Bài giảng Cấu trúc dữ liệu và giải thuật - Chương 6: Giải thuật sắp xếp - Ngô Công Thắng

Chương 6: Giải thuật sắp xếp
1. Sắp xếp chọn (Selection Sort)
2. Sắp xếp chèn (Insert Sort)
3. Sắp xếp nổi bọt (Bubble Sort)
4. Sắp xếp nhanh (Quick Sort)
5. Sắp xếp vun đống (Heap Sort)
6. Sắp xếp hòa nhập (Merge Sort)
Ngô Công Thắng Bài giàng CTDL> - Chương 06 6.1
1. Sắp xếp chọn (Selection Sort)
1.1. Phương pháp
• Giả sử cần sắp xếp tăng dần một dãy khoá 
a1, a2,..., an.
• Ý tưởng của thuật toán như sau:
– Chọn phần tử có khoá nhỏ nhất .
– Đổi chỗ nó với phần tử a1. 
– Sau đó lặp lại thao tác trên với n-1 phần tử 
còn lại, rồi lại lặp lại như trên với n-2 phần tử 
còn lại,..., cho tới khi chỉ còn 1 phần tử.
Ngô Công Thắng Bài giàng CTDL> - Chương 06 6.2
1.1. Phương pháp (tiếp)
• Ví dụ:
Cho dãy khoá ban đầu là: 6, 10, 1, 8, 9
với n=5.
i=1 1, 10, 6, 8, 9
i=2 1, 6, 10, 8, 9
i=3 1, 6, 8, 10, 9
i=4 1, 6, 8, 9, 10
Ngô Công Thắng Bài giàng CTDL> - Chương 06 6.3
1.1. Phương pháp (tiếp)
Procedure selectionSort(a,n);
For i:= 1 to n-1 Do 
Begin 
1) {Tìm phần tử nhỏ nhất ở vị trí k }
+) k:=i; 
+) For j:=i+1 To n Do 
If a[j] < a[k] then k:=j
2) {Đổi chỗ phần tử nhỏ nhất ở vị trí k cho vị trí i}
If k ≠ i then a[k]«a[i];
End
Return
Ngô Công Thắng Bài giàng CTDL> - Chương 06 6.4
2. Sắp xếp chèn (Insert Sort)
2.1. Phương pháp
• Phương pháp này được những người chơi bài hay 
dùng.
• Giả sử cần sắp xếp tăng dần dãy khoá a1, a2,..., an. Ý 
tưởng thuật toán như sau:
– Các phần tử được chia thành dãy đích: a1,..., ai-1 (kết quả) 
và dãy nguồn ai,..., an.
– Bắt đầu với i=2, ở mỗi bước phần tử thứ i của dãy nguồn 
được lấy ra và chèn vào vị trí thích hợp trong dãy đích sao 
cho dãy đích vẫn tăng dần. Sau đó i tăng lên 1 và lặp lại.
Ngô Công Thắng Bài giàng CTDL> - Chương 06 6.5
2.1. Phương pháp
• Ví dụ: Cho dãy khoá 6, 10, 1, 7, 4 với n=5 (dãy 
số có 5 phần tử).
