Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương II: Ma trận. Định thức. Hệ phương trình tuyến tính - Bài 3: Ma trận nghịch đảo - Nguyễn Hải Sơn

Bài 3 AX BAB X 1
 1
 §3: Ma trận nghịch đảo
 Xét phương trình: a x = b.
 b 1
 Ta có: x b a 1b.(a 0)
 a a
 Tương tự lập luận trên thì liệu ta có thể có 
 AX B X A 1 B.
 như vậy A 1 là ma trận sẽ được định nghĩa 
 như thế nào?
 2
 §3: Ma trận nghịch đảo
 Ta để ý:
 a x b AXB 
 a 1ax a 1b AAXAB 1 1
 1x a 1b IXAB 1
 x a 1b XAB 1
 Phải chăng A 1 A I ?
 3
  §3: Ma trận nghịch đảo
3.1 Định nghĩa.
 a. Đ/n: Cho ma trận A vuông cấp n. Ta nói ma 
trận A là ma trận khả nghịch nếu tồn tại ma trận B 
sao cho 
 AB=BA=En
 Khi đó, B gọi là ma trận nghịch đảo của ma 
trận A, kí hiệu là A-1.
 -1 -1
Như vậy, A.A = A A=En
 4
 §3: Ma trận nghịch đảo
 Nhận xét:
 (1) Ma trận đơn vị En khả nghịch và 
 -1
 (En) =En
(2) Ma trận không  không khả nghịch vì 
 ..,A A    A
 5
 §3: Ma trận nghịch đảo
 Nhận xét:
 6
 §3: Ma trận nghịch đảo
 b. Tính chất:
 Cho A, B là các ma trận khả nghịch và một 
 số k≠0. Khi đó, AB, kA và A-1 là các ma trận khả 
 nghịch và 
 (i) AB 1 B 1 A 1
 1 1
 (ii) kA A 1
 k
 (iii) (AA 1 ) 1 
 7
 §3: Ma trận nghịch đảo
 c. Ma trận phụ hợp
 8
 §3: Ma trận nghịch đảo
 9
 §3: Ma trận nghịch đảo
  Ví dụ1: Tìm ma trận phụ hợp của ma trận sau:
 1 2 3
 A11 28 A21 -29 A31 -12
 A 2 4 0 A 14 A -5 A -6
 12 22 32
 A -6 A A 
 4 5 7 13 23 13 33 8
 AAA11 21 31 
 PAAA 
 A 12 22 32 
 AAA13 23 33 
 10
 §3: Ma trận nghịch đảo
  Ví dụ 2: Tìm ma trận phụ hợp của ma trận sau:
 2 0 0 A11 -1 A21 0 A31 0
 A 5 A -2 A 0
 A 5 1 0 12 22 32
 A13 17 A -8 A 2
 3 4 1 23 33
 AAA11 21 31 
 PAAA 
 A 12 22 32 
 AAA13 23 33 
 11
 §3: Ma trận nghịch đảo
3.2 Cách tính ma trận nghịch đảo
 a. Sử dụng phần phụ đại số
 Định lý: Nếu A là ma trận vuông cấp n thì 
 PAA .A A.P det A.E
 trong đó, PA là ma trận phụ hợp của ma trận A. 
 12
 §3: Ma trận nghịch đảo
 Ví dụ:
 1 2 3 28 29 12 
 AP 2 4 0 14 5 6 
 A 
 4 5 7 6 13 8 
 38 0 0 1 0 0 
 0 38 0 38 0 1 0 
 0 0 38 0 0 1 
 13
 §3: Ma trận nghịch đảo
Định lý: Điều kiện cần và đủ để ma trận vuông A 
khả nghịch là detA. Khi đó, 
 1
 AP 1 
 det A A
 14
 §3: Ma trận nghịch đảo
 Ví dụ:
 28 29 12 
 1
 A 1 14 5 6 
 38 
 6 13 8 
 15
 §3: Ma trận nghịch đảo
  Ví dụ: Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận 
 sau:
 1 2 3 det(A ) 1
 A 0 1 4 
 0 0 1 1 2 5 
 A 1 0 1 4 
 1 2 5 
 P 0 0 1 
 A 0 1 4 
 0 0 1 
 16
 §3: Ma trận nghịch đảo
 Ví dụ: Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận 
 sau:
 2 6 4 6 
 A det(A ) 2 P 
 A 
 1 4 1 2 
 1 4 6 2 3 
 A 1 
 1 
 2 1 2 2 1 
 17
 §3: Ma trận nghịch đảo
 Chú ý: Đối với ma trận vuông cấp 2
 a b d b 
 AP A 
 c d c a 
  Ví dụ: Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận 
 sau:
 2 5 1 1 2 5 2 5 
 AA 
 1 2 det A 1 2 1 2 
 18
 §3: Ma trận nghịch đảo
 b. Phương pháp Gauss-Jordan
Cho ma trận A có detA≠0. 
-Viết ma trận đơn vị E vào đằng sau ma trận A, 
được ma trận [A|E]
-Sử dụng phép biến đổi sơ cấp theo hàng chuyển 
ma trận [A|E] về dạng [E|B]
-Khi đó B=A-1
 19

