Bài giảng Đồ họa hiện thực ảo - Bài 4a: Các phép biến đổi Đồ hoạ - Lê Tấn Hưng

 Bài 4 Các phép biến đổi Đồ hoạ
 Affine Transformations
 I KHái niệm cơ bản
Le Tan Hung
Email: hunglt@it-hut.edu.vn II Các phép biến đổi
 III Hệ tọa độ đồng nhất
 (c) SE/FIT/HUT 2002 1
 Mô hình hoá - Modelling 
„ mô hình - model :
„ Modeling - Mô hình hoá
„ Thực thể cơ sở -
 primitives object
 „ như circles, lines polygons 
 hay cubes
„ Cảnh - A scene
„ mô hình hoá cảnh - Scene 
 Modeling A scene with several instances of the object
 (c) SE/FIT/HUT 2002 2
 Ví dụ
„ At each frame of the animation, the 
 object is transformed, in this case by a 
 rotation. It could also be transformed 
 by changing its size (scaling), or its 
 shape (deforming), or its location 
 (translation). 
„ Further animation effects can be 
 achieved by not changing the object, 
 but the way it is viewed (i.e. the 
 window to viewport transformation) at 
 each frame (e.g. by zooming).
 (c) SE/FIT/HUT 2002
 Phép biến đổi - Transformations 
 „ Trong kỹ thuật đồ hoạ 3 bước: modeling, rendering, 
 displaying
 „ Với Modeling:
modeling world viewing 
coordinate Modeling coordinate Viewing coordinate (eye coordinate)
 transformation transformation
 „ Phép biến đổi - Transformation
 „ Biến đổi mô hình hoá - Modeling transformations
 „ Biến đổitạo góc nhìn - Viewing transformations
 „ Biến đổitạoHoạtcảnh - Animation
 (c) SE/FIT/HUT 2002 4
Transformations - Modeling
 world
 (c) SE/FIT/HUT 2002 5
 Viewing
 Transformations - Viewing
„ Viewing 
„ Transformations - Viewing CAMERA
 OBJECT
„ Trong phép biến đổi này : 
„ Một mô hình có thể quan sát 
 trên các góc cạnh khác nhau 
 (e.g. faraway, near, looking 
 down, looking up) WORLD
 (c) SE/FIT/HUT 2002 6
 Phép biến đổiAffine
 Affine Transformations?
„ Phép biến đổi Affine 
„ Ví dụ: phép biến đổitọa độ vớichỉ 2 điểm đầucuốicủa
 đoạnthẳng tạo thành 2 điểmmớimàkhinối chúng với
 nhau tạothànhđoạnthẳng mới.
„ Các điểmnằmtrênđoạnthẳng sẽ có kếtquả là điểm
 nằmtrênđoạnthẳng mớivới cùng phép biến đổi thông
 qua phép nộisuy.
 (c) SE/FIT/HUT 2002 7
 Phân loại - Transformations
 Example: OBJECT TRANSFORMATION
„ Có 2 cách nhìn trên phép 
 biến đổi 
 .4, 2
 „ Object Transformation: 
 „ Coordinate 1,1
 Transformation 
 Example: COORDINATE TRANSFORMATION
„ Mỗi phương pháp có ưu 
 nhược điểm riêng về bản 
 chất tương đồng nhau (1,1)
 (1,1)
 (c) SE/FIT/HUT 2002
Modeling Transformations
Transform objects/points Transform coordinate system
 (c) SE/FIT/HUT 2002 9
 2D Object Transformations
„ A 2D object transformation alters each point P into a 
 new point Q using a specific formula or algorithm.
„ It therefore alters the co-ordinates of P (Px,Py) into 
 new values which specify point Q (Qx,Qy)
„ This can be expressed using some function T, that 
 maps co-ordinate pairs into co-ordinate pairs:
 (c) SE/FIT/HUT 2002
Matrix Representation
 „ If affine transformation T maps P onto Q, then Q is related to P as 
 follows:
 „
 „
 „ where a, b, c, d, tx and ty are all constants, and ad = bc
 „ This gives rise to the following matrix representation:
  Q   a b   P   t 
  x   x   x 
 „ i.e.   =     +  
  Q y   c d   P y   t y 
 (c) SE/FIT/HUT 2002
Các phép biến đổihìnhhọc hai chiều
 „ Phương pháp biểudiễn đốitượng P = [ x y ]
 „ Phép biến đổivị trí điểm a b
 T =  
 c d
 „ Thực thi phép biến đổi đúng trên 1 điểm ảnh sẽđúng trên toàn bộđối
 tượng
 y
 pW
 pM
 x
 z
 (c) SE/FIT/HUT 2002 12
 y
 Phép biến đổi
„ Phép bấtbiến
 z x
„ Phép biến đổitỉ lệ - Scaling
„ A scaling changes the size of an object with two scale factors, Sx and Sy
„ Phép biếndạng
„ A shearing shears an object in a particular direction, (in 2D, it’s either in the x 
 or in the y direction
 (c) SE/FIT/HUT 2002 13
Phép quay- Rotation
 y
 ( x’, y’ )
 ρ
 ( x, y )
 ρ
 θ
 α x
 (c) SE/FIT/HUT 2002 14
 Thuộc tính cơ bản của phép biến đổi 
 Affine Transformations
„ Preservation of lines:
