Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương III: Không gian vector - Nguyễn Hải Sơn

CHƯƠNG 3
 1
 §6: Không gian vector
6.1. Khái niệm.
6.1.1. Định nghĩa.
 Cho tập V khác rỗng và một trường số K, 
cùng hai phép toán:
 - phép cộng: "":VVV 
 (u,v) u v
 - phép nhân với vô hướng 
 "." : K V V
 (k,v) kv
 §6: Không gian vector
Bộ ba (V;+;.) gọi là một không gian vecto 
 (KGVT) trên K hay một K-không gian vecto 
 nếu thỏa mãn 8 tiên đề: 
 §6: Không gian vector
 §6: Không gian vector
6.1.2. Ví dụ
VD1: Tập các số thực R là một R - không gian 
 vecto với 
 - véc tơ không là số 0 
 - vecto đối của u là số đối (-u) 
  §6: Không gian vector
VD2.
  §6: Không gian vector
VD3.
 §6: Không gian vector
Tổng quát 
 n
 (x1 ;x 2 ;...;xn )|x i ,i 1 ,n
với hai phép toán: 
" ":(x;x1 2 ;...;xn ) (y;y 1 2 ;...;y n )
 (x1 y;x 1 2 y;...;x 2 n y) n
 ".":k(x1 ;x 2 ;...;xn ) (kx 1 ;kx 2 ;...;kx n ) 
là một R-kgvt với vecto không là: 
vecto đối của v= (x1, x2,, xn) là:
  §6: Không gian vector
VD4.
  §6: Không gian vector
VD5
  §6: Không gian vector
VD6. Không gian nghiệm của hệ phương trình 
thuần nhất
 §6: Không gian vector
6.1.3. Một số tính chất đơn giản của không gian 
vectơ
 Cho V là một K-kgvt. Khi đó ta luôn có 
 -Vectơ không θ là duy nhất.
 -Vectơ đối (-v) của vectơ v là duy nhất.
  0
 - Ta có v  
 v 
 §6: Không gian vector con
6.2. Không gian con.
a. Định nghĩa.
 Cho không gian vecto (V,+,.). Một tập con W 
khác rỗng của V gọi là không gian con của V nếu 
(W,+,.) là một không gian vectơ.
 §6: Không gian vector con
b. Định lý. Tập con khác rỗng W của không gian 
vecto V là không gian con của V nếu W đóng kín 
đối với hai phép toán của V, tức là: 
 i)  x, y W : x y W
 ii)  x W ,  k K : kx W
Chú ý: Các điều kiện (i) và (ii) tương đương với 
 x,y W ,  k,l K: kx ly W
 §6: Không gian vector con
 §6: Không gian vector con
 §6: Không gian vector con
3. Tập nghiệm của hệ AX=0 là một 
 không gian con của n .
 §6: Không gian vector con
 Bài Tập: Kiểm tra các tập sau đây có là 
 không gian vector con của các không gian 
 vector tương ứng không?
 U ( x , y , z ) R3 / 2 x y 3 z 0
 W ( x , y ) R2 / x 2 y 1
 2
 M xt( ) at btcPtabc 2 [ ] / 0
 §6: Không gian vector con
 Bài Tập: Kiểm tra các tập sau đây có là 
 không gian vector con của các không gian 
 vector tương ứng không?
 U ( x , y , z ) R3 / x y 2 z 2
 2
 M xt( ) at btcPta 2 [ ] / 2 b 3 c 0
 t
 NAMAA n | 
 §6: Tổ hợp tuyến tính và hệ sinh
 
6.3. Tổ hợp tuyến tính-Hệ sinh.
a.Định nghĩa Cho hệ vectơ S={v1, v2,,vn} trong 
 không gian vectơ V. Vectơ 
 v c1 v 1 c 2 v 2 ... cn v n
với c i ,  i 1 ,n gọi là một tổ hợp tuyến tính 
 của S.
 §6: Tổ hợp tuyến tính và hệ sinh

