Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương II: Ma trận. Định thức. Hệ phương trình tuyến tính - Bài 5: Hệ phương trình tuyến tính - Nguyễn Hải Sơn

BÀI 5
 1
 §5: Hệ phương trình tuyến tính
5.1 Dạng tổng quát và dạng ma trận của hệ 
phương trình tuyến tính.
5.1.1. Định nghĩa: Hệ phương trình tuyến tính m phương trình, n 
ẩn số có dạng:
 a11 x 1 a 12 x 2 ... a 1n x n b 1
 a21 x 1 a 22 x 2 ... a 2n x n b 2
 (*)
 ...
 am1 x 1 a m 2 x 2 ... a mn x n b m
 trong đó aij là hệ số của pt thứ i của ẩn xj , bi là hệ số tự do của 
 phương trình thứ i, xj là các ẩn số (i=1,..,m, j=1,..,n). 
 2
 §5: Hệ phương trình tuyến 
 tính
 - Nếu bi = 0 với mọi i=1,2,,m thì hệ được gọi là hệ 
tuyến tính thuần nhất.
Ví dụ 2x1 3 x 2 5 x 3 x 4 2
 Hệ 4 phương trình 4 ẩn
 x1 2 x 2 3 x 3 4 x 4 0
 3x1 8 x 2 5 x 3 3 x 4 2 Là hệ không thuần nhất
 4x2 2 x 3 7 x 4 9
 3
 §5: Hệ phương trình tuyến 
 tính
+ Ma trận A [] a ij m n gọi là ma trận hệ số của phương trình (*). 
 b1 
 b 
+ Ma trận b 2 gọi là ma trận hệ số tự do của phương trình (*). 
 ... 
 bm 
 x1 
 x 
+ Ma trận x 2 gọi là ma trận ẩn số của phương trình (*). 
 ... 
 xn 
 4
 §5: Hệ phương trình tuyến tính
  Ví dụ: Cho hệ phương trình
 2x1 3 x 2 5 x 3 x 4 2
 x1 2 x 2 3 x 3 4 x 4 0
 3x1 8 x 2 5 x 3 3 x 4 2
 4x2 2 x 3 7 x 4 9
 2 3 5 1 2 x1 
 1 2 3 4 0 x 
 A ,, b x 2 
 3 8 5 3 2 x3 
 0 4 2 7 9 x4 
 5
  §5: Hệ phương trình tuyến tính
 Ma trận bổ sung của hệ (*):
 Ab s A  A | b 
 Ví dụ: Cho hệ phương trình
 2x1 3 x 2 5 x 3 x 4 2 2 3 5 1 2 
 x1 2 x 2 3 x 3 4 x 4 0 1 2 3 4 0
  AAbs [A|b] 
 3x1 8 x 2 5 x 3 3 x 4 2 3 8 5 3 2
 4x2 2 x 3 7 x 4 9 0 4 2 7 9 
Nhận xét: Các hệ số của phương trình thứ i là các phần tử ở hàng thứ 
 bs
i của A và ngược lại. 6
 §5: Hệ phương trình tuyến tính
Với các kí hiệu đó, hệ (*) được đưa về dạng 
 Ax b (**)
gọi là dạng ma trận của hệ (*).
 Ví dụ:
 2x 7 y z 9 2 7 1 x 9 
 3x y 4 z 0 
 3 1 4 y 0 
 5x 9 y 2 z 5 5 9 2 z 5 
 7
  §5: Hệ phương trình tuyến tính
5.2. Hệ Cramer
 Định nghĩa: Hệ phương trình tuyến tính n pt, n 
 ẩn số mà ma trận hệ số không suy biến được 
 gọi là hệ Cramer
Ví dụ: Giải hệ phương trình tuyến tính sau:
 8
 5.2 Hệ Crame
Định lý: Mọi hệ Cramer n pt đều có nghiệm duy 
 nhất (x1, x2, ,xn) được xác định bởi công 
 thức 
 D
 x j
 j D
 9
 5.2 Hệ Crame
 10
 5.2 Hệ Crame
Ví dụ: Giải hệ phương trình tuyến tính sau:
 11
 5.2 Hệ Crame
 12
 5.2 Hệ Crame
 13
 5.2 Hệ Crame
 14
 5.2 Hệ Crame
 Bài tập: Giải hệ phương trình sau:
 1 1 2
 x1 x 2 2 x 3 1
 D1 5 1 3 = -19
 2x x 3 x 5
 1 2 3 1 2 1
 3x1 2 x 2 x 3 1 1 1 2
 D2 2 5 3 = -29
 1 1 2
 3 1 1
 D 2 1 3 = -8
 1 1 1
 3 2 1
 D3 2 1 5 = -9
 3 2 1 15
 5.2 Hệ Crame
 D
 x 1 19
 1 D 8
 D
 x 2 29
 2 D 8
 D
 x 3 9
 3 D 8
 16
 §5: Hệ phương trình tuyến tính
 5.3. Giải hệ phương trình bằng PP Gauss
5.3.1. Các phép biến đổi tương đương hệ phương trình
 Nhân một số (  0 ) vào 2 vế của 1 PT của hệ.