„ Affine transformations map lines to lines;
„ Preservation of parallelism 
„ Preservation of proportional distances
„ Affine transformations change volume by | 
 Det(M) |;
 (c) SE/FIT/HUT 2002 15
 Kếthợpcácphépbiến đổi
 Composition of Affine Transforms
„ Any affine transformation can be 
 decomposed into elementary 
 transformations.
„ Mọi phép biến đổiphứctạp đềucó
 thể tạo thành từ các phép biến đổicơ
 sở như:
 „ Dịch chuyển-Translation
 „ Tỉ lệ - Scaling
 „ Quay- Rotation
 „ Biếndạng - Shearing
 (c) SE/FIT/HUT 2002
Affine transformations preserve 
affine combinations
„ It is rare that we want to perform just one elementary 
 transformation.
„ Usually an application requires that we build a complex 
 transformation out of several elementary ones
 „ e.g. translate an object, rotate it, and scale it, all in one move
„ These individual transformations combine into one overall 
 transformation
„ This is called the composition of transformations.
„ The composition of two or more affine transformations is 
 also an affine transformation
 (c) SE/FIT/HUT 2002
 Thuộc tính 
 T
„ Tác động lên tập các điểm đặc trưng của đối tượng tạo 
 thành phép biến đổi cho đối tượng
„ We have defined each transformation by their effects on single 
 points
„ In practice these will be applied to multiple points to transfer
 entire scenes or objects made up of many defining points
 (c) SE/FIT/HUT 2002 18
 Điểm gốc - Pivotal points
 Cho phép quay và tỉ lệ Rotation and Scaling
 „ The simple versions of rotation and scaling have been based around the origin.
 „ This means that when we rotate or scale, the object will also move, with 
 respect to the origin
 „ Translate all points through (-c1,-c2)
 „ Rotate all points about the origin by
 „ Translate all points back through (c1,c2) 
 (c1,c2)
(0,0)
 (c) SE/FIT/HUT 2002
 Pivotal points
„ Often we wish to rotate or scale with respect to some pivotal 
 point, not the origin
„ Most significantly, we often wish to rotate or scale an object 
 about its centre, or midpoint
„ In this way, the object’s location does not change
„ To do this, we relate the rotation or scaling about the pivotal 
 point V, to an elementary rotation or scaling about the origin
 „ We first translate all points so that V coincides with the origin
 „ We then rotate or about the origin
 „ then all points are translated back, so that V is restored to its original 
 location
 (c) SE/FIT/HUT 2002
 Hệ toạ độ đồng nhất
„ Vấn đề gặp phải:
„ An affine transformation is composed of a linear transformation 
 followed by a translation
„ Unfortunately, the translation portion is not a matrix 
 multiplication but must instead be added as an extra term, or 
 vector
„ What we need is a “trick”, so that translations can be represented 
 in matrix multiplication form
„ This then means that they can be easily composed with other 
 transformations, by simply multiplying the matrices together
 (c) SE/FIT/HUT 2002
 Tọa độ đồng nhất
 Homogeneous Transform 
 „ x' = ax + by + n
 „ y' = bx + dy + m
„ Phương pháp biểudiễnmở rộng thông qua tọa độ đồng
 nhấtcủa các vector vị trí
„ Với ứng dụng của phép chiếuhìnhhọcmàởđótọa độ điểm
 đượcmôtả dướima trận [ x* y* h]
 „ với x = x*/h, y = y*/h, z = z*/h và h là mộtsố thựctuỳ ý
 (c) SE/FIT/HUT 2002 22
 Ưu điểmcủaHệ tọa độ đồng nhất
 Homogeneous Transform
„ Ðưa ra cái nhìn hợpnhấtcủa các phép biến đổidưới phép nhân
 ma trận, hỗ trợ cho việcxử lý bằng cả phầncứng và phầnmềm
„ Kếthợp các các phép biến đổitạo thành ma trậntíchđơngiảnduy
 nhất. Tránh nhầmlẫnvề thứ tự của các phép nhân khi sử dụng.
 „ Order matters: AB is generally not the same as BA
„ Cho phép kếthợpvớicả các phép biến đổi đặcbiệt không tuyến
 tính khác(non-affine) như:
 „ Phép chiếuphốicảnh - Perspective projections!
 „ Uốn - Bends, Vuốt tapers v.v.v
 (c) SE/FIT/HUT 2002 23
Phép biến đổivớitọa độ đồng nhất
 „ Ma trậnbiến đổi đồng nhất a b 0
  