 §6: Tổ hợp tuyến tính và hệ sinh

 §6: Tổ hợp tuyến tính và hệ sinh

 §6: Tổ hợp tuyến tính và hệ sinh

 Nhận xét:
 §6: Tổ hợp tuyến tính và hệ sinh
b. Định nghĩa. Cho hệ vecto S={v1, v2,, vm} 
 trong không gian vecto V. Tập hợp tất cả các 
 tổ hợp tuyến tính của S gọi là bao tuyến tính 
 của hệ S, kí hiệu là span(S) hoặc 
 span(v1, v2,, vm) 
c. Định lý. W= span(v1, v2,, vm) là một không 
 gian con của không gian vecto V. Hơn nữa, nó 
 là không gian con nhỏ nhất (theo quan hệ bao 
 hàm) chứa {v1, v2,, vm}. 
 §6: Tổ hợp tuyến tính và hệ sinh
d.
 tức là 
 V span(x1 ,x 2 ,...,xn )
Khi đó, ta cũng nói là V được sinh bởi {}x1 ,x 2 ,...,xn
 §6: Tổ hợp tuyến tính và hệ sinh
 §6: Tổ hợp tuyến tính và hệ sinh
 §6: Tổ hợp tuyến tính và hệ sinh
 §6: Sự độc lập và phụ thuộc tuyến tính
 
6.4. Hệ vecto độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến 
tính. 
 Trong không gian vectơ V, cho hệ vectơ S={v1, v2,  ,vn}. 
 + Hệ S gọi là hệ độc lập tuyến tính nếu từ hệ thức 
 c1 v 1 c 2 v 2 ... cn v n  (c i )
 ta suy ra được c1 c 2 ... cn 0
 + Hệ S gọi là hệ phụ thuộc tuyến tính nếu tồn tại 
 (c1 ,c 2 ,...,cn ) (0 ; 0 ;...; 0 ) sao cho
 c1 v 1 c 2 v 2 ... cn v n  
 §6: Sự độc lập và phụ thuộc tuyến tính
 
 Nhận xét
 - Một hệ con của một hệ độc lập tuyến tính là một 
hệ độc lập tuyến tính. 
 - Một hệ chứa một hệ phụ thuộc tuyến tính là 
một hệ phụ thuộc tuyến tính. 
 §6: Sự độc lập và phụ thuộc tuyến tính

 §6: Sự độc lập và phụ thuộc tuyến tính

 §6: Sự độc lập và phụ thuộc tuyến tính

 §6: Sự độc lập và phụ thuộc tuyến tính

 Ví dụ.
 §6: Sự độc lập và phụ thuộc tuyến tính

 §6: Sự độc lập và phụ thuộc tuyến tính

 §6: Sự độc lập và phụ thuộc tuyến tính

 §6: Sự độc lập và phụ thuộc tuyến tính

  Ví dụ: Xét sự độc lập và phụ thuộc tuyến 
 tính của hệ vector sau
 1 0 1 2 
 XX1 ; 2 
 0 0 0 0 
 1 2 1 2 
 XX3 ; 4 
 3 0 3 4 
 §6: Sự độc lập và phụ thuộc tuyến tính

 Bài tập: Xét sự độc lập và phụ thuộc tuyến 
 tính của hệ vector sau
 X x1 (1, 1,0); x 2 (2,3, 1); x 3 ( 1,4,5)
 §6: Sự độc lập và phụ thuộc tuyến tính
 
  Bài tập: Xét sự độc lập và phụ thuộc tuyến 
 tính của hệ vector sau
 2 2 2
Xxtttxt 1() ;()2 2 t 31;() txt 3 t 45 t 
 §6: Sự độc lập và phụ thuộc tuyến tính