 Đổi chỗ hai PT của hệ.
 Nhân một số (  0 ) vào một PT rồi cộng vào 
 PT khác của hệ.
 x y z 1 x y z 1
 pt3 2 
 2x y 3 z 2 2x y 3 z 2
 x 2 y z 5 2x 4 y 2 z 10
 17
  5. Giải hệ PT bằng PP Gauss
  Như vậy các phép biến đổi tương đương hệ 
 PT chính là các phép BĐSC trên dòng của 
 ma trận bổ sung tương ứng.
VD
 x y z 1 x y z 1 x y z 1
 pt2 ( 2) pt 1 
  3y 5 z 0 pt3 pt 2 
 2x y 3 z 2 pt3 ( 1) pt 1  3y 4
 x 2 y z 5 3y 4 3y 5 z 0
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 
 h ( 2) h h3 h 2 
 A 2 1 3 2  2 1 0 3 5 0  0 3 0 4
 h3 ( 1) h 1 
 0 3 5 0 
 1 2 1 5 0 3 0 4 
 18
 5.3. Giải hệ PT bằng PP Gauss
 5.3.2. Định lí Kronecker-Capelli
 a. ĐL: Cho hệ phương trình Ax=b
 Hệ có nghiệm r( A) r( A)
 Cụ thể hơn, ta có kết quả sau: Nếu Ax=b là hệ n ẩn số, ta có
 + r(A) r( A) hệ vô nghiệm
 + r( A) r( A) n hệ có nghiệm duy nhất 
 + r( A) r( A) r n hệ có vô số nghiệm phụ thuộc (n-r) 
 tham số
 19
  5.3. Giải hệ PT bằng PP Gauss
Chứng minh.
 Xét hệ phương trình tổng quát sau:
 Giả sử A có hạng là r
 20
 5.3. Giải hệ PT bằng PP Gauss
 Ta có ma trận bổ sung tương ứng
 21
 5.3. Giải hệ PT bằng PP Gauss
 Bằng các phép B ĐSC chuyển ma trận bổ sung 
 về dạng:
 a'11 a ' 12 ... a ' 1r ... a ' 1 n b'1 
 0a ' ... a ' ... a ' b' 
 22 2r 2 n 2 
 ... ... ... ... ... ... ... 
 A'' 0 0 ...a 'r r ... a ' r n b r 
 0 0 ... 0 ... 0 b 
 r 1 
 .. .. .. .. .. .. .. 
 0 0 ... 0 ... 0 bn 
 22
 5.3. Giải hệ PT bằng PP Gauss
Khi đó ta có:
 Nếu r(A) r( A) thì tồn tại ít nhất một trong các 
 br+1, br+2 , ,bn khác 0 nên hệ pt vô nghiệm.
 Nếu r(A) r( A) n thì hệ là hệ Cramer, nên có 
 nghiệm duy nhất. 
 Nếu r( A) r( A) r n thì chuyển các ẩn xr+1, xr+2, 
 , xn sang vế phải ta được hệ: 
 axax'111 ' 122 ... axbax ' 1n r 1 ' 1,11 r r ... ax ' 1, n n
 axax'211 ' 222 ... axbax ' 2n r 2 ' 2,11 r r ... ax ' 2, n n
 ...
 23
 axax'r1 1 ' r 2 2 ... axbax ' rrrrrrr ' , 1 1 ... ax ' rnn ,
 5.3. Giải hệ PT bằng PP Gauss
 axax'111 ' 122 ...' axbax 1n r 1 ' 1,11 r r ...' ax 1, n n
 axax'211 ' 222 ...' axbax 2n r 2 ' 2,11 r r ...' ax 2, n n
 ...
 axax'r1 1 ' r 2 2 ...' axbax rrrrrrr ' , 1 1 ...' ax rnn ,
 Ta gán cho các ẩn xr+1, xr+2, , xn các giá trị cụ thể ta sẽ được một hệ 
 Cramer với r ẩn x1,,xr. Do đó, trong trường hợp này hệ có vô số 
 nghiệm phụ thuộc (n-r) tham số. 
 Các ẩn x1,,xr gọi là các ẩn cơ sở (cơ bản), còn xr+1, xr+2, , xn 
 gọi là các ẩn tự do hay ẩn phụ (tham số).
