Bài giảng CAD/CAM - Chương 3: Mô hình hoá các thực thể hình học - Nguyễn Thế Tranh

= ∑∑ u (1− u) v (1− v) Vij 
 ij==0 0 (3 − i)!i! (3 − j)! j!
 = U M B MT VT (3.66) 
trong đó: 
 ⎡V00 V01 V02 V02 ⎤
 ⎢V V V V ⎥
 B = ⎢ 10 11 12 13 ⎥ : Ma trận đỉnh điều khiển Bezier 
 ⎢V20 V21 V22 V23 ⎥
 ⎢ ⎥
 ⎣V30 V31 V32 V33 ⎦ V03 
 V13 
 V02 
 V
 u=0 V12 23 
 V
 Ma trận hệ số Bezier bậc 3 01 V11 V22 
 M và ma trận đỉnh điều V33 
 v 
 khiển Bezier B tạo thành V21 
 v=0 V
 khối đa diện đặc tính. V00 32 
 V10 
 u 
 V20 V31 
 V30 
 Hình 3.13 - Mặt lưới Bezierbậc 3 kép 
 Có thể phát triển mô hình mặt lưới Bezier bậc 3 kép tới bậc (m x n): 
 m n
 m n
 r(u,v) = ∑∑Bi (u)B j (v)Vij (3.67) 
 i==00j
 m n
 m! i m−i n! j n− j
 = ∑∑ u (1− u) v (1− v) Vij 
 i==00j (m − i)!i! (n − j)! j!
 Một số phần mềm CAD/CAM chuyên nghiệp sử dụng giá trị m = n = 5 hoặc 
m = n = 7. Khi m = n = 5 ta cần 36 đỉnh điều khiển để thiết lập mô hình mặt lưới 
Bezier bậc 5 kép. 
C3 CAD-CAM>MHHCACTTHH 28 GVC NGUYỄN THẾ TRANH 
 4. Mô hình mặt lưới B-spline đều. 
 Tương tự như mặt lưới Bezier bậc 3 kép, mặt lưới B-spline đều bậc 3 kép được 
định nghĩa là mặt cong tích Tenxơ các đường cong B-spline đều: 
 3 3
 3 3
 r(u,v) = ∑∑Ni (u)N j (v)Vij 
 ij==0 0
 = U N B NT VT (3.68) 
 V03 
 V13 
 V02 
 V12 V23 
 V
 V 22 
 Ta cũng có thể lập mặt lưới 01 V11 
 v 
 B-spline đều với thứ bậc V33 
 khác nhau theo phương u và u 
 V00 V32 
 v riêng biệt. V21 
 V10 
 V20 V31 
 V30 
 Hình 3.14 - Mặt lưới B-spline đều bậc 3 kép 
 3.3.2. MÔ HÌNH MẶT LƯỚI NỘI SUY BIÊN 
 Dạng mặt lưới này sử dụng tương đối phổ biến do phương thức tạo hình đơn 
giản. Ở đây ta khảo sát các dạng mặt lưới cơ bản như: Mặt kẻ, mặt tuyến hình, mặt 
Coons và mặt Gregory. 
 1. Mặt kẻ. 
 Xét 2 đường cong tham số r0(u) và r1(u) với 0 ≤ u ≤ 1 (Hình 3.15). 
 Kết nối tuyến tính 2 đường cong này tạo nên một dạng mặt cong được gọi là 
mặt kẻ: 
 r(u,v) = (1-v)r0(u) + vr1(u) : 0 ≤ u,v ≤ 1 (3.69) 
hay r(u,v) = r0(u) + v(r1(u) - r0(u)) : 0 ≤ u,v ≤ 1 
 Đây là dạng mặt cong đơn giản nhất được định nghĩa từ các đường biên. Số 
hạng thứ 2 trong (3.69) là hàm vectơ theo u. Vectơ đơn vị theo phương r1(u) - r0(u) 
trong (3.69) được gọi là vectơ kẻ t(u). Ta có thể biểu diễn phương trình mặt cong 
tương tự như mặt kẻ (3.69) bằng cách sử dụng vectơ kẻ t0(u) của đường biên r0(u): 
 r(u,v) = r0(u) + vt0(u) (3.70) 
 Nếu vectơ kẻ t0(u) không đổi và đường biên là đường cong 2D thì mặt cong trở 
thành mặt trụ. Nếu vectơ kẻ t0(u) là vectơ tiếp tuyến ngang của đường biên, phương 
trình mặt cong là phép nội suy tuyến tính Taylor. 