 Ví dụ: Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận 
 sau:
 1 2 3 
 A 0 1 4 
 1 2 2 
 20
 
  Lời giải:
 1 2 3 1 0 0 1 2 3 1 0 0 
 h3 ( 1) h 1 
 AE| 0 1 4 0 1 0  0 1 4 0 1 0 
 1 2 2 0 0 1 0 0 1 1 0 1 
 1 2 0 2 0 3 1 0 0 6 2 5 
 h 4 h h ( 2) h 
 2 3 0 1 0 4 1 4  1 2 0 1 0 4 1 4
 h1 3 h 3 
 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 
 1 0 0 6 2 5 6 2 5 
 h ( 1) 
 3 0 1 0 4 1 4 A 1 4 1 4 
 0 0 1 1 0 1 
 1 0 1 21
 §3: Ma trận nghịch đảo
 Bài toán: Tìm ma trận X thỏa mãn
 1) AX = B
 2) XA = B
 3) AXB = C
 4) AX + kB = C
 22
 §3: Ma trận nghịch đảo
  Ta có:
 1) AX=B A-1 AX=A-1B
 EBX=A-1
 XA 1B
 2) XA B XAA 1 BA 1
 XEB A 1
 X BA 1 AB 1
 23
 §3: Ma trận nghịch đảo
  Ta có:
 3) AXB=C A-1 AXB=A -1C
 XBB-1 =A -1CB 1
 XA 1CB 1
 4) AX kB C AX ( C kB )
 A 1 AX A 1() C kB
 X A 1( C kB)
 24
 §3: Ma trận nghịch đảo
 Ví dụ 1: Tìm ma trận X thỏa mãn:
 1 2 3 1 5 
 0 1 4 X 0 4 
 0 0 1 2 3 
 Phương trình có dạng: AX=B
 Ta có: XAB 1
 25

 §3: Ma trận nghịch đảo
  Ví dụ 2: Tìm ma trận X thỏa mãn:
 1 3 1 1 2 3 
 X 2 
 2 4 2 0 0 5 
 Phương trình có dạng
 XA 2 B C
 XCBA ( 2 ) 1
 27
 §3: Ma trận nghịch đảo
 1 1 4 3 0 1 
 Ta có ACB ; 2 
 2 2 1 4 5 
 Với XCBA ( 2 ) 1 nên 
 0 1 1 4 3 1 0 1 4 3 
 X () 
 4 5 2 2 1 2 4 5 2 1 
 1 2 1 1 1 
 2
 17 
 2 26 17 13 2 
 28
 §3: Ma trận nghịch đảo
 Ví dụ 3. Tìm ma trận X thỏa mãn:
 2 4 2 7 4 8 
 X 
 3 5 1 3 2 0 
 Phương trình có dạng
 AXB C
 X A 1 CB 1
 29
 §3: Ma trận nghịch đảo
 Ví dụ: Dùng ma trận nghịch đảo giải hệ 
 phương trìnhsau:
 x 2 y z 6 1 2 1 x 6 
 3x y 2 z 1  3 1 2 y 1 
 4 3 5 z 5 
 4x 3 y 5 z 5 
 1 
 1 
 AX B X A B X 2 
 1 
 30
 §3: Ma trận nghịch đảo
 Bài tập:
 2 1 2
 1. Cho ma trận A và đa thức f(x) x 5x 1
 5 3 
 2 3 t
 Tính f(A). Tìm ma trận X thỏa mãn (5AAXA ) 
 2. Cho các ma trận 
 1 2 3 7 7 1 2 1 0 
 A 012,B 238,C 113 
 1 3 0 0 4 5 0 1 4 
 a) Tính det(B-2C) và tìm ma trận nghịch đảo của A (nếu có)
 b) Tìm ma trận X thỏa mãn X(AB 2AC) (B 2C)2
 (Đề thi K55 – Đề 1 – Đề 3)
 31