Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương IV: Ánh xạ tuyến tính - Nguyễn Hải Sơn

g cấu.
 a.Định nghĩa. Ánh xạ tuyến tính f:V → W gọi là 
 đơn cấu (toàn cấu, đẳng cấu) nếu f là đơn ánh 
 (toàn ánh, song ánh).
 Trường hợp f là đẳng cấu, ta nói V và W là đẳng 
 cấu với nhau, kí hiệu: VW
 b. Định lý. Mọi không gian vectơ n chiều trên 
 trường K đều đẳng cấu với Kn . 
 §1. Ánh xạ tuyến tính
 
1.4 Hạt nhân-Ảnh-Hạng của ánh xạ tuyến tính.
 Đn1. Cho ánh xạ tuyến tính f:V → W giữa các 
 không gian vectơ. 
 - Hạt nhân của f , kí hiệu là Ker(f) xác định bởi
 1
 Ker(f)={v V|f(v)= WW }=f ({  })
 - Ảnh của f, kí hiệu Im(f) xác định bởi
 Im(f)={f(u)|u V}=f(V)
 §1: Ánh xạ tuyến tính

Mđ 1. Ker(f) là không gian con của V
 Im(f) là không gian con của W. 
c/m:.
Đn2: Hạng của ánh xạ tuyến tính f, kí hiệu r(f) 
 hay rank(f), là số chiều của Im(f)
 r(f) = dimIm(f)
Mđ 2. Nếu f: V →W là ánh xạ tuyến tính và 
 V=span(S) thì f(V)=span(f(S)).
c/m: .
 §1: Ánh xạ tuyến tính

Mđ 3. Axtt f: V → W là đơn cấu khi và chỉ khi 
 Ker(f)={θ} 
 c/m:.
Mđ 4. Nếu f: V → W là ánh xạ tuyến tính và 
 dimV=n thì 
 dimIm(f) + dimKer(f) = dimV=n
 c/m: .
Hq. Hai không gian hữu hạn chiều trên trường 
 K đẳng cấu khi và chỉ khi số chiều của chúng 
 bằng nhau
 §1: Ánh xạ tuyến tính

VD 1. Cho ánh xạ tuyến tính f : 3 3 xác 
 định bởi fxxx ( 1 , 2 , 3 ) ( x 1 2 xxxxxx 2 , 2 3 , 1 2 3 )
 a) Chứng minh f là toán tử tuyến tính.
 b) Tìm số chiều và một cơ sở của Im(f ) và 
 Ker(f )

 §2: MA TRẬN CỦA 
 ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
§2: MA TRẬN CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

2.1 Định nghĩa
 Cho ánh xạ tuyến tính giữa các không gian 
 vec tơ hữu hạn chiều f: V → W. G/s BV = {v1, 
 v2, ,vm} và BW= {u1, u2,, un } lần lượt là cơ 
 sở của V và W (dimV=m, dimW=n). 
 Ma trận A có cột j là ma trận tọa độ của 
 vectơ f(vj) đối với cơ sở BW gọi là ma trận của 
 ánh xạ f đối với cặp cơ sở BV và BW:
 A [f(v )] [f(v )] ... [f(v )] 
 1BWWW 2 B m B 
 §2: Ma trận của ánh xạ tuyến tính

NX: i) A là ma trận cỡ nxm.
 ii) [u1 u 2 ... un ]A=[ f ( v 1 ) f ( v 2 ) ... f ( v m )]
MĐ 1. r(A)=r(f)=dimIm(f)
 §2: Ma trận của ánh xạ tuyến tính

VD1. Cho ánh xạ tuyến tính f : 3 2 xđ bởi
 f(x,x,x)1 2 3 (x 1 2 x,x 2 2 x) 3
a)Tìm mtr của f đối với cặp cơ sở chính tắc.
b)Tìm mtr của f đối với cặp cơ sở B={v1=(1;0;0), 
 v2=(1;1;2), v3=(1;2;3)} và B’={u1=(1;0), u2=(1;1)}
VD2. Tìm ma trận của ánh xạ D:P3[x] → P2[x], 
 D(p)=p’ đối với cặp cơ sở chính tắc E={1, x, x2, 
 x3} và E’={1, x , x2}
 §2: Ma trận của ánh xạ tuyến tính