C3 CAD-CAM>MHHCACTTHH 29 GVC NGUYỄN THẾ TRANH 
 r1(u) r1(u) 
 v v 
 r(u,v) 
 u u t0(u) 
 r0(u) r0(u) 
 a, b, 
 Hình 3.15 - a, Mặt kẻ; b, Phép nội suy tuyến tính Taylor 
 2. Mặt tuyến hình. 
 Xét một trường hợp mở rộng của mô hình mặt kẻ (3.69) khi dữ liệu cho trước 
bao gồm: 
 a. Cặp đường biên ri(u) : i = 0, 1 
 b. Vectơ tiếp tuyến biên ngang ti(u) : i = 0, 1 
 Trường hợp này giống hệt như trường hợp đường cong Ferguson với khác biệt 
là hàm vectơ được sử dụng thay cho vectơ. Từ phương trình đường cong Ferguson đã 
biết, mặt tuyến hình được định nghĩa bởi phép kết nối dữ liệu theo hàm Hermite bậc 3 
 3
H i (v) : 
 3 3 3 3
 r(u,v) = H 0 (v)r0 (u) + H1 (v)t0 (u) + H 2 (v)t1 (u)H 3 (v)r1 (u) (3.71) 
trong đó: 
 3 2 3 3 2 3
 H 0 (v) = (1− 3v + 2v ) ; H1 (v) = (v − 2v + v ) 
 3 2 3 3 2 3
 H 2 (v) = (−v + v ); H 3 (v) = (3v − 2v ) 
 ri(u) : đường biên (i = 0, 1) 
 ti(u) : tiếp tuyến biên ngang (i = 0, 1) 
 3. Mặt lưới Coons chữ nhật. 
 Thiết lập mặt cong r(u,v) nội suy từ các đường biên (Hình 3.16): 
 a0(v) ; a1(v) ; b0(u) ; b1(u) : 0 ≤ u,v ≤ 1 
 Như vậy mặt cong này phải thoả điều kiện biên sau: 
 r(i,v) = ai(v) : i = 0,1 
 r(u,j) = bj(u) : j = 0,1 (3.72) 
 Pij = r(i,j) : i,j = 0,1 
 Cho r1(u,v) và r2(u,v) là các mặt kẻ thoả điều kiện biên trên: 
 r1(u,v) = (1-u)a0(v) + ua1(v) 
 r2(u,v) = (1-v)b0(u) + vb1(u) (3.73) 
 Phương trình mặt cong r(u,v) thoả điều kiện nbiên (3.72) được định nghĩa như 
sau: 
 r(u,v) = r1(u,v) + r2(u,v) - r3(u,v) (3.74) 
 Phương trình này có dạng cọng Lôgic (theo Boole), nếu r3 là hàm giao của r1 và 
r2. 
C3 CAD-CAM>MHHCACTTHH 30 GVC NGUYỄN THẾ TRANH 
 P b1(u) 
 01 a0(v) 
 P11 r1(u,v) 
 a1(v) 
 a0(v) 
 a1(v) 
 b1(u) 
 v 
 P00 
 b0(u) P10 
 u r1(u,v) 
 a, 
 b, 
 Hình 3.16 - Mặt Coons b0(u) 
 Để xác định mặt cong hiệu chỉnh r3(u,v) cần xác định phương trình mặt cong 
(3.74) tại các đường biên. 
 Từ các điều kiện biên ta có giá trị mặt cong tại các đường biên u = 0,1 được xác 
định như sau: 
 r3(0,v) = (1-v)b0(0) +vb1(0) = (1-v)P00 + vP01 
 r3(1,v) = (1-v)b0(1) +vb1(1) = (1-v)P10 + vP11 (3.75) 
 Có thể coi mặt cong hiệu chỉnh r3(u,v) là mặt kẻ xác định bởi 2 đường biên: 
 r3(u,v) = (1-u)r3(0,v) + ur3(1,v) 
 = (1-u)(1-v)P00 + (1-u)vP01 + u(1-v)P10 + uvP11 (3.76) 
 Ta thấy rằng mặt cong hiệu chỉnh được định nghĩa như phép kết nối tuyến tính 
kép 4 điểm góc. 