Dãy đích Dãy nguồn
6 10, 1, 7, 4
i=2 6, 10 1, 7, 4
i=3 1, 6, 10 7, 4
i=4 1, 6, 7, 10 4
i=5 1, 4, 6, 7, 10
Ngô Công Thắng Bài giàng CTDL> - Chương 06 6.6
Thủ tục chèn
Procedure insertSort(a,n)
1) a[0]:=-¥
2) For i:=2 to n Do 
Begin 
tg:=a[i]; j:=i-1;
While tg<a[j] Do
Begin
a[j+1]:=a[j]; j:=j-1;
End;
a[j+1]:=tg; {đưa tg vào đúng vi trí, chèn vào sau j}
End;
Return
Ngô Công Thắng Bài giàng CTDL> - Chương 06 6.7
2.2. Đánh giá thuật toán
• Phép toán tích cực trong thuật toán này là 
phép so sánh (tg<a[j]). Số phép toán so sánh C 
được tính như sau:
– Trường hợp thuận lợi nhất là dãy khoá a1, a2,..., an
đã được sắp, như vậy mỗi lần chỉ cần 1 phép so 
sánh. Do vậy
Ngô Công Thắng Bài giàng CTDL> - Chương 06 6.8
2.2. Đánh giá thuật toán
• Trường hợp xấu nhất nếu dãy khoá sắp theo thứ tự ngược với 
thứ tự sắp xếp thì ở lượt i cần có: C= (i-1) phép so sánh. Do 
vậy
• Trường hợp trung bình: Giả sử mọi giá trị khoá đều xuất hiện 
đồng khả năng thì trung bình phép so sánh ở lượt thứ i là Ci = 
i/2, do đó số phép so sánh trung bình của giải thuật này là:
• O(n2)
Ngô Công Thắng Bài giàng CTDL> - Chương 06 6.9
3. Sắp xếp sủi bọt (Bubble Sort)
3.1. Phương pháp
• Giả sử cần sắp xếp tăng dần dãy khoá a1, a2,..., an. Ý 
tưởng thuật toán như sau:
– So sánh các cặp phần tử liền kề gối nhau từ phải qua 
trái, nếu phần tử đứng sau nhỏ hơn đứng trước thì đổi 
chỗ. Kết quả lần thứ nhất phần tử nhỏ nhất của dãy 
được đẩy lên vị trí 1 (gọi là phần tử được sắp).
– Tiếp tục đổi chỗ các phần tử liền kề của dãy chưa 
sắp, lần thứ 2 ta được phần tử nhỏ nhất của dãy được 
đưa về vị trí 2.
– Cứ tiếp tục làm tương tự như trên cho đến khi dãy chỉ 
còn 1 phần tử.
Ngô Công Thắng Bài giàng CTDL> - Chương 06 6.10
3.1. Phương pháp (tiếp)
• Ví dụ: Cho dãy khoá ban đầu là: 6, 3, 7, 
10, 1, 8 với n=6.
6, 3, 7, 10, 1, 8
i=1 1, 6, 3, 7, 10, 8 
i=2 1, 3, 6, 7, 8, 10 
i=3 1, 3, 6, 7, 8, 10 
i=4 1, 3, 6, 7, 8, 10 
i=5 1, 3, 6, 7, 8, 10 
Ngô Công Thắng Bài giàng CTDL> - Chương 06 6.11
Thủ tục sắp xếp nổi bọt
Procedure bubbleSort(a,n)
For i:= 1 to n-1 Do 
For j:= n downto i+1 Do
If a[j]<a[j-1] then
a[j] a[j-1];
Return
Ngô Công Thắng Bài giàng CTDL> - Chương 06 6.12
3.2. Đánh giá thuật toán
• Giải thuật này tương tự như giải thuật sắp xếp bằng 
cách chọn trực tiếp (mục 1), do đó có:
• Nhận xét: Với 3 phương pháp sắp xếp trên, nếu n 
vừa và nhỏ thì phương pháp chèn trực tiếp (insert 
sort) tỏ ra tốt hơn, nếu với n lớn thì cả 3 phương 
pháp đều có cấp O(n2), đây là một chi phí thời gian 
khá cao.
Ngô Công Thắng Bài giàng CTDL> - Chương 06 6.13
4. Sắp xếp nhanh (Quick Sort)
4.1. Phương pháp
• Sắp xếp nhanh (quick sort) còn được sắp xếp phân 
đoạn (partition sort).
• Ý tưởng thuật toán:
– Chọn ngẫu nhiên một phần tử x.
– Duyệt từ bên trái mảng cho tới khi có một phần tử 
ai>=x
– Sau đó duyệt từ bên phải mảng cho tới khi có một 
phần tử aj=<x
– Đổi chỗ ai và aj
– Tiếp tục duyệt và đổi chỗ cho tới khi 2 phía gặp nhau.
Ngô Công Thắng Bài giàng CTDL> - Chương 06 6.14
4.1. Phương pháp (tiếp)
• Kết quả mảng được chia thành 2 phần: 
bên trái là các phần tử < x, bên phải là các 
phần tử > x.
• Áp dụng cách tương tự với đoạn bên trái và 
đoạn bên phải cho tới khi đoạn con chỉ còn 1 
phần tử thì dừng.