VD 3. Cho ánh xạ tuyến tính f : P 3 [x] P 2 [x] 
 có ma trận đối với cặp cơ sở chính tắc là 
 1 3 4 5 
 A 2 4 0 1 
 3 5 1 2 
 a) Xác định f (a bx cx2 dx 3 )
 b) Xác định cơ sở và số chiều của Im(f) và Kerf
 §2: Ma trận của ánh xạ tuyến tính

2.2 Công thức tọa độ.
 Cho f: V → W là ánh xạ tuyến tính có ma trận 
 A đối với cặp cơ sở BV và BW. Khi đó, với mọi 
 vecto u V , ta có 
 [f ( u )] A [ u ]
 BBW V
 3
VD1. Cho ánh xạ tuyến tính f :[] P 2 x 
 Xác định f(v) với v=(1;2;3) biết f có ma trận 
 đối với cặp cơ sở chính tắc là 1 0 1 
 A 2 1 2 
 3 2 1 
 §2: Ma trận của ánh xạ tuyến tính

VD2. (Đề 1_ Hè 2009)
 Cho toán tử tuyến tính f : 3 3 thỏa mãn:
 f(1;2;0) ( 1;4;7), f (0;1;2) ( 1;3;7), f (1;1;1) (0;4;6)
 a) Tìm ma trận của f đối với cơ sở chính tắc của 3
 b) Tìm vecto v 3 sao cho f (v) = (-1;7;13) 
VD3. (Đề 2_ Hè 2009)
Tương tự VD2 với 
 f(1;2;0) (1;5;5), f (0;1;2) (1;4;5), f (1;1;1) (0;4;6)
 §2: Ma trận của ánh xạ tuyến tính

Nhận xét.
 Cho BV và BW tương ứng là cơ sở của các 
 kgvt V và W, dim V=n, dimW=m. Khi đó, ta 
 có tương ứng 1-1 giữa mỗi ánh xạ tuyến tính 
 f: V → W với tập các ma trận cỡ mxn.
 §2: Ma trận của ánh xạ tuyến tính
 
2.1.3. Ma trận của ánh xạ tổng và ánh xạ tích
 ĐL1: Nếu f, g: V → W là các ánh xạ tuyến tính 
 có ma trận đối với cặp cơ sở BV và BW lần lượt 
 là A và B thì ma trận của các ánh xạ f+g và λ f 
 đối với cặp cơ sở BV và BW tương ứng là: A+B 
 và λA.
 ĐL2. Nếu f: V → W , g: W → U là các ánh xạ 
 tuyến tính, f có ma trận A đối với cặp cơ sở 
 BV và BW và g có ma trận B đối với cặp cơ sở 
 BW và BU thì ma trận của các ánh xạ gof đối 
 với cặp cơ sở BV và BU là BA.
 §2: Ma trận của ánh xạ tuyến tính
 
2.4 Ma trận của toán tử tuyến tính theo một 
 cơ sở. 
 2.4.1. Đ/n. Cho toán tử tuyến tính f: V → V 
 trên không gian n chiều V và B là một cơ sở 
 của V. Ma trận của f đối với cặp cơ sở B , B 
 gọi là ma trận của toán tử f đối với cơ sở B. 
NX. Nếu B {v1 , v 2 ,..., vn } và A là ma trận của f 
 đối với cơ sở B thì 
 [f()f()v1 v 2 f()][ vn v 1 v 2  v n ] A
 §2: Ma trận của ánh xạ tuyến tính

2.4.2 Mệnh đề. Cho f là một toán tử tuyến tính 
 trên không gian véc tơ V. α={v1,v2,,vn} và 
 α’={u1,u2,,un} là 2 cơ sở của V. G/s mtr 
 chuyển cơ sở từ α sang α’ là C, mtr của f đối 
 với cơ sở α và α’ lần lượt là A và B. Khi đó 
 B=C-1AC
C/m:.
 §2: Ma trận của ánh xạ tuyến tính
 
VD1. Cho toán tử tuyến tính f : 3 3 xđ bởi
 f(x,x,x)1 2 3 (x 1 2 x,x 2 1 x 2 x,x 3 2 2 x) 3
 a) Tìm mtr của f đối với cơ sở chính tắc
 b) Tìm mtr của f đ/v B { 1;0;0 , 1;1;0 , 1;1;1 }
 VD2. Cho toán tử tuyến tính f : 3 3 có ma 
 trận A đối với cơ sở B { 1;1;1 , 1;1;2 , 1;2;3 }
 Tính f(6;9;14) biết 1 0 1 
 A 1 1 2 
 2 2 1 
 §2: Ma trận của ánh xạ tuyến tính