  Bài tập: Xét sự độc lập và phụ thuộc tuyến 
 tính của hệ vector sau
 1 2 1 1 
 XX1 ; 2 
 1 0 0 2 
 0 1 0 2 
 XX3 ; 4 
 3 2 2 4 
 §6: Cơ sở và số chiều
6.5. Cơ sở và số chiều.
 6.5.1 Định lý. Trong không gian vectơ V, 
 cho hai hệ vectơ S1 và S2. Nếu S1 là hệ sinh 
 và S2 là độc lập tuyến tính thì |S1|≥|S2|.
 §6: Cơ sở và số chiều
6.5.2. Định nghĩa: Hệ vectơ E trong 
 KGVT V là một cơ sở của V nếu nó vừa 
 là hệ sinh vừa là hệ độc lập tuyến tính.
 §6: Cơ sở và số chiều
 §6: Cơ sở và số chiều
VD. Hệ E={e1=(1;0;0), e2=(0;1;0), e3=(0;0;1)} là 
 cơ sở cua không gian R3. Cơ sở này gọi là cơ 
 sở chính tắc của không gian R3. 
 §6: Cơ sở và số chiều
 §6: Cơ sở và số chiều
 §6: Cơ sở và số chiều
6.5.3. Định lý. Nếu B1={v1, v2,, vm} và B2={u1, 
 u2,, un} là hai cơ sở của KGVT V thì m=n. 
 (tức là mọi cơ sở của V có cùng số phần tử)
C/m:.....
6.5.4 Định nghĩa. Nếu V có một cơ sở gồm n phần 
 tử thì V gọi là không gian n chiều, kí hiệu là 
 dimV=n
 Khi đó, ta nói V là không gian hữu hạn chiều. 
 Ngược lại, ta nói V là không gian vô hạn chiều. 
 §6: Cơ sở và số chiều
 §6.5: Cơ sở và số chiều
6.5.5. Cơ sở chính tắc của một số không gian
 n
(i)R Cơ sở chính tắc là E={e1, e2,, en} với
 e1 (1 ; 0 ; 0 ;...; 0 )
 e2 (0 ; 1 ; 0 ;...; 0 )
 