 Từ các kết quả trên ta có thể suy ra phương trình mặt cong nội suy từ 4 đường 
biên như sau: 
 ⎡a0 (v)⎤ ⎡α 0 (v)⎤
 r(u,v) = [α0(u)α1(u)] ⎢ ⎥ + [b0(u)b1(u)] ⎢ ⎥ 
 ⎣a1 (v)⎦ ⎣α1 (v)⎦
 ⎡P00 P01 ⎤ ⎡α 0 (v)⎤
 - [α0(u)α1(u)] ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ với 0 ≤ u,v ≤ 1 (3.77) 
 ⎣P10 P11 ⎦ ⎣α1 (v)⎦
trong đó: 
 α0(u) = (1-u) ; α1(u) = u 
 α0(v) = (1-v) ; α1(u) = v 
 Phương trình mặt cong (3.77) được gọi là mặt Coons kết nối tiếp tuyến kép. 
 4. Mặt lưới Gregory tam giác. 
 Ta khảo sát vấn đề thiết lập mặt lưới tam giác từ 3 đường biên ei(si) và tiếp 
tuyến biên ngang ti(si) (Hình 3.17) bằng cách áp dụng phép nội suy (5.71) cho từng 
đường biên. 
 Xét ví dụ xác định phương trình tham số đường biên và tiếp tuyến biên ngang 
của mặt cong cho trước là 1/8 mặt cầu đơn vị (Hình 3.17). 
C3 CAD-CAM>MHHCACTTHH 31 GVC NGUYỄN THẾ TRANH 
 Có thể tham số hoá cung tròn trên mặt z 
 phẳng x-y như sau: 
 x = cosθ ; y = sinθ 
 Từ đó phương trình các đường biên có e2(s2) e1(s1) 
 dạng: 
 t1(s1) 
 e1(s1)=(0,cos(s1π/2),sin(s1π/2)): 0≤s1≤1 y 
 x 
 e2(s2)=( sin(s2π/2),0,cos(s2π/2)): 0≤s ≤1 
 2 e3(s3) 
 e3(s3)=( cos(s1π/2),sin(s1π/2),0): 0≤s3≤1 
 Hình 3.17- Dữ liệu biên của mặt cong tam giác 
 Vì rằng tiếp tuyến biên ngang song song với trục toạ độ nên ta có thể biểu diễn 
chúng như sau: 
 t1 = (π/2, 0, 0); t2 = (0, π/2, 0); t3 = (0, 0, π/2) 
 Để thiết lập mặt cong trơn láng từ dữ liệu biên (Hình 3.17) cần xác định giới 
hạn tham số cho miền tam giác. 
 Xét tam giác đều V1V2V3, đặt λi là khoảng cách vuông góc từ điểm V trong tam 
giác đến cạnh đối diện đỉnh Vi (Hình 3.18a): 
 V = (λ1, λ2, λ3) 
 P1=e2(1)=e3(0) 
 V1(1,0,0) 
 e3(s3) e2(s2) 
 t (s ) t2(s2) 
 3 3
 λ
 λ3 2 
 V t1(s1) 
 λ1 
 e1(s1) 
 P2=e3(1)=e1(0) P3=e1(1)=e2(0) 
 V2(0,1,0) V3(0,0,1) 
 a, b, 
 Hình 3.18 - Mặt cong Gregory tam giác 
 Như vậy λi tạo nên toạ độ trọng tâm của miền tam giác. 