2.4.3 Đ/n. Hai ma trận A và B gọi là đồng dạng, 
 kí hiệu là A~B, nếu tồn tại ma trận khả nghịch 
 C sao cho B=C-1AC.
NX:
 (i) Các ma trận của một toán tử tuyến tính f 
 trên không gian vectơ V theo hai cơ sở của V 
 đồng dạng với nhau.
 (ii) Quan hệ đồng dạng của hai ma trận là 
 quan hệ tương đương. 
 (iii) A và B đồng dạng thì detA = detB 
 Một số đề thi 

Bài 1. Cho toán tử tuyến tính f : P 2 [x] P 2 [x] thỏa 
 mãn: 
 f(xx)1 2 3 5 x 3 x,f( 2 2 x) 2 10 8 x, 2
 f (2 x 3 x2 ) 2 5 x 4 x 2
 Tìm ma trận của f đối với cơ sở chính tắc. 
 (Đề 1_K52)
 Một số đề thi 
 
 Bài 2. Cho toán tử tuyến tính f : P 2 [x] P 5 [x] xác 
 định bởi f(p(x)) x2 p(x) p'(x)
 a) Tìm ma trận của f đối với các cơ sở cơ sở 
B {p1 ,p 2 ,p 3 ,p 4 } và cơ sở chính tắc E của P 5 [x] , trong đó 
 3 2 3 2
 p1 =1+x , p 2 =2+3x +x , p 3 =3x-x , p 4 1 x
 b) Tìm f (7 3 x )
 (Đề 1-8/2010)
 Bài 2’. Tương tự bài 2, với f : P2[x] P 5 [x],
 f(p(x)) x3 p(x) p'(x)
 2 2
 B {p1 ,p 2 ,p 3 } với p1 =1+x , p 2 =1+2x+3x , p 3 =3+5x
 (Đề 2-8/2010)
 Một số đề thi 
 
Bài 3. Cho toán tử tuyến tính f : P 2 [x] P 2 [x] có ma 
 trận theo cơ sở B { 1 x, 1 x, x 2 } là 
 2 2 1 
 A 1 3 m 
 1 2 2 
 Xác định một cơ sở và số chiều của Kerf theo m. 
 (Đề 1_K53)
 Một số đề thi 
 
Bài 4. Cho toán tử tuyến tính f : P 2 [x] P 2 [x] thỏa mãn 
f(a bx cx)2 (a2 b 4 c) (a 2 3 b 7 c)x (a 3 b 7 c)x 2
a) Tìm ma trận A của f đối với cơ sở {1;x;x2}. f 
 có là toàn ánh không?
b) G/s u 1 mx (m 3 )x 2 . Xác định m để u Imf
 Đ/s: m=5/2 (Đề 3_K56)
Bài 4’. Tương tự bài 4, với
f(a bx cx)2 (a2 b 3 c)(a 3 5 b 4 c)x ( 2 a b 9 c)x 2
u 1 mx ( 3 m 7 )x2 (Đề 4_K56)
 Đ/s: m=0
 Một số đề thi 
 
Bài 5. Cho toán tử tuyến tính f : P 2 [x] P 2 [x] thỏa mãn 
 f(2 x) 4 11 x 2 x;f(2 1 xx) 2 4 10 x(a 3 )x; 2
 f (1 x2 ) 2 5 x (a 1 )x 2
 a) Tìm ma trận A của f đối với cơ sở {1;x;x2}.
 b) G/s u 3 8 x bx 2 . Xác định a, b để u Imf
 Đ/s: a 5 hoặc (a,b) (5 ; 3 ) (Đề 1-K55)
Bài 5’. Tương tự bài 5, với
 f(x 1 ) 2 7 x 5 x;f(2 1 xx) 2 10 x(a 5 )x; 2
 f(xx) 2 5 8 x(a 8 )x;u 2 1 2 xbx 2
 Đ/s: a 5 hoặc (a,b) ( 5 ; 1 ) (Đề 2-K55)
 Một số đề thi 
 