Ngô Công Thắng Bài giàng CTDL> - Chương 06 6.15
Thủ tục sắp xếp nhanh
Procedure QuickSort(L,R);
1) If L>=R then return;
2) i:=L; j:=R ; k:=(L+R) div 2;
3) x:=a[k];
4) Repeat
While a[i] <x Do i:=i+1;
While a[j] >x Do j:=j-1;
If i<j then a[i] « a[j]
Until i=j
5) Call QuickSort(L,j-1); { Thực hiện trên nửa <x }
6) Call QuickSort(j+1,R); { Thực hiện trên nửa >x }
Return
Ngô Công Thắng Bài giàng CTDL> - Chương 06 6.16
4.2. Đánh giá
• Người ta đã chứng minh được thời gian trung 
bình thực hiện giải thuật là:
Ttb= O(nlog2n)
• Như vậy, với n khá lớn Quick sort có hiệu lực 
hơn 3 thuật giải trên.
Ngô Công Thắng Bài giàng CTDL> - Chương 06 6.17
5. Sắp xếp vun đống (Heap Sort)
5.1. Phương pháp
• Một cây nhị phân có chiều cao h được gọi là 
đống khi:
– Là cây nhị phân hoàn chỉnh mà các nút lá ở mức h-
1 phải nằm phía bên trái.
– Khoá ở nút cha bao giờ cũng lớn hơn khoá ở nút 
con.
Ngô Công Thắng Bài giàng CTDL> - Chương 06 6.18
5. Sắp xếp vun đống (Heap Sort)
5.1. Phương pháp
• Thuật toán sắp xếp vun đống chia làm 2 giai đoạn.
• Giai đoạn 1: Tạo đống.
- Từ dãy khóa ban đầu ánh xạ sang cây nhị phân
- Vun cây nhị phân từ dưới lên trên, từ cây con gốc 
[n/2] về cây gốc 1 để tạo đống.
• Giai đoạn 2:
- Đổi chỗ nút gốc 1 cho nút n, loại bỏ nút n, hiệu 
chỉnh lại cây gốc 1 với n-1 nút còn lại.
- Cứ tiếp tục như vậy cho tới khi cây chỉ còn 1 nút.
Ngô Công Thắng Bài giàng CTDL> - Chương 06 6.19
Ngô Công Thắng Bài giàng CTDL> - Chương 06 6.20
Ngô Công Thắng Bài giàng CTDL> - Chương 06 6.21
Ngô Công Thắng Bài giàng CTDL> - Chương 06 6.22
Ngô Công Thắng Bài giàng CTDL> - Chương 06 6.23
- Lặp lại các bước tương tự cho các cây còn lại. 
Cuối cùng ta thu được dãy đã sắp là s=(11, 23, 42, 58, 65, 
74)
* Giải thuật vun đống:
- Một lá coi như cây con là một đống.
- Thuật toán tiến hành từ đáy lên: Chuyển đổi thành đống 
cho một cây con mà cây con trái và cây con phải của gốc đã 
là một đống.
Cây nhị phân hoàn chỉnh có n nút thì với chỉ số [n/2] trở lên 
có thể là nút cha: [n/2], [n/2 ]-1, . . . , 1.
Ngô Công Thắng Bài giàng CTDL> - Chương 06 6.24
a) Thủ tục vun đống:
Hiệu chỉnh cây nhị phân con hoàn chỉnh gốc i trên cây nhị
phân có n nút để trở thành “đống” với điều kiện cây con 
trái và cây con phải có gốc là 2i và 2i+1 đã là đống.
Procedure adjust(i,n)
1. { Khởi đầu }
Key:=a[i]; j:=2*i;
2. { Chọn con ứng với khoá lớn nhất trong 2 con của i }
While j<=n Do 
Begin
If (j<n) and (a[j]<a[j+1]) then j:=j+1;
Ngô Công Thắng Bài giàng CTDL> - Chương 06 6.25
a) Thủ tục vun đống:
3. { So sánh khoá cha với khoá lớn nhất }
If Key > a[j] then Begin
a[j/2]:=Key;
Return;
End;
a[j/2]:=a[j]; j:=2*j;
End; {Kết thúc while}
4. { Đưa Key vào vị trí của nó }
a[j/2]:=Key;
5. Return;
Ngô Công Thắng Bài giàng CTDL> - Chương 06 6.26
b) Thủ tục sắp xếp vun đống:
Procedure heapSort(a,n)
1. { Tạo đống ban đầu }
For i:=n div 2 Downto 1 Do 
Call adjust(i,n)
2. { Sắp xếp }
For i:= n-1 Downto 1 Do 
Begin
tg:=a[1]; a[1]:=a[i+1]; a[i+1]:=tg;
Call adjust(1,i);
End;
Return
5.2. Đánh giá
Thời gian thực hiện trung bình của giải thuật này là
O(nlog2n).Ngô Công Thắng Bài giàng CTDL> - Chương 06 6.27
6. Sắp xếp trộn (hoà nhập) ( MERGE SORT)
6.1. Phép hoà nhập 2 đường
Trộn 2 dãy khóa đã sắp xếp tang dần thành 1 dãy khóa sắp 
xếp tăng dần.