 Ta có thể xác định tham số si của đường biên theo λi: 
 s1=λ3(λ2+λ3); s2=λ1(λ3+λ1); s3=λ2(λ1+λ2) (5.18) 
 Từ đó có thể xác định hàm nội suy tuyến tính Taylor ri(si, λi) theo đường biên 
ei(si) và tiếp tuyến biên ngang ti(si): 
 ri(si, λi) = ei(si) + λiti(si) i = 1, 2, 3 (3.79) 
 Cuối cùng mặt lưới Gregory tam giác giới hạn bởi 3 đường biên (Hình 3.18b) 
được thiết lập như phép kết nối lồi 3 mặt cong nội suy tuyến tính Taylor: 
 3
 r(V ) = ∑γ i (V ){ei (si ) + λiti (si )} (3.80) 
 i=1
trong đó: 
 V(λ1, λ2, λ3) : Toạ độ trọng tâm 
C3 CAD-CAM>MHHCACTTHH 32 GVC NGUYỄN THẾ TRANH 
 si : tham số đường cong 
 2 2
 ⎧(1/ λi ) / ∑ j (1/ λ j ) khiλ j ≠ 0
 và γ i (V ) = ⎨ 
 1 khiλ = 0
 ⎩ j
 Giải thuật thiết lập mặt cong theo (3.80) được gọi là phép kết nối lồi vì mặt 
cong kết quả nội suy từ miền lồi giới hạn bởi 3 đường biên. 
 Ta có thể mở rộng phương pháp này để thiết lập mặt cong giới hạn mởi n 
đường biên; ngoài ra cũng có thể thiết lập mặt cong n cạnh theo giải thuật mặt Coons. 
Giải thuật này còn được gọi là phép cong Lôgic. Theo đó mặt lưới kết quả được biểu 
diễn như tổng Lôgic của các mặt cong thành phần: 
 r(u,v) = r1(u,v) ⊕ r2(u,v) = r1(u,v) + r2(u,v) - r3(u,v) 
trong đó r3(u,v) là phần giao của r1(u,v) và r2(u,v). 
 3.3.3. MÔ HÌNH MẶT LƯỚI QUÉT HÌNH 
 Mặt quét hình được định nghĩa bởi quĩ đạo quét hình đường mặt cắt (đường tạo 
hình) dọc theo đường định hình (đường dẫn hướng). 
 Ta có các loại mặt lưới quét hình sau: 
 1. Mặt lưới quét hình song song. 
 Xét đường cong tham số g(u) và d(v) (Hình 3.19). Nếu coi 2 đường cong 3D 
này là sợi dây cứng ta có thể tưởng tượng mặt cong quét hình song song như mặt cong 
xác định bởi quĩ đạo quét hình đường mặt cắt g(u) dọc đường dẫn d(v): 
 r(u,v) = g(u) + d(v) - d(0) : 0 ≤ u,v ≤ 1 (3.81) 
trong đó: d(0) là điểm đầu của đường cong dẫn hướng. 
 Có thể mở rộng ý tưởng quét 
 hình cho trường hợp đường cong 
 tham số định nghĩa bởi đỉnh điều 
 khiển Bezier và B-spline. Đối với 
 trường hợp Bezier bậc 3 có thể di d(v) 
 chuyển các đỉnh điều khiển V0, V1, 
 V2, V3 dọc theo 4 đường dẫn hướng d(0)
 d0(v), d1(v), d2(v), d3(v). Như vậy mặt 
 g(u) 
 cong kết quả được biểu diễn như sau: 
 Hình 3.19- Mặt quét hình song song 
 3
 3
 r(u,v) = U M R(v) = ∑ Bi (u)di (v) (3.82) 
 i=0
 Khi đường mặt cắt là đường cong cônic và đường dẫn hướng là đường bậc 3 thì 
mặt cong quét hình được gọi là mặt cong đa cônic, được sử dụng để thiết lập mặt cong 
kết nối biên. 
C3 CAD-CAM>MHHCACTTHH 33 GVC NGUYỄN THẾ TRANH 
 2. Mặt lưới quét hình tròn xoay. 
 Đây là dạng mặt cong được sử dụng tương đối phổ biến. 
 Xét đường mặt cắt s(u) trên mặt phẳng x-z (Hình 3.20a): 
 s(u) = d(u)i - z(u)k = (d(u), 0, z(u)) (3.83) 
trong đó: i = (1, 0, 0) và k = (0, 0, 1). 