Bài 6. Cho toán tử tuyến tính f : 4 4 có ma 
 trận theo cơ sở chính tắc của 4 là 
 1 0 1 0 
 0 1 1 1 
 A 
 1 1 2 1 
 3 1 2 1 
 1/ Xác định số chiều của Im(f). Tìm một cơ sở 
 của Ker(f).
 2/ Cho v1 (2021 ; ; ; ),v 2 ( 3210 ; ; ; ),v 3 ( 1211 ; ; ; )
 Đặt W span(v 1 ,v 2 ,v 3 ) . Xác định số chiều và một 
 cơ sở của W và f(W). (Đề 1_K51)
 Một số đề thi 
 
Bài 7. Cho toán tử tuyến tính f : 4 4 có ma 
 trận theo cơ sở chính tắc của 4 là 
 2 1 1 1 
 1 1 0 1 
 A 
 5 3 2 3 
 3 2 1 2 
 1/ Xác định số chiều của Im(f). Tìm một cơ sở 
 của Ker(f).
 2/ Cho v1 (0101 ; ; ; ),v 2 ( 1111 ; ; ; ),v 3 ( 2010 ; ; ; )
 Đặt W span(v 1 ,v 2 ,v 3 ) . Xác định số chiều và một 
 cơ sở của W và f(W). (Đề 2-K51)

§3: TRỊ RIÊNG VÀ VECTO RIÊNG 
CỦA MỘT TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH
 §3: TRỊ RIÊNG VÀ VECTO RIÊNG
3.1. Trị riêng và vectơ riêng
3.1.1 Đ/n1. Cho f là một toán tử tuyến tính trên 
kgvt V. Không gian con V’  V được gọi là kg 
con bất biến đối với toán tử f nếu f(V’)  V’
VD1. Với một toán tử tuyến tính bất kì f trên 
kgvt V bao giờ cũng có hai kg con bất biến là V 
và {θ}.
 §3: TRỊ RIÊNG VÀ VECTO RIÊNG

3.1.2 Đ/n2. Cho f là một toán tử tuyến tính trên 
 kgvt V trên trường K. Phần tử λ∈ K gọi là (giá) 
 trị riêng của f nếu tồn tại vec tơ x ∈ V (x ≠θ) 
 sao cho f(x)= λ x. Khi đó, x gọi là vec tơ riêng
 của f ứng với trị riêng λ.
 2 2
 VD2. f: , f ( x1 , x 2 ) (3 x 1 x 2 , x 1 3 x 2 )
 Khi đó λ =2 là một trị riêng của f vì với x=(1;-1), 
 ta có f(x)=f(1;-1)=(2;-2) =2(1;-1)=2x
 §3: TRỊ RIÊNG VÀ VECTO RIÊNG
 
Mđ1. Cho f là một toán tử tuyến tính trên kgvt V. 
Khi đó, các mệnh đề sau là tương đương 
(i) λ là trị riêng của f
(ii) (f- λ.IdV) không là đơn ánh trong đó IdV là ánh 
xạ đồng nhất trên V. (c/m: )
ĐL 1. Các vec tơ riêng ứng với các trị riêng khác 
nhau đôi một của một toán tử tuyến tính là độc lập 
tuyến tính. 
 §3: TRỊ RIÊNG VÀ VECTO RIÊNG
 
Mđ 2. Cho f là một toán tử tuyến tính f trên K-
kgvt V. 
 Khi đó, với mọi λ ∈ K, tập V λ ={v|f(v)= λ v} là 
một kg con bất biến của f và không gian này khác 
{θ} khi và chỉ khi λ là một trị riêng của f . (C/m:..)
NX: Nếu λ là một trị riêng của f thì V λ là tập tất 
cả các vec tơ riêng của f ứng với λ và vectơ không.
Đ/n3. Nếu λ là một trị riêng của f thì Vλ (Vλ(f)) gọi 
là không gian riêng ứng với giá trị riêng λ. 
 §3: TRỊ RIÊNG VÀ VECTO RIÊNG
 