a) Ý tưởng:
So sánh 2 khoá nhỏ nhất ( hoặc lớn nhất của 2 dãy) để đưa 
vào dãy đích sắp xếp.
Quá trình cứ tiếp tục cho tới khi 1 trong 2 dãy đã cạn. Dãy 
còn lại đưa nốt sang dãy đích.
b) Giải thuật:
Dãy 1: (xb, ..., xm )
Dãy 2: (xm+1, ..., xn )
Dãy đích: (zb, ..., zn)
Ví dụ: Dãy 1: (3, 5, 10, 16 )
Dãy 2: (1, 4, 15 )
Dãy sắp: (1, 3, 4, 5, 10, 15, 16)
Ngô Công Thắng Bài giàng CTDL> - Chương 06 6.28
* Thủ tục như sau:
Procedure MERGE(X,b,m,n,Z);
1. i:=k:=b; j:=m+1;
2. While (i<=m) and (j<=n) Do 
Begin +) If x[i]<=x[j] then 
Begin Z[k]:=x[i];
i:=i+1;
End
Else Begin z[k]:=x[j];
j:=j+1;
End;
+) k:=k+1;
End;Ngô Công Thắng Bài giàng CTDL> - Chương 06 6.29
* Thủ tục như sau:
3. { Một trong 2 bảng con đã cạn }
If i>m then (zk, ..., zn):= (xj, ..., xn)
Else (zk, ..., zn):= (xi, ..., xm)
Return
Ngô Công Thắng Bài giàng CTDL> - Chương 06 6.30
6.2. Sắp xếp kiểu hòa nhập trực tiếp (Straight two way 
merge )
* Bảng con đã được sắp gọi là một mạch ( run).
* Mỗi bản ghi coi như 1 mạch có độ dài ( kích thước ) 
là 1. Nếu hoà nhập 2 bảng như vậy ta được 1 mạch 
mới có độ dài =2. Hoà nhập 2 mạch có độ dài là 2 ta 
được một mạch có độ dài là 4, ...
* Thủ tục MPASS thực hiện một bước của sắp xếp 
hoà nhập. Nó hòa nhập từng cặp dãy con liền kề 
nhau, có độ dài L, từ mảng X sang mảng Y, n là số 
lượng khoá trong X.
Ngô Công Thắng Bài giàng CTDL> - Chương 06 6.31
Procedure MPASS(X,Y,n,L)
1. i:=1;
2. {Trộn cặp dãy con liền kề có độ dài L }
While i<= n-(2L-1) Do
Begin Call MERGE(X,i,i+L-1,i+2L-1, Y)
i:=i+2L;
End;
3. {Trộn cặp dãy con còn lại cuối cùng
với tổng độ dài <2L}
If i+L-1 <n then Call MERGE(X,i,i+L-1,n,Y)
Else (yi, ..., yn):= (xi, ..., xn);
Return
Ngô Công Thắng Bài giàng CTDL> - Chương 06 6.32
Ngô Công Thắng Bài giàng CTDL> - Chương 06 6.33
6.3. Đánh giá
Thời gian thực hiện trung bình của giải thuật 
là:
Ttb = O(nlog2n)
* Nhận xét chung:
- Với n nhỏ có thể dùng các phương pháp: 
chọn trực tiếp, chèn trực tiếp, đổi chỗ trực 
tiếp.
- Với n lớn: Nếu dãy khoá không sắp dùng 
Quick sort, nếu dãy khoá có sắp dùng Heap 
sort.Ngô Công Thắng Bài giàng CTDL> - Chương 06 6.34