 en (0 ; 0 ;...; 0 ; 1 )
 dim Rn = n
 §6.5: Cơ sở và số chiều
6.5.5. Cơ sở chính tắc của một số không gian
(ii) Không gian các đa thức bậc không 
 quá n: Pn[x]
 Cơ sở chính tắc là E={1, x, x2,, xn}
 dim Pn[x] = n+1
 §6.5: Cơ sở và số chiều
6.5.5. Cơ sở chính tắc của một số không gian
(iii) Không gian M(m,n) các ma trận cỡ mxn
 Cơ sở chính tắc là E={Akl| 1≤k ≤ m,1 ≤ l ≤ n} 
 A akl 
 với kl ij xác định bởi 
 kl 1 khi (i=k) (j=l)
 aij 
 0 khi (i k)  (j l)
 dim M(m,n) = m.n
 §6: Cơ sở và số chiều
6.5.6. Định lý: Cho V là không gian vecto n 
 chiều. Khi đó, B={v1, v2,, vn} là cơ sở nếu 
 B độc lập tuyến tính hoặc B là hệ sinh. 
Ví dụ: Chứng minh rằng hệ vecto B e 1 ,, e 2 e 3  
với e1 (1,1,1); e 2 (1,1,0); e 3 (1,0,1)
là cơ sở của 3
 §6: Cơ sở và số chiều
6.5.7. Định lý. Từ một hệ độc lập tuyến tính 
 trong không gian hữu hạn chiều, ta luôn có 
 thể bổ sung các vec tơ để được một cơ sở. 
 C/m: G/s S là một hệ độc lập tuyến tính trong không gian 
 hữu hạn chiều V. 
 Nếu S không phải là một cơ sở của V, tức là 
 span(S)≠V. Khi đó, lấy v∈V\span(S) ta sẽ có S’=S{v} là 
 một hệ độc lập tuyến tính. 
 Làm tương tự cho hệ S’. Vì V hữu hạn chiều nên quá 
 trình trên là hữu hạn. 
 §6: Cơ sở và số chiều
6.6. Tọa độ của một vecto đối với một cơ sở.
6.6.1. Định lý và định nghĩa.
 Cho B={v1, v2,, vn} là một cơ sở của KGVT V. 
Với mọi vec tơ x của V, ta luôn có biểu diễn duy 
nhất: 
 x x1 v 1 x 2 v 2 ... xn v n
Bộ số (x1, x2,, xn) gọi là tọa độ của x đối với B
Kí hiệu: (x)B= (x1, x2,, xn) 
 §6: Cơ sở và số chiều
Ma trận tọa độ của x đối với cơ sở B là:
 x1 
 x 
 x 2 
 B  
 xn 
  §6: Cơ sở và số chiều
 VD1. Trong không gian 3 ,cho các vectơ 
 v1 (2;3;1), v 2 (1;2;1), v 3 (1;1;1), u (9;14;6)
a) Tìm tọa độ của u đối với cơ sở chính tắc E. 
b) Tìm tọa độ của u đối với cơ sở B {v1 ,v 2 ,v 3 }
 u (9;14;6)
 Đ/s: E
 u (3;2;1)
 B
 §6: Cơ sở và số chiều
6.6.2. Công thức đổi tọa độ4 khi đổi cơ sở
a.Bài toán: Trong kgvt V cho hai cơ sở B và B’ 
 và vecto v ∈V. Tìm mối quan hệ giữa [v] B và [v] B/
b. Ma trận chuyển cơ sở.
 G/s B’={u1, u2,, un}. 
 Ma trận C  [u 1 ] B [u 2 ] B  [u n ] B  gọi là ma 
 trận chuyển cơ sở từ B sang B’.
 §6: Cơ sở và số chiều
 ĐL. Nếu C là mtr chuyển cơ sở từ B sang B’ thì 
 C là mtr khả nghịch và C-1 là mtr chuyển cơ sở từ 
 B’ sang B. 
c. Công thức
 Nếu C là mtr chuyển cơ sở từ B sang B’ thì
 1
 v C v v/ C v
  BB  / hay  BB 
  §6: Cơ sở và số chiều
 VD. Trong không gian 4 ,cho các vectơ 
 v1 (2;3;1), v 2 (1;2;1), v 3 (1;1;1), u (9;14;6)
a)Xác định mtr chuyển cơ sở từ E sang B {v1 ,v 2 ,v 3 }
b) Xác định mtr chuyển cơ sở từ B sang E
 u C u
c) Kiểm tra  EB 
 §6: Cơ sở và số chiều
Bài tập:
Trong KGVT 3 cho các vector 
f1 (1,2,3), f 2 ( 1,1,0), f 3 (2,1,1), x (4,6, 3)
 3
CMR: hệ vector F {,,} f 1 f 2 f 3 là cơ sở của , 
tìm tọa độ của vector x đối với cơ sở F.
 §6: Cơ sở và số chiều
Bài tập:
Trong KGVT 3 cho các vector 