 [T ] =  c d 0
 „ Phép tịnh tiến m n 1
 1 0 0
  
 [x' y' 1] = [x y 1] 0 1 0 = [x + m y + n 1]
 m n 1
 (tx, ty, tz)
 (c) SE/FIT/HUT 2002 24
 Phép tỉ lệ
 S1 0 0
[x' y' 1] = [x y 1] 0 S2 0 = [x.S1 y.S2 1]
  
  0 0 1
 (c) SE/FIT/HUT 2002 25
 Phép quay
 y
 ( x’, y’ )
= [x.cosφ − y.sinφ x.sinφ + y.cosφ 1]
 ρ
 ( x, y )
 ρ
 θ
 α x
 (c) SE/FIT/HUT 2002 26
Phép biến đổitổng hợp
 (c) SE/FIT/HUT 2002 27
Phép chuyển đổi
 (c) SE/FIT/HUT 2002 28
Windows and Viewports
 „ Mapping involves scaling and translation (moving).
 „ Both the world window and viewport can be any aligned 
 rectangle.
 „ Usually the viewport is set to take up the entire screen 
 window.
 (c) SE/FIT/HUT 2002 29
 Phép biến đổitheoma trận
„ Ma trận chuyểnvị theo Window
  Xvmax- Xvmin 
 0 0
 Xwmax- Xwmin 
„ Ma trậnbiến đổitỉ lệ  Yv max−Yv min 
 [S1] =  0 0
  Ywmax−Ywmin 
  0 0 1
  
„ Ma trận chuyểnvị theo tọa độ viewport
 (c) SE/FIT/HUT 2002 30
 Ma trậnbiến đổitổng hợpcủa phép chuyển đổi
 tọa độ
[T] = [T1]x[S1]x[T2]
  Xvmax- Xvmin 
 0 0
  Xwmax- Xwmin 
  Yvmax−Yvmin 
[T] =  0 0
  Ywmax−Ywmin 
 Xvmax- Xvmin Yvmax−Yvmin
 Xvmin− Xwmin Yvmin−Ywmin 1
  Xwmax- Xwmin Ywmax−Ywmin 
 (c) SE/FIT/HUT 2002 31
Coordinate Transforms
(c) SE/FIT/HUT 2002
 Coordinate Transforms
 x
 u
 u’
 (1,1)
 (1,1)
 v v’
Object defined in Local 
Coordinate System y
 Object after transformation in 
 Global Coordinate System
 (c) SE/FIT/HUT 2002 33
Identity as a Coordinate Transform
 x x
 u u’
 (1,1) (1,1)
 v y v’ y
 1 0 0
  
 Q = 0 1 0P
 0 0 1
 (c) SE/FIT/HUT 2002 34
 Translation
 x
 u 1 0 tx x u’
 Q = 0 1 tyP
 (1,1)   (1+tx,1+ty)
 0 0 1 
 v y v’
 y
1 0 tx0 tx 1 0 tx1 1+ tx 1 0 tx0  tx 
0 1 ty0 = ty 0 1 ty0 =  ty      
          0 1 ty1 = 1+ ty
0 0 1 1 1  0 0 1 1  1  0 0 1 1  1 
 origin
 (c) SE/FIT/HUT 2002 35
 0
 Rotation  
 O = 0
 x  
 u x 1
 u’
 (1,1)
 v’
 v
 y y
 cosθ − sinθ 0 cosθ  − sinθ 
   v = sinθ  u =  cosθ 
Q = sinθ cosθ 0P    
  1   1 
  0 0 1    
 (c) SE/FIT/HUT 2002 36
Scaling
 u
 x
 u
 x
 (sx*1,sy*1)
 (1,1)
 v y
 y v
 sx 0 0 0 sx  0 
Q =  0 sy 0P     u = sy
   O = 0 v =  0   
  0 0 1  1 
   1  1   
 (c) SE/FIT/HUT 2002 37
 Composite Transformations
x x x1(1− cosθ ) + y1 sinθ 
 u y (1− cosθ ) − y sinθ 
 O =  1 1 
  
 (1,1)  1 
 u’
 v
 ’ cosθ + x1(1−cosθ)+ y1 sinθ
 v y sinθ + y (1−cosθ)− y sinθ 
 y v =  1 1 
  1 
 cosθ − sinθ x (1− cosθ ) + y sinθ 
  1 1 
 −sinθ + x1(1−cosθ)+ y1 sinθ
 M =  sinθ cosθ y1(1− cosθ ) − x1 sinθ 
 u =  
   cosθ + y1(1−cosθ)− y1 sinθ
  0 0 1   
  1 
 (c) SE/FIT/HUT 2002 38
Modeling Transformations
 „ To make full use of the computational optimisation made 
 possible by composite transforms, we only want to apply the 
 transformations to points at the very end
 „ i.e. the transformation operation (multiplying point p by 
 transform matrix is the very last thing we do in the modelling 
 phase)
 Specify 
Specify points Send to 
 Transformations
in local coords (composite if necessary) Pipeline
 (c) SE/FIT/HUT 2002 39
 + +
This of course shouldn’t =
mean all objects need to 
 share the same 
 transformations
 (c) SE/FIT/HUT 2002 40
 +
 + + +
transform transform transform
Obviously we want 
 something more 
 versatile =
 (c) SE/FIT/HUT 2002 41