 Phương trình tham số mặt cong quét hình được định nghĩa bởi phép xoay tròn 
đường mặt cắt (3.83) quanh trục z (Hình 3.20b) có dạng như sau: 
 z 
 x
 k 
 r(u,θ) = (d(u)cosθ, d(u)sinθ, z(u)) 
 = d(u)cosθ.i + d(u)sinθ.j + z(u).k s(u)
 (3.84) s(u) 
 j y
 trong đó: 
 d(u), z(u) là đường mặt cắt (3.83). z i 
 x 
 a, b, 
 Hình 3.20 - Mặt quét hình tròn xoay 
 3. Mặt quét hình phi tham số. 
 Ta đã biết rằng mặt cong tham số r(u,v) suy biến thành mặt cong phi tham số 
khi x(u,v) ≡ u và y(u,v) ≡ v: 
 r(u,v) = {x(u,v), y(u,v), z(u,v)} ≡ {u,v,z(u,v)} ≡ (x,y,z(x,y)) (3.85) 
 Thực tế phương trình này tương đương với z = z(x,y). Xét trường hợp mặt cong 
quét hình song song z = z(x,y) (Hình 3.21c) được tạo bởi đường mặt cắt z = g(x) và 
đường dẫn hướng z = d(y) (Hình 3.21a,b): 
 z = g(x), x ∈ [x0, x1] 
 z = d(y), y ∈ [y , y ] 
 0 1 z
 z = d(y) 
 z = g(x)
 z z
 z = g(x) z = d(y) y
 x y
 x
 a, b, c, 
 Hình 3.21 - Mặt cong quét hình phi tham số 
 Theo định nghĩa mặt cong quét hình song song (3.81) mặt cong quét hình tham 
số được xác định như sau: 
 z(x,y) = g(x) + d(y) - d(0) với x0 ≤ x ≤ x1; y0 ≤ y ≤ y1 (3.86) 
 Có thể trình bày lại phương trình (3.86) dưới dạng chuẩn: 
C3 CAD-CAM>MHHCACTTHH 34 GVC NGUYỄN THẾ TRANH 
 f(x,y,z) ≡ -g(x) - d(y) + z +d(0) = 0 
 Từ đó có thể xác định vectơ pháp tuyến N của mặt cong quét hình (3.86) như 
sau: 
 N(x, y) = (∂f / ∂x,∂f / ∂y,∂f / ∂z) = (−g&(x),−d&(y),1) (3.87) 
 3.3.4. MẶT LƯỚI GIẢI TÍCH. 
 Thuật ngữ mặt cong giải tích được sử dụng cho trường hợp mặt cong biểu diễn 
dưới dạng phương trình ẩn g(x,y,z) = 0, trong đó hàm giải tích g(x,y,z) thường là đa 
thức với biến toạ độ x, y, z. Nếu bậc đa thức là 2, mặt cong được gọi là mặt conicoit. 
Nếu là bậc 3 mặt cong được gọi là mặt cubicoit. Thực tế chỉ có mặt cong bậc 2 được 
sử dụng phổ biến để thể hiện các loại hình thể. 
 1. Mặt cong bậc 2. 
 Trong trường hợp tổng quát, phương trình đa thức ẩn bậc 2 biểu diễn mặt cong 
bậc 2 trong không gian 3D: 
 2 2 2
 i j k
 g(x, y, z) = ∑∑∑cij x y z = 0 (3.88) 
 ijk===0 0 0
 Phương trình (3.88) gồm 27 số hạng, nên mô hình giải tích này không có nghĩa 
hình học. Thực tế mặt cong bậc 2 chuẩn tác (Hình 3.22) được sử dụng như mặt cong 
tạo hình cơ sở trong các phép dựng hình (Bảng 3.1). 
 Hình 3.22 - 6 dạng mặt cong bậc 2 chuẩn tắc 
C3 CAD-CAM>MHHCACTTHH 35 GVC NGUYỄN THẾ TRANH 
 Bảng 3.1 
 STT Mặt cong bậc 2 chuẩn tắc Phương trình ẩn 
 1 Elipsoit (mặt cầu) (x/a)2 + (y/b)2 + (z/c)2 = 1 
 2 Hyperboloid đơn (x/a)2 + (y/b)2 - (z/c)2 = 1 
 3 Hyperboloid kép (x/a)2 - (y/b)2 - (z/c)2 = 1 
 4 Paraboloiđ Elip (x/a)2 + (y/b)2 - z = 0 
 5 Paraboloidd Hyperbol (x/a)2 - (y/b)2 + z = 0 
 6 Nón Elip (x/a)2 + (y/b)2 + z = 0 
 Dễ dàng xác định ý nghĩa hình học của “hằng số tỷ lệ” a, b, c bằng phương 
pháp thay thế. Ví dụ đặt y = z = 0 để thấy ảnh hưởng của hệ số a. 