 f1 (1,2,3), f 2 ( 1,1,0), f 3 (2,1, m )
 3
Tìm m để hệ vector F {,,} f 1 f 2 f 3 là cơ sở của 
 §6: Cơ sở và số chiều
Bài tập:
Trong KGVT 3 cho các vector 
f1 (1,0,2), f 2 ( 1,1,0), f 3 (0,1,1), x (4,7, m )
Tìm m để x là tổ hợp tuyến tính của hệ vector
 F {,,} f1 f 2 f 3
 §6: Cơ sở của không gian con
6.7. Hạng của hệ vectơ
 6.7.1. Định nghĩa. Cho S={v1, v2,, vm} trong 
 không gian vecto V. Ta gọi hạng của S, kí hiệu r(S) là 
 số tối đa các vecto độc lập tuyến tính của hệ đó. 
 * NX: +) r(S) ≤ m 
 +) r(S) = m S độc lập tuyến tính
 §6: Cơ sở của không gian con
6.7.2. Cách tìm hạng của hệ vectơ trong không gian 
 hữu hạn chiều 
 Cho S={v1, v2,, vm} trong không gian vecto V. 
 Giả sử B là một cơ sở của V và ta có 
 (v)i B (a,a i1 i 2 ,...,a in ),  i 1 ,m
 Đặt A=[aij]. Khi đó, ta có 
 r(S)= r(A)
 §6: Cơ sở của không gian con
Ví dụ 1. 
 Trong không gian R4, tìm hạng của hệ vecto sau:
 { v1= (2;1;-1;3), v2= (1;2;0;1), v3= (5;4;-2;7) } 
Ví dụ 2. 
 Trong không gian P3[x], tìm hạng của hệ vecto 
 sau:
 2 3 2 3
 { p1=1+2x - 3x +x , p2 =2- x +x - x , 
 2 2 3
 p3=3+x - 2x , p4=1+x +x +x } 
 §6: Cơ sở của không gian con
6.7.3. Không gian con sinh bởi hệ vectơ
 a.Định lý. Số chiều của không gian con W sinh 
 bởi hệ vectơ S bằng hạng của hệ vectơ đó. 
 dimW = dimspan(S) = r(S) 
 §6: Cơ sở của không gian con
b. Bài toán xác định số chiều và một cơ sở của không 
 gian sinh bởi hệ vectơ
 Cho hệ vecto S và W=span(S). 
 + dimW = r(S)=r.
 + Tìm r vec tơ trong hệ S sao cho chúng độc lập 
 tuyến tính. Khi đó, r vec tơ đó lập thành một cơ sở 
 của W. 
 §6: Cơ sở của không gian con
Ví dụ 1. 
 Trong không gian R4, tìm số chiều và một cơ sở của 
 không gian con W= span{v1, v2, v3} với
 v1= (2;1;-1;3), v2= (1;2;0;1), v3= (5;4;-2;7) 
Ví dụ 2. 
 Trong không gian P3[x], tìm số chiều và một cơ 
 sở của không gian con W=span{p1, p2, p3, p4} với
 2 3 2 3 2 
 p1=1+2x - 3x +x , p2 =2- x +x - x , p3=3+x - 2x , 
 2 3
 p4=1+x +x +x
 Một số đề thi 
Câu 1.(K51) 
 (i) Trong không gian P2[x], cho các vectơ
 2 2 2
 v1 1 x , v 2 2, x v 3 3 x 2, x v 4 11611 x x
 Chứng minh rằng B={v1,v2,v3} lập thành một cơ sở của 
 P2[x]. Xác định tọa độ của vecto v đối với cơ sở B. 
 (Đề III)
 (ii) Câu hỏi tương tự với
 2 2 2
 v1 1 xvxxv , 2 2 , 3 2 xxv , 4 5 3 xx 9
 (Đề IV)
 Một số đề thi 
Câu 2.(K54) 
 (i) Trong không gian P2[x], cho các vectơ
 2 2
 v1 1 x x , v 2 3 x x ,
 2 2
 v3 2 x x , v 4 2 5 x 4 x
 Gọi V1=Span{v1,v2}, V2=Span{v3,v4}. Xác định một 
 cơ sở của VV
 1 2 (Đề I)
 (ii) Câu hỏi tương tự với
 2 2
 v1 1 x x , v 2 2 x x ,
 2 2
 v3 4 2 x x , v 4 1 x 2 x
 (Đề II)
 Một số đề thi
Câu 3.
 Trong không gian P3[x], cho các vectơ
 2 3 3
 v1 1 x 2 x 3 x , v 2 2 x 2 x ,
 2 3 2 3
 v3 3 2 x 4 x , v 4 5 x 2 x 7 x
 Đặt V1=span(v1,v2), V2 =span(v3,v4). 
 a) Tìm cơ sở và số chiều của V1+V2.
 2 3 
 b) Vectơ v=1+x+x +x có thuộc V1+V2 hay không?
 (Hè 2009)