 24
 5.3. Giải hệ PT bằng PP Gauss
5.3.3. Phương pháp Gauss
 bs Bđsc
Hệ Ax=b A =[A|b] Bbs=[B|c] (bậc thang)
 theo hàng
Khi đó: 
 + r(A)=r(B), r(Abs)=r(Bbs)
 + Ax b Bx c
 25
 5.3. Giải hệ PT bằng PP Gauss
 26
 5.3. Giải hệ PT bằng PP 
  Gauss
 h2 2 h 1
  h4 4 h 1
 h5 h 1
 1 2 1 1 0 1 2 1 1 0 
 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 
 h3 7 h 2 
 h h h h
 2 3 0 7 3 2 3  4 8 2 0 0 10 5 10 
 h5 h 2
 0 8 2 5 2 
 0 0 10 3 10 
 0 1 2 0 2 0 0 3 1 3 
 27
 5.3. Giải hệ PT bằng PP 
  Gauss
 1 2 1 1 0 1 2 1 1 0 
 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 
 0 0 10 5 10  h3 3 h 5 0 0 1 2 1 
 0 0 10 3 10 0 0 10 3 10 
 0 0 3 1 3 0 0 3 1 3 
 1 2 1 1 0 1 2 1 1 0 
 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 
 h4 10 h 3 17h5 5 h 4
 h ( 3 )h 0 0 1 2 1  0 0 1 2 1 
 5 3 
 0 0 0 17 0 0 0 0 17 0 
 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 
 r(Abs ) r( A) 4 Hệ có nghiệm duy nhất 
 28
 5.3. Giải hệ PT bằng PP 
  Gauss
 1 2 1 1 0 
 0 1 1 1 1 
 Hệ tương đương với 
 0 0 1 2 1 
 x 2 x x x 0 
 1 2 3 4 x1 1 0 0 0 17 0
 x x x 1 
 2 3 4 x2 0 0 0 0 0 0 
 x 2 x 1 
 3 4 x3 1
 17x 0 
 4 x4 0
Vậy hệ có nghiệm duy nhất là (1;0;1;0)
 29
 5.3. Giải hệ PT bằng PP Gauss
 30
 5.3. Giải hệ PT bằng PP Gauss
 31
 5.3. Giải hệ PT bằng PP Gauss
 sử dụng các phép biến đổi sơ cấp đưa ma 
 trận bổ sung về dạng ma trận hình thang:
 Abs ... 
 32
 5.3. Giải hệ PT bằng PP Gauss
 33
 5.3. Giải hệ PT bằng PP Gauss
 34
 §5: Giải hệ PT bằng PP Gauss
 35
  5.3. Giải hệ PT bằng PP Gauss
VD3. Giải hệ phương trình:
 x1 2 x 2 3 x 3 1
 (K55-đề 1)
 2x1 3 x 2 7 x 3 3
 x1 x 2 4 x 3 2
VD4: Biện luận về số nghiệm của hệ phương trình theo tham số a, b
 x1 3 x 2 x 3 4 x 4 0
 2x1 7 x 2 2 x 3 2 x 4 8
 x1 4 x 2 3 x 3 ax 4 b
 (Đề 2-K53)
 36
 5.4. Hệ PTTT thuần nhất
 5.4 Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất
 37
 §5: Hệ PTTT thuần nhất
 38
 §5: Hệ PTTT thuần nhất
 39
 §5: Hệ PTTT thuần nhất
 Nhận xét: Trong hệ thuần nhất hạng của ma 
 trận hệ số luôn bằng hạng của ma trận bổ sung
 a11 a 12.. a 1n 0 
 a a.. a 0 
 Abs 21 22 2n 
 .. .. .. .. .. 
 am1 a m 2 .. a mn 0 
 Khi biện luận cho hệ thuần nhất ta chỉ quan 
 tâm hạng của ma trận hệ số
 40
 §5: Hệ PTTT thuần nhất
  Hệ thuần nhất chỉ có 2 trường hợp:
  Hệ có nghiệm duy nhất 
 Hạng ma trận hệ số bằng số ẩn của hệ phương 
 trình
  Hệ có vô số nghiệm
 Hạng ma trận hệ số nhỏ hơn số ẩn của hệ 
 phương trình
 41
  §5: Hệ PTTT thuần nhất
 Tóm lại: Hệ thuần nhất n ẩn
 - chỉ có nghiệm tầm thường khi và chỉ khi r(A)=n 
 - có nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi 
 r(A)≠n. 
VD1. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm 
 không tầm thường.
 42
 §5: Hệ PTTT thuần nhất
 Hệ có nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi 
 r(A)<3. 