3.2.Bài toán tìm trị riêng và vectơ riêng của toán 
tử tuyến tính trong không gian hữu hạn chiều. 
3.2.1. Phương trình đặc trưng.
 Cho f là một toán tử tuyến tính trên kgvt n chều V 
và có mtr A đối với cơ sở B={v1, v2,, vn}. Gọi v là 
một vec tơ riêng ứng với trị riêng λ và tọa độ của v 
đối với B là (v)B=(x1, x2,, xn). 
Khi đó, ta có [f(v)]B=A[v]B và f(v)= λ v. 
 §3: TRỊ RIÊNG VÀ VECTO RIÊNG
 Ta có
 f (v )  v [  v ]BB A [v]
 A[v]BBB [  v ] 0 ( A  E )[v] 0
 Vì [v]B≠0 nên det(A- λ E)=0. 
 Đ/n 1: Cho ma trận A vuông cấp n và λ là một số. 
 Nếu tồn vec tơ cột x ≠0 sao cho (A -λ E)x =0 thì λ
 gọi là trị riêng của A và x gọi là vec tơ riêng của A. 
 Rõ ràng, λ là trị riêng của A det(A- λ E)=0. 
 §3: TRỊ RIÊNG VÀ VECTO RIÊNG

NX. Nếu λ là trị riêng, v là vec tơ riêng của của f 
khi và chỉ khi λ là trị riêng, [v]B là vec tơ riêng của 
của A và ngược lại. 
Đ/n2. Đa thức det(A- λE) (bậc n đối với biến λ) 
gọi là đa thức đặc trưng của f và cũng gọi là đa 
thức đặc trưng của A.
NX: Nghiệm của đa thức đặc trưng là các trị riêng 
của f và ngược lại.
 §3: TRỊ RIÊNG VÀ VECTO RIÊNG
 
Định lí. Đa thức đặc trưng của toán tử tuyến tính f 
không phụ thuộc vào cách chọn cơ sở của V. 
(c/m:)
NX. Hai ma trận đồng dạng có cùng đa thức đa thức 
đặc trưng. 
 §3: TRỊ RIÊNG VÀ VECTƠ RIÊNG

3.2.2 Thuật toán tìm trị riêng và vec tơ riêng của 
toán tử tuyến tính. 
B1: Tìm mtr A của f đ/v một cơ sở nào đó của V. (thông 
thường ta chọn cơ sở chính tắc)
B2. Tìm đa thức đặc trưng của f: det(A-λE) .
B3. Giải pt det(A-λE)=0. Nghiệm của pt λ1, λ2, ,λn là các 
trị riêng của f.
B4. Với mỗi trị riêng λi , giải hệ (A- λiE)x=0. Nghiệm khác 
không của hệ là tọa độ các vec tơ riêng ứng với trị riêng λi.
 §3: TRỊ RIÊNG VÀ VECTO RIÊNG
 
VD1. Tìm trị riêng và vec tơ riêng của toán tử tuyến 
tính f : 2 2 xác định bởi 
 f( x1 , x 2 ) (6 x 1 4 x 2 ; 3 x 1 x 2 )
VD2. Tìm trị riêng và vectơ riêng của toán tử tuyến 
tính f :[][] P 2 x P 2 x xác định bởi 
 2
 f( a0 a 1 x a 2 x ) (5 a 0 6 a 1 2 a 2 ) 
 2
 (a1 8 a 2 ) x ( a 0 2 a 2 ) x

 §4: BÀI TOÁN 
 CHÉO HÓA MA TRẬN
 §4: BÀI TOÁN CHÉO HÓA MA TRẬN
 
4.1 Ma trận chéo hóa được.
4.1.1. Đ/n. Ma trận đồng dạng với ma trận chéo được 
gọi là ma trận chéo hóa được. 
 Với A là một ma trận vuông cho trước, quá trình 
làm chéo hóa A là quá trình tìm ma trận không suy 
biến T sao cho T-1AT là ma trận chéo. Khi đó, mtr T 
gọi là ma trận làm chéo hóa A. 
 §4: BÀI TOÁN CHÉO HÓA MA TRẬN
 
VD. 
 5 2 2 1 1 2 / 5 1 / 5 
 ATT ,, 
 2 8 1 2 1 / 5 2 / 5 
 1 4 0 
 TAT 
 0 9 
A là mtr chéo hóa được và T là mtr làm chéo hóa A
 §4: BÀI TOÁN CHÉO HÓA MA TRẬN