 2. Tham số hoá mặt cong bậc 2. 
 Theo hình học vi phân phương trình ẩn nêu trên không phải là phương trình mặt 
cong, đơn thuần chúng biểu diễn giới hạn giữa 2 nửa không gian không kết nối đựơc. 
Phần lớn các chức năng xử lý CAD/CAM yêu cầu mô tả mặt cong dưới dạng phương 
trình tham số. Bảng (3.2) tóm tắt phương trình tham số của các dạng mặt cong bậc 2 
chuẩn tắc biểu diễn dưới dạng tổng quát: 
 r(u,v) = (x(u,v), y(u,v), z(u,v)) 
 Bảng 3.2 
 STT Mặt cong bậc 2 chuẩn tắc Phương trình tham số 
 1 Elipsoit (mặt cầu) r(α,β) = (acosαcosβ, bcosαsinβ, csinα) 
 2 Hyperboloid đơn r(α,β) = (acosβ/ cosα, bsinβ/ cosα, ctgα) 
 3 Hyperboloid kép r(α,β) = (a/ cosα, bcosβtgα, ctgαsinβ) 
 4 Paraboloiđ Elip r(u,v) = (au, bv, u2 + v2) 
 5 Paraboloidd Hyperbol r(u,v) = (au, bv, u2 - v2) 
 6 Nón Elip r(u,v) = (aucosβ, bvsinβ, cu) 
 trong đó: -π/2 ≤ α ≤ π/2; -π/2 ≤ β ≤ π/2; u,v là số thực 
 Phương pháp tham số hoá tốt nhất là cho độ chảy đều. Có thể dễ dàng chuyển 
đổi các biểu thức lượng giác trên bảng (3.2) thành dạng tham số hữu tỷ với giả thiết 
hệ số tỷ lệ bằng 1. (Bảng 3.3): 
 Bảng 3.3 
 STT Mặt cong bậc 2 chuẩn tắc Phương trình tham số hữu tỷ thuần nhất 
 1 Elipsoit (mặt cầu) ((1-u2)(1-v2),2u(1-v2),2v(1+u2),(1+u2)(1+v2)) 
 2 Hyperboloid đơn ((1-u2)(4+v2),2u(1+v2),4v(1+u2),(1+u2)(4-v2)) 
 3 Hyperboloid kép ((4+u2)(4+v2),4u(4+v2),4v(4-u2),(4-u2)(4-v2)) 
 4 Paraboloiđ Elip (u, v, u2 + v2, 1) 
 5 Paraboloidd Hyperbol (u, v, u2 - v2, 1) 
 6 Nón Elip (v(1-u2), 2uv, v(1+u2), (1+u2)) 
C3 CAD-CAM>MHHCACTTHH 36 GVC NGUYỄN THẾ TRANH 
 KẾT LUẬN 
 Chúng ta đã đề cập đến 4 dạng mô hình mặt lưới và đã sử dụng các dạng 
hàm kết nối bậc 3 để thiết lập mặt lưới nội suy chữ nhật. 
 Thông thường mô hình mặt lưới dưới dạng ma trận rất thích hợp cho xử lý 
dữ liệu. Tuy nhiên đối với hình học Bezier, ta thấy rằng dạng ma trận ít ổn định về 
số so với dạng đa thức Bernstein. 
 Trong số mô hình mặt lưới chữ nhật (vô tỷ) được nêu, mô hình NURBS là 
dạng tổng quát nhất, các dạng khác chỉ là trường hợp đặc biệt. Trong đó mô hình 
Bezier thích hợp nhất vì có thể chuyển đổi các dạng khác sang dạng Bezier. 
 Mặt quét hìnhlà dạng mô hình hình học được sử dụng phổ biến nhất trong 
kỹ thuật. Ví dụ như có thể mô tả mặt tạo hình các loại ống dẫn, vỏ tàu, cánh quạt và 
các chi tiết khuôn mẫu bởi phương pháp quét hình. Mặt quét hình được định nghĩa 
như phép chuyển đổi toạ độ. Đây chính là lý do chính để phương pháp tạo hình này 
được sử dụng rất phổ biến nhất trong các hệ thống CAD/CAM.