 43
 §5: Hệ PTTT thuần nhất
 Cách 1. Ta có:
 1 2 1 
 Biến đổi
 A  0 3 1 
 sơ cấp 
 0 0m 2 
 Do đó với m 2 r ( A ) 3
 Vậy với m 2 thì hệ có nghiệm không 
 tầm thường
 44
 §5: Hệ PTTT thuần nhất
Cách 2. Vì r(A)<3  detA=0 nên 
 1 2 1
 det(A ) 2 1 3
 1 1 m
 (3m 6) 0
 m 2
 45
 MỘT SỐ ĐỀ THI
Bài 1. Cho hệ phương trình 
 x1 x 2 x 3 x 4 1
 2x1 x 2 x 3 3 x 4 8 với a, b là tham số 
 3x1 2 x 2 x 3 b
 4x1 4 x 2 3 x 3 ax 4 14
 a) Giải phương trình với a=4, b=-5
 b) Tìm a, b để hệ phương trình vô nghiệm.
 (Đề 1-K52)
 (Đ/s: a) (3;1;-2;1) b) a=10, b≠-11) 46
 MỘT SỐ ĐỀ THI
Bài 2. Cho hệ phương trình 
 x1+ x 2 x 3 ax 4 5
 2x1 2 x 2 - x 3 3 x 4 10 với a, b là tham số 
 2x1 x 2 x 3 +x 4 b
 2x1 3 x 2 4 x 3 2 x 4 11
 a) Giải phương trình với a=1, b=3
 b) Tìm a, b để hệ phương trình vô số nghiệm.
 (Đề 2-K52)
 (Đ/s: a) (2;-1;1;3) b) a=-1, b=-9) 47
 MỘT SỐ ĐỀ THI
Bài 3. Biện luận về số nghiệm của hệ phương trình theo a và b
 x1 2 x 2 - 4 x 3 x 4 4
 i) 3x1 5 x 2 x 3 2 x 4 7 (Đề 1-K53)
 2x1 3 x 2 ax 3 -3 x 4 b
 x1 3 x 2 x 3 4 x 4 5
 ii) 2x1 7 x 2 - 2 x 3 2 x 4 8 (Đề 2-K53)
 x1 4 x 2 3 x 3 ax 4 b
 48
 MỘT SỐ ĐỀ THI
 Bài 4. Giải hệ phương trình 
 x1 x 2 2 x 3 3 x 4 2
 2x1 2 x 2 3 x 3 5 x 4 2
 i) (Đề 3-K54)
 3x1 x 2 2 x 3 x 4 2
 2x1 6 x 2 7 x 3 13 x 4 10
 x1 2 x 2 x 3 x 4 4
 2x1 x 2 x 3 4 x 4 =3
 ii) (Đề 4-K54)
 x1 x 2 2 x 3 x 4 1
 2x1 4 x 2 4 x 3 6 x 4 6
 49
 MỘT SỐ ĐỀ THI
 Bài 4. Giải hệ phương trình 
 x1 x 2 2 x 3 3 x 4 2
 2x1 2 x 2 3 x 3 5 x 4 2
 i) (Đề 3-K54)
 3x1 x 2 2 x 3 x 4 2
 2x1 6 x 2 7 x 3 13 x 4 10
 x1 2 x 2 x 3 x 4 4
 2x1 x 2 x 3 4 x 4 =3
 ii) (Đề 4-K54)
 x1 x 2 2 x 3 x 4 1
 2x1 4 x 2 4 x 3 6 x 4 6
 50
 MỘT SỐ ĐỀ THI
 Bài 5. Tìm giá trị của tham số thực a để hệ có nghiệm duy nhất 
 x1 x 2 x 3 1
 i) 2x1 ax 2 3 x 3 2 (Đề 3-K51)
 3x1 ax 2 ( a 1) x 3 5
 x1 2 x 2 x 3 3
 ii) 2x1 ax 2 ax 3 5 (Đề 4-K51)
 3x1 5 x 2 ( a 2) x 3 7
 51
 MỘT SỐ ĐỀ THI
 Bài 6. Cho hệ phương trình
 2x1 6 x 2 16 x 3 x 4 0 x1 3 x 2 x 3 2 x 4 0
 x1 7 x 2 17 x 3 3 x 4 = 0 4x1 x 2 7 x 3 2 x 4 0
i) ii) 
 x1 4 x 2 10 x 3 + x 4 = 0 9x1 3 x 2 14 x 3 + x 4 0
 2x1 2 x 2 4 x 3 3 x 4 0 x1 4 x 2 3 x 3 3 x 4 0
 (Đề 1-hè 2010) (Đề 2-hè 2010)
 a) Giải hệ khi λ=1 
 b) Với giá trị nào của λ thì số chiều của không gian nghiệm
 bằng 2? 
 52