 ?1. Tiêu chuẩn để một ma trận chéo 
 hóa được?
 ?2. Nếu A chéo hóa được, hãy tìm ma 
 trận T làm chéo hóa A.
 ?3. Ma trận T có duy nhất không?
 §4: BÀI TOÁN CHÉO HÓA MA TRẬN
 
4.1.2. Tiêu chuẩn để một ma trận chéo hóa được.
ĐL Điều kiện cần và đủ để một ma trận chéo hóa 
được là ma trận đó có đủ n vec tơ riêng độc lập 
tuyến tính. 
C/m:
Hq Nếu ma trận A có n trị riêng phân biệt thì nó 
chéo hóa được 
 §4: BÀI TOÁN CHÉO HÓA MA TRẬN
 
4.2. Thuật toán chéo hóa ma trận 
Bước 1. Giải pt đặc trưng det(A-λE)=0. Nếu pt có đủ 
n nghiệm và g/s trong tập đó chỉ có k nghiệm phân 
biệt λ1, λ2,, λk thì chuyển sang bước 2.
Bước 2. Giải các hệ pt (A-λiE)X=0 (i=1,2,,k). Nếu 
không tìm đủ n nghiệm độc lập tuyến tính thi A 
không chéo hóa được. Trong trường hợp tìm được đủ 
n nghiệm độc lập tuyến tính u1, u2,, un thì ta thực 
hiện bước 3. 
 §4: BÀI TOÁN CHÉO HÓA MA TRẬN
 
Bước 3. Lập ma trận T có các cột là u1, u2,, un và T 
chính là ma trận làm chéo hóa A. 
Bước 4. Ma trận T-1AT là ma trận chéo có các phần tử 
chéo là các trị riêng tương ứng với các vec tơ riêng 
u1, u2,, un
 §4: BÀI TOÁN CHÉO HÓA MA TRẬN
 
VD. Đưa ma trận A về dạng chéo.
 3 1 1 2 0 0 
 a) A 1 3 1 b ) A 1 1 3 
 1 1 3 1 4 5 
 §4: BÀI TOÁN CHÉO HÓA MA TRẬN

4.3. Bài toán tìm cơ sở để ma trận của một toán tử 
tuyến tính là ma trận chéo. 
 Cho toán tử tuyến tính f:V→V. 
Hãy tìm một cơ sở B của V để ma 
trận của f theo cơ sở đó có dạng 
chéo.
 §4: BÀI TOÁN CHÉO HÓA MA TRẬN
 
Bước 1. Chọn một cơ sở E tùy ý của V (thường là cơ 
sở chính tắc nếu có). Tìm ma trận A của f đối với E.
Bước 2. Chéo hóa ma trận A. Nếu A không chéo hóa 
được thì không tồn tại cơ sở B thỏa mãn điều kiện 
đầu bài. Nếu A chéo hóa được chuyển sang bước 3.
Bước 3. G/s T là ma trận làm chéo hóa A. Xét cơ sở 
B của V sao cho T là ma trận chuyển cơ sở từ E sang 
B. Khi đó, ma trận của f đối với cơ sở B là T-1AT có 
dạng chéo. 
 MỘT SỐ ĐỀ THI

VD1.
 (Câu III-Đề III-K55)
 MỘT SỐ ĐỀ THI

VD2.
 (Câu III-Đề IV-K55)
 MỘT SỐ ĐỀ THI
 
 VD3.
 (Đề I-K53)
VD3’. Tương tự VD3 với 3 1 1 
 2 A 2 2 1 m 2
 B {1 ; 1 x;( 1 x) } 
 2 1 m (Đề II-K53)
 Một số đề thi 
 
VD4. Cho toán tử tuyến tính f : P 2 [x] P 2 [x] thỏa mãn 
 f(xx)1 2 3 5 x 3 x;f( 2 2 x) 2 10 8 x; 2
 f (2 x 3 x2 ) 2 5 x 4 x 2
a) Tìm ma trận A của f đối với cơ sở {1;x;x2}.
b) Tìm cơ sở của P2[x] để với cơ sở đó ma trận 
 của f có dạng chéo. Xác định dạng chéo đó.
 (Đề 1-K52)
VD4’. Tương tự VD4 với
 f(1 2 xx) 2 2 4 x 5 x;f( 2 2 x) 2 4 x;
 2 2
 f (x 3 x ) 5 x 9 x (Đề 2-K52)