 2002 21
Coordinate change (Translation)
 b
 y
 (φx, φy, φz)
 a
 (0,0,0)
 z c x
Change from (a,b,c,φ) coordinates to  x    a
     
(x,y,z,0) coordinates:  y b
 =   .
  z    c 
     
  1  0 0 0 1 1
 (c) SE/FIT/HUT 2002 22
 Coordinate change (Rotation)
 b
 y x
 θ
 (φx, φy, φz)
 (0,0,0) a
 c
 z
Change from (a,b,c,φ) coordinates to  x    a
     
(x,y,z,0) coordinates:  y b
 =   .
  z    c 
     
  1  0 0 0 1 1
 (c) SE/FIT/HUT 2002 23
Composition of coordinate change
 y’’
 y’
 M2
 y φ’’
 z’’
 M1
 x’
 φ’ x’ ’
 ’
 φ z
 z x
 M1 changes from coordinate frame (x,y,z,θ) to (x’,y’,z’,θ’).
 M2 changes from coordinate frame (x’,y’,z’,θ’) to (x’’,y’’,z’’,θ’’).
 Change from coordinate frame (x,y,z,θ) to (x’’,y’’,z’’,θ’’): ?
 (c) SE/FIT/HUT 2002 24
 Object vs. coordinate transformations
 Translate and then rotate object:
 y y y
 φ φ φ
z x z x z x
 Translate and then rotate coordinate frame:
 y y y’
 y y’’
 φ x’’
 φ φ’ φ ’’
z x φ
 z z’ x x’ x
 z z’’
 (c) SE/FIT/HUT 2002 25
 Object vs. coordinate transformations (2)
 Translate and then rotate object:
 y y y
 φ φ φ
z x z x z x
 Rotate and then translate coordinate frame:
 y’’
 y
 y’y y
 x’’
 φ’’
 φ x’
 φ φ ’’
 ’ z
 z x z φ x
 z’ z x
 (c) SE/FIT/HUT 2002 26
Order of transformations
 Let Mi be the transformation matrix for transformation Ti.
 Sequence of object (point) transformations, T1, T2, T3.
 Transformation matrix = M3 x M2 x M1.
 Sequence of coordinate system transformations, T1, T2, T3.
 Transformation matrix = M1 x M2 x M3.
 Note: OpenGL, OpenInventor use coordinate system transformations.
 (c) SE/FIT/HUT 2002 27